נגזרת של פולינום תרגול והסבר

דף זה מתאים ברמתו לאלו שמתחילים ללמוד נגזרת של פולינום ולתלמידי 3 יחידות.
באתר דף המשך עבור נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום הוא שאם הפונקציה היא:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

כמו כן יש לזכור כי הנגזרת של מספר היא 0.
למשל הנגזרת של המספר 2 היא 0.

ארבעת הסוגים של נגזרת פונקציית פולינום

 

קיימים 4 סוגים של פונקציית פולינום שאתם צריכים לדעת לגזור.
נעבור על ארבעת הסוגים דרך 4 תרגילים.
דבר זה נכון עבור תלמידי 3 יחידות בשאלון 803. עבור תלמידי 4-5 יחידות יש מצבים נוספים ואותם נלמד בדף ההמשך של נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

תרגיל 1 
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x³ ?

פתרון
f ' (x) = 3x²
(במקרה הזה הצבנו בנוסחה של נגזרת פולינום n=3).

תרגיל 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x5 + 6 ?

פתרון
f ' (x) = 5x4 + 0 = 5x4

הסבר לפתרון
במקרה הזה אנו גוזרים את x5 בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).
הנגזרת של x5 היא 5x4.

נחבר את הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 5x4 + 0 = 5x4

תרגיל 3 (פולינום כפול מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 4x³ ?

פתרון
f ' (x) =4*3x² = 12x²

הסבר לפתרון
הנגזרת של x³  היא 3x².
ואז הכפלנו במספר 4.
זו הדרך המלאה:
f ' (x) = 4 * 3x² = 12x²

כלל הנגזרת של מספר כפול פונקציה הוא:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
וזה כלל שימושי מאוד.

תרגיל 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 0.5x4 – 3x² – 4

פתרון
לביטוי הזה 3 חלקים
0.5x4
3x²-
4-

נגזור כל אחד מיהם בנפרד.
0.5x4)' =0.5 * 4x³ = 2x³)
3x²)' = -3 * 2x= -6x-)
0 = ' (4-)

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x
f ' (x) = 2x³ – 6x

דוגמה נוספת

אנחנו נגזור את כל אחד מהאיברים של הפונקציה בנפרד.
כך נראית הנגזרת של האיבר הראשון:
(מה שאנו עושים כאן זה להוציא את המספר 3/5- מחוץ לנגזרת ולגזור את x² בנפרד)

נגזור את האיבר השני באותה צורה:

נגזור את האיבר השלישי:

הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

תרגילים

שימוש בכלל הבסיסי    f(x)=xn       f'(x)=nxn-1

  1.  f(x)=x4
  2. f(x)=x2
  3. f(x)=x10
  4. f(x)=x-5

פתרונות

  1.  f(x) = x4     f ' (x) = 4x3
  2. f(x) = x2     f ' (x) = 2x
  3. f(x) = x10   f ' (x) = 10x9
  4. f(x) = x-5    f ' (x) = -5x-6

שילוב של פונקציית פולינום עם גורמים אחרים

בתרגיל זה משתלבים גם הכללים:

  1. F'(x)=kx             f'(x) = k  – הנגזרת של קבוע כפול X היא הקבוע.
  2. F'(x)=k             f'(x) = 0   – הנגזרת של מספר היא 0.
  3. (Y=F(x)+g(x)    y'=f'(x) + g'(x   – הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.

תרגילים

  1. f(x) = 5x2
  2. f(x) = 5x2+4
  3. f(x) = 8x2+3x
  4. f(x) = 5x³-6x-1

פתרונות

  1. f(x) = 5x2        f '( x)= 10x
  2. f(x) = 5x2+4         f ' (x)= 10x
  3. f(x) = 8x2+3x     f ' (x)= 16x+3
  4. f(x) = 5x³-6x-1      f ' (x)= 15x²-6

תרגילים נוספים הכוללים שברים

תרגיל 1

פתרון
נגזור את כל אחד מהאיברים בנפרד ולאחר מיכן נחבר את הנגזרות.

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.