צמצום שברים אלגבריים

על מנת לצמצם שברים אלגבריים עליכם לדעת לכול הפחות להוציא גורם משותף.
ובדף הזה הפתרונות נכתבו בצורה המתאימה למי שכבר יודע.

כמו כן על מנת לפתור תרגילים קשים יותר עליכם לדעת:

1. נוסחאות הכפל המקוצר.
2. פירוק הטרינום.

הדף הזה מחולק ל 4 חלקים:

1. מתי מותר ומתי אסור לצמצם שברים
2. צמצום שברים פשוטים (בעזרת הוצאת גורם משותף)
3. מידע על שגיאות נפוצות בצמצום שברים
4. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).

לאחר שתסיימו עם דף זה
יש שני דפים שבו אתם מיישמים בפועל את מה שלמדתם כאן:

• פתרון משוואות עם משתנה במכנה (כיתות ח-ט).
• וגם: אי שוויונות עם מכנה (כיתות י)

1.מתי מותר ומתי אסור לצמצם שברים

מותר לצמצם שברים כאשר יש כפל בין
כל האיברים במונה וגם כפל בין כל האיברים במכנה.

למשל במקרה זה מותר:

אבל במקרה זה אסור כי יש פעולת חיבור במונה

ובמקרה הזה אסור כי יש פעולה חיסור במכנה.

ובתרגיל הזה, האם מותר או אסור?

בתרגיל הזה מותר.
כי ה   (y – 2 )  נמצא בתוך סוגריים. ומה שבתוך סוגריים נחשב לאיבר אחד.
לכן במכנה יש רק שני איברים
x איבר ראשון
(y – 2)  איבר שני

צמצום השבר נראה כך:

האם ניתן לצמצם את השבר האחרון שקיבלנו?
לא.
כי במכנה יש את האיברים y ו 2 ואין כפל בניהם אלא פעולת חיסור.

מכשולים בולטים בצמצום שברים אלגבריים

1.כאשר נשאר לאחר הצמצום המספר 1

דוגמה 1

בשבר הזה ניתן לצמצם 3 ב 3.

אבל מה נרשום במונה של השבר לאחר הצמצום?

3 : 3 = 1

במונה נרשום את תוצאת החילוק / צמצום שהיא 1.

דוגמה 2

פתרון

נצמצם בצורה הזו:

2.צמצום לא נכון

במקרה הזה הצמצום לא נכון כי אין כפל בין האיברים במונה.

היה ניתן לצמצם אם השבר היה נראה כך:

*3.כאשר הסימנים של כל האיברים הפוכים ניתן להוציא מינוס ואז לצמצם

הטכניקה הזו היא טכניקה שמשתמשים בה מעט פעמים והיא נחשבת לקשה יחסית לזיהוי.

דוגמה

במבט ראשון נראה שלא ניתן לצמצם, כי אין איברים זהים במונה ובמכנה.

אבל נשים לב שבמונה ובמכנה יש איברים זהים עם סימנים הפוכים.

לכן אם נכפיל את המונה או המכנה ב 1-  נקבל ביטוי זהה במונה ובמכנה.

ועכשיו יש לנו ביטוי זהה במונה ובמכנה וניתן לצמצם:

דוגמה 2

2.צמצום שברים עם פעולת כפל

כאשר יש לנו שני שברים פשוטים ויש כפל בניהם אנו מכפילים מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה.

למשל:

ועכשיו אנו יכולים לצמצם מונה ומכנה ולפתור:

אותו דבר ניתן לעשות כאשר יש מכפלה הכוללת משתנים.

דוגמה לתרגיל

פתרון

נכתוב את התרגיל עם מונה אחד ומכנה אחד.

ואז ניתן לצמצם ולקבל:

מדוע מותר לנו לצמצם באלכסון?

בפעולת כפל יש את "חוק החילוף" שאומר שכאשר יש לנו כפל מותר להחליף את הסדר של המספרים.
בצורה הזו:

הערה
כל השורות שנכתבו כאן הם לצורך ההסבר.
בפועל רוב המורים יאשרו לכם לפתור גם בדרך המקוצרת הבאה:

3.תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים עם פתרונות מלאים.
לאחר חלק זה תמצאו:

1. מידע על שגיאות נפוצות בצמצום שברים
2. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).

תרגילים עם מספר כגורם משותף

תרגילים עם מספר ומשתנה כגורם משותף

גורם משותף ל 3 איברים