משוואות עם נעלם במכנה

התחלנו את הלימוד בנושא זה בדף משוואות עם נעלם במכנה ומכנה יחיד.

כאן נלמד תרגילים יותר קשים הדורשים מציאת מכנה משותף.
דף זה נועד לתלמידי כיתות ח-י ברמת 4-5 יחידות לימוד.

בדף זה:

  1. תרגילים עם מציאת מכנה משותף שהוא אחד המכנים שיש בתרגיל.
  2. איך למצוא מכנה משותף.
  3. תרגילים עם מציאת מכנה משותף.

1.תרגילים עם מכנה משותף שהוא אחד ממכני התרגיל

פתרונות

בתרגילים 1-4 צריך למצוא מכנה משותף, אבל זה מכנה שהוא אחד מהמכנים בתרגיל.

תרגיל 1

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את x פי 2 ולהגיע ל 2x אז המכנה המשותף הוא 2x.
נכפיל ב 2x ונקבל:

נמשיך לפתור את התרגיל:

תרגיל 2

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 2 ולהגיע ל 6x אז המכנה המשותף הוא 6x.
נכפיל ב 6x ונקבל:

3x + 6 + 4 *2 = 1*6x
3x + 14 = 6x  / -6x -14
3x = -14  / :-3-
x = 4.66

תרגיל 3

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 2x פי 5 ולהגיע ל 10x אז המכנה המשותף הוא 10x.
נכפיל ב 10x ונקבל:

10x + 30 -20 = 0.25 * 10x
10x + 10 = 2.5x  / -2.5x – 10
7.5x = -10  / :7.5
x = -1.333

תרגיל 4

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 3 ולהגיע ל 9x אז המכנה המשותף הוא 9x.
נכפיל ב 9x ונקבל:
2x – 6 -3(7x -2) = 4 * 9x
2x – 6 -21x + 6 = 36x
19x = 36x   /-36x-
55x = 0  / : -55-
x = 0

תרגיל 5

פתרון

תחום ההצבה x ≠ 0

מכפילים במכנה משותף
מכפילים במכנה משותף

המשך פתרון המשוואה

2.כיצד מוצאים מכנה משותף

3.פתרון משוואות עם מכנה משותף

מצורפים 5 תרגילים בהם צריך למצוא מכנה משותף.
תרגילים 4-5 מתאימים לכיתה ט.

11 תרגילים נוספים (לכיתה ט ומעלה) תוכלו למצוא בדף משוואות עם שברים אלגבריים.

  1. התרגיל
  2. תרגיל

תרגיל 1

פתרון
תחום ההצבה הוא x ≠ -3,  x ≠ 7.

הכפלה במכנה משותף
הכפלה במכנה משותף

x-7)*4 +2(x+3)=0)
4x – 28 + 2x + 6 = 0 / +22
6x=22 /:6
x=3.66

תשובה: x=3.66 נמצא בתחום ההצבה, לכן x=3.66 הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון
נכפיל במכנה המשותף שהוא (2x(x -3 ונקבל:

x – 3) * 16 – 2*2x = 0)
16x – 48 – 4x = 0
12x – 48 = 0  / -48
12x = 48  / :12
x = 4

תרגיל 3

פתרון
נכפיל במכנה במכנה המשותף שהוא:
(x + 2) (10x – 1)
נקבל:
(10x – 1) * 6 = 18(x + 2)
60x – 6 = 18x + 36  / + 6 – 18x
42x = 42  / : 42
x = 1

תרגיל 4

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 4:

תרגיל 5

תרגיל

פתרון

במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום
פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל.
לאחר הצמצום נקבל:

נכפיל במכנה המשותף x + 5 ונקבל:

תשובה: קיבלנו כי x = -1 אבל כאשר בדקנו את קבוצת ההצבה מצאנו כי x ≠ -1 לכן לתרגיל זה אין פתרון.

4. נספח: בעיות מילוליות

6 בעיות מילוליות שעל מנת לפתור אותם יש להרכיב משוואה עם נעלם במכנה.
תרגילים 1-4 מתאימים לכיתה ח.
תרגילים 5-6 דורשים פתרון משוואה ריבועית ולכן מתאימים לכיתה ט ומעלה.

תרגיל 1

אם מחלקים את המספר 22 במספר אחר מקבלים את המנה 5 ושארית 2. מצאו את המספר המחלק.

פתרון

x הוא המספר המחלק.

בניית משוואה ופתרונה:

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

מספר אחד גדול ממספר שני ב- 12. היחס בין המספרים הוא 4.
מצאו את המספרים.

פתרון

X – המספר הקטן.
X+12 – המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 3 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 3

ההפרש בין שני מספרים הוא 5.
אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן מקבלים 2 ושארית 1.
מצאו את המספרים.

פתרון

x – המספר הקטן.
אם ההפרש בין המספרים הוא 5 אז x + 5 הוא המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 4 (קשה מהרגיל)

מכונית נסעה מנקודה A לנקודה B מרחק של 150 ק"מ. לאחר מיכן נסעה לנקודה C מרחק של 210 ק"מ.
מנקודה B לנקודה C מהירותה הייתה  גבוהה ב- 20 קמ"ש ממהירותה בין A ל B.

המכונית עברה באותו פרק זמן את שני הקטעים.
מצאו את מהירות המכונית.

פתרון

X מהירות המכונית בקטע AB בקמ"ש.
X+20 – מהירות המכונית בקטע BC בקמ"ש.

