לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

פונקציה מעריכית

בדף זה ובקישורים היוצאים ממנו נלמד לחקור פונקציות מעריכיות.

פונקציות מעריכיות הן פונקציות עם משתנה במעריך החזקה ובסיס החזקה הוא e.

החלקים של דף זה הם:

  1. קישורים.
  2. סיכום וידאו.
  3. סיכום כתוב.
  4. חקירה מלאה של פונקציות.

1.קישורים

  1. היכרות עם הפונקציה f(x) = ex (לא חובה).
  2. משוואות מעריכיות.
  3. תחום הגדרה.
  4. נגזרת.
  5. חיתוך עם הצירים.
  6. מציאת משיק.
  7. נקודות מינימום מקסימום.
  8. אסימפטוטות.
  9. אינטגרל.
  10. חקירה מלאה (בדף זה)
  11. פונקציה מעריכית 5 יחידות.

2.סיכום וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.חקירת מלאה של פונקציות מעריכיות

בהמשך הדף שאלות ברמת 4 יחידות.

פונקציה מעריכית 5 יחידות כולל פתרון שאלת בגרות ברמת 5 יחידות.

תרגיל 1:

מצאו את:

  1. תחום ההגדרה.
  2. נקודות החיתוך עם הצירים.
  3. נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה.
  4. אסימפטוטות אנכיות ואופקיות.
  5. שרטוט גרף הפונקציה.
פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת לכל x.

פתרון נקודות חיתוך עם הצירים

נק' חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

נעביר אגף, ונבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים

ex)2 = e)

ex)2 = e1)

מכך נובע:

x2 = 1

x = 1 או x = -1.

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,1) , (0 , 1-).

ציר y:

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה:

f(0) = (e0)2 – e =

f(0) = e2* 0 – e = 1 – e

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא:

0,  1 – e

פתרון נקודות קיצון

נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.

קיבלנו מכפלה של שני ביטויים השווים ל 0.

(ex)2
הוא ביטוי חיובי תמיד ושונה מ 0

2x יכול להיות שווה ל 0.

2x = 0
x = 0.

לכן הנקודה x = 0 היא חשודה לקיצון.

בניית טבלה

נבדוק בסביבת הנקודה החשודה כקיצון כיצד מתנהגת הפונקציה.

x = -1 משמאל לנקודה החשודה כקיצון

x = 1 מימין לנקודה החשודה כקיצון.

כך תראה הטבלה:

1 0 1- x
0 f ' (x)
f (x)

עבור x = -1 ערך הנגזרת הוא:

f ' (x) = 2x * (ex)2

f ' (-1) = 2 * -1 * (e-1)2

f ' (-1) = -2 * e-2

מימין לנקודה החשודה כקיצון הנגזרת שלילת ולכן הפונקציה יורדת.

נבדוק את ערך הנגזרת עבור x = 1

f ' (x) = 2x * (ex)2

f ' (1) = 2 * 1 * (e1)2

f ' (1) = 2 * e²

מימין לנקודה החשודה כקיצון הפונקציה הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה.

כך נראים הנתונים בטבלה:

1 0 1- x
חיובית 0 שלילית f ' (x)
עלייה מקסימום ירידה f (x)

לכן לפונקציה יש נקודת מינימום ב x = 0.

את ערך ה y כאשר x = 0 מצאנו כבר כאשר חישבנו נקודת חיתוך עם ציר ה y.

לכן נקודת המינימום היא:

0,  1 – e

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות:

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בנקודת אי ההגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.

הפונקציה הזו מוגדרת לכל x, ולכן אין לה אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).

כאשר x שואף לאינסוף

כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף הביטוי ex²  שואף לאינסוף.

וכאשר מחסרים e עדיין הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

כאשר x שואף למינוס אינסוף

כאשר הפונקציה שואפת למינוס אינסוף הביטוי ex²  שואף לאינסוף.

וכאשר מחסרים e עדיין הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

ובסך הכל אין לפונקציה אסימפטוטת אופקיות.

