משוואות עם נעלם במכנה

בדף זה נלמד לפתור משוואות עם נעלם במכנה.

התרגילים מחולקים כך:

  1. כיצד מוצאים מכנה משותף.
  2. משוואות עם מכנה יחיד.
  3. משוואות בהם המכנה המשותף הוא אחד ממכנה התרגיל.
  4. תרגילים עם מציאת מכנה משותף.
  5. נספח: בעיות מילוליות.

1.כיצד מוצאים מכנה משותף

מכנה משותף הוא מכנה שכל המכנים בתרגיל יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

לאחר מציאת מכנה המשותף נכפיל את המשוואה במכנה המשותף.

דגשים ודוגמאות בולטות למציאת מכנה משותף.
1.מכנה אחד בכל המשוואה

כאשר יש מכנה יחיד המכנה המשותף הוא המכנה היחיד.

x – 2 הוא המכנה המשותף.

לאחר הכפל נקבל:

2.מכנה אחד שהוא מספר, מכנה אחד שכולל משתנה

דוגמה 2

10x  הוא המכנה המשותף.

דוגמה 3

6x  הוא המכנה המשתף.

דוגמה 4

20 הוא המכנה המשותף של שני המספרים.

20(2x + 7)
הוא המכנה המשותף של התרגיל כולו

3.שתי מכנים שיש קשר בניהם

בחלק מהמקרים מכנה אחד יכול להגיע על ידי כפל למכנה שני.

במקרה זה המכנה הגדול יותר הוא המכנה המשותף של התרגיל.

דוגמה 4

9x הוא המכנה המשותף.

דוגמה 5

10x הוא המכנה המשותף.

דוגמה 6

3(2x – 4)
הוא המכנה המשותף

דוגמה 7

(2x – 4)²
הוא המכנה המשותף

דוגמה 8

12(x – 4)²
הוא המכנה המשותף

4.שני מכנים שאין קשר בניהם.

כאשר יש שני מכנים שאין  קשר בניהם מכפלת המכנים היא המכנה המשותף.

דוגמה 9

(2x – 1)(2x + 2)
הוא המכנה המשותף

דוגמה 10

x(x – 1)
.הוא המכנה המשותף

דוגמה 11

12x(x – 1)
הוא המכנה המשותף

דוגמה 12

6(2x – 1)(x -1)
הוא המכנה המשותף

5.שימוש בהוצאת גורם משותף למציאת מכנה משותף

על מנת למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר עלינו לפעמים להוציא גורם משותף.

דוגמה 13

נוציא גורם משותף בשבר השמאלי.

3(2 – x)
הוא המכנה המשותף

דוגמה 14

נוציא גורם משותף בשני השברים

8(x + 1)
הוא המכנה המשותף

דוגמה 15

נשים לב שהמספרים בשני המכנים הם אותם מספרים רק עם סימנים הפוכים.

לכן, נוציא 1- כגורם משותף ונקבל סימנים זהים.

2x -3
הוא המכנה המשותף.

לאחר שנכפיל את המשוואה ב 2x – 3 נקבל:

-3 + 9x = 0

 

2.תרגילים עם מכנה יחיד 

תרגילים 1-6 הם תרגילים פשוטים.
תרגילים 7-9 הם תרגילים שבהם צריך לעשות כינוס איברים לפני הכפל במכנה.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
קבוצת הצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x ≠ 0

פתרון התרגיל
נכפיל את שני צדדי המשוואה במכנה שהוא x.
נקבל:
4x =2
4x =2  / :4
x = 0.5

תשובה: x = 0.5 שייך לקבוצת ההצבה של התרגיל ולכן הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x +1 ≠ 0
x  ≠ -1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא x +1
נקבל:
6x + 6 = -3
6x + 6 = -3  / -6
6x = -9  / :6
x = -1.5

תשובה: x = -1.5 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא הפתרון.

תרגיל 3

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x – 1 ≠ 0
x  ≠ 1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא x – 1
נקבל:
3x -3 = 2x +2
3x -3 = 2x +2  / -2x + 3
x = 5

תשובה: x = 5 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא פתרון התרגיל.

תרגיל 4

קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
2x + 2 ≠ 0
x  ≠ -1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא 2x +2
נקבל:
4x + 4 = 40 -8x
4x + 4 = 40 -8x   / +8x – 4
12x = 36  / :12
x = 3

תשובה: x = 3 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא פתרון התרגיל.