תרגיל 5 הגדרת משתנים

בניית משוואה ופתרונה:
מכוון שהזמנים שווים המשוואה היא:

תרגיל 5 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 5 (כולל משוואה ריבועית)

בגינה 120 פרחים המחולקים באופן שווה לערוגות.
אם נוסיף לכל ערוגה 5 פרחים מספר הערוגות שנצטרך על מנת לשתול את הפרחים יקטן ב 2.
חשבו את מספר הערוגות שיש עכשיו.

פתרון

x הוא מספר הפרחים שיש עכשיו בערוגה.

המספר עכשיו גדול ב 2 לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x(x+5
ונקבל:

(2x(x+5) +120x = 120(x+5
2x² + 10x + 120x = 120x + 600
2x² + 10x – 600 = 0
x² + 5x – 300 = 0
בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x – 15) (x + 20) = 0)
x = 15  או   x = -20

עבור השאלה שלנו x צריך לקבל ערך חיובי.
לכן 15 הוא מספר הערוגות שיש עכשיו.

תרגיל 6 (כולל משוואה ריבועית)

קבוצת אנשים תכננה לשכור אוטובוס ולראות סרט בקולנוע שעבורו על אדם היה צריך לקנות כרטיס בנפרד.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות מעלות כרטיסי הקולנוע.
העלות המתכננת של הפעילות כולה הייתה 1800 שקלים.
בסופו של דבר הגיעו 20 אנשים יותר שנכנסו לאותו אוטובוס.
כתוצאה מכך כל אדם שילם 4 שקלים פחות.
חשבו את מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

פתרון
שלב א: חישוב עלות האוטובוס ועלות כרטיסי הקולנוע.
נגדיר:
x עלות כל כרטיסי הקולנוע בשקלים.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות כרטיסי הקולנוע.
לכן:
0.2x  עלות האוטובוס בשקלים.

סכום העלויות הוא 1800 שקלים. לכן המשוואה היא:
x + 0,2x = 1800
1.2x = 1800  / :1.2
x = 1500

300 = 0.2 * 1500
עלות כרטיסי הקולנוע היא 1500 שקלים, עלות האוטובוס היא 300 שקלים.

שלב ב: חישוב מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי
נגדיר:
y מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.
לכן:

זה הסכום המקורי שכל אחד היה אמור לשלם.

נוספו 20 אנשים. לכן הגיעו
y + 20 אנשים.
והסכום שכל אחד שילם בפועל הוא:

בניית משוואה.
הסכום שכל אחד שילם בפועל קטן ב 4 שקלים מהסכום המקורי לתשלום.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (y (y+ 20
(4y (y +20) + 300y = 300(y + 20
4y² + 80y + 300y = 300y + 6000
4y² + 80y – 6000 = 0  / :4
y² + 20y – 1500 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

x הוא מספר אנשים ולכן התשובה צריכה להיות חיובית, הפתרון x2 = -50 נפסל.
תשובה: 30 הוא מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

עוד בנושא זה באתר:

החלק הבא במדריך, משוואה עם אינסוף או ללא פתרונות.
החלק הקודם במדריך, משוואות עם מכנה שהוא מספר.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

10 מחשבות על “משוואות עם נעלם במכנה”

  1. שלום(: בתרגיל 2 בשאלות המילוליות נתון שאם קוטפים מערוגה אחת 7 פרחים יישארו בה 8 פרחים. לפי המשפט אפשר לדעת שמספר הפרחים בכל ערוגה הוא 15, כי לפי ההגיון פשוט צריך לחבר בין 7 ל8. השאלה שלי היא למה צריך לבנות לכך משוואה, אם אפשר להבין שזה 15 ואז לעשות 120 חלקי איקס שווה 15, ואז לפתור?

  2. היי, יש לי שאלה שהיא בעצם תרגיל שאני לא מבינה איך לפתור:
    1:2x+3:(x+1)= 2:x
    בעצם, יש פה את 2x ואת x+1 במכנה של אגף אחד, ואת x במכנה של האגף השני.
    על מנת לפתור את התרגיל, אני מניחה שצריך להשתמש בהוצאת גורם משותף, אך אינני מצליחה לראות כיצד לעשות זאת במקרה זה.
    האם תוכלו להראות לי את השלבים לפתרון תרגיל זה, או להפנות אותי לשיעור מתאים באתר המסביר תרגילים מסוג זה באופן מדויק יותר?
    תודה רבה מראש!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין צורך בהוצאת גורם משותף.
      צריך להבין שהמכנה המשותף של x ו 2x הוא 2x.
      ולכן המכנה המשותף של התרגיל כולו הוא
      (2x(x+1

      הנושא נלמד כאן בדף תחת הכותרת איך למצוא מכנה משותף.
      אם עדיין יש שאלות חזרי אליי.

      1. היי, תודה רבה על התשובה.
        לאחר ההכפלה במכנה המשותף, באגף הימני שהיה בהתחלה שתיים חלקי איקס נשארתי עם שני איקס בריבוע ועוד אחד (2x^2+1).
        אני חושבת שטעיתי, אבל- כיצד אני יכולה להכפיל את האגף (שתיים חלקי איקס) במכנה המשותף?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. תודה על התגובה. התשובה הסופית היא כפי שאמרת – אף מספר כי הפתרון לא שייך לקבוצת ההצבה.
      זה תוקן ונכתב בצורה ברורה למעלה.
      תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.