משוואות מעריכיות, משוואות עם משתנה בחזקה

בדף זה נלמד לפתור משוואות מעריכיות, אלו משוואות בהן המשתנה הוא בחזקה.

הדף הזה הוא גרסה קצרה הכוללת את מה שמשתמשים בו לרוב.
באתר גרסה נוספת של חומר הכוללת נושאים פחות שימושיים.

אנו נצטרך לדעת לפתור משוואות מעריכיות לצורך מציאת נקודות חיתוך עם הצירים, מציאת תחום הגדרה, מציאת קיצון ועוד.

לדף זה שני חלקים:

  1. 6 טכניקות לפתרון משוואות מעריכיות.
  2. תרגילים.

6 טכניקות לפתרון משוואות מעריכיות

במשוואות מעריכיות המטרה היא תמיד להוריד את המשתנה ממעריך החזקה ולהפוך את המשוואה למשוואה רגילה עם נעלם אחד.

כל הטכניקות שנלמד כאן מיועדות על מנת להוריד את המשתנה ממעריך החזקה.

כלל 1: אם במשוואה בסיס החזקה שווה אז מעריך החזקה שווה.

אם:
ax = ay

אז
x = y

כלומר: במשוואה אם בסיס החזקה שווה אז מעריך החזקה שווה.

דוגמה 1
e2x – 3 – e10 = 0

פתרון
e2x – 3 – e10 = 0
e2x – 3 = e10 
2x – 3 = 10
2x = 13
x = 6.5

כלל 2: 1 = e0

כאשר נפגוש את המספר 1 במשוואה מעריכית יהיה שימושי להפוך אותו ל e0.
כי כך נוכל לקבל e בחזקה משני צדדי המשוואה.

דוגמה
ex + 4 = 1

פתרון
ex + 4 = e0

x + 4 = 0
x = -4

כלל 3: שימוש במחשבון ובלוגריתם

אחד מחוקי הלוגריתמים הוא
ln ex = x

והוא שימושי במשוואות שלא ניתן להביא אותם לבסיס משותף או לפתור אותם בטכניקה אחרת.

הכלל הזה משמש אותנו על מנת להוריד את המשתנה ממעריך החזקה.

החוק מאפשר לנו להוציא  את המשתנה (n) מהחזקה.

דוגמה
ex = 5
נוציא ln לשני צדדי המשוואה:
ונשתמש בחוק הלוגריתם האומר:
ln ex = x
ln ex = ln 5
x = ln 5
x= 1.609

כלל 4: ex חיובי תמיד

eהוא ביטוי חיובי תמיד.

לכן למשוואות הבאות אין פתרון:

ex = 0
ex = -2

גם אם במעריך החזקה יופיעו שילובים של x עדיין לא יהיה פתרון.

גם למשוואות הבאות אין פתרון:

e-x + 2 = 0
e2x + 6 = -2

כלל 5: הוצאת גורם משותף כדי לפתור משוואות

דוגמה:
x* ex + 2ex = 0

פתרון
ex (x + 2) = 0

ex = 0
לזה אין פתרון.

x + 2 = 0
x = -2
תשובה: x = -2 הוא הפתרון.

כלל 6: הפיכת משוואה מעריכית למשוואה ריבועית

על פי חוק החזקה הבא:

am*n = (am)n

ניתן לבצע את המעבר הבא:

e2x = ex * ex = (ex)2

ואז אם מגדירים

ex = t
ניתן לקבל:

e2x = (ex)= t²

ניתן להסביר זאת גם כך:

e2x = ex * e= t²

דוגמה
e2x + 4ex – 12 = 0

פתרון
נגדיר:
ex = t

נקבל:

t² + 4t – 12 = 0
t² -2t + 6t – 12 = 0
t(t – 2 ) + 6 (t – 2) = 0
(t + 6) (t – 2) = 0

t = -6  או t = 2

נציב בחזרה ex = t

פתרון ראשון
ex = -6
זו משוואה ללא פתרון, כי ex הוא חיובי תמיד.

