בדף זה נלמד למצוא משיק לפונקציה ברמת 3 יחידות.
החלקים של דף זה הם:
- סרטון הסבר.
- תכונות המשיק.
- תרגילים.
1.סרטון הסבר
2.תכונות המשיק
כדאי שתכירו ותבינו את התכונות הללו, בעזרתם בונים את המשוואות של כל סוגי התרגילים שתמצאו כאן.
תכונה 1: למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה
ולכן אם נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה הדבר יהיה שווה לשיפוע המשיק.
למשל עבור f(x) = x²
הנגזרת היא f ' (x) = 2x
אם נציב x = 1 בנגזרת נקבל f ' (1) = 2*1 = 2
כלומר שיפוע הפונקציה ב x = 1 הוא 2, ולכן משוואת המשיק בנקודה זו חייבת להיות מהצורה y= 2x + n
(n הוא מספר כלשהו).
ואם נבחר נקודה אחרת, למשל x = -2 אז ערך הנגזרת הוא f ' (-2) = 2 * -2 = -4
ולכן משוואת המשיק בנקודה x = -2 חייבת להיות מהצורה y = -4x + n.
תכונה 2: הפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודת ההשקה (ושם יש להם אותו x ואותו y)
כלומר ניתן להציב את ערכי נקודת ההשקה במשוואת הפונקציה ובמשוואת המשיק ולקבל ביטוי נכון.
דוגמה
הפונקציה f (x) = x² עוברת בנקודה 1,1.
משוואת המשיק בנקודה הזו היא y = 2x -1.
לכן, כאשר נציב במשוואת הפונקציה ובמשוואת המשיק
x = 1
y = 1
נקבל ביטוי נכון.
הצבה בפונקציה:
f (x) = x²
1² = 1
1 =1
הצבה במשוואת הישר:
y = 2x -1
1 – 2 = 1
1 =1
אלו שתי התכונות שבעזרתם בונים משוואות בתרגילי משיק.
לסיכום שלבי הפתרון הם:
- מציבים את ערך ה x או ערך ה y של נקודת ההשקה בפונקציה על מנת למצוא את נקודת ההשקה המלאה.
- גוזרים את הפונקציה ומציבים את ערך ה x של נקודת ההשקה בנגזרת.
כך נמצא את השיפוע של הפונקציה בנקודת ההשקה ושיפוע זה שווה לשיפוע המשיק. - מוצאים את משוואת המשיק על פי נקודה (שהיא נקודת ההשקה) ושיפוע (שהוא שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה).
2.תרגילים
תרגיל 1 הוא שאלה תאורטית.
תרגילים 2-3 דומים. מקבלים ערך x וצריך למצוא משוואת משיק.
תרגיל 4 שונה בכך שמה שמקבלים זה ערך y של נקודת ההשקה.
תרגיל 1
בחרו את המשפט הנכון.
1.על מנת למצוא את שיפוע הפונקציה נציב את ערך ה x בפונקציה.
2.על מנת למצוא את שיפוע הפונקציה נציב את ערך ה x בנגזרת.
תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 6x² בנקודה x = 1.
שלב א: נמצא את נקודת ההשקה
נציב x = 1 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת ההשקה.
f(1) = 6 * 1² = 6
נקודת ההשקה היא (6, 1).
שלב ב: נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה, זה גם שיפוע המשיק
על מנת למצוא את שיפוע המשיק נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 6 * 2x = 12x
נציב x = 1 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה ב- x = 1.
f ' (1) = 12 * 1 = 12
שיפוע הפונקציה ב- x = 1 הוא 12.
שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.
לכן שיפוע המשיק הוא 12.
שלב ג: מציאת משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה
המשיק עובר דרך (6, 1) ושיפועו 12.
נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.
נציב את הנתונים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 6 = 12 (x – 1
y – 6 = 12x – 12 / +6
y = 12 x – 6
תשובה: y = 12 x – 6
תרגיל 3
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = 2x³ – 4x בנקודה x = -1.
שלב א: נמצא את נקודת ההשקה.
נציב x = -1 במשוואת הפונקציה.
(f (-1) = 2*(-1)³ -4* (-1
f (-1) = -2+ 4 = 2
נקודת ההשקה היא (2 , 1-).
שלב ב: נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה. זה גם שיפוע המשיק.
נגזור את הפונקציה:
f ' (x) = 6x² – 4
נציב x = -1 בנגזרת ונמצא את השיפוע הפונקציה בנקודה.
f ' (-1) = 6 * (-1)² – 4 = 6 – 4 = 2
2 הוא שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה ושיפוע המשיק.
שלב ג: נמצא את משוואת המשיק.
יש לנו שיפוע 2, ונקודה (2 , 1-).
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 2 = 2(x + 1
y – 2 = 2x + 2 / +2
y = 2x + 4
תשובה: y = 2x + 4
תרגיל 4
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = -2x² בנקודה שבה y = -8 וברביע השלישי.
שלב 1: נמצא את ערך ה x בנקודת ההשקה על ידי הצבה y = -8 במשוואת הפונקציה f (x) = -2x²
8- = 2x² –
x² = 4
x = 2, x = -2
מכוון שביקשו משיק ברביע השלישי התשובה המתאימה היא x = -2.
נקודת ההשקה היא (8-, 2-)
שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצאת את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה
f (x) = -2x²
f ' (x) = -4x
f ' (-2) = -4 * -2 = 8
שלב 3: נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה
שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה ההשקה (8).
נקודת ההשקה היא (8-, 2-).
נציב במשוואה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה:
(y-y1=m(x-x1
((y – (-8) = 8 (x – (-2
y + 8 = 8x +16 / -8
y = 8x + 8 זו משוואת המשיק.
עוד באתר: