נגזרת פולינום 4-5 יחידות

בדף נגזרת פולינום למדנו את היסודות והגענו עד לפונקציית פולינום המורכבת ממספר מרכיבים.

למשל: f (x) = 5x³ -2x + 1
f ' (x) = 15x² -2

בדף זה 5 סוגים של נגזרות פולינום:

1. פונקציה רציונלית שאפשר לגזור כפולינום
2. נגזרת פולינום עם פרמטרים.
3. נגזרת פולינום שהיא מכפלה של פונקציות.
4. נגזרת פולינום שהיא מנה של פונקציות.
5. נגזרת פולינום מורכבת.

בדף זה נתקדם הלאה ונגזור פונקציות פולינום עם פרמטרים ועל פי נגזרת מכפלה, מנה ונגזרת מורכבת.

1.פונקציות רציונליות שאפשר לגזור כפולינום

כאשר יש לנו פונקציות עם מספר במכנה ניתן לגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מנה.

וניתן גם לכתוב את הפונקציות כפולינום ולגזור כפולינום
(אני מדגיש שניתן לעשות זאת רק כאשר המכנה הוא מספר. כאשר המכנה הוא משתנה או שילוב של מספר ומשתנה לא ניתן לעשות זאת).

למשל:

ואז אפשר לגזור את כל אחד מהביטויים שקיבלנו בנפרד.

תרגילים:

פתרונות

תרגיל 1

פתרון :

נכתוב את הפונקציה כשני שברים נפרדים.

נגזור כל אחד מהביטויים שקיבלנו בנפרד.

תרגיל 2

פתרון :
נכתוב את הפונקציה בשלושה חלקים נפרדים.

נגזור כל אחד מהחלקים בנפרד.

תרגיל 3

פתרון :
נכתוב את הפונקציה כחלקים נפרדים.

נגזור כל אחד מהחלקים בנפרד.

2.נגזרת פולינום עם פרמטרים

כאשר גוזרים נגזרת פולינום עם פרמטרים מתייחסים אליו כמו אל כל מספר אחר.
התרגילים שנפתור בחלק זה הם:

1.   f (x) = ax²
2.   f (x) = -3x⁴ – 2ax  + b
3.   f (x) = 4ax⁷ – 3bx  + c

פתרונות

תרגיל 1
f (x) = ax²

פתרון
f ' (x) = a * 2x = 2ax

תרגיל 2
f (x) = -3x⁴ – 2ax  + b

פתרון
f ' (x) = -12x³ -2a + 0
(את האפס לא חייבים לרשום).
f ' (x) = -12x³ -2a

תרגיל 3
f (x) = 4ax⁷ – 3bx  + c

פתרון
f ' (x) = 4a * 7x⁶ – 3b
f ' (x) = 28ax⁶ – 3b

3.תרגילים נגזרת פולינום שהיא מכפלה

כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות.
(f (x) * g (x

הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

התרגילים המופיעים בחלק זה הם:

1. (h (x) = 5x² (2x – 4
2. (h (x) = -3x (3x² + 2x -1
3. (h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1
4.  הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.

פתרונות

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4

פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2

נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x

תרגיל 2
(h (x) = -3x (3x² + 2x -1

פתרון
f (x) = -3x
f ' (x) = -3
g (x) = 3x² + 2x -1
g ' (x ) = 6x  + 2

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = -3 (3x² + 2x -1) + (6x + 2) * (-3x
h ' (x) = -9x² -6x +3 -18x² -6x
h ' (x) = -27x² -12x + 3

תרגיל 3
(h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1

פתרון
f (x) = x² – 2x
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = -3x +1
g ' (x ) = -3

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = (2x – 2) (-3x +1) + -3 (x² – 2x
h ' (x) = -6x² +2x +6x -2 -3x² + 6x
h ' (x) = -9x² +14x -2

תרגיל 4
הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.

פתרון
ניתן לראות את הפונקציה h (x) = 2x
כמורכבת משתי פונקציות:
f (x) =2
f ' ( x) = 0
g ( x) = x
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

h ' (x)  = 0 * x + 1 * 2 = 0 +2 = 2

4.תרגילים בנגזרת פולינום שהיא נגזרת מנה

הנוסחה של נגזרת מנה היא:

התרגילים המופיעים בחלק זה הם:

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

f (x ) = 5x
f ' (x) = 5
g (x) = 2x³ – 6
g ' (x) = 6x²

תרגיל 2

פתרון

f (x ) = 7x² – x
f ' (x) = 14x – 1
g (x) = 1 – x³
g ' (x) = -3x²

בתרגיל זה לא נבצע פתיחת סוגריים וכו (על מנת לחסוך זמן).

תרגיל 3

פתרון

f (x ) = x² -2x + 1
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = x² + 5
g ' (x) = 2x

בשלב האחרון השתמשנו בפירוק הטרינום, זה לא הכרחי היה ניתן להשאיר את התשובה כמו שהיא בתחילת השורה האחרונה.

תרגיל 4 (עם פרמטר וכפל במונה)

פתרון
אנחנו עדיין לא יודעים לגזור נגזרת מהסוג הזה.
עלינו להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ולפתוח סוגריים על מנת לגזור.

את הביטוי הזה אנו יודעים לגזור.
נתייחס לפרמטר a כאילו הוא מספר.

f (x ) = 4x² + 4xa + a²
f ' (x) = 8x + 4a
g (x) = a – x
g ' (x) = -1

5.נגזרת פולינום שהיא נגזרת מורכבת

זו הנוסחה של נגזרת מורכבת.
הנוסחה הזו מוכרת גם בשם כלל השרשרת.

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

התרגילים המופיעים בחלק זה הם:

1.   f (x ) = (5x – 2)³
2.   f (x ) = (4x³ + 2x)⁷
3. 

פתרונות

תרגיל 1
f (x ) = (5x – 2)³

פתרון
יש לנו פונקציה אחת שהיא פונקציית הפולינום ופונקציה אחרת שהיא 5x -2.
אם היינו גוזרים את החזקה ומתעלמים מהנגזרת הפנימית היינו מקבלים:

אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של 5x -2 והיא 5.

לכן התשובה היא:

תרגיל 2

f (x ) = (4x³ + 2x)⁷

פתרון
אם היינו מתייחסים רק לנגזרת החזקה הנגזרת הייתה:

עלינו להכפיל את הנגזרת הזו בנגזרת של הביטוי הפנימי 4x³ + 2x.
הנגזרת של הביטוי הפנימי היא: 12x² +2.

לכן הנגזרת היא:

תרגיל 3 נגזרת מנה מורכבת

פתרון

במכנה יש לנו פונקציה מורכבת.
f (x ) = 1 – x
f ' (x) = – 1
g (x) = (3 + 2x)²
g ' (x) = 2(3 + 2x) * 2

עוד באתר:

• פונקציית פולינום 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.