פתרון שני
ex =2

נוציא ln לשני צדדי המשוואה:
ln ex = ln 2
x = ln 2 = 0.693

תרגילים

  1. ex = e2x + 3
  2. e-x + 6 = e-4x + 3
  3. e3x – 5 – 1 = 0
  4. e6x + 1 = 0
  5. ex = 10
  6. ex = 12
  7. e2x + 2ex – 15 = 0
  8. e2x + 7ex + 12 = 0
  9. 2x * ex – ex = 0
  10. xe= x

פתרונות

תרגיל 1
ex = e2x + 3

פתרון
מכוון שבסיסי החזקה שווים גם מעריכי החזקה צריכים להיות שווים.

x = 2x + 3
– 3 = x

תרגיל 2
e-x + 6 = e-4x + 3

פתרון
מכוון שבסיסי החזקה שווים גם מעריכי החזקה צריכים להיות שווים.

-x + 6 = -4x + 3
3x = -3
x = -1

תרגיל 3
e3x – 5 – 1 = 0

פתרון
e3x – 5 – 1 = 0
e3x – 5 = 1 

על מנת שיהיו לנו חזקות עם אותו בסיס נשתמש בכך ש:
e0 = 1

e3x – 5 = e0
3x – 5 = 0
3x = 5
x = 1.666

 תרגיל 4
e6x + 1 = 0

פתרון
e6x + 1 = 0
e6x = -1 

e6x הוא ביטוי חיובי תמיד.
לכן הוא לא יכול להיות שווה ל 1-.

תרגיל 5
ex = 10

פתרון
במצב הזה עלינו להוציא לן לשני צדד המשוואה ולהשתמש בכלל:
ln en = n
נעשה זאת על מנת להוריד את x ממעריך החזקה.

ex = 10
ln ex = ln 10
x = 2.3

תרגיל 6
ex = 12

פתרון
במצב הזה עלינו להוציא לן לשני צדד המשוואה ולהשתמש בכלל:
ln en = n
נעשה זאת על מנת להוריד את x ממעריך החזקה.

ex = 12
ln ex = ln 12
x = 2.48

תרגיל 7
2x * ex – ex = 0

פתרון
2x * ex – ex = 0
ex (2x – 1) = 0

יש שתי אפשרויות פתרון
2x – 1 = 0
x = 0.5

ex = 0
למשוואה זו אין פתרון.

תרגיל 8
xe= 3x

פתרון
xe= 3x
xe– 3x = 0
x (ex – 3) = 0

למשוואה זו שתי אפשרויות פתרון
x = 0

אפשרות שנייה
ex – 3 = 0
ex = 3
ln ex = ln 3
x = 1.098

תשובה: x = 0  או הם פתרונות התרגיל.

תרגיל 9
e2x + 2ex – 15 = 0

פתרון
על פי חוק החזקה הבא:

am*n = (am)n

ניתן לבצע את המעבר הבא:

e2x = ex * ex = (ex)2

המשוואה שלנו היא:

  ex)2 + 2ex – 15 = 0)

נגדיר:
ex = t

ונקבל:
t² + 2t – 15 = 0
t² + 5t – 3t – 15 = 0
t(t + 5) – 3(t + 5) = 0
t – 3) (t + 5) = 0)

t = 3,  t = -5

נחזור בחזרה למשתנה x.

ex = t = -5
למשוואה זו אין פתרון, כי ex הוא ביטוי חיובי לכל x.

פתרון שני
ex = t = 3

נוציא לן לשני צדדי המשוואה:

ln ex = ln 3
x = 1.09
זה פתרון המשוואה.

תרגיל 10
e2x + 7ex + 12 = 0

פתרון
תרגיל זה דומה לקודם והוא יפתר בקצרה.
נגדיר:
ex = t

e2x + 7ex + 12 = 0
t² + 7t + 12 = 0
t + 3) (t + 4) =0)

t= -3, t = -4

ex = t = -3
למשוואה זו אין פתרון, כי ex הוא ביטוי חיובי לכל x.

ex = t = -4
למשוואה זו אין פתרון, כי ex הוא ביטוי חיובי לכל x.

למשוואה כולה אין פתרון.

עוד באתר:

  1. פונקציה מעריכית.
  2. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  3. משוואות מעריכיות 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.