חוקי חזקות

הסרטון שלמעלה הוא סרטון מסכם העובר על הרבה נושאים.
תוכלו ללמוד את הנושאים הללו גם מסרטונים קצרים יותר וטקסט כתוב המופיע בהמשך הדף.

חוקי חזקות וחוקי שורשים הם החוקים שבעזרתם אנו מבצעים את פעולות החשבון של חיבור, חיסור, כפל, חילוק וחזקה בתרגילים הכוללים חזקות.
למשל את התרגיל:
= 26 * 23
לא היינו פותרים בקלות בלי חוקי חזקות.

בדף זה:

  1. הסבר לחוקי חזקות.
  2. קישורים לנושאים שונים של חוקי חזקות.
  3. 25 תרגילים מסכמים.

1. הסבר לחוקי החזקות

חוקי החזקות חולקו כאן לשלושה חלקים:

  1.  חוקי חזקות בסיסיים.
  2. חוקי החזקות של 0 – 1.
  3. חוקי שורשים.

1.כפל של חזקות עם בסיס זהה
am * an = am + n
דוגמאות:
27 = 23+4 = 24 * 23
x5 * x2 = x2+5 = x7

2.חזקה של חזקה
am)n = am * n)
דוגמה:
x4)5 = x4 * 5 = x20)

3.חילוק חזקות

דוגמאות:

4.פתיחת סוגריים / חזקה על מספר איברים
a*b*c)m = am * bm * cm)
דוגמאות
2x)5 = 25x5)
x*2*y)7 = x7*27*y7)
x3*y2*z)5 = x3*5*y2*5*z5 = x15y10z5)

5.חזקה שלילית
כאשר יש לנו חזקה שלילית במונה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה חיובית במכנה

כאשר יש לנו חזקה במכנה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה שלילית במונה.

דוגמאות

6.חזקה על שבר

דוגמה:

במקרה והחזקה על השבר היא שלילית החוק נראה כך:

חוקי חזקות עם 0 ו 1

1.כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 40
x0 = 1

2 אחד בחזקת כל מספר שווה ל 1.
1 = 1*1*1 = 1³
1x = 1

3. אפס בחזקת כל מספר השונה מ 0 שווה ל 0.
0 = 06
0 = 0-4

4. אפס בחזקת 0 הוא ביטוי לא מוגדר.
לא מוגדר = 00

חוקי שורשים

כל שורש ניתן לכתוב גם כחזקה.
לכן חוקי החזקות שלמדנו הם גם חוקי שורשים ותוכלו לפתור בעזרת חוקי החזקות כל תרגיל הכולל שורשים.
אם זאת נזכיר מספר חוקים גם בצור של שורש.

1.שורש שני (השורש הרגיל) שווה לחזקת 0.5.
60.5 = 6√
x = x0.5

2.פירוק שורש לשני רכיבים
(קוראים לזה גם הוצאת מספר מחוץ לשורש)

דוגמה

ואותו חוק בכיוון ההפוך משמש לתרגילים של "הכנסת מספר אל תוך השורש":

למשל:

3.כיצד רושמים שורש שאינו ריבועי כחזקה

דוגמה:

ריכוז חוקי החזקות

  1. am * an = am+n
  2. an)m = an * m)
  3. a*b*c)n = an*bn*cn)
  4. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  5. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  6. 1 = 1x

2.קישורים

עבור תלמידים מתחילים מצורפים כאן כ 15 קישורים שהם בעצם קורס מלא בחוקי חזקות וחוקי שורשים.

עבור תלמידים שיודעים את החומר יש לאחר הקישורים 24 תרגילים מסכמים.

אדגיש 4 קישורים שהם עיקר השאלות בנושא חזקות:

  1. כפל חזקות.
  2. חילוק חזקות.
  3. חזקה של חזקה.
  4. חיבור וחיסור חזקות.

קישורים נוספים:

  1. מבוא לחזקות.
  2. חזקה שלילית.
  3. כפל חזקות עם בסיס שונה.
  4. כתיבה מדעית של מספרים.
  5. חזקות: איזה ביטוי יותר גדול?
  6. בעיות מילוליות עם חזקות.
  7. כתיב חזקות (כיצד כותבים כל מספר בצורה של חזקה).

חוקי שורשים:

  1. חוקי שורשים (תאוריה + תרגילים. כולל את כל הנושאים).
  2. הכנסת מספר אל תוך השורש.
  3. הוצאת מספר מהשורש.
  4. שילוב של חוקי חזקות וחוקי שורשים.
  5. שילוב של נוסחאות הכפל המקוצר וחוקי שורשים.
  6. חוקי שורשים סיכום תאורטי.

