ארכיון הקטגוריה: אלגברה

שתי משוואות עם שני נעלמים תרגילים

בדף זה 8 סרטוני הסבר בולטים בנושא שתי משוואות עם שני נעלמים.
לאחריהם 11 תרגילים עם פתרונות מלאים המחולקים בצורה הבאה:

  • 3 בשיטת השוואת המקדמים.
  • 3 בשיטת ההצבה.
  • 3 משוואות לא מסודרות.
  • 2 משוואות עם אינסוף / אף פתרון.

1.סרטונים בולטים

2.ריכוז כל התרגילים שבדף

בחלק זה כל התרגילים ברצף.
תוכלו למצוא את התרגילים גם בהמשך הדף כשהם מחולקים על פי נושאים.

השוואת מקדמים

תרגיל 1
6x-2y=24
x+5y=4

תרגיל 2
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

תרגיל 3
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

שיטת ההצבה

תרגיל 1
x = y – 6
3x + y = -2

תרגיל 2
4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

משוואות לא מסודרות

תרגיל 1
2x + 3(y + 4) = 22 + y
5y + 2x = 6x – 2y + 2

תרגיל 2
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
10y – 3(x +2y) + 22= 0

תרגיל 3
תרגיל

 

אינסוף פתרונות / אף פתרון

תרגיל 1
3x – y=-5
9x – 3y=-15

תרגיל 2
2x-2y=10
4x-4y=32

תשובות סופיות

השוואות מקדמים
תשובות סופיות
תרגיל 1: X=4 , Y=0
תרגיל 2: x= -2,  y= -1
תשובה: x=5, y=2

שיטת ההצבה
תרגיל 1: y= 4, x= -2
תרגיל 2: x=0, y=5
תרגיל 3: x = 10, y = -3.

משוואות לא מסודרות
תרגיל 1:  x = 3, y = 2
תרגיל 2:  x = 2,  y = -4
תרגיל 3:  y = 1, x = -3

אינסוף פתרונות / אף פתרון
תרגיל 1: אינסוף פתרונות.
תרגיל 2: אף פתרון.

3.תרגילים בהשוואת מקדמים

תרגיל 1
6x-2y=24
x+5y=4

תרגיל 2
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

תרגיל 3
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

פתרונות

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת
6x-2y=24
x+5y=4

פתרון
על מנת להשוות את מקדמי ה- X נכפיל את משוואה מספר 2 ב- 6 ונקבל:
x+5y=4  /*6
6x+30y=24

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
6x – 2y=24
6x + 30y=24

נחסר את משוואה (1) ממשוואה (2).
32y=0 /:32
y=0

נציב את הערך שקיבלנו עבור Y במשוואה (1) על מנת למצוא את ערך ה- X.

6x-2*0=24
6x=24 /:6
X=4
תשובה: X=4 , Y=0

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

פתרון
על מנת שמקדמי ה- Y יהיו בעלי אותו ערך מוחלט נכפיל את משוואה 1 ב- 2 ואת משוואה 2 ב- 3.
8x + 6y=-22
9x – 6y=-12

נחבר את שתי המשוואות:
17x = -34 / :17
x= -2

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה 1.
6y + 8 * (-2) = -22
6y – 16 = -22  / + 16
6y = -6  / : 6
y= -1

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות
(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

פתרון
במשוואה הראשונה נעביר את y לצד ה x.
3x=5y+5 / -5y
3x – 5y = 5

במשוואה השנייה נעביר את x לצד ה y.
2y = 4x-16 / -4x
2y – 4x= -16

אלו שתי המשוואות שקיבלנו:
3x – 5y = 5 / *2
2y – 4x = -16 / *5

נכפיל את הראשונה פי 2 ואת השנייה פי 5.
6x-10y=10
10y-20x=-80

נחבר את המשוואות.
14x = -70 / : -14-
x = 5

נציב את  x = 5 במשוואה מספר 2.
2y = 4x – 16
2y = 4*5 -16
2y = 4 / :2
y=2
תשובה: x=5, y=2.