תרגיל 5

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 2.
פעולה ראשונה: קודם כל נעביר את ה- 2 אגף.
על מנת שכאשר נבצע כפל (בשלב הבא) יהיו לנו פחות איברים להכפיל.

הכפלה במכנה משותף
הכפלה במכנה משותף

תשובה: x= 3 נמצא בתוך תחום ההצבה, לכן x = 3 הוא הפתרון.

תרגיל 6

פתרון
תחום ההצבה
x – 3 ≠ 0
x ≠ 3.

נחזור לפתרון התרגיל.
נעביר את ה 5 אגף.

נכפיל במכנה המשותף x -3 ונפתור את התרגיל.

3.תרגילים עם מכנה משותף שהוא אחד ממכני התרגיל

פתרונות

בתרגילים 1-4 צריך למצוא מכנה משותף, אבל זה מכנה שהוא אחד מהמכנים בתרגיל.

תרגיל 1

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את x פי 2 ולהגיע ל 2x אז המכנה המשותף הוא 2x.
נכפיל ב 2x ונקבל:

נמשיך לפתור את התרגיל:

תרגיל 2

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 2 ולהגיע ל 6x אז המכנה המשותף הוא 6x.
נכפיל ב 6x ונקבל:

3x + 6 + 4 *2 = 1*6x
3x + 14 = 6x  / -6x -14
3x = -14  / :-3-
x = 4.66

תרגיל 3

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 2x פי 5 ולהגיע ל 10x אז המכנה המשותף הוא 10x.
נכפיל ב 10x ונקבל:

10x + 30 -20 = 0.25 * 10x
10x + 10 = 2.5x  / -2.5x – 10
7.5x = -10  / :7.5
x = -1.333

תרגיל 4

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 3 ולהגיע ל 9x אז המכנה המשותף הוא 9x.
נכפיל ב 9x ונקבל:
2x – 6 -3(7x -2) = 4 * 9x
2x – 6 -21x + 6 = 36x
19x = 36x   /-36x-
55x = 0  / : -55-
x = 0

תרגיל 5

פתרון

תחום ההצבה x ≠ 0

מכפילים במכנה משותף
מכפילים במכנה משותף

המשך פתרון המשוואה

4.פתרון משוואות עם מכנה משותף

מצורפים 5 תרגילים בהם צריך למצוא מכנה משותף.
תרגילים 4-5 מתאימים לכיתה ט.

11 תרגילים נוספים (לכיתה ט ומעלה) תוכלו למצוא בדף משוואות עם שברים אלגבריים.

  1. התרגיל
  2. תרגיל

תרגיל 1

פתרון
תחום ההצבה הוא x ≠ -3,  x ≠ 7.

הכפלה במכנה משותף
הכפלה במכנה משותף

x-7)*4 +2(x+3)=0)
4x – 28 + 2x + 6 = 0 / +22
6x=22 /:6
x=3.66

תשובה: x=3.66 נמצא בתחום ההצבה, לכן x=3.66 הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון
נכפיל במכנה המשותף שהוא (2x(x -3 ונקבל:

x – 3) * 16 – 2*2x = 0)
16x – 48 – 4x = 0
12x – 48 = 0  / -48
12x = 48  / :12
x = 4

תרגיל 3

פתרון
נכפיל במכנה במכנה המשותף שהוא:
(x + 2) (10x – 1)
נקבל:
(10x – 1) * 6 = 18(x + 2)
60x – 6 = 18x + 36  / + 6 – 18x
42x = 42  / : 42
x = 1

תרגיל 4

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 4:

תרגיל 5

תרגיל

פתרון

במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום
פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל.
לאחר הצמצום נקבל:

נכפיל במכנה המשותף x + 5 ונקבל:

תשובה: קיבלנו כי x = -1 אבל כאשר בדקנו את קבוצת ההצבה מצאנו כי x ≠ -1 לכן לתרגיל זה אין פתרון.

5. נספח: בעיות מילוליות

6 בעיות מילוליות שעל מנת לפתור אותם יש להרכיב משוואה עם נעלם במכנה.
תרגילים 1-4 מתאימים לכיתה ח.
תרגילים 5-6 דורשים פתרון משוואה ריבועית ולכן מתאימים לכיתה ט ומעלה.

תרגיל 1

אם מחלקים את המספר 22 במספר אחר מקבלים את המנה 5 ושארית 2. מצאו את המספר המחלק.

פתרון

x הוא המספר המחלק.

בניית משוואה ופתרונה:

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

מספר אחד גדול ממספר שני ב- 12. היחס בין המספרים הוא 4.
מצאו את המספרים.

