משיק לפונקציית פולינום

כל נושא המשיק לפונקציה מתבסס על עובדה חשובה:

  1. שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.
  2. שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה שווה לערך הנגזרת בנקודה ההשקה.

    שיפוע משיק =  שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה

זכרו כלל זה היטב.

בדף זה נפתור שני תרגילים המתאימים לשאלון 803 (3 יחידות).
מי שמעוניין בתרגילים קשים יותר ימצא אותם בדף משוואת המשיק לפונקציה: המדריך המלא.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 6x² בנקודה X=1.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת ההשקה
נציב x =1 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת ההשקה.
f(1) = 6 * 1² = 6
נקודת ההשקה היא (6, 1).

שלב ב: נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה, זה גם שיפוע המשיק
על מנת למצוא את שיפוע המשיק נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 6 * 2x = 12x

נציב x = 1 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה ב- x = 1.
f ' (1) = 12 * 1 = 12
שיפוע הפונקציה ב- x = 1 הוא 12.

שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.
לכן שיפוע המשיק הוא 12.

שלב ג: מציאת משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה
המשיק עובר דרך (6, 1) ושיפועו 12.
נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.
נציב את הנתונים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 6 = 12 (x – 1
y – 6 = 12x – 12  / +6
y = 12 x – 6

תשובה: y = 12 x – 6

גרף הפונקציה והמשיק
גרף הפונקציה והמשיק

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = 2x³ – 4x בנקודה x = -1.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת ההשקה.
נציב x = -1  במשוואת הפונקציה.
(f (-1) = 2*(-1)³ -4* (-1
f (-1) = -2+ 4 = 2
נקודת ההשקה היא (2 , 1-).

שלב ב: נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה. זה גם שיפוע המשיק.
נגזור את הפונקציה:
f ' (x) = 6x² – 4
נציב x = -1 בנגזרת ונמצא את השיפוע הפונקציה בנקודה.
f ' (-1) = 6 * (-1)² – 4 = 6 – 4 = 2
2 הוא שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה ושיפוע המשיק.

שלב ג: נמצא את משוואת המשיק.
יש לנו שיפוע 2, ונקודה (2 , 1-).
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 2 = 2(x + 1
y – 2 = 2x + 2  / +2
y = 2x + 4

תשובה: y = 2x + 4

גרף הפונקציה וגרף המשיק
גרף הפונקציה וגרף המשיק

תרגיל 3

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = -2x²  בנקודה שבה y = -8 וברביע השלישי.

פתרון

שלב 1: נמצא את ערך ה x בנקודת ההשקה על ידי הצבה y = -8 במשוואת הפונקציה f (x) = -2x²

8- = 2x² –
x² = 4
x = 2,  x = -2

מכוון שביקשו משיק ברביע השלישי התשובה המתאימה היא x = -2.
נקודת ההשקה היא (8-, 2-)

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצאת את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה

f (x) = -2x²
f ' (x) = -4x
f ' (-2) = -4 * -2 = 8

שלב 3: נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה

שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה ההשקה (8).
נקודת ההשקה היא (8-, 2-).
נציב במשוואה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה:
(y-y1=m(x-x1
((y – (-8)  = 8 (x – (-2
y + 8 = 8x +16   / -8
y = 8x + 8  זו משוואת המשיק.

הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8
הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.