4.שיטת ההצבה

תרגיל 1
x = y – 6
3x + y = -2

תרגיל 2
4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

פתרונות

תרגיל 1: הצבה מוכנה
  x = y – 6
3x + y = -2

פתרון
נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
y-6)*3 + y = -2)
3y – 18 + y = -2 / +18
4y = 16 / :4
y = 4

נציב את ערך ה y שקיבלנו במשוואה 1.
x = 4 – 6
x = -2
תשובה: y= 4, x= -2

תרגיל 2

4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

פתרון
נבודד את משתנה x במשוואה 1.
4y + 2x = 20 / -4y
2x = 20 – 4y / :2
x = 10 – 2y

נציב את ערך X במשוואה 2.
10-2y) * 5 – 2y= -10)
50-10y-2y = -10 /-50
12y = -60 / : -12-
y = 5

נציב את ערך ה- y שקיבלנו במשוואה שבה בודדנו את x.
x = 10 – 2y
x = 10 – 2*5
x = 10 – 10
x = 0
תשובה: x=0, y=5

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

פתרון
נבודד את משתנה y במשוואה 2.
2y – 4x = -34 / +4x-
2y = 4x – 34 /  : -2-
y = -2x + 17

נציב את ערך ה- y במשוואה 1.
2x+17) * 5 + 3x = 15-)
10x + 85 + 3x = 15 /-85-
7x = -70 /  : -7-
x = 10

נציב את ערך ה- x במקום שבו בודדנו את ה- y.
y = -2x + 17
y = -2*10+17
y = -20+17
y = -3
תשובה: x = 10, y = -3.

5.משוואות לא מסודרות

תרגיל 1
2x + 3(y + 4) = 22 + y
5y + 2x = 6x – 2y + 2

תרגיל 2
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
10y – 3(x +2y) + 22= 0

תרגיל 3
תרגיל

פתרונות

תרגיל 1
2x + 3(y + 4) = 22 + y
5y + 2x = 6x – 2y + 2

פתרון
נסדר את המשוואה הראשונה.
2x + 3(y + 4) = 22 + y
2x + 3y +12 = 22 + y  / -y -12
2x + 2y =10

נסדר את המשוואה השנייה
5y + 2x = 6x – 2y + 2
5y + 2x = 6x – 2y + 2  / -6x + 2y
7y -4x = 2

קיבלנו את שתי המשוואות:
2x + 2y =10
7y -4x = 2

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2.
4x + 4y = 20
7y -4x = 2

נחבר את המשוואות ונקבל:
11y = 22   / :11
y = 2

נציב y =2 במשוואה הראשונה ונמצא את x.
4x + 4*2 = 20
4x + 8 = 20  / -8
4x = 12   / :4
x = 3

תשובה: x = 3, y = 2

תרגיל 2
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
10y – 3(x +2y) + 22= 0

פתרון
נסדר את המשוואה הראשונה
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
4y + 5x = 6 -2x – 8
4y + 7x = -2

נסדר את המשוואה השנייה
10y – 3(x +2y) + 22= 0
10y -3x -6y + 22 = 0
4y -3x +22 = 0
4y – 3x = -22

קיבלנו את שתי המשוואות:
4y + 7x = -2
4y – 3x = -22

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה ונקבל:
10x = 20  / : 10
x = 2

נציב x = 2 במשוואה הראשונה ונמצא את y.
4y + 7x = -2
4y + 7 * 2 = -2
4y + 14 = -2  / -14
4y = -16  / :4
y = -4

תשובה: x = 2,  y = -4

תרגיל 3 (משוואות עם שברים)

תרגיל

פתרון
נתחיל בהפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

הפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר

הפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר

נהפוך גם את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

פתרון התרגיל

קיבלנו את שתי המשוואות:
26y – 8x = 50
9y + 5x = -6

אלו שתי משוואות "רגילות" שאנו יודעים לפתור.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת השנייה פי 8.
130y – 40x = 250
72y + 40x = -48

נחבר את המשוואות
202y = 202 /:202
y = 1

נציב את ערך ה- y במשוואה הראשונה, לאחר שביטלנו את המכנים ועשינו כינוס איברים.
9y + 5x = -6
9+5x = -6 /-9
5x = -15 /:5
x = -3
תשובה: y = 1, x = -3

