צמצום שברים אלגבריים

על מנת לצמצם שברים אלגבריים עליכם לדעת לכול הפחות להוציא גורם משותף.
ובדף הזה הפתרונות נכתבו בצורה המתאימה למי שכבר יודע.

כמו כן על מנת לפתור תרגילים קשים יותר עליכם לדעת:

  1. נוסחאות הכפל המקוצר.
  2. פירוק הטרינום.

הדף הזה מחולק ל 4 חלקים:

  1. מתי מותר ומתי אסור לצמצם שברים
  2. צמצום שברים פשוטים (בעזרת הוצאת גורם משותף)
  3. מידע על שגיאות נפוצות בצמצום שברים
  4. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).

לאחר שתסיימו עם דף זה
יש שני דפים שבו אתם מיישמים בפועל את מה שלמדתם כאן:

1.מתי מותר ומתי אסור לצמצם שברים

מותר לצמצם שברים כאשר יש כפל בין
כל האיברים במונה וגם כפל בין כל האיברים במכנה.

למשל במקרה זה מותר:

אבל במקרה זה אסור כי יש פעולת חיבור במונה

ובמקרה הזה אסור כי יש פעולה חיסור במכנה.

ובתרגיל הזה, האם מותר או אסור?

בתרגיל הזה מותר.
כי ה   (y – 2 )  נמצא בתוך סוגריים. ומה שבתוך סוגריים נחשב לאיבר אחד.
לכן במכנה יש רק שני איברים
x איבר ראשון
(y – 2)  איבר שני

צמצום השבר נראה כך:

האם ניתן לצמצם את השבר האחרון שקיבלנו?
לא.
כי במכנה יש את האיברים y ו 2 ואין כפל בניהם אלא פעולת חיסור.

מכשולים בולטים בצמצום שברים אלגבריים

1.כאשר נשאר לאחר הצמצום המספר 1

דוגמה 1

בשבר הזה ניתן לצמצם 3 ב 3.

אבל מה נרשום במונה של השבר לאחר הצמצום?

3 : 3 = 1

במונה נרשום את תוצאת החילוק / צמצום שהיא 1.

דוגמה 2

פתרון

נצמצם בצורה הזו:

 

2.צמצום לא נכון
זו טעות, צמצום שגוי
זו טעות, צמצום שגוי

במקרה הזה הצמצום לא נכון כי אין כפל בין האיברים במונה.

היה ניתן לצמצם אם השבר היה נראה כך:

 

*3.כאשר הסימנים של כל האיברים הפוכים ניתן להוציא מינוס ואז לצמצם

הטכניקה הזו היא טכניקה שמשתמשים בה מעט פעמים והיא נחשבת לקשה יחסית לזיהוי.

דוגמה

במבט ראשון נראה שלא ניתן לצמצם, כי אין איברים זהים במונה ובמכנה.

אבל נשים לב שבמונה ובמכנה יש איברים זהים עם סימנים הפוכים.

לכן אם נכפיל את המונה או המכנה ב 1-  נקבל ביטוי זהה במונה ובמכנה.

 

ועכשיו יש לנו ביטוי זהה במונה ובמכנה וניתן לצמצם:

 

דוגמה 2

2.צמצום שברים עם פעולת כפל

כאשר יש לנו שני שברים פשוטים ויש כפל בניהם אנו מכפילים מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה.

למשל:

ועכשיו אנו יכולים לצמצם מונה ומכנה ולפתור:

אותו דבר ניתן לעשות כאשר יש מכפלה הכוללת משתנים.

דוגמה לתרגיל

פתרון

נכתוב את התרגיל עם מונה אחד ומכנה אחד.

ואז ניתן לצמצם ולקבל:

מדוע מותר לנו לצמצם באלכסון?

בפעולת כפל יש את "חוק החילוף" שאומר שכאשר יש לנו כפל מותר להחליף את הסדר של המספרים.
בצורה הזו:

הערה
כל השורות שנכתבו כאן הם לצורך ההסבר.
בפועל רוב המורים יאשרו לכם לפתור גם בדרך המקוצרת הבאה:

3.תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים עם פתרונות מלאים.
לאחר חלק זה תמצאו:

  1. מידע על שגיאות נפוצות בצמצום שברים
  2. צמצום שברים מורכבים יותר (בעזרת פירוק טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר).

תרגילים עם מספר כגורם משותף

תרגילים עם מספר ומשתנה כגורם משותף

גורם משותף ל 3 איברים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם דרך המייל:
help@m-math.co.il

33 מחשבות על “צמצום שברים אלגבריים”

  1. כתבתם שאי אפשר לחלק אלא אם כן יש כפל בין כל האיברים –
    אבל אם יש לי פלוס בין האיברים, אבל כל האיברים מתחלקים נניח ב -2 , אי אפשר לצמצם ופשוט לחלק את כל האיברים?
    לדוג' 4X+8 לחלק לשתיים – אפשר לחלק גם 4 וגם שמונה ב-2 ולצמצם לתשובה כזאת – 2X+4, וזה גם התשובה שתצא לי אם אני אצמצם דרך גורם משותף…
    תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במקרה שלך נהוג להוציא גורם משותף ואז לצמצם.
      לאחר הוצאת גורם המשותף נוצר כפל בין מה שמחוץ לסוגריים למה שבתוך הסוגריים.
      כלומר יש כפל בין האיברים ולכן ניתן לצמצם.
      אם תצמצם מבלי להוציא גורם משותף זו פעולת קיצור, יתכן ותתקבל בחלק מהמקרים – אבל הצמצום נשען על כך שניתן ליצור כפל בין האיברים.