הסבר נוסף עם גבולות (לתלמידי אוניברסיטה):

נבדוק את ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

קיבלנו ביטוי השואף לאינסוף פחות מספר, לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף ואין לפונקציה אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

נבדוק את ערך הפונקציה כאשר x שואף למינוס אינסוף.

קיבלנו ביטוי השואף לאינסוף פחות מספר.

לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף ואין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את גרף הפונקציה על פי הנתונים הבאים.

1.מוגדרת לכל x.

2.נקודות החיתוך הם:

(0 ,1) , (0 , 1-).

0,  1 – e

3.נקודת מינימום

0,  1 – e

4.כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף

תרגיל 2:

פתרון תחום הגדרה

כאשר המכנה שווה ל 0 הפונקציה אינה מוגדרת.

2x = 0

x = 0

נקודת אי הגדרה היא x = 0.

הפונקציה מוגדרת לכל x פרט ל x ≠ 0.

פתרון נקודות חיתוך עם הצירים

ציר x :

נקודת החיתוך עם ציר x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

ערך של שבר שווה ל 0 כאשר המונה מתאפס, לכן נשווה את המונה ל 0:

ex = 0

ex הוא ביטוי חיובי תמיד ואף פעם לא שווה ל 0.

לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

ציר y :

על מנת לקבל נקודת חיתוך עם ציר ה y, נציב x = 0 בפונקציה.

אבל, הפונקציה לא מוגדרת ב x = 0.

לפי כך, לא ניתן להציב x = 0 בפונקציה ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

פתרון נקודות קיצון

נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים: f ' (x) = 0.
נגזור את הפונקציה:

שבר שווה ל 0 כאשר המונה של השבר שווה ל 0.

נשווה ל 0 את המונה:

2x * ex – 2e =  0

נוציא גורם משותף:

ex (2x – 2) = 0

למשוואה זו שתי אפשרויות פתרון

ex = 0

משוואה זו לא מתקיימת אף פעם כי ex חיובית לכל x.

או:

2x – 2 = 0

2x = 2

x = 1
לכן הנקודה x = 1 היא חשודה לקיצון.

בניית טבלה

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :

א. x < 1
ב. x > 1

בתחום בו x >1 נבחר להציב x = 2.
בתחום בו x < 1 נבחר להציב x = 0.5.

כך תראה הטבלה:

2 1 0.5 x
0 f ' (x)
f (x)

על מנת שההצבה תהיה קלה יותר נפשט את הנגזרת:

אנו רואים שמכנה הנגזרת 4x² חיובי עבור כל x בתחום ההגדרה.

לכן המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת.

במונה 2eגם כן חיובי בכל תחום ההגדרה – ולכן גם הוא לא משפיע על סימן המונה.

ולכן סימן הנגזרת נקבע על ידי הביטוי x – 1.

כאשר ביטוי זה חיובי – הנגזרת חיובית.

כאשר הביטוי שלילי הנגזרת שלילית.

עבור x = 2

x – 1 = 2 – 1 = 1

הביטוי חיובי, הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

עבור x = 0.5

x – 1 = 0.5 – 1 = – 0.5

 

2 1 0.5 x
0 f ' (x)
מינימום f (x)

לכן לפונקציה יש נקודת מינימום ב x = 1.

על מנת למצוא את ערך ה y שלה, נציב x = 1 בפונקציה:

לכן נקודת המינימום היא

הערה

מי שהיה רוצה להציב בנגזרת כמו שהיא היה פותר כך:

הצבת x = 2 בנגזרת עבור התחום בו x > 1

הנגזרת חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

הצבת x = 0.5 בנגזרת עבור התחום בו x < 1

הנגזרת שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות:

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בנקודת אי ההגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.

נקודת אי ההגדרה של הפונקציה היא x = 0.

מהצד השלילי  – כאשר x שלילי ושואף ל 0 

המונה ex שואף ל 1
המכנה 2x שואף ל 0 מהכיוון השלילי שלו.

מתקבל 1 חלקי מספר שלילי מאוד קטן ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

ולכן x = 0 היא אסימפטוטה של הפונקציה.

