לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

8 סוגים של אי שוויונות עם שברים

בדף זה נלמד כיצד פותרים אי שוויונות עם שברים.

  1. סרטוני הסבר.
  2. נתחיל בהסבר על ההבדל בין שוויון עם שברים לעומת אי שוויון עם שברים.
  3. נמשיך להסבר ופתרון 8 סוגים שונים של אי שוויון עם שברים.
  4. נסיים בעוד תרגילים.

חומר קודם שעליכם לדעת על מנת לפתור שאלות בדף זה:

  1. אי שוויון ריבועי.
  2. משוואות עם נעלם במכנה.

1.סרטוני הסבר

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

8 סוגים של אי שוויונות עם שברים

בחלק זה נעבור על שמונה סוגים של אי שוויונות עם שברים.

1. אי שוויון פשוט

אי שוויון עם שברים

בחלק זה נסביר כיצד פותרים אי שוויונות עם שברים.

אם זו הייתה משוואה היינו מוצאים את תחום ההצבה  x≠ -3
ואז מכפילים את שני הצדדים במכנה המשותף שהוא x + 3.

באי שוויון אנחנו לא יכולים לעשות זאת כי אנחנו לא יודעים עם x + 3 חיובי (ואז סימן האי שוויון נשאר כמו שהוא) או שלילי (ואז צריך להפוך את הסימן).

לכן מה שעושים באי שוויון זה להכפיל ב x +3)²) שהוא ביטוי חיובי תמיד.
וכאשר x ≠ -3 הוא גם שונה מ 0 (לא ניתן להכפיל משוואה או אי שוויון ב 0).

x-2)(x+3)>0)

קיבלנו אי שוויון ריבועי של פרבולה עם נקודת מינימום (בגלל ש X² חיובי) ונקודות החיתוך שלה אם ציר ציר ה- X הם 2 ו- 3-. מסיבות אלו הפרבולה חיובית כאשר x>2 או x<-3.

שרטוט הפרבולה (f (x) = (x-2)(x+3ותחומי החיוביות שלה מסומנים בירוק
שרטוט הפרבולה (f (x) = (x-2)(x+3ותחומי החיוביות שלה מסומנים בירוק

לסיכום שלבי הפתרון:

  1. מציאת תחום הצבה.
  2. כינוס ו צמצום מספר האיברים ככול האפשר.
  3. הכפלה במכנה המשותף בריבוע.
  4. פתרון אי שוויון ריבועי
  5. מציאת המשוואה הריבועית ונקודות החיתוך שלה עם ציר ה- X.
  6. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום?
  7. בהתאם לסעיפים 4 ו- 5 ולנדרש בשאלה נותנים פתרון.

תרגיל 2: אי שוויון הכולל ביטוי נוסף חוץ מהשבר

כאשר יש אי שוויון הכולל שבר ומספר נצמצם את המספרים.
ולאחר מיכן נכפיל במכנה בריבוע.
* הערה: לרוב גם לומדים לעשות מכנה משותף בין המספר לשבר וכך גם נעשה כאן.
אבל זו לא חובה.

תרגיל 1

פתרון

נכנס איברים:

העברנו את 4.5 אגף

עכשיו יש שתי אפשרויות פתרון:

אפשרות 1: להכפיל במכנה משותף

זו אפשרות פשוטה מבחינת ההבנה שלה, אבל יתכן ותדרוש יותר פעולות עד הפתרון ביחס לאפשרות 2.

זו ההכפלה במכנה המשותף
זו ההכפלה במכנה המשותף

לאחר ההכפלה תצטרכו לכנס איברים ואז לפתור אי שוויון ריבועי.

אפשרות 2: ליצור מכנה משותף לשני האיברים שבצד שמאל של האי שוויון.

לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים במונה נקבל:

יצרנו מכנה משותף בין 0.5 לשבר וכינסנו איברים

עכשיו יש לנו שבר מהצורה שאנו כבר יודעים לפתור.

נכפיל במכנה בחזקת 2 ונקבל:

2x + 4) (4 – 2x) > 0)

נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם:

2x + 4 = 0

x = -2

או

4 -2x = 0

2 = x

נקודות החיתוך עם ציר ה x הם x = 2, x = -2.

(נזכור כי x = 2 לא יכול להיות חלק מהתשובה הסופית כי הוא לא בתחום ההגדרה, אבל הנקודה כן יכולה לסייע לנו לשרטט את הפרבולה).

בנוסף זו פרבולת מקסימום כי המקדם של x² הוא 4-.

