פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון

לפונקציה f(x) = ex אין נקודות קיצון.

אבל כאשר משלבים את הפונקציה עם פונקציות אחרות.
או כאשר יש מכפלה או חילוק של פונקציות יכולות להיווצר נקודות קיצון.

שימו לב כי ex הוא ביטוי חיובי תמיד.

לכן במקרים מסוימים תתקבל נגזרת חיובית / שלילית תמיד ולפונקציה כזו אין נקודות קיצון.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) = -e– x

פתרון
נגזור:
f ' (x) = -ex – 1

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.

-ex – 1 = 0

המשוואה הזו לא נכונה אף פעם.
כי:

1-  שלילי תמיד.
ex– שלילי תמיד.

חיבור של שני מספרים שליליים נותן תוצאה שלילית ואף פעם לא שווה ל 0.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) = x  ex
וקבעו את סוגן.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

:נסמן

u = x
v = e×
u ' = 1
v ' = e×

נגזור על פי כללי נגזרת של מכפלת פונקציות :

f ' ( x ) = 1 * e× + x  * e×
f ' ( x ) = e×  ( 1 + x)

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.

0 = e×  ( 1 + x)

לכן

e× = 0  או  x = -1 .

למשוואה e× = 0 אין פתרון,
לכן x = -1 הוא הפתרון היחיד במקרה זה.
כלומר, עבור x = -1 הנגזרת מתאפסת.

סעיף ג: קביעת סוג הקיצון

נבדוק בעזרת הצבה במשוואת הנגזרת בסביבת הנקודה עבור x = – 2, ועבור x = 1 :

f ' ( x ) = e×  ( 1 + x)

f  '( 1 ) = e  ( 1 + 1) > 0
f '( -2 ) =  e² ( 1 -2) = -3 e² < 0

x > -1x = – 1x < – 1
+
עולהיורדת

נבדוק מה ערך הפונקציה בנקודה:
f ( -1 ) =  – 1e-1 =  -1 /  e

נקודת הקיצון היא :

(-1, -1/e)

והיא מינימום.

הגרף נראה כך :

תרגיל 2
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) =  e+ 4x
וקבעו את סוגן.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

f(x) =  e+ 4x

f ' ( x ) =  e+ 4

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.

0 =  e+ 4

ex = – 4

המשוואה הזו לא נכונה אף פעם.
כי:

4-  שלילי תמיד.

eחיובי  תמיד.

לכן לפונקציה זו אין נקודות קיצון.

הגרף נראה כך:

תרגיל 3
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) =  -5e2x + 4x
וקבעו את סוגן.

סעיף א: גזירת הפונקציה

f(x) =  -5e2x + 4x

f ' (x) = -5e2x2+ 4 = -10e2x+ 4

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.

0 = -10e2x + 4   / + 10e2x

10e2x =  4  / 10

e2x =  4 / 10    /ln
ln ( e2x ) =  ln(2 / 5)
2x ln(e)= ln (2 / 5)
2x = ln (2 / 5)  /:2

עבור הנגזרת מתאפסת.

סעיף ג: קביעת סוג הקיצון

נבדוק בעזרת הצבה במשוואת הנגזרת בסביבת הנקודה עבור x = – 1, ועבור x = 1 :

f ' (x) = -10e2x+ 4

 f ' ( 1) =  -10e2+ 4 < 0

f ' ( – 1) = -10e-2+ 4 > 0

+
יורדתעולה

נבדוק מה ערך הפונקציה בנקודה:

נקודת הקיצון היא :

והיא מקסימום.

הגרף נראה כך :

 

תרגיל 4
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה

וקבעו את סוגן.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

:נסמן

u = e×
v = x

u ' = e×
v ' = 1

נגזור על פי כללי נגזרת של מנת פונקציות :

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.

e× = 0   או    x – 1 = 0

למשוואה e× = 0 אין פתרון,
לכן x = 1 הוא הפתרון היחיד במקרה זה.
כלומר, עבור x = 1 הנגזרת מתאפסת.

סעיף ג: קביעת סוג הקיצון

נבדוק בעזרת הצבה במשוואת הנגזרת בסביבת הנקודה עבור x = 0.5, ועבור x = 2 :

x > -1x = 1x < -1
+
עולהיורדת

נבדוק מה ערך הפונקציה בנקודה:

נקודת הקיצון היא :

(1,e)

והיא מינימום.

הגרף נראה כך:

 

בעיות קיצון  עם פרמטרים

תרגיל 1
לפונקציה f(x) = 2ex – ax יש נקודת קיצון ב x = ln 6 .
מצאו את a.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

f(x) = 2ex – ax

f ' (x) = 2ex – a

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.
נתון שנקודת קיצון ב x = ln 6 .
לכן, נשווה את משאוות הנגזרת ל 0 ונציב x = ln 6 .

0= 2eln 6 – a

2*6 – a =0   / + a

a = 12

 

תרגיל 2
לפונקציה f( x ) =ax*ex + x*e2  יש נקודת קיצון ב x = 1 .
מצאו את a.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

 f( x ) = ax*ex + x*e2

נסמן:

u = x
v = e×
u ' = 1
v ' = e×

נגזור על פי כללי נגזרת של מכפלת פונקציות :

f ' (x) = a(1 * e×  +  x * e×) +e²
f ' (x) = a* e× (1 + x)+e²

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.
נתון שנקודת קיצון ב x = 1 .
לכן, נשווה את משאוות הנגזרת ל 0 ונציב x = 1

0 = a* e1 (1 + 1)+e²

2ae + e² = 0  /-e²

2ae = – e²  / : 2e

a = -e² /2e

a = – e / 2

תרגיל 3
לפונקציה f(x) = 3e2x -10ax  יש נקודת קיצון ב x = ln 5
מצאו את a.

פתרון:

סעיף א: גזירת הפונקציה

f(x) = 3e2x -10ax

f ' ( x ) =  3e2x * 2  -10a

f ' ( x ) =  6e2x  -10a

סעיף ב: השוואת הנגזרת ל 0

לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.
נתון שנקודת קיצון ב x = ln 5 .
לכן, נשווה את משאוות הנגזרת ל 0 ונציב x = ln 5 .

0 =  6e2 (ln 5)  -10a

  6(e (ln 5) )² -10a = 0

  6(5 )² -10a = 0

  6*25 -10a = 0  /+10a

10a=150  /:10

a=15

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.