פתרון

X – המספר הקטן.
X+12 – המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 3 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 3

ההפרש בין שני מספרים הוא 5.
אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן מקבלים 2 ושארית 1.
מצאו את המספרים.

פתרון

x – המספר הקטן.
אם ההפרש בין המספרים הוא 5 אז x + 5 הוא המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 4 (קשה מהרגיל)

מכונית נסעה מנקודה A לנקודה B מרחק של 150 ק"מ. לאחר מיכן נסעה לנקודה C מרחק של 210 ק"מ.
מנקודה B לנקודה C מהירותה הייתה  גבוהה ב- 20 קמ"ש ממהירותה בין A ל B.

המכונית עברה באותו פרק זמן את שני הקטעים.
מצאו את מהירות המכונית.

פתרון

X מהירות המכונית בקטע AB בקמ"ש.
X+20 – מהירות המכונית בקטע BC בקמ"ש.

תרגיל 5 הגדרת משתנים

בניית משוואה ופתרונה:
מכוון שהזמנים שווים המשוואה היא:

תרגיל 5 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 5 (כולל משוואה ריבועית)

בגינה 120 פרחים המחולקים באופן שווה לערוגות.
אם נוסיף לכל ערוגה 5 פרחים מספר הערוגות שנצטרך על מנת לשתול את הפרחים יקטן ב 2.
חשבו את מספר הערוגות שיש עכשיו.

פתרון

x הוא מספר הפרחים שיש עכשיו בערוגה.

המספר עכשיו גדול ב 2 לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x(x+5
ונקבל:

(2x(x+5) +120x = 120(x+5
2x² + 10x + 120x = 120x + 600
2x² + 10x – 600 = 0
x² + 5x – 300 = 0
בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x – 15) (x + 20) = 0)
x = 15  או   x = -20

עבור השאלה שלנו x צריך לקבל ערך חיובי.
לכן 15 הוא מספר הערוגות שיש עכשיו.

תרגיל 6 (כולל משוואה ריבועית)

קבוצת אנשים תכננה לשכור אוטובוס ולראות סרט בקולנוע שעבורו על אדם היה צריך לקנות כרטיס בנפרד.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות מעלות כרטיסי הקולנוע.
העלות המתכננת של הפעילות כולה הייתה 1800 שקלים.
בסופו של דבר הגיעו 20 אנשים יותר שנכנסו לאותו אוטובוס.
כתוצאה מכך כל אדם שילם 4 שקלים פחות.
חשבו את מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

פתרון
שלב א: חישוב עלות האוטובוס ועלות כרטיסי הקולנוע.
נגדיר:
x עלות כל כרטיסי הקולנוע בשקלים.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות כרטיסי הקולנוע.
לכן:
0.2x  עלות האוטובוס בשקלים.

סכום העלויות הוא 1800 שקלים. לכן המשוואה היא:
x + 0,2x = 1800
1.2x = 1800  / :1.2
x = 1500

300 = 0.2 * 1500
עלות כרטיסי הקולנוע היא 1500 שקלים, עלות האוטובוס היא 300 שקלים.

שלב ב: חישוב מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי
נגדיר:
y מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.
לכן:

זה הסכום המקורי שכל אחד היה אמור לשלם.

נוספו 20 אנשים. לכן הגיעו
y + 20 אנשים.
והסכום שכל אחד שילם בפועל הוא:

בניית משוואה.
הסכום שכל אחד שילם בפועל קטן ב 4 שקלים מהסכום המקורי לתשלום.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (y (y+ 20
(4y (y +20) + 300y = 300(y + 20
4y² + 80y + 300y = 300y + 6000
4y² + 80y – 6000 = 0  / :4
y² + 20y – 1500 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

x הוא מספר אנשים ולכן התשובה צריכה להיות חיובית, הפתרון x2 = -50 נפסל.
תשובה: 30 הוא מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

עוד בנושא זה באתר:

החלק הבא במדריך, משוואה עם אינסוף או ללא פתרונות.
החלק הקודם במדריך, משוואות עם מכנה שהוא מספר.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

17 מחשבות על “משוואות עם נעלם במכנה”

