לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

צמצום שברים אלגבריים

שני דברים שעליכם לדעת לפני דף זה:

כמו כן על מנת לפתור תרגילים קשים יותר עליכם לדעת:

  1. נוסחאות הכפל המקוצר.
  2. פירוק הטרינום.

הדף הזה מחולק ל 7 חלקים:

  1. מתי מותר ומתי אסור לצמצם שברים
  2. מכשולים בצמצום שברים אלגבריים.
  3. צמצום שברים עם פעולת כפל.
  4. צמצום סוגריים.
  5. תרגילים.
  6. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).
  7. פתרון משוואות עם צמצום שברים אלגבריים.

לאחר שתסיימו עם דף זה
יש שני דפים שבו אתם מיישמים בפועל את מה שלמדתם כאן:

1.הסבר

ההסבר יכלול 3 חלקים:

  1. מתי מותר ומתי אסור לצמצם.
  2. דוגמאות.
  3. צמצום של סוגריים.

מתי מותר ומתי אסור לצמצם

מותר לצמצם שברים כאשר יש כפל בין כל האיברים במונה וגם כפל בין כל האיברים במכנה.

למשל במקרה זה מותר:

אבל במקרה זה אסור כי יש פעולת חיבור במונה

ובמקרה הזה אסור כי יש פעולה חיסור במכנה.

ובתרגיל הזה, האם מותר או אסור?

בתרגיל הזה מותר.

כי ה   (y – 2 )  נמצא בתוך סוגריים. ומה שבתוך סוגריים נחשב לאיבר אחד.

לכן במכנה יש רק שני איברים

x איבר ראשון
(y – 2)  איבר שני

צמצום השבר נראה כך:

 

האם ניתן לצמצם את השבר האחרון שקיבלנו?

לא.

כי במכנה יש את האיברים y ו 2 ואין כפל בניהם אלא פעולת חיסור.

צמצום שברים אלגבריים מבוסס על החוק של חילוק חזקות:

דוגמאות לצמצום שברים עם הוצאת גורם משותף

סרטון הסבר הכולל את שלושת התרגילים

דוגמה 1

פתרון התרגיל

נוציא 4 גורם משותף ונצמצם.

סרטון הסבר

דוגמה 2

פתרון התרגיל

נוציא 10 גורם משותף ונצמצם.

סרטון הסבר

דוגמה 3

פתרון התרגיל

נוציא x² גורם משותף ונצמצם.

סרטון הסבר

צמצום של סוגריים

זה החוק של חילוק חזקות:

על פי החוק  אנו מבינים כי הצמצום הבא תקין:

אבל את החוק של חילוק חזקות ניתן גם ליישם לצמצום סוגריים:

דוגמה 2

דוגמה 3

2.מכשולים בולטים בצמצום שברים אלגבריים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

 

3.תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים עם פתרונות מלאים.
לאחר חלק זה תמצאו:

  1. מידע על שגיאות נפוצות בצמצום שברים
  2. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).

תרגילים עם מספר כגורם משותף

תרגילים עם מספר ומשתנה כגורם משותף

גורם משותף ל 3 איברים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

49 מחשבות על “צמצום שברים אלגבריים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אם יש לי בצמצום שברים:
    משוואה שהיא שבר ועוד שבר שווה לשבר.
    יהיה לי מותר לצמצם בכל שבר בפני עצמו? כי אמרנו שאם יש חיבור/חיסור אסור לצמצם…
    מקווה שהשאלה ברורה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מותר לצמצם שבר בפני עצמו.
      כאשר יש חיבור / חיסור בין שברים – זה לא פוגע באפשרות לצמצם כל שבר בנפרד.
      האמירה "כי אמרנו שאם יש חיבור/חיסור אסור לצמצם" מתייחסת למבנה כל שבר בנפרד, אם יש חיבור / חיסור בתוך השבר, כמוסבר למעלה בדף אז לא מצמצמים.

  2. שונאת מתמתיקה

    אם יש שבר במשוואה איך ממשיכים מכאן הלאה?
    אני מתכונת שכשיש לי נעלם במכנה מאד לא ברור מעושים אפילו אם זה שבר מאד פשוט כמו 2חלקי איקס אבל ברגע שזה במשוואה קשה להתקדם….
    מקווה שהסברתי את עצמי ברור

  3. שלום
    יש לי שתי שאלות , יש לי שאלה בכפל אלגברי ואני צריך לצמצם אותה
    ובאחד מהשאלות נתון לי p^-2p-3 אני לא אציין את שאר הדברים במשוואה כי אין טעם
    במקרה כזה אחרי שעשיתי משוואה ריבועית יצא לי X1=3 X2=-1
    האם במקרה הזה אני צריך להוסיף גם ל3 מינוס? כי הרי המשוואה היא (x-a)(x-b)
    ונגיד בשאלה אחרת , יצא שאת הכל צימצמתי ולא נשאר לי משהו כפול משהו כי הכל הצטמצם עם הכל אז במקרה הזה זה שווה ל1 או לאפס?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.אין צורך לבצע שינוי כי a,b יכולים להיות מספרים שליליים ואז הסימן בתוך הסוגריים משתנה. וכמובן שא משנים כי פתרת נכון והגעת לתשובה הנכונה.
      2.כאשר מצמצמים שני ביטויים שווים התוצאה היא 1.
      למשל:
      x – 1) : (x – 1) = 1)