מהצד החיובי – כאשר x חיובי ושואף ל 0

מונה ex שואף ל 1

המכנה 2x שואף ל 0+

מתקבל 1 חלקי מספר חיובי מאוד קטן. לכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

מכאן, שקיימת אסמיפטוטה אנכית בנקודה x = 0.

אסימפטוטות אופקיות:

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).

כאשר x שואף לאינסוף

כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף הביטוי ex  שואף לאינסוף, וגם הביטוי במונה 2x שואף לאינסוף.

הפונקציה ex שואפת חזק יותר לאינסוף לעומת 2x, ולכן הפונקציה כולה תשאף לאינסוף.

לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

כאשר x שואף למינוס אינסוף

כאשר ה x שואפת למינוס אינסוף הביטוי במונה ex   שואף ל 0, והביטוי במכנה 2x שואף למינוס אינסוף.

מתקבל הביטוי: מספר השואף ל 0 חלקי מינוס אינסוף.
ביטוי זה שואף ל 0.

לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית כאשר הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

הסבר נוסף עם גבולות (לתלמידי אוניברסיטה):

נבדוק את ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

קיבלנו ביטוי השואף לאינסוף ולכן קיימת אסימפטוטה אנכית.

נבדוק אסימפטוטה אופקית בשאיפה לאינסוף:

אין שאיפה לערך מסוים ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

נבדוק את ערך הפונקציה כאשר x שואף למינוס אינסוף.

הפונקציה שואפת לערך מסוים ולכן קיימת אסימפטוטה אופקית ב y = 0.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את גרף הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

  1. מוגדרת לכל x פרט ל x =0.
  2. אין נקודות חיתוך עם הצירים.
  3. נקודת מינימום .
  4. כאשר x שואף ל 0 מהצד החיובי הפונקציה שואפת לאינסוף.
    כאשר x שואף ל 0 מהצד השלילי הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
    כאשר x שואף למינוס אינסוף, y = 0.
    כאשר x שואף לאינסוף y שואף לאינסוף.

עוד באתר:

3.פתרונות של תרגילים מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון תרגילים בחקירת פונקציות מעריכיות משאלון 482 (לשעבר 805).

קיץ 2018 שאלה 4

חקרו את הפונקציה
f (x) =aex – 9e-x

פתרון תחום הגדרה

 

 

א. תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.

ב.
נתון – שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (x = ln(3 הוא 6.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה. לכן:
f ' (ln(3)) = 6

כעת נמצא את הנגזרת של הפונקציה, ונציב בה את הנתון על מנת למצוא את a.
f ' (x) = a*ex + 9e-x
נציב:
a*eln(3) + 9e-ln(3) = 6
חוקי לוגריתמים :
1. elnx = x
2. (lnx = ln(1/x-
לכן:
3a + 3 = 6
3a = 3
a = 1

ג.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
ex – 9e-x = 0
ex = 9e-x
נכפול ב – ex:
e2x = 9
(2x = ln(9
(x = 0.5*ln(9
לפי חוקי לוגריתמים, מתקיים:
(x = ln(3

ציר y:
נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e0 – 9e0 = 1 – 9 = -8

תשובה:
ציר x :
( 0, (ln(3 )
ציר y:
(8- , 0)

2. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש לפונקציה נקודות קיצון:
f ' (x) = ex + 9e-x = 0
ex = -9e-x
נכפול ב- ex:
e2x = -9    –   אין למשוואה פתרון – פונקציית e לעולם אינה שלילית.

לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

נשים לב כי נגזרת הפונקציה תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה לכל x.

3. סקיצה:

ד.

השטח המוגבל נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח המוגבל שווה ל –  יחידות ריבועיות.

חורף 2018 שאלה 4

חקרו את הפונקציה
f (x) = 42x – 4x -2

א.
1. תחום ההגדרה:
בפונקציה זו אין x עבורו הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן תחום ההגדרה הוא לכל x.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
42x – 4x – 2 = 0
על מנת לפתור את המשוואה, נציב 4x = t.
נקבל:
t2 – t – 2 = 0t – 2) * (t + 1) = 0)
t1 = 2 , t2 = -1
נחזור למשתנה המקורי, x :
– עבור t1:
4x = 2
x1 = 0.5 (חזקת חצי היא בעצם שורש ריבועי, וכידוע, השורש הריבועי של 4 הוא 2)
– עבור t2:
4x = -1
אין פתרון – מכיוון שאף חזקה של המספר 4 לא תניב לנו מספר שלילי.