 

תרגילים

בחלק זה 24 תרגילים עם פתרונות מלאים.
התרגילים מיועדים למי שיודע את החומר ורוצה לעשות חזרה.

תרגילים 1-18 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 19-24 הם תרגילי "אתגר".

  1.   = 3x)5 * 9x)
  2.   = 6x²y-4)³)
  3.  = xa+2 * ya – 1 * x * ya * y0.5a * x-4
  4.  = 3b³ + (2b)³
  5. תרגיל חזקות
  6. תרגיל חזקות
  7. פי כמה גדול המספר 620 מהמספר 618 ?
  8. האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?
  9. הוכיחו כי 
  10. כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות.
    1. 72,000,000  (יש 6 אפסים).
    2. 0,00006   (יש 4 אפסים)
  11. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם.
    107 * 2,   105 * 2000,   108 * 20
  12. כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות:
    1. 100
    2. 300
  13. בקובייה הגדילו את אורך הצלע פי 4.
    פי כמה גדל נפח הקובייה?
  14. קבעו מי יותר גדול:
    1. 290  או  560
    2.  2710 או 918
  15. חוקי חזקות, תרגיל
  16. קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
    307   או   320
  17. נתון כי 6x = 4
    חשבו את
    6x + 1
    6x -2
    62x
    6-3x
  18. מה הערך של x בתרגיל זה:
    x*220 = 223 + 221 

פתרונות

תרגיל 1
= 3x)5 * 9x)

פתרון
נפתח את הביטוי 3x)5) בעזרת חוק החזקה:
ab)n = an*bn)
ובנוסף נרשום:
3² = 9

3x)5 * 9x = 35x5 * 32 * x)
x5+1 * 35+2 = x6 * 37

תרגיל 2
= 6x²y-4)³)

פתרון
נשלב בין שני החוקים האלו:
an)m = an * m)
a*b*c)n = an*bn*cn)

6x²y-4)³ = 6³ * x2*3 * y-4 * 3 )
6³ * x6 * y-12

תרגיל 3
xa+2 * ya – 1 * x * ya * y0.5a * x-4

פתרון
נרשום את כל המכפלות של ה x אחת ליד השניה ואת כל המכפלות של ה y אחת ליד השניה.
xa+2  * x * x-4 * ya *ya – 1 * y0.5a
נשתמש בחוק החזקה  am * an = am+n

xa+2+1-4 * ya+a -1+ 0.5a
xa-1 * y2.5a – 1

תרגיל 4

פתרון
נצמצם את את המספרים, את האיקסים ואת ה y. כל אחד מיהם בנפרד:
3 = 2 : 6
x5 : x3 = x²
y : y³ = y -2

פתרון התרגיל

תרגיל 5

פתרון
בהתחלה נסתכל על המונה בנפרד ועל המכנה בנפרד.
נרשום את המספרים אחד ליד השני, איקסים אחד ליד השני ו y אחד ליד השני.
לאחר מיכן נבצע את פעולת הכפל במונה בנפרד ובמכנה בנפרד.

לאחר מיכן נבצע את פעולת החילוק בין המונה למכנה.

תרגיל 6
= 3b³ + (2b)³

פתרון
בשלב הראשון לא ניתן לבצע חיבור כי באיבר אחד החזקה היא על ה b בלבד 3b³ ואילו באיבר שני היא על ה b ועל מספר 2b)³).

לכן קודם נפתח את הסוגריים בעזרת החוק
a*b)n = an * bn)
ורק לאחר מיכן נחבר:
3b³ + (2b)³  = 3b³ + 2³*b³ = 3b³ + 8b³ = 11b³

תרגיל 7

פתרון

תרגיל 8

תרגיל חזקות

פתרון
נשתמש בחוקי החזקות הבאים ונקבל:

ונקבל:

תרגיל 9

תרגיל חזקות

פתרון
כאשר אנו פותרים תרגיל נשאף שיהיו לו כמה שפחות בסיסים.
נשים לב שניתן להפוך :

  1. את הבסיס 4 לבסיס 2.
  2. את הבסיס 6 לבסיס 2*3.

כך נשאר עם שני בסיסים בלבד שהם 2,3 ונוכל לצמצם בניהם.

פתרון התרגיל

 

תרגיל 10
פי כמה גדול המספר 620 מהמספר 618 ?