6.אינסוף פתרונות ואף פתרון

תרגיל 1
3x – y=-5
9x – 3y=-15

תרגיל 2
2x-2y=10
4x-4y=32

פתרונות

תרגיל 1
פתרו את מערכת המשוואות:
3x – y=-5  (משוואה ראשונה).
9x – 3y=-15  (משוואה שנייה)

פתרון
נכפיל את המשוואה הראשונה ב 3.
נקבל את שתי המשוואות:
9x-3y=-15  (משוואה ראשונה)
9x-3y=-15  (משוואה שנייה)
נחסר את משוואה 2 ממשואה 1 ונקבל:
0=0

ביטוי זה נכון תמיד לכן יש למערכת המשוואות אינסוף פתרונות.
כך המשוואות הללו נראות בגרף:

כאשר לשתי משוואת יש אינסוף פתרונות אלו שתי משוואות המיוצגות על ידי קו אחד.

כאשר לשתי משוואת יש אינסוף פתרונות אלו שתי משוואות המיוצגות על ידי קו אחד.

תרגיל 2
פתרו את מערכת המשוואות:
2x-2y=10 (משוואה ראשונה)
4x-4y=32  (משוואה שנייה)

פתרון
נכפיל את המשוואה הראשונה ב 2 ונקבל את שתי המשוואות:
4x – 4y =20  (משוואה ראשונה)
4x-4y=32  (משוואה שנייה)
נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2.
12=0
ביטוי זה לא נכון אף פעם, לכן למשוואות הללו אין אף פעם פתרון.
כך המשוואות הללו נראות בגרף:

כאשר לשתי משוואות אין פתרון הקווים שהן יוצרות הם קווים מקבילים

כאשר לשתי משוואות אין פתרון הקווים שהן יוצרות הם קווים מקבילים

בעיות אחוזים הדורשות שני שלבים או יותר לפתרון

בדף הקודם למדנו לפתור בעיות אחוזים הנפתרות בשלב אחד.
בדף זה נלמד לפתור בעיות אחוזים הדורשות יותר מפעולה אחת על מנת לפתור אותן.
בדף יש 5 תרגילים.
לתרגילים 1,4,5 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1
מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון
x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

תרגיל 2
בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים במכונית לבית ספר.
קבוצת הנוסעים במכונית גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
מכוון שקבוצת הנוסעים גדולה ב 25% מקבוצת ההולכים האחוז המתאים לה הוא 125% מתוך x.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

תרגיל 3
40% משטח גינה הם דשא ו- 30% משטח הגינה הם עצים. בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון בדרך "מקוצרת"
פער של 10% הוא פער של 15 מטר.
לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך רגילה:
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

המשוואה היא:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

60 = 150 * 0.4   זה שטח הדשא.
תשובה: שטח הדשא הוא 60 מטר רבוע.

תרגיל 4 (שינוי כפול באחוזים)
מחיר מוצר עלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 10%.
בעקבות שני שינויים אלו מחיר המוצר היה 63 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של המוצר?

פתרון
x  המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.
לאחר עליה של 40% מחירו
1.4x
לאחר ירידה של 10% מחירו.
1.4x * 0.9

לכן המשוואה היא:
1.4x * 0.9 = 63
1.26x = 63  / :1.26
x = 50
תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 50 שקלים.

תרגיל 5 (משלב שינוי בשקלים ובאחוזים)
מחיר מוצר עלה ב 20 שקלים. ולאחר מיכן ירד ב 30%.
המחיר הסופי של המוצר הוא 56 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של המוצר?

פתרון
נגדיר
x  המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.

נעקוב אחר השינויים
שינוי ראשון הוא עליה ב 20:
x + 20

שינוי שני הוא ירידה של 30%.

0.7x + 14 = 56
0.7x = 42  / : 0.7
x = 60
תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 60 שקלים.