מי שלא רואה את זה מצורת ההצגה הזו יכול לפתוח סוגריים על מנת לזהות את סוג הפרבולה:

2x + 4) (4 – 2x) > 0)

8x – 4x² +16 – 8x > 0

זו פרבולה עם נקודת מקסימום.

נשרטט סקיצה של הפרבולה:

אנחנו מחפשים את החלק שבו הפרבולה חיובית.
זה קורה בין שתי נקודות החיתוך.

תשובה:

-2 < x < 2

סוג 3: אי שוויון כפול

כאשר נקבל אי שוויון כפול:

  1. נפצל את האי שוויון לשני אי שוויונות.
  2. נפתור כל אחד מהאי שוויונות בנפרד. אלו שני אי שוויונות שהקשר בניהם הוא "וגם".

פתרון
נפתור את האי שוויון

פתרון

נכפיל את המשוואה ב- 2x – 3)²)
2x – 3) (-7x + 6) < 0)
נקודות החיתוך של המשוואה עם ציר ה x הם:
x = 1.5,    x = 6/7

זו פרבולה עם נקודת מקסימום ולכן סקיצה של הגרף שלה נראה כך:

סקיצה של גרף הפרבולה (2x - 3) (-7x + 6)
סקיצה של גרף הפרבולה (2x – 3) (-7x + 6)

ניתן לראות שערך הפרבולה שלילי כאשר

x > 1.5  או  x < 6/7

החלק השני של האי שוויון הוא:

נעביר אגפים וניצור מכנה משותף
נעביר אגפים וניצור מכנה משותף
נפתח סוגריים ונכנס איברים
נפתח סוגריים ונכנס איברים

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב- 2x – 3)²) ונקבל
5x – 12) (2x – 3) > 0)
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
x = 1.5,   x = 12/5 = 2.4

זו פרבולה עם נקודת מינימום לכן סקיצה של הגרף נראית כך:

אנו מחפשים את החלק החיובי

x > 2.4  או   x < 1.5

עכשיו עלנו להתייחס אל שני האי שוויונות שפתרנו כאי שוויונות וגם.
x > 1.5  או  x < 6/7
וגם

x > 2.4  או   x < 1.5

החיתוך של שני האי שוויונות הללו הוא:

x < 6/7     או   x > 2.4

זו התשובה של האי שוויון כולו.

תרגיל 4: אי שוויונות בהם המונה או המכנה תמיד חיוביים / שליליים

במקרה שהמונה או המכנה חיוביים לכל x הם לא משפיעים על סימן האי שוויון וניתן להתעלם מיהם.

במקרה שהמונה או המכנה שליליים לכל x צריך להפוך את סימן האי שוויון ואז ניתן להתעלם מהחלק שהוא שלילי תמיד.

למשל:

המונה תמיד חיובי ולכן אי השוויון הזה שקול לאי השוויון
x² -10x +16 < 0
בעזרת פירוק הטרינום נקבל:
x – 8)  (x -2) < 0)
זו פרבולה עם נקודת מינימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 8,   x = 2
לכן האי שוויון שלילי בתחום

2 < x < 8

אם היינו מקבלים תרגיל שבו המכנה או המונה תמיד שליליים היינו צריכים להפוך את הסימן של האי שוויון.
למשל:

המונה תמיד שלילי. לכן אי השוויון הזה שקול לאי השוויון:
x² + 4x + 3 > 0
שימו לב להפיכת הסימן.
x + 3) (x + 1) > 0)
התשובה הסופית לאי שוויון היא:
x > -1  או x  < -3.

הערה: כיצד יודעים שמשוואה ריבועית היא תמיד חיובית או תמיד שלילית?

תשובה
בודקים את הדיסקרימיננטה
b² – 4ac
אם הדיסקרמיננטה שלילית זה אומר שלמשווה הריבועית אין פתרונות.
בגלל שכל המשוואה הריבועית חיובית או בגלל שכל המשוואה הריבועית שלילית.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

31 מחשבות על “8 סוגים של אי שוויונות עם שברים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. תודה רבה על האתר, הוא כל כך עזר לי!!!!
    סרטונים ממוקדים וקצרים עם הסבר ברור, ופתוח בחינם:)
    המלצתי גם לחברות במכינה להשלמת 3 לחמש יחידות.

