נגזרת של פולינום תרגול והסבר

דף זה מתאים ברמתו לאלו שמתחילים ללמוד נגזרת של פולינום ולתלמידי 3 יחידות.
באתר דף המשך עבור נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום הוא שאם הפונקציה היא:
f(x)=xⁿ.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nx^n-1.

כמו כן יש לזכור כי הנגזרת של מספר היא 0.
למשל הנגזרת של המספר 2 היא 0.

ארבעת הסוגים של נגזרת פונקציית פולינום

קיימים 4 סוגים של פונקציית פולינום שאתם צריכים לדעת לגזור.
נעבור על ארבעת הסוגים דרך 4 תרגילים.
דבר זה נכון עבור תלמידי 3 יחידות בשאלון 803. עבור תלמידי 4-5 יחידות יש מצבים נוספים ואותם נלמד בדף ההמשך של נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

תרגיל 1
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x³ ?

פתרון
f ' (x) = 3x²
(במקרה הזה הצבנו בנוסחה של נגזרת פולינום n=3).

תרגיל 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x⁵ + 6 ?

פתרון
f ' (x) = 5x⁴ + 0 = 5x⁴

הסבר לפתרון
במקרה הזה אנו גוזרים את x⁵ בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).
הנגזרת של x⁵ היא 5x⁴.

נחבר את הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 5x⁴ + 0 = 5x⁴

תרגיל 3 (פולינום כפול מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 4x³ ?

פתרון
f ' (x) =4*3x² = 12x²

הסבר לפתרון
הנגזרת של x³ היא 3x².
ואז הכפלנו במספר 4.
זו הדרך המלאה:
f ' (x) = 4 * 3x² = 12x²

כלל הנגזרת של מספר כפול פונקציה הוא:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
וזה כלל שימושי מאוד.

תרגיל 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 0.5x⁴ – 3x² – 4

פתרון
לביטוי הזה 3 חלקים
0.5x⁴
3x²-
4-

נגזור כל אחד מיהם בנפרד.
0.5x⁴)' =0.5 * 4x³ = 2x³)
3x²)' = -3 * 2x= -6x-)
0 = ' (4-)

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x
f ' (x) = 2x³ – 6x

דוגמה נוספת

אנחנו נגזור את כל אחד מהאיברים של הפונקציה בנפרד.
כך נראית הנגזרת של האיבר הראשון:
(מה שאנו עושים כאן זה להוציא את המספר 3/5- מחוץ לנגזרת ולגזור את x² בנפרד)