ציר y:
נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = 40 – 40 – 2
f(0) = 1 – 1 – 2
f(0) = -2

לכן, נקודות החיתוך:
ציר x :

(0 , 0.5)
ציר y:
(2- , 0)

3. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
תזכורת – נגזרת של פונקציה מעריכית:
(ax) ' = ax * ln(a)

f ' (x) = 42x * ln(4)*2  –  4x * ln(4) = 0
נחלק ב – (ln(4 :
42x *2 – 4x = 0
נחלק ב – 4x (שונה מ – 0 לכל x) :
4x *2 – 1 = 0
4x = 1/2
(x = log4 (1/2
x = -0.5

נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה:

תשובה:
נקודת מינימום: (2.25- , 0.5-)

ב. (g(x) = -2*f(x
לפונקציה (g(x יש אסימפטוטה שמשוואתה y = 4.

1. נקודת קיצון:
אם נגזור את המשוואה הנ"ל , נקבל:
(g ' (x) = -2 * f ' (x
כלומר, יש הבדל של קבוע בין שתי הנגזרות.
לכן, שיעור ה- x של נקודת הקיצון הוא זהה בין הפונקציות: x = -0.5.
(g(x) = -2*f(x , ולכן שיעור ה – y של הנקודה יהיה מוכפל ב – 2-.
כלומר:  y = -2 * -2.25 = 4.5

ניתן לראות מהשרטוט הנתון כי זוהי נקודת מקסימום.
תשובה: נקודת מקסימום: (4.5 , 0.5-)

2. אסימפטוטה אופקית של (f(x:

האסימפטוטה האופקית של (g(x היא y = 4.
כלומר, כאשר x שואף למינוס אינסוף, הפונקציה שואפת ל – 4.
(g(x) = -2 * f(x , ולכן :
(f(x) = -0.5 * g(x

לכן, עבור (f(x , כאשר x ישאף למינוס אינסוף – הפונקציה תשאף ל :
y = 4*-0.5
y = -2

3. סקיצה של (f(x :

קיץ 2017
השאלה כוללת גם פרמטר.

(f (x) = a / (e2x-10ex

א. תחום הגדרה
נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
e2x-10ex=0
ex(ex-10)=0
ex שונה מ 0 לכול x לכן נבדוק מתי הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
ex-10=0
ex=10
נוציא ln לשני אגפי המשוואה.
ln ex = ln 10
x= ln 10.
תשובה: הפונקציה מוגדרת לכל x כך ש x≠ ln 10.

אסימפטוטה: כאשר x שואף ל ln 10 מכנה הפונקציה שואף ל 0 ואילו המונה הוא a שהוא מספר. לכן המנה שואפת לאינסוף או מינות אינסוף והישר x= ln 10 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ב. מציאת a.
נציב (1/9-, 0) בפונקציה ונקבל:
(f (x) = a / (e2x-10ex
a / (e0 – 10e0)=a/(1-10)= -1/9
a/-9 = 1/-9
a=1

ג. שימו לב לרמז שניתן בשאלה עצמה " שיעורי נקודת הקיצון…" כלומר יש נקודה אחת.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
f ' (x) = (0 – (2e2x-10ex) *1 ) / (e2x-10ex
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
המכנה מתאפס רק בנקודת אי ההגדרה לכן ניתן להתעלם ממנו ולבדוק מתי המונה שווה ל 0.
10ex-2e2x = 0  / :2
5ex– e2x = 0
ex (5-ex)=0
ex שונה מ 0 לכול x.
ex=5
ln ex = ln 5
x= ln 5 זו הנקודה החשודה כקיצון.
נמצא את ערכי הנגזרת כאשר x= ln 3, x=ln 7.
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן לא משפיע על סימן הנגזרת.
מונה הנגזרת הוא:
(ex (5-ex
הביטוי ex חיובי לכל x.
נבדוק את ערך הביטוי ex+ 5-
יש כלל לוגרתמי האומר כי:
elnx = x
לכן:
eln 7 +5 = -7+5<0-
eln 3 + 5 = 3-5>0-
כך זה נראה בטבלה:

