לפונקציה f(x) = ex אין נקודות קיצון.
אבל כאשר משלבים את הפונקציה עם פונקציות אחרות.
או כאשר יש מכפלה או חילוק של פונקציות יכולות להיווצר נקודות קיצון.
שימו לב כי ex הוא ביטוי חיובי תמיד.
לכן במקרים מסוימים תתקבל נגזרת חיובית / שלילית תמיד ולפונקציה כזו אין נקודות קיצון.
דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) = -ex – x
פתרון
נגזור:
f ‘ (x) = -ex – 1
לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.
-ex – 1 = 0
המשוואה הזו לא נכונה אף פעם.
כי:
1- שלילי תמיד.
ex– שלילי תמיד.
חיבור של שני מספרים שליליים נותן תוצאה שלילית ואף פעם לא שווה ל 0.
החלקים של דף זה הם:
- תרגילים.
- תרגילים עם פרמטרים.
1.תרגילים
בחלק זה 7 תרגילים.
3 תרגילים ראשונים ל 4 יחידות.
התרגיל הרביעי ל- 5 יחידות.
תרגילים 5-7 הם תרגילים עם פרמטרים.
תרגיל 1
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
f(x) = x * ex
וקבעו את סוגן.
שלב א: גזירת הפונקציה
זו מכפלה של פונקציות נגדיר את כל אחת מהפונקציות והנגזרת שלה:
u = x
v = e×
u ‘ = 1
v ‘ = e×
נגזור על פי כללי נגזרת של מכפלת פונקציות :
f(x) = x * ex
f ‘ ( x ) = 1 * e× + x * e×
f ‘ ( x ) = e× ( 1 + x)
שלב ב: השוואת הנגזרת ל 0
לפונקציה יש נקודות קיצון כאשר הנגזרת שווה ל 0.
0 = e× ( 1 + x)
לכן
e× = 0 או x = -1 .
למשוואה e× = 0 אין פתרון,
לכן x = -1 הוא הפתרון היחיד במקרה זה.
כלומר, עבור x = -1 הנגזרת מתאפסת.
שלב ג: קביעת סוג הקיצון
נבדוק בעזרת הצבה במשוואת הנגזרת בסביבת הנקודה עבור x = – 2, ועבור x = 1 :
f ‘ ( x ) = e× ( 1 + x)
f ‘ ( 1 ) = e¹ ( 1 + 1) > 0
f ‘ ( -2 ) = e² ( 1 – 2) = – e² < 0
| x > -1 | x = – 1 | x < – 1 |
| + | – | |
| עולה | יורדת |
נבדוק מה ערך הפונקציה בנקודה x = -1:
f(x) = x * ex
f ( -1 ) = – 1e-1 = -1 / e
נקודת הקיצון היא :
(-1, -1/e)
והיא מינימום.
הגרף נראה כך :
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
על פי הגרף של שאלה 1 רואים שיש חיתוך עם ציר x אבל בשביל חיתוך עם ציר x צריך y=0 שזאת משוואה ללא פיתרון אז איך זה יכול להיות?
שלום
בפונקציה הזו דווקא יש פתרון ל y = 0.