נגזרת של פולינום תרגול והסבר

דף זה מתאים ברמתו לאלו שמתחילים ללמוד נגזרת של פולינום ולתלמידי 3 יחידות.
באתר דף המשך עבור נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום הוא שאם הפונקציה היא:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

כמו כן יש לזכור כי הנגזרת של מספר היא 0.
למשל הנגזרת של המספר 2 היא 0.

ארבעת הסוגים של נגזרת פונקציית פולינום

 

קיימים 4 סוגים של פונקציית פולינום שאתם צריכים לדעת לגזור.
נעבור על ארבעת הסוגים דרך 4 תרגילים.
דבר זה נכון עבור תלמידי 3 יחידות בשאלון 803. עבור תלמידי 4-5 יחידות יש מצבים נוספים ואותם נלמד בדף ההמשך של נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

תרגיל 1 
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x³ ?

פתרון
f ' (x) = 3x²
(במקרה הזה הצבנו בנוסחה של נגזרת פולינום n=3).

תרגיל 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x5 + 6 ?

פתרון
f ' (x) = 5x4 + 0 = 5x4

הסבר לפתרון
במקרה הזה אנו גוזרים את x5 בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).
הנגזרת של x5 היא 5x4.

נחבר את הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 5x4 + 0 = 5x4

תרגיל 3 (פולינום כפול מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 4x³ ?

פתרון
f ' (x) =4*3x² = 12x²

הסבר לפתרון
הנגזרת של x³  היא 3x².
ואז הכפלנו במספר 4.
זו הדרך המלאה:
f ' (x) = 4 * 3x² = 12x²

כלל הנגזרת של מספר כפול פונקציה הוא:

[ k*f(x) ] ' = k * f '(x)

וזה כלל שימושי מאוד.

תרגיל 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 0.5x4 – 3x² – 4

פתרון
לביטוי הזה 3 חלקים
0.5x4
3x²-
4-

נגזור כל אחד מיהם בנפרד.
0.5x4)' =0.5 * 4x³ = 2x³)
3x²)' = -3 * 2x= -6x-)
0 = ' (4-)

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x
f ' (x) = 2x³ – 6x

דוגמה נוספת

אנחנו נגזור את כל אחד מהאיברים של הפונקציה בנפרד.
כך נראית הנגזרת של האיבר הראשון:
(מה שאנו עושים כאן זה להוציא את המספר 3/5- מחוץ לנגזרת ולגזור את x² בנפרד)

נגזור את האיבר השני באותה צורה:

נגזור את האיבר השלישי:

הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

תרגילים

שימוש בכלל הבסיסי    f(x)=xn       f'(x)=nxn-1

  1.  f(x)=x4
  2. f(x)=x2
  3. f(x)=x10
  4. f(x)=x-5

פתרונות

  1.  f(x) = x4     f ' (x) = 4x3
  2. f(x) = x2     f ' (x) = 2x
  3. f(x) = x10   f ' (x) = 10x9
  4. f(x) = x-5    f ' (x) = -5x-6

שילוב של פונקציית פולינום עם גורמים אחרים

בתרגיל זה משתלבים גם הכללים:

1.הנגזרת של מספר היא 0.

למשל:
f(x) = 3
f ' (x) = 0

2.הנגזרת של קבוע כפול x היא הקבוע.

(kx) ' = k

למשל:
f (x) = 8x
f  ' (x) = 8

3.הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.

h (x) = f(x) + g(x)
h ' (x) = f ' (x) + g ' (x)

למשל:

f(x) = 3x² – 8x
f ' (x) = 6x – 8

 

תרגילים

  1. f(x) = 5x2
  2. f(x) = 5x2+4
  3. f(x) = 8x2+3x
  4. f(x) = 5x³ – 6x – 1

פתרונות

  1. f(x) = 5x2        f '( x)= 10x
  2. f(x) = 5x2+4         f ' (x)= 10x
  3. f(x) = 8x2+3x     f ' (x)= 16x+3
  4. f(x) = 5x³-6x-1      f ' (x)= 15x²-6

תרגילים נוספים הכוללים שברים

תרגיל 1

פתרון
נגזור את כל אחד מהאיברים בנפרד ולאחר מיכן נחבר את הנגזרות.

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

15 מחשבות על “נגזרת של פולינום תרגול והסבר”

  1. שלום
    ציטוט מלמעלה –
    F'(x)=kx f'(x) = k – הנגזרת של קבוע כפול X היא הקבוע.
    F'(x)=k f'(x) = 0 – הנגזרת של מספר היא 0.
    (Y=F(x)+g(x) y'=f'(x) + g'(x – הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.
    תרגילים

    שאלתי
    האם התאג בצד השמאלי בשני התרגילים הראשונים הוא נכון, או טעות ?
    תודה

      1. תודה לך !

        ויש לי עוד שאלה ברשותך באותו מקום
        האם ה F הגדולה בצד השמאלי מכוונת , או יכולה להיות במקומה גם f קטנה ?
        כל טוב

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.