  2. אהלן לא הבנתי בתרגיל 5 איך ידעת אם זאת פרבולה מינימום או מקסימום אם תוכל להסביר תודה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר פותחים סוגריים לביטוי הזה יש מינוס לפני x בריבוע.
      x (4 – x)

  3. שלום, בתרגיל: x – 3) (x +2) (x + 5) >0)
    כתוב בפתרון חלק 6:
    השבר חיובי כאשר: x > 3 או כאשר 5->X > מינוס שתיים. בפתרון בוידיאו מצויין שהסימנים הפוכים. אודה להבהרה. תודה על כל המידע המדהים שאתם חולקים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מור
      תודה על ההערה, אני משתדל לנקות את האתר מטעויות.
      אני רואה את הפתרון שכתבת מופיע גם בפתרון הכתוב וגם בפתרון הוידאו.
      בפתרון הוידאו מקריאים את הפתרון ולא כותבים אותו.
      אני מדבר על התרגיל שמופיע תחת הכותרת הזו:
      סוג 8: אי שוויונות עם שברים היוצרים חזקה שלישית או גדולה ממנה.
      האם אנו מדברים על אותו דבר?

  4. היי, אתר מצוין קודם כל
    בשאלה 3 יש חוסר תיאום בין הפתרון הכתוב לסרטון.
    בסרטון כתוב:
    איקס גדול מ2.4 או איקס קטן מ1.5
    איקס בין 6/7 ל1.5

    ובכתב כתוב:
    איקס בין 1.5 ל2.4
    איקס גדול מ1.5 או איקס קטן מ6/7

  5. ועוד שאלה קטנה ברשותך, האם באי שיוון ממעלה שלישית ומעלה בשיטת הנחש, האם צריך גם לכתוב תחום הצבה?

  6. שלום, קודם על תודה על האתר המקסים, אבקש בבקשה הסבר קטן לתרגיל 1.
    ראיתי שעשית מכנה משותף וכינוס איברים, אך לא הבנתי איך זה הפך בפתרון מהשורה הראשון לשורה השניה. הכוונה איך מ4x חלקיי x-12 (שבר), פחות 2 ( מתייחסת רגע רק לאגף בלי האפס)
    זה הפך לשלב שאחריו.. אני חופשת שספסתי אולי משהו בשביל להבין את החלק הזה, כי השאר ברור ומובן.. אשמח בבקשה להסבר קטן (:

    1. כי בעצם כל הביטוי נשאר כשבר, לא הבנתי מה הגורם המשותף שהכפלת ולמה זה עדיין נשאר כשבר

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        מה שנעשה בין השלב הראשון לשני הוא להכניס את ה 2- תחת אותו מכנה של השבר.
        ולכן ה 2 – הוכפל במכנה.

        זה מוסבר בתרגיל 2 שנמצא במעלה הדף
        אי שוויון הכולל ביטוי נוסף חוץ מהשבר

        וגם בדף הבא מוסבר משהו דומה
        https://www.m-math.co.il/algebra/equations/partial-fraction/

        אם יש עדיין שאלה ניתן לחזור אליי.

  7. שלום רב בדוגמא של סוג 3: אי שוויון כפול, באי שיוויון הראשון צריך להראות מתי הפונקציה תהיה קטנה מ0 אבל התשובה שנתת היא מתי התוצאה גדולה מ0. האם זו טעות או שיש משהו שאני לא מבין?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      x = 2 לא יכול להיות חלק מהתשובה הסופית כי הוא לא בתחום ההגדרה, אבל הנקודה כן יכולה לסייע לנו לשרטט את הפרבולה.

  8. שלום לך,
    ראשית תודה רבה על האתר.
    כמו כן, רציתי לדעת מדוע בתרגיל מספר 2 בסוף הדף שמת את כל המונה תחת אותו מכנה ? (בדף זה רשום פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים)
    תודה מראש :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליאל
      זו לא חובה. ניתן להכפיל ב x + 3)² *2) לפני יצירת המכנה המשותף וזה עובד.

      אבל יצירת מכנה משותף יכולה לחסוך קצת עבודה כי כאשר בסופו של דבר מכפילים ב x + 3)² *2) יש פחות איברים במונה.
      בנוסף, יש מקרים שהמכנה המשותף מאפשר לצמצם מונה ומכנה טאז הוא חוסך יותר עבודה.

      מצד שני, יצירת מכנה משותף יכולה גם לגרום לטעויות אצל מי שלא עושה זאת טוב. לכן זה מומלץ רק למי שמיומן בזה.
      מי שלא מיומן עדיף שהוא יכתוב מעט יותר ולא יגיע לתשובה שגויה.
      תודה על תגובתך, אני אוסיף הערה ליד התרגיל.