פתרון
נזכור כי:
6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6 = 620  (20 פעמים)
6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6= 618 (18 פעמים).
לכן
6* 6 * 618 = 620
618 * 36 = 620 
לכן: 620 גדול פי 36 מ 618.

דרך אחרת לפתור את התרגיל היא בעזרת החוק:
am* n = am * an
618 * 62 = 618+2 = 620

תרגיל 11
האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?
אם כן, מה הם המקרים?

פתרון
כאשר x הוא מספר שלילי.
x7 הוא מספר שלילי.
x6 הוא מספר חיובי.
לכן כאשר:
x < 0
אז:
x7 < x6

אפשרות נוספת
כאשר:

כאשר x הוא בתחום הזה ככול שמכפילים אותו בעצמו יותר פעמים אז הוא קטן ומתקיים
x7 < x
(דוגמה נוספת לתכונה זו היא:
0.5 > 0.5²)

תרגיל 12

פתרון
נשתמש בחוק השורשים:

ונקבל:

תרגיל 13
הוכיחו כי

פתרון
בתרגיל זה עלינו להוציא מספר מחוץ לשורש.
על מנת לעשות זאת עלינו למצוא כפולה השווה ל 63 וכוללת מספר שיש לו שורש "עגול".
זאת תהיה הכפולה:
63 = 7 * 9
כאשר ל 9 יש שורש עגול.

תרגיל 14
כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות.

  1. 72,000,000  (יש 6 אפסים).
  2. 0,00006   (יש 4 אפסים).

פתרון
סעיף א
הכלל בכתיבה מדעית אומר שאנו רוצים מספר הנמצא בין 1 ל 10 כפול 10 בחזקת משהו.
הכלל השני אומר היא שהחזקה על ה 10 תהיה שווה למספר המקומות שהזזנו את הנקודה העשרונית.
107 * 7.2 = 72,000,000

סעיף ב:   0,00006
כאן אנו צריכים להזיז את הנקודה העשרונית ב 5 מקומות.
10-5 * 6 = 0,00006

תרגיל 15
סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם.
107 * 2,   105 * 2000,   108 * 20

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל ננסה לכתוב את כל המספרים עם אותה חזקה.
החזקה הקטנה ביותר היא 105. לכן נוח לכתוב את כל המספרים איתה.
105 * 100 * 2 = 107 * 2
105 * 1000 * 20 = 108 * 20

שלושת המספרים שקיבלנו הם:
105 * 100 * 2
105 * 1000 * 20
105 * 2000

לכן סדר המספרים הוא:
105 * 1000 * 20  >  105 * 2000 > 105 * 100 * 2

ואם נרשום את זה במספרים המקוריים:
108 * 20 > 105 * 2000 > 107 * 2

תרגיל 16
כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות:

  1. 100
  2. 300

פתרון
יש שתי דרכים לפתור תרגילים מסוג זה.
דרך הדורשת ידע בלוח הכפל + מזל.
דרך טכנית אבל בטוחה של פירוק מספר לרכביו הראשוניים.

הדרך השנייה ארוכה יותר ונלמד אותה בדף כתיב חזקות.
כאן נדגים את הדרך שראשונה שהיא דורשת פחות לימוד ויותר מזל.

סעיף א: 100
ננסה לפרק את המספר 100 לכפולה של שני מספרים.
למשל
100 = 25 * 4
עכשיו נפרק כל אחד מהמספרים שקיבלנו לגורמיו הראשוניים.
100 = 5 * 5 * 2 * 2
100 = 5² * 2²
וזה הפירוק המבוקש.

הערה: גם אם היינו מפרקים את 100 ל:
100 = 10 * 10
היינו מגיעים לאותה תשובה כך:
100 = 5 * 2 * 5 * 2
100 = 5² * 2²

סעיף ב:  300
כבר פירקנו את המספר 100, לכן כל מה שנותר לנו להוסיף זה את המספר 3.
300 = 100 * 3
300 = 100 = 5² * 2² * 3
זה הפירוק המבוקש.

תרגיל 17
בקובייה הגדילו את אורך הצלע פי 4.
פי כמה גדל נפח הקובייה?

תזכורת: אם a הוא אורך צלע הקובייה אז נפח הקובייה הוא a³.
(נהוג לסמן את הנפח באות v).