  4. x²+x-5
    חלקי
    x²+2x-3
    היי, איך אני פותר את התרגיל הזה ?
    במכנה יש לי (3+x)(x-1) ובמונה בעזרת נוסחת השורשים יוצא לי מספרים שלא נותנים לי לצמצם את השבר .. אפשר עזרה בבקשה ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המכנה נכון.
      וגם ההבנה של המונה נכונה.
      נראה שיש טעות בתרגיל עצמו או שמדובר בתרגיל שלא ניתן לצמצום.

  5. יהודה קליימן

    הי.
    אני יודע שאפשר לצמצם זוגות של מספרים .
    יצא לי לראות בספר שהמונה רשום שתיים כפול שתיים ככה חמש פעמים והמונה רשום שתיים כפול 2 .. ככה שלוש פעמים . ומחקו שלוש מהמונה באמצעות קו אחד וכך גם במכנה ולא הפרידו את זה לשלושה קווים . האם זה תקין ? במה צמצמו במידה ומחקו על ידי קו אחד שלוש במונה ועל ידי קו אחד שלו במכנה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר מצמצמים ב :
      2 * 2 * 2
      זה למעשה צמצום ב 8.
      אין חשיבות אם כותבים עליהם קו אחד או שלושה קווים, זה עניין של נוחות.

      1. יהודה קליימן

        אם אני עושה קו אחד במונה וקו אחד במכנה על כל השלושה זה אומר שצמצמתי ב 2•2•2 ? אם למעשה יש לי 6•a•b במונה ו a•b במכנה ואני עושה קו אחד על ה ab במונה ובמכנה זה אומר שחילקתי ב ab את המונה ואת המכנה זהו גורם. צמצום ?
        תודה

          1. וואי תודה .
            חשבתי שאפשר לצמצם רק מספר אחד במספר שני ואי אפשר לצמצם ביטוי , כלומר אי אפשר לצמצם בa•b.
            תודה רבה

            1. לומדים מתמטיקה

              אפשר לצמצם a*b.
              אפשר לראות את זה כצמצום של ביטוי יחיד. או צמצום של שני ביטויים: a ב a ו- b ב b.

              1. תודה . כנל גם 6x חלקי שש איקס אפשר לצמצם שש בשש ו איקס באיקס או למחוק שש איקס במונה ושש איקס במכנה , משמע שצמצמתי אותם בשש איקס ?
                ותודה

  6. כתבתם שאי אפשר לחלק אלא אם כן יש כפל בין כל האיברים –
    אבל אם יש לי פלוס בין האיברים, אבל כל האיברים מתחלקים נניח ב -2 , אי אפשר לצמצם ופשוט לחלק את כל האיברים?
    לדוג' 4X+8 לחלק לשתיים – אפשר לחלק גם 4 וגם שמונה ב-2 ולצמצם לתשובה כזאת – 2X+4, וזה גם התשובה שתצא לי אם אני אצמצם דרך גורם משותף…
    תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במקרה שלך נהוג להוציא גורם משותף ואז לצמצם.
      לאחר הוצאת גורם המשותף נוצר כפל בין מה שמחוץ לסוגריים למה שבתוך הסוגריים.
      כלומר יש כפל בין האיברים ולכן ניתן לצמצם.
      אם תצמצם מבלי להוציא גורם משותף זו פעולת קיצור, יתכן ותתקבל בחלק מהמקרים – אבל הצמצום נשען על כך שניתן ליצור כפל בין האיברים.

  7. מנחם אלדר

    לא הבנתי למה הכוונה במונח קבוצת ההצבה הרי אנו יודעים מה ערך הx בפיתרון התרגיל והוא שונה מהתשובות שקבוצת ההצבה שוללת ולמה צריך לבדוק את קבוצת ההצבה לפני הצימצום ולא להסתפק בתוצאה הסופית של המכנה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא הבנתי לגמרי.
      אבל המשפט : ערך הx בפיתרון התרגיל והוא שונה מהתשובות שקבוצת ההצבה שוללת.
      לא נכון.
      אפשר לקבל פתרון שאינו נמצא בקבוצה ההצבה, ולכן יש לבדוק את הפתרונות.