ln 7 ln 5 ln 3
(f(x יורדת מקסימום עולה
(f ' (x 0 +

הפונקציה יורדת ב ln 7  ועולה ב ln 3 לכן ln 5 זו נקודת מקסימום.
נמצא את ערך הפונקציה ב ln 5.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
נשתמש בכלל הלוגרתמי elnx = x ונקבל.
f (x) = 1 / (25-50) = 1/-25 = -0.04
תשובה: הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.

תחומי עליה וירידה
לפונקציה יש 3 תחומים בהם צריך לבדוק את העליה והירידה.
x> ln 10
x>ln 5 וגם x<ln 10   כבר מצאנו שהפונקציה יורדת.
x<ln 5  כבר מצאנו שהפונקציה עולה.
כאשר נציב x=ln 12 במונה הנגזרת (המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת כי הוא חיובי תמיד) נקבל:
ln 12 + 5 = -12+5= -7-
לכן הפונקציה יורדת כאשר x> ln 10

האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה x?
על מנת שיהיו לה היא צריכה להיות שווה ל 0. בגלל שמונה הפונקציה שונה תמיד מ 0 (שווה תמיד ל 1) לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה
סקיצה של גרף הפונקציה

ד. עלינו למצוא את התחום שבו הפונקציה שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר ה x) וגם יורדת.
על פי שרטוט הסקיצה ותחומי העליה והירידה שמצאנו קודם ניתן לראות כי שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>ln 5 וגם x< ln10.

 חורף 2017
השאלה כוללת גם פרמטר וקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

הפונקציה

סעיף א
נגזרת

על פי גרף הנגזרת ניתן לראות כי כאשר x=2 הנגזרת שווה ל 0. נציב זאת:

תשובה: c=1.

סעיף ב

הפונקציה מוגדרת כאשר x≠1 – כי אז המכנה שונה מ 0.

סעיף ג
אנו יודעים כי נקודת הקיצון מתקבלת כאשר x=2.
בגרף אנו רואים כי הנגזרת יורדת בתחום

ועולה לאחר מיכן. לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y כאשר x=2.

נקודת הקיצון היא מינימום ב (2,1).

סעיף ד

f(3)- f(2) = 0.5e-1
(וזו התשובה).

 קיץ 2016

F(x) = e2x +e4-2x +2
F(0) = e2*0 +e4-2*0 +2
=e2*0 +e4-2*0 +2=e0 + e4 +2
e4 +3

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

סעיף א חלק 2
F'(x) = 2e2x -2e4-2x
2e2x *-2e4-2x =0
2e2x =2e4-2x
2x=4-2x
4x=4
x=1

נבדוק אם זה מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
F"(x) = 4e2x +4e4-2x
e בחזקת מספר כלשהו נותן תוצאה חיובית לכן ערך הנגזרת השנייה הוא חיובי וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה y כאשר x=1
F(1) = e² +e4-2 + 2 = 2e² +2
נקודת מינימום של הפונקציה היא:

סעיף א חלק שלישי
סקיצה של הפונקציה

סקיצה של הפונקציה

תשובה: k=10.

עוד באתר:

34 מחשבות על “פונקציה מעריכית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. היי אפשר הדרכה? איך אני מוצאת את a,אם ידוע שהמרחק מראשית הצירים הוא e
    מונה-a
    מכנה-x-1)e^x-1)

        1. לומדים מתמטיקה

          שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
          אם אני מבין נכון זה המונה שלך:
          e^x+e^2 = 0
          והוא אף פעם לא שווה 0 כי שני הביטויים שנמצאים משמאל חיוביים לכל x.