פתרון
נגדיר
a אורך צלע הקובייה בסנטימטרים
לכן נפח הקובייה המקורית לפני שהגדילו אותה הוא:
v = a³

3a הוא אורך צלע הקובייה לאחר שהאריכו אותה פי 3.
נפח הקובייה הוא:
v = (3a)³

עכשיו נשתמש בחוק החזקה:
a*b)n = an * bn)
ונקבל:
v = (3a)³ = 3³ * a³
v = 27a³

נפח הקובייה המקורית הוא a³ נפח הקובייה המוגדלת הוא 27a³ לכן הקובייה גדלה פי 27.

תרגיל 18
קבעו מי יותר גדול:

  1. 290  או  560
  2.  2710 או 918

פתרון
בתרגילים אלו המטרה שלנו תהיה להשוות את מעריך החזקה או בסיס החזקה על סמך חוק החזקה.
הפעולה תמיד תתבסס על חוק החזקה הזה:
am)n = am * n)

סעיף א:   290  או  560 
במקרה זה לא ניתן להביא את המספרים 2 ו 5 לאותו בסיס.
אבל ניתן להביא את שני מעריכי החזקה למעריך חזקה 30.

מכך נובע:
560 > 290

סעיף ב:   2710 או 918
במקרה זה אנו יכולים להביא את שני בסיסי החזקה לאותו בסיס שהוא 3.

נובע מכך:
918 > 2710

הערה 1
מדוע אנו לא יכולים לענות על השאלה:
מי יותר גדול  290  או  560 .
ישירות?
מדוע לא ניתן לראות ישר את התשובה?
זה נובע מכך שלבסיס הגדול (5) יש את החזקה הקטנה (60).

אם הבסיס הגדול היה מקבל גם את החזקה הגדולה, כמו למשל במקרה הזה:
560  או  340
אז היינו יכולים לקבוע מיד וללא חישוב ש 560 גדול יותר כי הוא בסיס החזקה ומעריך החזקה הגדולים יותר.

הערה 2
יש תרגילים לא ניתן להשוות את בסיס החזקה וגם לא את מעריך החזקה אבל עדיין ניתן לקבוע מה יותר גדול.
דוגמה לכך תוכלו למצוא בתרגילי האתגר שבהמשך.

תרגילי אתגר – קשים מהרגיל

תרגיל 19

חוקי חזקות, תרגיל

פתרון
ניתן ללמוד כאן כיצד להתייחס לשבר משולש שכזה.
לאחר שמבינים את השבר הפתרון לא קשה.

תרגיל 20
(מקרה שלא ניתן להשוות בו את מעריך החזקה ולא את בסיס החזקה).
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
307   או   320

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן לגרום לשני הבסיסים להיות שווים (אין קשר של חזקה בין 3 ל 30).
וגם לא ניתן להשוות את מעריכי החזקה 7 ו 3.

לכן מה שנעשה זה להביא את בסיס החזקה / מעריך החזקה להיות שווים "בקירוב".
ל 30 אין שורש "עגול" לכן לא נגע בו.

ננסה לקדם את המספר 3 להיות קרוב ל 30 וזה על ידי הפיכתו ל 27.

ועכשיו מה שאנו צריכים לקבוע זה
307   או   276.66

לשאלה זו כבר ניתן לענות.
ל 30 יש גם בסיס חזקה גדול יותר וגם מעריך חזקה גדול יותר. לכן הוא המספר הגדול יותר.
307 > 276.66
307  > 320

תרגיל 21

פתרון
לחלקכם יהיה נוח לרשום את התרגיל עם חזקות בלבד וללא שורשים על מנת להגיע לתשובה הנכונה:

תרגיל מסוג זה יש שתי דרכים לפתור.
הדרך הראשונה לדעתי קלה יותר להבנה ואילו הדרך השנייה קצרה יותר בחישובים.

דרך ראשונה
בדרך זו קודם נשתמש בחוקי החזקות בתוך השורש ולאחר מיכן ניפטר מהשורש.

שלב א: נפשט את הביטויים שבתוך השורש
נשתמש בחוקי החזקות הבאים:
am)n = am * n)
a*b*c)m = am * bm * cm)

שלב ב: "ניפתר" מהשורש
נשתמש בחוק האומר:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ג: נפשט את הביטוי
נשתמש בחוקים
am * an = am + n

ונפשט את התרגיל.

דרך שנייה
בדרך זו קודם "ניפתר" מהשורש ולאחר מיכן נפתח כל ביטוי.
בדרך זו פחות חישובים אבל לא תמיד היא מובנת.

