בדף נגזרת פולינום למדנו את היסודות והגענו עד לפונקציית פולינום המורכבת ממספר מרכיבים.
למשל: f (x) = 5x³ -2x + 1
f ' (x) = 15x² -2
בדף זה 5 סוגים של נגזרות פולינום:
- פונקציה רציונלית שאפשר לגזור כפולינום
- נגזרת פולינום עם פרמטרים.
- נגזרת פולינום שהיא מכפלה של פונקציות.
- נגזרת פולינום שהיא מנה של פונקציות.
- נגזרת פולינום מורכבת.
בדף זה נתקדם הלאה ונגזור פונקציות פולינום עם פרמטרים ועל פי נגזרת מכפלה, מנה ונגזרת מורכבת.
1.פונקציות רציונליות שאפשר לגזור כפולינום
כאשר יש לנו פונקציות עם מספר במכנה ניתן לגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מנה.
וניתן גם לכתוב את הפונקציות כפולינום ולגזור כפולינום
(אני מדגיש שניתן לעשות זאת רק כאשר המכנה הוא מספר. כאשר המכנה הוא משתנה או שילוב של מספר ומשתנה לא ניתן לעשות זאת).
למשל:
ואז אפשר לגזור את כל אחד מהביטויים שקיבלנו בנפרד.
תרגילים:
פתרונות
תרגיל 1
פתרון :
נכתוב את הפונקציה כשני שברים נפרדים.
נגזור כל אחד מהביטויים שקיבלנו בנפרד.
תרגיל 2
פתרון :
נכתוב את הפונקציה בשלושה חלקים נפרדים.
נגזור כל אחד מהחלקים בנפרד.
תרגיל 3
פתרון :
נכתוב את הפונקציה כחלקים נפרדים.
נגזור כל אחד מהחלקים בנפרד.
2.נגזרת פולינום עם פרמטרים
כאשר גוזרים נגזרת פולינום עם פרמטרים מתייחסים אליו כמו אל כל מספר אחר.
התרגילים שנפתור בחלק זה הם:
- f (x) = ax²
- f (x) = -3x4 – 2ax + b
- f (x) = 4ax7 – 3bx + c
פתרונות
תרגיל 1
f (x) = ax²
פתרון
f ' (x) = a * 2x = 2ax
תרגיל 2
f (x) = -3x4 – 2ax + b
פתרון
f ' (x) = -12x³ -2a + 0
(את האפס לא חייבים לרשום).
f ' (x) = -12x³ -2a
תרגיל 3
f (x) = 4ax7 – 3bx + c
פתרון
f ' (x) = 4a * 7x6 – 3b
f ' (x) = 28ax6 – 3b
3.תרגילים נגזרת פולינום שהיא מכפלה
כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות.
(f (x) * g (x
הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
התרגילים המופיעים בחלק זה הם:
- (h (x) = 5x² (2x – 4
- (h (x) = -3x (3x² + 2x -1
- (h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1
- הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.
פתרונות
תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4
פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2
נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x
תרגיל 2
(h (x) = -3x (3x² + 2x -1
פתרון
f (x) = -3x
f ' (x) = -3
g (x) = 3x² + 2x -1
g ' (x ) = 6x + 2
נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
(h ' (x) = -3 (3x² + 2x -1) + (6x + 2) * (-3x
h ' (x) = -9x² -6x +3 -18x² -6x
h ' (x) = -27x² -12x + 3
תרגיל 3
(h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1
פתרון
f (x) = x² – 2x
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = -3x +1
g ' (x ) = -3
נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
(h ' (x) = (2x – 2) (-3x +1) + -3 (x² – 2x
h ' (x) = -6x² +2x +6x -2 -3x² + 6x
h ' (x) = -9x² +14x -2
תרגיל 4
הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.
פתרון
ניתן לראות את הפונקציה h (x) = 2x
כמורכבת משתי פונקציות:
f (x) =2
f ' ( x) = 0
g ( x) = x
g ' (x) = 1
נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
h ' (x) = 0 * x + 1 * 2 = 0 +2 = 2
4.תרגילים בנגזרת פולינום שהיא נגזרת מנה
הנוסחה של נגזרת מנה היא:
התרגילים המופיעים בחלק זה הם:
פתרונות
תרגיל 1
פתרון
f (x ) = 5x
f ' (x) = 5
g (x) = 2x³ – 6
g ' (x) = 6x²
תרגיל 2
פתרון
f (x ) = 7x² – x
f ' (x) = 14x – 1
g (x) = 1 – x³
g ' (x) = -3x²
בתרגיל זה לא נבצע פתיחת סוגריים וכו (על מנת לחסוך זמן).
תרגיל 3
פתרון
f (x ) = x² -2x + 1
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = x² + 5
g ' (x) = 2x
בשלב האחרון השתמשנו בפירוק הטרינום, זה לא הכרחי היה ניתן להשאיר את התשובה כמו שהיא בתחילת השורה האחרונה.
תרגיל 4 (עם פרמטר וכפל במונה)
פתרון
אנחנו עדיין לא יודעים לגזור נגזרת מהסוג הזה.
עלינו להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ולפתוח סוגריים על מנת לגזור.
את הביטוי הזה אנו יודעים לגזור.
נתייחס לפרמטר a כאילו הוא מספר.
f (x ) = 4x² + 4xa + a²
f ' (x) = 8x + 4a
g (x) = a – x
g ' (x) = -1
5.נגזרת פולינום שהיא נגזרת מורכבת
זו הנוסחה של נגזרת מורכבת.
הנוסחה הזו מוכרת גם בשם כלל השרשרת.
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]
התרגילים המופיעים בחלק זה הם:
- f (x ) = (5x – 2)³
- f (x ) = (4x3 + 2x)7
פתרונות
תרגיל 1
f (x ) = (5x – 2)³
פתרון
יש לנו פונקציה אחת שהיא פונקציית הפולינום ופונקציה אחרת שהיא 5x -2.
אם היינו גוזרים את החזקה ומתעלמים מהנגזרת הפנימית היינו מקבלים:
אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של 5x -2 והיא 5.
לכן התשובה היא:
תרגיל 2
f (x ) = (4x3 + 2x)7
פתרון
אם היינו מתייחסים רק לנגזרת החזקה הנגזרת הייתה:
עלינו להכפיל את הנגזרת הזו בנגזרת של הביטוי הפנימי 4x3 + 2x.
הנגזרת של הביטוי הפנימי היא: 12x² +2.
לכן הנגזרת היא:
תרגיל 3 נגזרת מנה מורכבת
פתרון
במכנה יש לנו פונקציה מורכבת.
f (x ) = 1 – x
f ' (x) = – 1
g (x) = (3 + 2x)²
g ' (x) = 2(3 + 2x) * 2
עוד באתר:
אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים
יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי
היי אשמח לדעת מה הנגזרת של 4 איקס מינוס 1 חלקי איקס בריבוע?
שלום
זו נגזרת מנה.
ניתן ללמוד אותה כאן.
את הגזירה עצמה אני לא מבצע.
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/deviation-derivative/
היי עזר לי מאוד אבל רציתי לדעת מה זה אומר פונקציה מורכבת
שלום
f (x) = (10x + 2)³
פונקציה מורכבת היא מצב שבו יש שני פונקציות משולבות.
כאן יש
10x + 2
ועל זה חזקת 3
הנושא מוסבר כאן
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/complex-derivative/
אתם ממש עוזרים לי תודה
כיף לשמוע.