נגזרת של פולינום תרגול והסבר

דף זה מתאים ברמתו לאלו שמתחילים ללמוד נגזרת של פולינום ולתלמידי 3 יחידות.
באתר דף המשך עבור נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום הוא שאם הפונקציה היא:
f(x)=xⁿ.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nx^n-1.

כמו כן יש לזכור כי הנגזרת של מספר היא 0.
למשל הנגזרת של המספר 2 היא 0.

• נגזרת של מספר ופונקציה קווית ניתן ללמוד בפירוט בקישור.

ארבעת הסוגים של נגזרת פונקציית פולינום

קיימים 4 סוגים של פונקציית פולינום שאתם צריכים לדעת לגזור.
נעבור על ארבעת הסוגים דרך 4 תרגילים.
דבר זה נכון עבור תלמידי 3 יחידות בשאלון 803. עבור תלמידי 4-5 יחידות יש מצבים נוספים ואותם נלמד בדף ההמשך של נגזרת פולינום 4-5 יחידות.

תרגיל 1 
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x³ ?

פתרון
f ' (x) = 3x²
(במקרה הזה הצבנו בנוסחה של נגזרת פולינום n=3).

תרגיל 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x⁵ + 6 ?

פתרון
f ' (x) = 5x⁴ + 0 = 5x⁴

הסבר לפתרון
במקרה הזה אנו גוזרים את x⁵ בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).
הנגזרת של x⁵ היא 5x⁴.

נחבר את הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 5x⁴ + 0 = 5x⁴

תרגיל 3 (פולינום כפול מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 4x³ ?

פתרון
f ' (x) =4*3x² = 12x²

הסבר לפתרון
הנגזרת של x³  היא 3x².
ואז הכפלנו במספר 4.
זו הדרך המלאה:
f ' (x) = 4 * 3x² = 12x²

כלל הנגזרת של מספר כפול פונקציה הוא:

[ k*f(x) ] ' = k * f '(x)

וזה כלל שימושי מאוד.

תרגיל 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 0.5x⁴ – 3x² – 4

פתרון
לביטוי הזה 3 חלקים
0.5x⁴
3x²-
4-

נגזור כל אחד מיהם בנפרד.
0.5x⁴)' =0.5 * 4x³ = 2x³)
3x²)' = -3 * 2x= -6x-)
0 = ' (4-)

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x
f ' (x) = 2x³ – 6x

דוגמה נוספת

אנחנו נגזור את כל אחד מהאיברים של הפונקציה בנפרד.
כך נראית הנגזרת של האיבר הראשון:
(מה שאנו עושים כאן זה להוציא את המספר 3/5- מחוץ לנגזרת ולגזור את x² בנפרד)

נגזור את האיבר השני באותה צורה:

נגזור את האיבר השלישי:

הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

תרגילים

שימוש בכלל הבסיסי    f(x)=xⁿ       f'(x)=nx^n-1

1.  f(x)=x⁴
2. f(x)=x²
3. f(x)=x¹⁰
4. f(x)=x^-5

פתרונות

1.  f(x) = x⁴     f ' (x) = 4x³
2. f(x) = x²     f ' (x) = 2x
3. f(x) = x¹⁰   f ' (x) = 10x⁹
4. f(x) = x^-5    f ' (x) = -5x^-6

שילוב של פונקציית פולינום עם גורמים אחרים

בתרגיל זה משתלבים גם הכללים:

1.הנגזרת של מספר היא 0.

למשל:
f(x) = 3
f ' (x) = 0

2.הנגזרת של קבוע כפול x היא הקבוע.

(kx) ' = k

למשל:
f (x) = 8x
f  ' (x) = 8

3.הנגזרת של חיבור של פונקציות היא חיבור הנגזרות.

h (x) = f(x) + g(x)
h ' (x) = f ' (x) + g ' (x)

למשל:

f(x) = 3x² – 8x
f ' (x) = 6x – 8

תרגילים

1. f(x) = 5x²
2. f(x) = 5x²+4
3. f(x) = 8x²+3x
4. f(x) = 5x³ – 6x – 1

פתרונות

1. f(x) = 5x²        f '( x)= 10x
2. f(x) = 5x²+4         f ' (x)= 10x
3. f(x) = 8x²+3x     f ' (x)= 16x+3
4. f(x) = 5x³-6x-1      f ' (x)= 15x²-6

תרגילים נוספים הכוללים שברים

תרגיל 1

פתרון
נגזור את כל אחד מהאיברים בנפרד ולאחר מיכן נחבר את הנגזרות.

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

עוד באתר:

• נגזרת פולינום 4-5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.