שלב א: ניפתר מהשורש
על ידי שימוש בחוקים:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ב: נפשט את הביטוי
על ידי שימוש בחוק
am)n = am * n)

נמשיך עם החוקים
am * an = am + n

ונגיע לתשובה.

תרגיל 22

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)
נכתוב את המכנה מצד שמאל כחזקה חיוביות במונה.

כמו כן נכפיל את המשוואה ב  12ונקבל:
33n * 22n * 12n  = 1

נפרק את המספר 12 ל:
12 = 3 * 2 * 2
33n * 22n * (2*2*3)n  = 1

נשתמש בחוק החזקה:
a * b) n = an * bn)
33n * 22n * 2n * 2n * 3n  = 1
34n * 24n  = 1

נשתמש באותו חוק אבל בכיוון ההפוך:
an * bn = (a * b) n

על מנת להביא את שני בסיסי החזקה לאותו מספר נשתמש בכלל:
60 = 1

תרגיל 23
נתון כי 6x = 4
חשבו את
6x + 1
6x -2
62x
6-3x

פתרון
עלינו לבטא את כל אחד מהביטויים שלמעלה בעזרת 6x.
נעשה זאת בעזרת שימוש בחוק החזקה:
 am + n = am * an

סעיף א: 6x + 1 
6x + 1  =  6x * 6¹
עכשיו נשתמש בנתון:
6x = 4
ונקבל:
6x * 6 = 4* 6 = 24

סעיף ב: 6x -2 

סעיף ג: 62x 

62x = 6x * 6x = 4 * 4 = 16

סעיף ד: 6-3x  

תרגיל 24
מה הערך של x בתרגיל זה:
x*220 = 223 + 221 

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל נרצה שהביטוי היחידי עם חזקה בתרגיל הנוכחי יהיה 220.
למה דווקא 220 ולא אחד מהביטויים האחרים?
כי הוא הביטוי הקטן ביותר ונוח לקחת את הביטויים הגדולים ולהפוך אותם לקטנים. ולא את הקטן להפוך לגדול יותר.

על מנת לעשות זאת נשתמש בכלל:
 am + n = am * an

נחזור לתרגיל:
x*220 = 223 + 221  
x*220 =  220 * 23 + 21 * 220
x*220 =  220 * 8 + 2 * 220
x*220 = 10* 220

מכך נקבל:
x = 10

עוד באתר:

נספח: סיכום הדרכים לפתרון תרגילים

נסכם כאן את הדרכים לפתרון תרגילים.

1.שילוב של שני חוקים

תרגילים המשלבים בין שני החוקים
a*b*c)n = an * bn * cn)
am)n = am * n)
נפתור בצורה הזו:

דוגמה
a3*b2*c)5 )

פתרון
קודם כל נשתמש בחוק:
a*b*c)n = an * bn * cn)
ונקבל:

עכשיו נשתמש בחוק:
am)n = am * n)
ונקבל:

2.מונה ומכנה עם מספר איברים

פתרון
שלב א
נתייחס אל המונה בנפרד ואל המכנה בנפרד.
נרשום כל שני איברים דומים אחד ליד השני ונבצע כפל בניהם.

שלב ב
נצמצם בין מונה ומכנה.

3.חיבור וחיסור חזקות

כאשר יש חיבור או חיסור חזקות עלינו להקפיד שבסיס החזקה שווה וגם מעריך החזקה שווה.

דוגמה 1
2x³ + 5x³ = 8x³

דוגמה 2
= 3x)² – 4x²)

קודם נשתמש בחוק:
a*b)n = an * bn)
9x² – 4x² = 5x²

דוגמה 3
= 4x6 + 3x5
בתרגיל זה לא ניתן לעשות חיבור כי החזקות אינן שוות.
על איבר אחד יש חזקת 6 ועל איבר שני חזקת 5.

4.שאלות "מי יותר גדול"

משתמשים בחוק
am)n = am * n)
על מנת ליצור מעריך חזקה שווה או בסיס חזקה שווה.

קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
210   או   415

פתרון
ננסה להציג את שני הביטויים בעזרת הבסיס 2.
נשתמש בחוק:
am)n = am * n)

230 גדול יותר מ 215 לכן ניתן לקבוע:
415 > 210

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

21 מחשבות על “חוקי חזקות”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    מה קורא כשיש משהו בחזקה גבוהה כי 20 ועוד אותו מספר בחזקת 20 וסכומם שווה ל2 בחזקת X
    צריך למצא את X

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.