לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

נגזרת פולינום הסבר ותרגילים

19 תגובות / פונקציות

בשיעור זה נלמד את היסודות של נגזרת פולינום – שהיא הנגזרת הראשונה שלומדים.

1.מה כלל הגזירה וכיצד מסמנים נגזרת

פונקציית פולינום היא פונקציה עם חזקה על המשתנה.

למשל:

f(x) = x4

או

f(x) = 7x3 + 2x + 1

וניתן לתאר אותה באופן כללי כ:

f(x) = xn

ובמקרה זה הנגזרת תהיה:

f ‘ (x) = nxn-1.

למשל אם הפונקציה היא:

f(x) = x4

אז זה כמו n = 4 בנוסחה ונקבל:

f ‘ (x) = 4x3

2.

ואם חוץ מפולינום יש איברים נוספים כמו:

f(x) = x4 – 2x – 7

אז נגזור כל אחד מהאיברים בנפרד ונקבל:

f ‘ (x) = 4x3 – 2

3.

ואם יש מספר כפול הפולינום:

f(x) = -2x4

אז נגזור את x4 כרגיל ונכפיל את הנגזרת במספר (2-).

כיצד מסמנים נגזרת?

לנגזרת יש את הסימום המוכר, כך שאם הפונקציה היא:

f(x)

אז הנגזרת תסומן כ:

f ‘ (x)

ויש עוד סימון שמכירים קצת פחות:

(x4 ) ‘ =

הסימון הזה אומר שמבקשים שנמצא את הנגזרת של הפונקציה x4 .

(2x4 + 6) ‘ =

והסימון הזה אומר שמבקשים שנמצא את הנגזרת של הפונקציה

2x4 + 6

2.דוגמאות

קיימים 4 סוגים בסיסיים פונקציית פולינום שאתם צריכים לדעת לגזור.

4 הסוגים מכסים את תלמידי 3 יחידות, עבור תלמידי 4-5 יחידות יש מצבים נוספים ואותם נלמד בדף ההמשך של נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

דוגמה 1

מה הנגזרת של הפונקציה

f(x) = x³

?

פתרון התרגיל

כלל הגזירה הוא:

f(x) = xn.

f ‘ (x) = nxn-1.

במקרה של הפונקציה הזו n = 3.

ולכן הנגזרת היא:

f ‘ (x) = 3x²

דוגמה 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה

f(x) = x5 + 6

?

פתרון התרגיל

f ‘ (x) = 5x4 + 0 = 5x4

הסבר לפתרון

במקרה הזה אנו גוזרים את x5 בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).

הנגזרת של x5 היא 5x4.

נחבר את הנגזרות ונקבל:

f ‘ (x) = 5x4 + 0 = 5x4

דוגמה 3 (פולינום כפול מספר)

מה הנגזרת של הפונקציה

f(x) = 4x³

?

פתרון התרגיל

נגזור את x³ על פי הנוסחה, ואת הנגזרת נכפיל פי 4.

f ‘ (x) = 4 *3x² = 12x²

הסבר לפתרון

הנגזרת של x³  היא 3x².

ואז הכפלנו במספר 4.

זו הדרך המלאה:

f ‘ (x) = 4 * 3x² = 12x²

כלל הנגזרת של מספר כפול פונקציה הוא:

[ k*f(x) ] ‘ = k * f ‘(x)

וזה כלל שימושי מאוד.

דוגמה 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה

f(x) = 0.5x4 – 3x² – 4

?

פתרון התרגיל

לביטוי הזה 3 חלקים

0.5x4

3x²-

4-

נגזור כל אחד מיהם בנפרד.

0.5x4)’ =0.5 * 4x³ = 2x³)

3x²)’ = -3 * 2x= -6x-)

0 = ‘ (4-)

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:

f ‘ (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x

f ‘ (x) = 2x³ – 6x

3.מקרה מיוחד

האם זו פונקציית פולינום?

הרי לפונקציה זו יש מכנה ופונקציות עם מכנה הן לא פונקציות פולינום.

