מציאת משיק פונקציה מעריכית

בדף זה נפתור שני תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציה מעריכית.

כיצד מוצאים משוואת משיק

מציאת משוואת משיק מבוססת על כך ששיפוע הפונקציה בנקודות ההשקה שווה לשיפוע המשיק.

אפשרות אחת
אם בשאלה נתון לנו ערך ה x או ה y בנקודת ההשקה:

  1. נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבה הערך הידוע (x או y) בפונקציה.
  2. נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה, שהוא גם שיפוע המשיק, על ידי הצבת ערך ה- x בנגזרת.
  3. נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

דוגמה לשאלה מסוג זה היא שאלה מספר 1.

אפשרות שנייה
אם בשאלה נתון לנו שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.

  1. מוצאים באיזו נקודה ערך הנגזרת שווה לשיפוע שנתנו לנו.
  2. יש לנו את השיפוע ונקודה דרכה עובר המשיק. מוצאים את משוואת המשיק.

דוגמה לשאלה מסוג זה היא שאלה מספר 2.

תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילים "רגילים".
לאחר מיכן 4 תרגילים עם פרמטרים.

תרגיל 1

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = ex – 12  כאשר x = 0.

פתרון

נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ' (0.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = ex
נציב את  x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0 ) = e0 = 1
לכן : m = 1

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב x = 0 בפונקציה :
f(0) = e – 12 = 1 – 12 = -11
לכן נקודת ההשקה היא :   (x,y) = (0 , -11)

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y – y0 = m*(x – x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (-11) = 1*(x – 0
y + 11 = x
y = x – 11

תרגיל 2

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = e3x ששיפועו 3.

פתרון:

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3, לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 3.
f ' (x) = 3e3x
לכן המשוואה היא:
3e3x = 3
נחלק ב-3, ונקבל:
e3x = 1
e0 = 1 , לכן:
3x = 0
x = 0

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו – כלומר ערך ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e0 = 1
לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) = (0 , 1).

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y – y0 = m*(x – x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 3*(x – 0
y  – 1 = 3x
y = 3x + 1

תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 1
שיפוע המשיק לפונקציה f (x) = a x * ex בנקודה x = 2 הוא  9e² – .
מצאו את a וכתבו את משוואת הפונקציה.

פתרון:
סעיף א : מציאת a

נסמן:

u = x
v = e×
u' = 1
v' = e×

נגזור על פי כללי נגזרת של מכפלת פונקציות :

f ' (x) = a(1 * e×  +  x * e×)
f ' (x) = a* e× (1 + x)

נציב x = 2 ו   f ' (x) =3e² במשוואת הנגזרת:

– 9e² = a  * e² ( 1 + 2)
– 9e² = 3a * e²   /:3e²
-3 = a

לכן a = – 3.

סעיף ב : משוואת המשיק לפונקציה

כאשר a = – 3 משוואת הפונקציה היא:f (x) = (-3) x * ex

נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה x = 2 :

f ( 2 ) = (-3) * 2 * e2

f ( 2 ) = – 6 * e2

עכשיו יש לנו נקודת השקה
(2,- 6 *e2 )

ושיפוע m =  -9e²

ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
( y –  y1 =  m ( x – x1

y – (- 6 * e2 ) = – 9 e² ( x – 2)

y + 6 * e2 = – 9 e² x + 18 e²     / – 6e²

y =  9e² x + 12e²

 

תרגיל 2
לפונקציה f (x) = ae 2x  בנקודה x = -4 יש שיפוע שווה לפונקציה g (x) = x * ex בנקודה x = – 8.
מצאו את a.

פתרון:

סעיף א : גזירת הפונקציות

: f (x) נגזור את

f ' (x) = a *e 2x *2
f ' (x) = 2ae 2x

: g (x) נגזור את
:נסמן

u = x
v = e×
u ' = 1
v ' = e×

נגזור על פי כללי נגזרת של מכפלת פונקציות :

g ' (x) = 1 * e× + x  * e×
g ' (x) = e×  ( 1 + x)

סעיף ב : מציאת a

ידוע כי פונקציה f ( x ) = a e 2x  בנקודה x = -4 יש שיפוע שווה לפונקציה g ( x ) = x * ex בנקודה x = – 8.
נציב את הנקודות בנגזרות המתאימות ולאחר מכן נשווה בניהן על מנת למצוא את a.
f ' (x)= 2ae 2x 

f ' (-4) = 2ae2*(-4)= 2ae-8

 

g ' (x) = e× (1+ x)

g ' (-8)= e-8 (1 + (-8) )= -7 e-8

 

f ' (-4) = g ' (-8)   :נשווה בניהן

2ae-8  = -7e-8   / 2e-8

a = -3.5

 

תרגיל 3
שיפוע המשיק לפונקציה f(x) = aex בנקודה x = ln 3 מאונך לישר  y = x – 1.
מצאו את a.

פתרון:

סעיף א : גזירת הפונקציה

f (x) = aex

f  ' (x) = ae×

סעיף ב : מציאת a 
שיפוע הישר הוא 1 ולכן השיפוע המאונך לישר הוא  1- .
נציב x = ln 3  ושיפוע 1 –  במשוואת הנגזרת של f  על מנת למצוא את a.

f  ' (x) = ae×

-1 = ae ln 3
-1 = 3a    /:3
a = – 1 / 3

 

תרגיל 4
הביעו באמצעות a את משוואת המשיק לפונקציה  f (x) = eax בנקודה x = ln 4.

פתרון:

סעיף א : גזירת הפונקציה

f (x) = eax
f ' (x) = eax a

סעיף ב : הצבת נקודה

נציב במשוואת הנגזרת את הנקודה x = ln 4.

f ' (x) = eax a

f ' ( ln 4 ) = e a ln 4 a  = e  ×e  ln 4 × a  =  4ae a

f ' ( ln 4 ) =4ae a

 

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.