שיטת הנחש, אי שוויונים ממעלה שלישית ויותר

האם שיטת הנחש הומצאה על ידי נחש?

האם זו מזימה של נחשים לסבך לנו את החיים?

האם נחשים ומתמטיקה מעצבנים באותה מידה?

כל אלו שאלות מסתוריות שלא ניתן לגלות את התשובה עליהן.

מה שניתן לעשות זה להסביר:

1. בעזרת סרטון.
2. מתי משתמשים בשיטת הנחש.
3. כיצד משרטטים נחש.
4. דוגמאות לנחשים.
5. נחשים עוד יותר ארוכים.

1.סרטון הסבר

1.מתי משתמשים בשיטת הנחש?

כאשר יש לנו אי שוויון הכולל מכפלה (או חילוק) של שלושה איברים ויותר.

(x-2)(x+5)  – זו פרבולה.
(x+1)(x-2)(x+5)  – זה נחש.

בעבר, כאשר קיבלנו אי שוויון הכולל ביטוי מהסוג הזה (x-2)(x+5) שרטטנו פרבולה ופתרנו בעזרתה את אי השוויון.

עכשיו עלינו ללמוד לשרטט נחש.

2.כיצד משרטטים נחש?

1. מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה- X ומסמנים אותם על גרף.
2. בוחרים ערך X שבו קל לנו לדעת אם הביטוי חיובי או שלילי. לרוב זה יהיה ערך הנמצא בקצה הביטוי או 0.
3. מסמנים את הערך שמצאנו בגרף ומתחילים לעבור עם קו בצורת נחש בין הנקודות.
4. פתרון אי שוויון.

3.ונעבור למציאות: (x+1)(x-2)(x+5)

1- מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה- X.
x=-1  ,  x=2,   x=-5.

2 – בוחרים ערך X שבו קל לנו לדעת אם הביטוי חיובי או שלילי.
למשל כאשר X=10 קל לנו לראות שכל הביטויים שבתוך הסוגריים חיוביים: (10+1)(10-2)(10+5) ולכן הביטוי כולו חיובי.

3- מסמנים את הערך שמצאנו בגרף ומתחילים לעבור עם קו בצורת נחש בין הנקודות.

הערה: לפעמים הערך שבחרנו והיה “נוח” לקביעת סימן הנחש נמצא רחוק מנקודות החיתוך עם ציר ה- X, כמו שה- 10 רחוק מה 2 במקרה זה. במקרים כאלו ניתן להפעיל הגיון ולהתחיל את שרטוט הנחש מ X=3 כי אם X חיובי ב- 10 אז הוא חיובי גם ב -3 (ובתנאי שאין נקודות חיתוך או אי הגדרה בין 10 ל- 3).

4- פתרון האי שוויון.
על פי השרטוט ניתן לראות כי הביטוי (x+1)(x-2)(x+5) חיובי (מעל ציר ה- X) כאשר: x>2,  או   (x<-1 וגם x>-5).
שלילי: x<-5 או  ( x>-1 וגם x<2).

4.מה ההיגיון בשיטת הנחש?

בשלב זה יתכן שחלק ממכם יודעים לבצע את שיטת הנחש אבל לא מבינים מה ההיגיון שלה, מדוע היא עובדת?
אז. הנחש הוא למעשה שרטוט של הפונקציה, בדומה לכך שפרבולה היא שרטוט של אי שוויון ריבועי. וכאשר יש לנו שרטוט של פונקציה אנו יכולים לראות מתי היא חיובית ומתי שלילית.

דוגמה נוספת:

x-4)(x+2)x)

1 – נקודות חיתוך עם ציר ה- X.

x=4,   x=-2,   x=0

2 – מציאת נקודה שבה קל לדעת את סימן הביטויים שבתוך הסוגריים.

כאשר X=10 ניתן לראות שכל הביטויים שבתוך הסוגריים חיוביים.

3 – שרטוט הנחש.

4 – פתרון

חיובי x>4 או   (x<0 וגם x>-2)/
שלילי x<-2   או   ( x>0 וגם x<4)

דוגמה נוספת : x-4)(x+2)x-)

במקרה זה ניתן לראות שכאשר מציבים X=10 אין אחידות בסימנים של הביטויים (הראשון שלילי ושני הנוספים חיוביים – מה שאומר שהביטוי כולו שלילי). וזה אפשרי אך יכול להיות פחות נוח. לכן נציב x=-10 ונראה ששלושת הביטויים שליליים ולכן הביטוי כולו שלילי.

5.פתרון של אי שוויון ממעלה רביעית ויותר

כיצד פותרים מצב כזה: (x-1)(x+6)(x-4)(x+3)

תשובה: בדיוק כפי שפתרנו קודם רק עם 4 נקודות חיתוך עם ציר ה- X.

דפים נוספים באתר:

1. אי שוויונים ריבועיים.
2. אי שוויונים עם שברים.
3. אי שוויונים – דף המרכז אי שוויונים מנושאים שונים.
4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.