  1. שלום, תודה רבה על כל ההסברים(:
    אני רק לא הבנתי משהו קטן בתרגיל 6 המילולי.
    קודם כל הגדרתי את סך כרטיסי האוטובוס כx ואת סך כרטיסי הקולנוע כ5x. האם זה גם תקין?
    וגם האם הכוונה שכל אדם שילם בסוף 4 שקלים פחות, פועלת רק על התשלום עבור כרטיסי האוטובוס? או הסכום גם של כרטיס אוטובוס וגם של הכרטיס קולנוע?
    כי ראיתי שעשית 300 חלקי y. שזה עלות הכוללת של כרטיסי האוטובוס, חלקי כמות האנשים המקורית. השאלה שלי למה לא עושים 1800 חלקי y. זאת אומרת לפי הגיון זה לא ממש הסתדר לי. אשמח לעזרה בבקשה (:

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      תשובה לשאלתך הראשונה: כן זה תקין.
      תשובה לשאלתך השנייה: כתוב שכל אדם צריך לקנות כרטיס לקולנוע בנפרד, לכן כמות האנשים לא משפיעה על מחיר הכרטיס לקולנוע.
      את האוטובוס הם שוכרים ביחד והמחיר מתחלק בין כולם, לכן כל אדם ישלם פחות 4 שקלים.
      לא עושים 1800 חלקי y, מכיוון שעוד 20 אנשים יקנו עוד 20 כרטיסי קולנוע, והמחיר הכללי הוא גבוה מ1800.
      בהצלחה!

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        תודה, לא שמתי לב לשאלה הזו.
        אני אוסיף על התשובה.
        בנוגע לשאלה הראשונה.
        מחיר האוטובוס הוא 20% ממחיר הקולנוע. לכן אם האוטובוס x אז הקולנוע 5x.

        בנוגע לשאלה השנייה
        בכל שאלה זה אחרת, בשאלה זו אמרו ששילמו בסף הכל 4 שקלים פחות, מבלי להתייחס למחיר הקולנוע או האוטובוס.
        בשאלה אחרת יכולים להתייחס למחירים הללו ואז התשובה תהיה אחרת.

  2. במשוואה שי X בריבוע מינוס רבע =0
    אשמח לראות פתרון בהעברת אגפים מחילוק לכפל,זה יוצא לי התשובה 1/-1,אך בחוברת שלי זה יוצא חצי/-חצי
    תודה

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        אני מכיר את השיטה הזאת
        אבל אני יודע שאם יש מספר במכנה מכפילים אותו בכל האברים וככה עשיתי אותו ויצא לי לא נכון

  3. שלום(: בתרגיל 2 בשאלות המילוליות נתון שאם קוטפים מערוגה אחת 7 פרחים יישארו בה 8 פרחים. לפי המשפט אפשר לדעת שמספר הפרחים בכל ערוגה הוא 15, כי לפי ההגיון פשוט צריך לחבר בין 7 ל8. השאלה שלי היא למה צריך לבנות לכך משוואה, אם אפשר להבין שזה 15 ואז לעשות 120 חלקי איקס שווה 15, ואז לפתור?

  4. היי, יש לי שאלה שהיא בעצם תרגיל שאני לא מבינה איך לפתור:
    1:2x+3:(x+1)= 2:x
    בעצם, יש פה את 2x ואת x+1 במכנה של אגף אחד, ואת x במכנה של האגף השני.
    על מנת לפתור את התרגיל, אני מניחה שצריך להשתמש בהוצאת גורם משותף, אך אינני מצליחה לראות כיצד לעשות זאת במקרה זה.
    האם תוכלו להראות לי את השלבים לפתרון תרגיל זה, או להפנות אותי לשיעור מתאים באתר המסביר תרגילים מסוג זה באופן מדויק יותר?
    תודה רבה מראש!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין צורך בהוצאת גורם משותף.
      צריך להבין שהמכנה המשותף של x ו 2x הוא 2x.
      ולכן המכנה המשותף של התרגיל כולו הוא
      (2x(x+1

      הנושא נלמד כאן בדף תחת הכותרת איך למצוא מכנה משותף.
      אם עדיין יש שאלות חזרי אליי.

      1. היי, תודה רבה על התשובה.
        לאחר ההכפלה במכנה המשותף, באגף הימני שהיה בהתחלה שתיים חלקי איקס נשארתי עם שני איקס בריבוע ועוד אחד (2x^2+1).
        אני חושבת שטעיתי, אבל- כיצד אני יכולה להכפיל את האגף (שתיים חלקי איקס) במכנה המשותף?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. תודה על התגובה. התשובה הסופית היא כפי שאמרת – אף מספר כי הפתרון לא שייך לקבוצת ההצבה.
      זה תוקן ונכתב בצורה ברורה למעלה.
      תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.