  8. הי מה קורה ?
    שמצמצמים אותו ביטוי צריך למחוק ומעל המחיקה לרשום 1 גם במונה וגם במכנה ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לצמצם זו בעצם פעולת חילוק. ומה שצריך לרשום זו את תוצאת החילוק במקום המתאים, אין רישום אחיד למונה ולמכנה.
      ממליץ לנסות להבין תרגילים בדף.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני יכול לתת הדרכה.
      אלו מספרים מכפלתם 3- ?
      יש בסך הכל זוג אחד כזה. מצא אותו.

      גם עבור 5- יש רק זוג אחד.

      אם עדיין אתה לא מסתדר תחזור ותסביר למה.

  9. שאלה קטנה :)

    יש לי שאלה ואשמח אם בבקשה תעזור לי..
    לא הבנתי איך ולמה כופלים במכנה בסוף? לדוגמה כמו
    בתרגיל בסרטון הראשון שקיים בנושא 4 – פתרון משוואות עם צמצום שברים. הרי בסוף מגיעים לשבר
    x-8
    —–
    x(x+2) I
    אז למה צריך לכפול במכנה? התרגיל לא אמור להגמר כאן כשהגענו לתוצאה הזאת?
    הרי בסרטון אמרת שx=-+2 אבל אם כופלים את המונה במכנה הנ"ל אז התוצאה לא אמורה להיות שווה לx=-+2 לא? :)

    סליחה אם השאלה שלי לא מובנת אבל מראש, תודה רבה על העזרה והאתר עזר לי מאוד!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אנסה לעזור, לא הבנתי לגמרי את השאלה אבל אנסה להסביר למה מכפילים.

      לאחר הצמצום וכאשר מגיעים לשבר השווה ל 0 יש שתי אפשרויות:
      1.להכפיל ואז ולהגיע למשוואה ללא מכנה – זו הסיבה שמכפילים כדי להגיע למשוואה ללא מכנה.

      2.אפשרות שנייה היא להגיד ששבר שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0 ואז לפתור את המונה כשווה ל 0.
      גם לאחר ההכפלה זה מה שמקבלים, מונה השווה ל 0.

      מקווה שעזר. במקומות שונים יכולים ללמד דרכי פתרון שונות.

  10. שלום, יש לי תרגיל שאני מסתבכת….
    אשמח אם תראה לי איך פותרים אותו
    ארבע מינוס איקס חלקי שש איקס בשניה מינוס עשרים וארבע איקס.
    אשמח למענה מהיר.
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה להוציא 6x גורם משותף במכנה ואז לצמצם מונה ומכנה.

      הסתדרת?

  11. יש תרגיל שאני לא מצליח לפתור
    והוא
    איקס בריבוע ועוד ווי בריבוע חלקי איקס בריבוע כפול ווי בריבוע לפי הבנתי התשובה אמורה להיות אחד
    אבל זאת לא התשובה הנכונה
    למה ???

      1. אבל אם נגיד שנרצה להרחיב את המשוואה כך שהאיקס בריבוע יהיה איקס כפול איקס כנל הווי
        אז לא יהיה ניתן לצמצם?

  12. תודה רבה רבה!!!!
    אתם כל כך עוזרים לי בלימודי חשבון.
    כמעט לכל שאלה יש כאן הסבר, תמשיכו להקל עלינו. תודה.

  13. למה בתרגיל 3xyz+3x^2z+3y^2x מוציאים רק X מחוץ לסוגריים ולא 3X ? [הרי בכל האיברים יש 3X בגלל חוק החילוף של הכפל]

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אתה צודק, צריך להוציא 3x.
      כנראה זה לא כתב כך כי ה 3 לא מצטמצם לאחר מיכן.
      תודה רבה על התיקון

  14. שלום!
    האתר הזה עזר לי די הרבה עם שיעורי הבית, אבל אני עדיין מתקשה עם דבר או שתיים.
    אני אשמח אם תוכלו לשלוח לי הסבר ופיתרון לתרגילים האלה:
    x²- 2xy
    ————
    2y² – xy

    x³ – x²y
    ————
    y³ – x²y

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אוראל
      בשני התרגילים ניתן להוציא x במונה ו Y במונה.
      לא ניתן לצמצם.

  15. ממש אהבתי את ההסבר והתרגול.
    התרגילים מצויינים בהחלט ומשפרים את הבנת החומר הנלמד.
    אשמח לצירוף עוד קבצים של תרגילים בנושא!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נויה
      הוספתי עוד 4 תרגילים בחלק של הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף.
      בסוף הדף הוספתי עוד 3 תרגילים של פתרון משוואות עם צמצום שברים.
      בתחתית הדף של נוסחאות הכפל המקוצר תוכלי למצוא עוד משוואת עם צמצום שברים כפתרון
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/short-multiple-equation/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה.
      אתה משתמש באותם טכניקות של משתנה אחד. הוצאת גורם משותף, טרינום, נוסחאות הכפל המקוצר.
      אם תתן דוגמה של תרגיל אשתדל לעזור יותר בפירוט.
      מבחינת המתמטיקה אין הבדל.
      בהצלחה