  2. מנחם אלדר

    לא הבנתי למה הכוונה במונח קבוצת ההצבה הרי אנו יודעים מה ערך הx בפיתרון התרגיל והוא שונה מהתשובות שקבוצת ההצבה שוללת ולמה צריך לבדוק את קבוצת ההצבה לפני הצימצום ולא להסתפק בתוצאה הסופית של המכנה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא הבנתי לגמרי.
      אבל המשפט : ערך הx בפיתרון התרגיל והוא שונה מהתשובות שקבוצת ההצבה שוללת.
      לא נכון.
      אפשר לקבל פתרון שאינו נמצא בקבוצה ההצבה, ולכן יש לבדוק את הפתרונות.

  3. הי מה קורה ?
    שמצמצמים אותו ביטוי צריך למחוק ומעל המחיקה לרשום 1 גם במונה וגם במכנה ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לצמצם זו בעצם פעולת חילוק. ומה שצריך לרשום זו את תוצאת החילוק במקום המתאים, אין רישום אחיד למונה ולמכנה.
      ממליץ לנסות להבין תרגילים בדף.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני יכול לתת הדרכה.
      אלו מספרים מכפלתם 3- ?
      יש בסך הכל זוג אחד כזה. מצא אותו.

      גם עבור 5- יש רק זוג אחד.

      אם עדיין אתה לא מסתדר תחזור ותסביר למה.

  4. שאלה קטנה :)

    יש לי שאלה ואשמח אם בבקשה תעזור לי..
    לא הבנתי איך ולמה כופלים במכנה בסוף? לדוגמה כמו
    בתרגיל בסרטון הראשון שקיים בנושא 4 – פתרון משוואות עם צמצום שברים. הרי בסוף מגיעים לשבר
    x-8
    —–
    x(x+2) I
    אז למה צריך לכפול במכנה? התרגיל לא אמור להגמר כאן כשהגענו לתוצאה הזאת?
    הרי בסרטון אמרת שx=-+2 אבל אם כופלים את המונה במכנה הנ"ל אז התוצאה לא אמורה להיות שווה לx=-+2 לא? :)

    סליחה אם השאלה שלי לא מובנת אבל מראש, תודה רבה על העזרה והאתר עזר לי מאוד!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אנסה לעזור, לא הבנתי לגמרי את השאלה אבל אנסה להסביר למה מכפילים.

      לאחר הצמצום וכאשר מגיעים לשבר השווה ל 0 יש שתי אפשרויות:
      1.להכפיל ואז ולהגיע למשוואה ללא מכנה – זו הסיבה שמכפילים כדי להגיע למשוואה ללא מכנה.

      2.אפשרות שנייה היא להגיד ששבר שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0 ואז לפתור את המונה כשווה ל 0.
      גם לאחר ההכפלה זה מה שמקבלים, מונה השווה ל 0.

      מקווה שעזר. במקומות שונים יכולים ללמד דרכי פתרון שונות.

  5. שלום, יש לי תרגיל שאני מסתבכת….
    אשמח אם תראה לי איך פותרים אותו
    ארבע מינוס איקס חלקי שש איקס בשניה מינוס עשרים וארבע איקס.
    אשמח למענה מהיר.
    תודה

  6. יש תרגיל שאני לא מצליח לפתור
    והוא
    איקס בריבוע ועוד ווי בריבוע חלקי איקס בריבוע כפול ווי בריבוע לפי הבנתי התשובה אמורה להיות אחד
    אבל זאת לא התשובה הנכונה
    למה ???

      1. אבל אם נגיד שנרצה להרחיב את המשוואה כך שהאיקס בריבוע יהיה איקס כפול איקס כנל הווי
        אז לא יהיה ניתן לצמצם?

  7. תודה רבה רבה!!!!
    אתם כל כך עוזרים לי בלימודי חשבון.
    כמעט לכל שאלה יש כאן הסבר, תמשיכו להקל עלינו. תודה.

  8. למה בתרגיל 3xyz+3x^2z+3y^2x מוציאים רק X מחוץ לסוגריים ולא 3X ? [הרי בכל האיברים יש 3X בגלל חוק החילוף של הכפל]

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אתה צודק, צריך להוציא 3x.
      כנראה זה לא כתב כך כי ה 3 לא מצטמצם לאחר מיכן.
      תודה רבה על התיקון

  9. שלום!
    האתר הזה עזר לי די הרבה עם שיעורי הבית, אבל אני עדיין מתקשה עם דבר או שתיים.
    אני אשמח אם תוכלו לשלוח לי הסבר ופיתרון לתרגילים האלה:
    x²- 2xy
    ————
    2y² – xy

    x³ – x²y
    ————
    y³ – x²y

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אוראל
      בשני התרגילים ניתן להוציא x במונה ו Y במונה.
      לא ניתן לצמצם.

  10. ממש אהבתי את ההסבר והתרגול.
    התרגילים מצויינים בהחלט ומשפרים את הבנת החומר הנלמד.
    אשמח לצירוף עוד קבצים של תרגילים בנושא!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נויה
      הוספתי עוד 4 תרגילים בחלק של הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף.
      בסוף הדף הוספתי עוד 3 תרגילים של פתרון משוואות עם צמצום שברים.
      בתחתית הדף של נוסחאות הכפל המקוצר תוכלי למצוא עוד משוואת עם צמצום שברים כפתרון
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/short-multiple-equation/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה.
      אתה משתמש באותם טכניקות של משתנה אחד. הוצאת גורם משותף, טרינום, נוסחאות הכפל המקוצר.
      אם תתן דוגמה של תרגיל אשתדל לעזור יותר בפירוט.
      מבחינת המתמטיקה אין הבדל.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.