העיקר בדף זה הוא קישורים לדפים בנושא נגזרת, דרך הקישורים הללו תוכלו ללמוד כיצד גוזרים.
לאחר הקישורים תמצאו סיכום של כללי הגזירה.
לאחר הסיכום נעבור לחלק תאורטי המסביר בקצרה מהיא נגזרת ומה הקשר בין נגזרת למשיק.
סוגי נגזרות
כל הנגזרת בחלק הזה הם סוגים שונים של נגזרות פולינום (חוץ ממספר 1).
- נגזרת של מספר ושל ישר.
- נגזרת פולינום (3 יחידות).
- נגזרת פולינום (4-5 יחידות).
- נגזרת מכפלת פונקציות.
- נגזרת מנת פונקציות.
- נגזרת מורכבת.
- נגזרת עם פרמטר.
נגזרות על פי סוג הפונקציה
- נגזרת פונקציית שורש.
- נגזרת פונקציה רציונלית (ניתן ללמוד גם דרך דף נגזרת מנה המופיע קודם).
- נגזרת פונקציה טריגונומטרית.
- נגזרת פונקציה מעריכית.
- נגזרת פונקציה לוגריתמית.
מציאת משיק בעזרת נגזרת
- מציאת משוואת משיק בנקודה.
- מציאת נקודת השקה על פי שיפוע המשיק.
- הוכחה כי ישר משיק לפונקציה.
- שאלות משיק עם פרמטרים.
משוואת משיק לפונקציה הוא דף המסכם את שלושת הנושאים הראשונים.
טבלת נגזרות, חוקי גזירה
לפניכם החוקים המרכזיים שעל פי הם גוזרים פונקציות.
אם אתם רוצים ללמוד כיצד לגזור מומלץ לעשות זאת מהקישורים שלמעלה, שם יש גם תרגילים.
כאן יופיעו נוסחאות הגזירה ללא תרגילים.
נגזרת של מספר
f (x) = k
f ' (x) =0
k הוא מספר כלשהו.
כלומר הנגזרת של מספר היא תמיד 0.
נגזרת של פונקציה קווית
f (x) = mx + n
f ' (x) = m
כלומר הנגזרת של פונקציה קווית היא תמיד המספר המופיע לפני ה x.
נגזרת של קבוע כפול פונקציה
[k * f(x)] ' = k * f ' (x)
למשל:
נגזרת של פונקציה פולינום
f(x)=xn.
f ' (x)=nxn-1.
עוד בנושא פונקציית פולינום.
נגזרת של חיבור / חיסור פונקציות
'(f(x) ± g(x) )' = f(x)' ± g(x)
למשל:
x3 + x5)' = (x3)' + (x5)' = 3x² + 4x4)
נגזרת של פונקציית מכפלה
כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות.
v * u
הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
v * u) ' = v' * u + u' * v)
נגזרת של פונקציית מנה
אם נתונות לנו שתי פונקציות שהקשר בניהן הוא קשר של חילוק.
אז הנגזרת מתקבל על ידי שימוש בנוסחה.
נגזרת של פונקציה מורכבת
הנוסחה של נגזרת מורכבת מוכרת גם בשם כלל השרשרת.
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]
למשל:
3x)5)' = 5*(3x)4 * 3)
נגזרת של פונקציית שורש
עוד בנושא פונקציית שורש.
נגזרות של פונקציות טריגונוטמטריות
f (x) = sinx
f ' (x) = cosx
g (x) = cos x
g ' (x) = – sinx
h (x) = tg x
h ' (x) =1/cos²x
עוד בנושא פונקציות טריגונומטריות.
נגזרת של פונקציה מעריכית
f (x) = ex
f ' (x) = ex
כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לפונקציה, וזה כאשר הפונקציה אינה מורכבת.
כאשר הפונקציה מורכבת נשתמש בכלל השרשרת (בדיוק כמו עבור כל פונקציה מורכבת אחרת).
(ef(x) )' = ef(x) * f ' (x)
עוד בנושא פונקציה מעריכית.
נגזרת של פונקציה לוגריתמית.
כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)
עוד בנושא פונקציה לוגריתמית.
מהיא נגזרת?
נגזרת של פונקציה מבטאת את השיפוע של הפונקציה.
ובמילים אחרות נגזרת מבטאת את קצב ההשתנות של הפונקציה.
נגזרת של פונקציה היא גודל היכול להשתנות בהתאם לנקודה בה אנו נמצאים על הפונקציה.
נסתכל על הגרף הבא של הפונקציה f (x) =x²:
ניתן לראות ששיפוע הפונקציה, המיצג על ידי שיפוע המשיק, בנקודה (1, 1) קטן יותר משיפוע המשיק בנקודה (4, 2).
ושיפוע המשיק בנקודה (4, 2-) הוא כלפי מטה לעומת המשיקים בנקודות (1, 1) (4, 2) שכיוונם כלפי מעלה.
הקשר בין נגזרת למשיק
לנגזרת של פונקציה בנקודה יש את אותו שיפוע כמו משיק לפונקציה בנקודה. בגלל זה תתקלו בהרבה שאלות על משוואת משיק.
עוד באתר:
- פונקציות – כיצד לחקור פונקציות מסוגים שונים.
- בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים
יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי
שלום.
מה זה בעצם נגזרת, ויש פעמים שבשביל למצוא נקודות השקה וכדומה מציבים פעם בנגזרת ופעם בפונקציה לפני שנגזרה, איך יודעים מתי להציב בנגזרת ומתי להציב בפונקציה לפני הגזירה?
שלום
נגזרת זו סוג של פונקציה המבטאת את השיפוע של הפונקציה המקורית.
מציבים בפונקציה – כאשר רוצים לדעת את ערך ה y של הנקודה.
מציבים בנגזרת – כאשר רוצים לדעת את גודל השיפוע.
יש מידע כאן:
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/tangent-to-function/
איך גוזרים פונקציה מהצורה1÷fx?
שלום
אם התכוונת לכתוב את הסימן שווה אז נגזרת של מספר מוסברת כאן
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/derivatives-of-linear-functions/
איך גוזרים שבר? למשל 4X:17X בשניינה
שלום
אם אפשר לצמצם את הפונקציה לפני הגזירה מצמצמים.
כמו כן נוסחת הגזירה של מנה היא כאן
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/deviation-derivative/
שלום.
יש לכם באתר חקירת פולינום?
שלום אביגיל
יש.
עבור 3 יחידות
https://www.m-math.co.il/3/382/polynom-function-382/
עבור 4
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/polynomial-functions-4/
תונה הפונקציה y=x^3+5
הוכח כי לא קיים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו שלילי
שלום
צריך להוכיח שהנגזרת תמיד חיובית.
ללמוד לגזור ביטוי כזה ניתן כאן
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative-polynomial/
לאחר הגזירה צריך להוכיח שהנגזרת חיובית תמיד.
אם יהיה קושי באחד השלבים ניתן לחזור אליי.
האם יש דף שמוכיח את חוקי הגזירה?
שלום
אין את ההוכחות הללו.
היי, איך גוזרים אוילר בחזקת מינוס שורש איקס? תודה :)
שלום
האתר ברמת תיכון.
איך אני גוזרת שלוש בחזקת מינוס שני איקס?
הסבר לפונקציות מסוג זה יש כאן
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/derivative-a-to-the-x/
שלום,
איך אני גוזרת פונקציית מנה כשיש בה גם מספר שלם?
נגזרת מנה כאן:
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/deviation-derivative/