אז התשובה היא:

  • פונקציות עם x (משתנה) במכנה הן לא פונקציות פולינום.
  • פונקציות עם מספר במכנה הן כן פונקציות פולינום.

ולכן הפונקציה הזו היא פולינום.

ניתן להבין זאת טוב יותר כי ניתן לכתוב את הפונקציה ללא מכנה:

או שניתן לכתוב את הפונקציה גם כמספר (1/4) כפול הפונקציה:

למה חשוב לנו לזהות שזו פונקציית פולינום?

כי זה מאפשר לנו לגזור את הפונקציה בצורה מהירה וקלה יותר.

אם הפונקציה היא:

f(x) = 0.25x8

אז הנגזרת היא:

f ‘ (x) = 0.25 * 8x7 = 2x7

4.תרגילים

שימוש בכלל הבסיסי    f(x) = xn       f ‘ (x) = nxn-1

תרגיל 1

גזרו את הפונקציה

f(x) = x4

פתרון התרגיל

f ‘ (x) = 4x3

תרגיל 2

גזרו את הפונקציה

f(x) = x2

פתרון התרגיל

f ‘ (x) = 2x

תרגיל 3

גזרו את הפונקציה

f(x) = x10

פתרון התרגיל

f ‘ (x) = 10x9

תרגיל 4

גזרו את הפונקציה

f(x) = x-5

פתרון התרגיל

f ‘ (x) = -5x-6

שילוב של פונקציית פולינום עם גורמים אחרים

בתרגיל זה משתלבים גם הכללים:

1.הנגזרת של מספר היא 0.

למשל:
f(x) = 3
f ‘ (x) = 0

2.הנגזרת של קבוע כפול x היא הקבוע.

(kx) ‘ = k

למשל:
f (x) = 8x
f  ‘ (x) = 8

3.הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.

h (x) = f(x) + g(x)
h ‘ (x) = f ‘ (x) + g ‘ (x)

למשל:

f(x) = 3x² – 8x
f ‘ (x) = 6x – 8

תרגיל 1

גזרו את הפונקציה

f(x) = 5x2

פתרון התרגיל

f ‘ ( x)= 10x

תרגיל 2

גזרו את הפונקציה

f(x) = 5x2+4

פתרון התרגיל

f ‘ (x)= 10x

תרגיל 3

גזרו את הפונקציה

f(x) = 8x2+ 3x

פתרון התרגיל

f ‘ (x)= 16x+3

תרגיל 4

גזרו את הפונקציה

f(x) = 5x³- 6x – 1

פתרון התרגיל

f ‘ (x)= 15x² – 6

תרגיל 5

גזרו את הפונקציה

פתרון התרגיל

נגזור את כל אחד מהאיברים בנפרד ולאחר מיכן נחבר את הנגזרות.

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

תרגיל 6

גזרו את הפונקציה:

פתרון התרגיל

אנחנו נגזור את כל אחד מהאיברים של הפונקציה בנפרד.

נגזור את האיבר השני באותה צורה:

נגזור את האיבר השלישי:

(-3x) ‘ = -3

הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

עוד באתר:

19 מחשבות על “נגזרת פולינום הסבר ותרגילים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. ברוך ח.

    שלום
    ציטוט מלמעלה –
    F'(x)=kx f'(x) = k – הנגזרת של קבוע כפול X היא הקבוע.
    F'(x)=k f'(x) = 0 – הנגזרת של מספר היא 0.
    (Y=F(x)+g(x) y’=f'(x) + g'(x – הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.
    תרגילים

    שאלתי
    האם התאג בצד השמאלי בשני התרגילים הראשונים הוא נכון, או טעות ?
    תודה

    תגובה
      1. ברוך ח.

        תודה לך !

        ויש לי עוד שאלה ברשותך באותו מקום
        האם ה F הגדולה בצד השמאלי מכוונת , או יכולה להיות במקומה גם f קטנה ?
        כל טוב

        תגובה