משוואות מעריכיות, משוואות עם משתנה בחזקה

בדף זה נלמד לפתור משוואות מעריכיות, אלו משוואות בהן המשתנה הוא בחזקה.

הדף הזה הוא גרסה קצרה הכוללת את המשוואות שנתקלים בהם לרוב.
יש משוואות נוספות שימושיות פחות וניתן ללמוד עליהם בדף משוואות מעריכיות גרסה ארוכה.

למשוואות מעריכיות שימושים רבים בחקירת פונקציה מעריכית:

1. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים.
2. מציאת תחום הגדרה
3. מציאת קיצון.
4. ועוד.

בכל המקרים הללו ובמקרים נוספים נשתמש בפתרון משוואות מעריכיות.

כל אחד מהחלקים של הדף מסביר דרך לפתור משוואות.
החלק האחרון הוא פתרון תרגילים.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. שימוש בכלל אם:  a^x = a^y   אז  x = y
3. e⁰ = 1
4. שימוש במחשבון ובלוגריתם.
5. e^x חיובי תמיד.
6. הוצאת גורם משותף.
7. הפיכת משוואה מעריכית למשוואה ריבועית.

1.הסבר וידאו

מה המטרה שלנו?

במשוואות מעריכיות המטרה היא תמיד להוריד את המשתנה ממעריך החזקה ולהפוך את המשוואה למשוואה רגילה עם נעלם אחד.

כל הטכניקות שנלמד כאן מיועדות על מנת להוריד את המשתנה ממעריך החזקה.

2.אם במשוואה בסיס החזקה שווה אז מעריך החזקה שווה

ובמשוואה מתמטית נכתוב:
אם:
a^x = a^y

אז
x = y

כלומר: במשוואה אם בסיס החזקה שווה אז מעריך החזקה שווה.

דוגמה 1
e^{2x – 3} – e¹⁰ = 0

פתרון
e^{2x – 3} – e¹⁰ = 0

אנו רוצים שיהיה e בשני צדדי המשוואה על מנת שנוכל להשוות מעריכים.

e^{2x – 3} = e¹⁰ 
2x – 3 = 10
2x = 13
x = 6.5

3.  1 = e⁰

כאשר נפגוש את המספר 1 במשוואה מעריכית יהיה שימושי להפוך אותו ל e⁰.
כי כך נוכל לקבל e בחזקה משני צדדי המשוואה.

דוגמה
e^{x + 4} = 1

פתרון
e^{x + 4} = e⁰

x + 4 = 0
x = -4

4.שימוש במחשבון ובלוגריתם

אחד מחוקי הלוגריתמים הוא
ln e^x = x

והוא שימושי במשוואות שלא ניתן להביא אותם לבסיס משותף או לפתור אותם בטכניקה אחרת.

הכלל הזה משמש אותנו על מנת להוריד את המשתנה ממעריך החזקה.

החוק מאפשר לנו להוציא  את המשתנה (n) מהחזקה.

דוגמה
e^x = 5
נוציא ln לשני צדדי המשוואה:
ln e^x = ln 5

ונשתמש בחוק הלוגריתם האומר:
ln e^x = x

ln e^x = ln 5
x = ln 5
x= 1.609

דוגמה 2

e^x³ = 12

נשתמש בחוק החזקה הבא:

a^m)ⁿ = a^{m * n})

ונקבל:

e^x³ = e^3x = 12
e^3x = 12

נוציא לן לשני צדדי המשוואה:

ln e^3x = ln 12
3x = 2.484
x = 0.828

• פתרון משוואה מעריכית בעזרת מחשבון מפורט בקישור.

5.  e^x חיובי תמיד

e^x הוא ביטוי חיובי תמיד.

לכן למשוואות הבאות אין פתרון:

e^x = 0
e^x = -2

גם אם במעריך החזקה יופיעו שילובים של x עדיין לא יהיה פתרון.

כלומר, גם למשוואות הבאות אין פתרון:

e^{-x + 2} = 0
e^{2x + 6} = -2

כי מצד שמאל הביטוי חיובי תמיד.

6.הוצאת גורם משותף כדי לפתור משוואות

דוגמה:
x* e^x + 2e^x = 0

פתרון
e^x (x + 2) = 0

e^x = 0
לזה אין פתרון.

x + 2 = 0
x = -2
תשובה: x = -2 הוא הפתרון.

7.הפיכת משוואה מעריכית למשוואה ריבועית

על פי חוק החזקה הבא:

a^m*n = (a^m)ⁿ

ניתן לבצע את המעבר הבא:

e^2x = e^x * e^x = (e^x)²

ואז אם מגדירים

e^x = t
ניתן לקבל:

e^2x = (e^x)² = t²

ניתן להסביר זאת גם כך:

e^2x = e^x * e^x = t²

דוגמה
e^2x + 4e^x – 12 = 0

פתרון
נגדיר:
e^x = t

נקבל:

t² + 4t – 12 = 0
t² -2t + 6t – 12 = 0
t(t – 2 ) + 6 (t – 2) = 0
(t + 6) (t – 2) = 0

t = -6  או t = 2

נציב בחזרה e^x = t

פתרון ראשון
e^x = -6
זו משוואה ללא פתרון, כי e^x הוא חיובי תמיד.

פתרון שני
e^x =2

נוציא ln לשני צדדי המשוואה:
ln e^x = ln 2
x = ln 2 = 0.693

שימו לב
גם משוואות בהם הסימן על מעריכי החזקה הפוך בין ביטויים שונים לפעמים ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
למשל:

4^x + 6 * 4^-x – 5 = 0

כיצד עושים זאת?
נשתמש בכלל:

ונקבל:

ולאחר מיכן נכפיל את כל המשוואה ב 4^x ונקבל:

4^x * 4^x + 6 – 5*4^x = 0

נגדיר:
4^x = t

ונקבל:
t² – 5t + 6 = 0

הפתרונות של המשוואה הם
t = 2,  t = 3.

ולכן:
4^x = 2,  4^x = 3

התשובות הסופיות של משוואה זו לא עגולות, אבל במשוואה זו כיצד לבנות משוואה ריבועית כאשר סימני מעריכי החזקה הפוכים.

8.תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים עם פתרונות מלאים.

1. e^x = e^{2x + 3}
2. e^{-x + 6} = e^{-4x + 3}
3. e^{3x – 5} – 1 = 0
4. e^6x + 1 = 0
5. e^x = 10
6. e^x = 12
7. e^2x + 2e^x – 15 = 0
8. e^2x + 7e^x + 12 = 0
9. 2x * e^x – e^x = 0
10. xe^x = x