  2. שלום,
    אשמח בעזרה בגזירת הפונקציה : 2e*e^x-e^2x+k ( פרמטר K)

    ניסיתי בכמה דרכים, הגזירה נועדה למציאת שיעור הX בנקודת קיצון היחידה שיש לפונקציה לפי הסעיף.

    אשמח לעזרה,
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      2e*e^x-2e^2x
      החלק השמאלי נגזר על פי נוסחת מכפלה והימני על פי נגזרת מורכבת.
      ניתן להוציא גורם משותף ולקבל ביטוי פשוט יותר.

  3. הבאתם ביטוי 4x*4x+6+5*4x=0 ופתרתם שורשים בעזרת טי: 4x=t אז: t1=1 t2=5 t3=6 עכשיו השאלה שלי היא למה פשוט לא הכפלתם 4*4=16 ו5*4=20 ואז x1=16 x2=20 x3=6 הבנתי שהדרך שלי לא נכונה אבל למה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא הבנתי באיזה תרגיל בדף מדובר – אם תוכל לציין מספר.
      לא הבנתי מה דרך הפתרון שאתה מציע.

  4. רחל גדעוני

    אם יש לי פונקציה e בחזקת X פחות 1 (בנפרד מהe בחזקת X)
    ותחום הגדרה של פונקציה זו הוא כל X האם כשאני אבנה פונקציה חדשה שבה הפונקציה המקורית היא במכנה ולמעלה יש 1 תחום ההגדרה נשאר אותו דבר או שהוא הופך ליהיות X שונה מ0?

  5. שלום אחי אתה אחלה גבר והאתר שלך ממש מועיל לי! איך אני פותר משוואה כזאת: e בחזקת x בריבוע שווה 2?

      1. סליחה, לא הבנתי. התכוונתי שהריבוע הוא על הx בלבד ולא על הe (במעריך החזקה). תודה.

        1. לומדים מתמטיקה

          ממה שהבנתי זה e בחזקת x וה x בחזקת 2.
          במקום שאמרתי לך יש דוגמה למצב דומה.

  6. מוריה שלוש

    שלום וברכה
    שאלה לי: האם מותר לפתור את המשוואה כלשהי עם הוצאת גורם משותף. ופשוט להשוות את המשוואה למספר החופשי (שאין לו את הגורם המשותף) במשוואה, ואז להשוות את הגורם המשותף למספר החופשי (שנמצא באגף לבד) ולהשוות את מה שבתוך הסוגריים למספר החופשי… כמו שמשווים ל-ס, כאשר מוציאים גורם משותף.

    מקווה שהייתי ברורה,
    מחכה לתשובה..תודה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      לא ניתן.
      כאשר שני ביטויים מכפלתם 0 אז אחד מהביטויים חייב להיות שווה ל 0.
      לעומת זאת כאשר שני ביטויים מכפלתם מספר כמו 4 זה לא אומר שאחד מהביטויים שווה ל 4.
      לכן התשובה לא.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשוואה הזו אין פתרון.
      e בחזקת כל מספר שתבחרי לא שווה 0.
      וגם אף מספר אחר בחזקה כלשהיא לא שווה ל 0.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא כל סוגי המשוואות המעריכיות הן פתירות או נלמדות בתיכון.
      למיטב ידיעתי זו לא נלמדת.

  7. כאשר x שואף למינוס אינסוף המונה שואף לאינסוף.
    המכנה שואף ל 0.
    לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.
    אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.
    בתרגיל 6
    לא הבנתי זה לא במכנה שואף ל-1- כאשר x שואף למינוס אינסוף כי יש משמעות למספרים כשהe^x שואף ל0 והx שלילי

  8. היי, אני חייב עזרה די דחוף,
    תרגיל 1:
    צמד הפונקציות f . g מוגדרות לכל איקס. מצאו מי מבין הפונקציות הבאות תהיה מוגדרת לכל איקס.
    (המשך השאלה הוסר מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם f(x ו g(x מוגדרים ושונים מ 0 (מה שלא כתבת) אז גם הריבוע של הפונקציה שונה מ 0 ומוגדר.

  9. בפונקציה מעריכית שהבסיס שלה הוא e, והחזקה של e היא x בשנייה, איך מוצאים את התחום הגדרה?