מערכת משוואות ממעלה השנייה

המשתנה שקל ביותר לבודד הוא x במשוואה הראשונה.

x + 2y = 4
x = 4 – 2y

נציב זאת במשוואה הראשונה.

x² + 2xy – 9 = 7
(4 – 2y)² + 2y(4 – 2y)  – 9 = 7
4² – 16y + 4y² + 8y – 4y² – 9 = 7
16 – 8y  – 9 = 7
7 – 8y = 7
-8y = 0
y = 0

נמצא את x:

x = 4 – 2y
x = 4 – 2*0
x = 4

תשובה:
x = 4
y = 0

המשתנה שקל לבודד הוא y במשוואה השנייה:

4x – 2y = -18
-2y = -18 – 4x
y = 9 + 2x

נציב במשוואה הראשונה:

x² + 6x – y² = -33
x² + 6x – (9 + 2x)² = -33
x² + 6x – (81 + 36x + 4x²) = -33
x² + 6x – 81 – 36x – 4x² = -33
-3x² -30x – 81 = -33
-3x² – 30x – 48 = 0
x² + 10x + 16 = 0

נפתור בעזרת טרינום:
x² + 8x + 2x + 16 = 0
x(x + 8) +2(x + 8) = 0
(x + 2) (x + 8) = 0

x = -2
x = -8

קיבלנו שתי אפשרויות.
נמצא את ערכי ה y המתאימים עבור כל x.

x = -2
y = 9 + 2x
y = 9 + 2 *(-2)
y = 5

אפשרות שנייה:
x = -8
y = 9 + 2x
y = 9 + 2*(-8)
y = 9 – 16
y = -7

תשובה: יש שתי אפשרויות.
אפשרות ראשונה
x = -2
y = 5

אפשרות שנייה:
x = -8
y = -7

המשתנה שקל ביותר לבודד הוא y במשוואה השנייה.

3x – y = -9
3x + 9 = y

נציב במשוואה הראשונה.

2xy = -12
2x * (3x + 9) = -12
6x² + 18x = -12
6x² + 18x +12 = 0
x² + 3x + 2 = 0

נפתור בעזרת טרינום:

x² + x + 2x + 2 = 0
x(x + 1) + 2(x + 1) = 0
(x + 2)(x + 1) = 0

x = -2  או x = -1

נמצא את ערכי ה y המתאימים עבור כל אחד מערכי ה x.

x = -1
y = 3x + 9
y = 3*(-1) + 9
y = -3 + 9
y = 6

אפשרות שנייה:
x = -2
y = 3x + 9
y = 3 * (-2) + 9
y = – 6 + 9
y = 3

תשובה:
פתרון ראשון
x = -1
y = 6

פתרון שני:
x = -2
y = 3

ניתן לבודד את x במשוואה השנייה, להציב במשוואה הראשונה ולפתור.

אבל ניתן לראות שאם נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחבר את שתי המשוואות נקבל משוואה ללא y².

שתי דרכי הפתרון דומות מבחינת אורכן, הפעם לשם הגיוון נפתור בשיטת השוואת מקדמים.

x² + 6y² = 10
x – 3y² = 2.5

ואז:

x² + 6y² = 10
2x – 6y² = 5

נחבר את המשוואות

x² + 2x = 15

x² + 2x – 15 = 0

(x + 5) (x – 3) = 0

x = 3  או   x = – 5

עכשיו נוכל להציב כל אחד מהפתרונות במשוואה המקורית ולמצוא את ערכי ה y.

גם כאן ניתן לבודד את x במשוואה השנייה ולהציב במשוואה הראשונה.

אבל פתרון הרבה יותר קצר יהיה לחסר את המשוואות ולפתור בשיטת השוואת המקדמים.

x² + (6 – y)² = 12
3x + (6 – y)² = 14

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה ונקבל:

x² – 3x = -2

x² – 3x + 2 = 0

(x – 2) (x – 1) = 0

x = 2  או   x = 1

עכשיו נוכל להציב כל אחד מהפתרונות במשוואה המקורית ולמצוא את ערכי ה y.

תרגיל זה לא נפתר על ידי הצבה אחת ויש להשתמש בשתי הצבות.

1. נפתח סוגריים ונציב במקום x².
2. נפתח האת המשוואה ונבודד את אחד מהמשתנים.
3. נציב במשוואה הראשונים ונפתור.

פתרון

x² + y² =16

x² = 16 – y²

(x + 2)² + (y – 4)² = 64

x² + 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 64

נציב: x² = 16 – y²

16 – y² + 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 64

4x – 8y + 36 = 64

4x = 8y + 28

x = 2y + 7

נציב את מה שקיבלנו במשוואה:

x² = 16 – y²

(2y + 7)² = 16 – y²

4y² + 28y + 49 = 16 – y²

5y² + 28y + 33 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:

y₁ = -1.68

y₂ = -3.91

ניתן להציב במשוואה המקורית ולקבל את ערכי ה x המתאימים.