עוד באתר:

מכשולים בבעיות מילוליות

בדף זה נלמד על מכשולים בבעיות מילוליות. המכשולים יודגמו על בעיות אחוזים אבל תוכלו לפגוש אותם בכול סוג של בעיה. סוגי המכשולים הם:

  1. הוספת מספר במקום הנכון.
  2. קשר בין יותר משני גורמים.
  3. כאשר שואלים אותנו כמה צריך להוסיף…
  4. ידוע לנו סכום של דברים ואנו צריכים לבצע פעולה על כל אחד ממרכיבי הסכום בנפרד.

1.הוספת מספר במקום הנכון

בחלק מהשאלות אנו צריכים להוסיף מספר על מנת ליצור משוואה. ולפעמים הצד במשוואה שצריך להוסיף לו את המספר לא ברור.

דוגמה
מחיר מודם כפול ממחיר מקלדת. מחיר המודם ירד ב 60 שקלים ואילו מחיר המקלדת עלה ב 30%.
לאחר השינויים מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים ממחיר המודם.
מה היה המחיר ההתחלתי של המודם והמקלדת?

פתרון
נגדיר
x  מחיר מקלדת בשקלים לכן 2x  מחיר מודם בשקלים
מחיר המודם ירד ב 60 שקלים.
2x – 60
מחיר המדפסת עלה ב 30%
1.3x

בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "לאחר השינויים מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים ממחיר המודם" נ
שים את מחיר המודם בצד אחד של המשוואה ואת מחיר המקלדת בצד שני.
2x – 60 ≠ 1.3x
ועכשיו, לאיזה צד נוסיף 11 על מנת להפוך את המשוואה לשווה? לצד הקטן יותר.
כתוב "מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים" אז צריך להוסיף 11 למחיר המודם.
2x – 60 + 11 = 1.3x
2x – 49 = 1.3x
0.7x = 49 x = 70
תשובה: המחיר ההתחלתי של המודם הוא 70 שקלים ואילו המחיר ההתחלתי של המודם הוא 60 שקלים.

2.קשר בין 3 גורמים

דוגמה
בשכבת כיתה ח 3 כיתות. בכיתה ח1 35 תלמידים.
בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.
(מגדלים את מספר התלמידים ב- ח2 מבלי לשנות את מספר התלמידים ב- ח3).
כמה תלמידים יש עכשיו (ללא ההגדלה) בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון
35 מספר התלמידים בכיתה ח1.
x מספר התלמידים עכשיו בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.
לאחר התוספת מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:
1.2x
1.2x מספר התלמידים בכיתה ח2 לאחר השינוי.
אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:
1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25
תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

3.בעיות עם שני שלבים

בחממה מבצעים קטיף של פרחים וניתן לארוז אותם בזרים של 8 או 5 פרחים.
שירה הציעה לארוז את פרחי החממה בצורה שבה יהיו 6 יותר זרים קטנים מגדולים.
לילך הציעה שמספר הזרים הגדולים יהיה כפול ממספר הזרים הגדולים שהציעה שירה.
ואילו מספר הזרים הקטנים יקטן ב 8 ביחס להצעת שירה.
בשתי ההצעות כל פרחי החממה נארזו.
מה צורת האריזה שהציעה שירה?

פתרון
שלב א: הגדרת מספר הזרים קטנים / גדולים שיש בכל הצעה
שירה
x  מספר הזרים הגדולים בהצעת שירה.
x + 6  מספר הזרים הקטנים בהצעת שירה.
לילך
2x מספר הזרים הגדולים בהצעת לילך.
x + 6 – 8 = x – 2  מספר הזרים הקטנים בהצעת לילך.

שלב ב: הגדרת מספר הפרחים בכל צורה
בהצעה של שירה מספר הפרחים יהיו:
(8x + 5(x + 6
בהצעה של לילך מספר הפרחים הוא:
(2x * 8 + 5(x – 2

שלב ג: משוואה ופתרונה
מספר הפרחים בשתי הצורות שווה לכן המשוואה היא:
(2x * 8 + 5(x – 2) = 8x + 5(x + 6
16x + 5x – 10= 8x + 5x + 30
21x – 10 = 13x + 40
8x = 40
x = 5

תשובה: שירה הציעה לארוז 5 זרים גדולים ו 11 זרים קטנים.

4.ידוע לנו סכום של דברים ואנו צריכים לבצע פעולה על כל אחד ממרכיבי הסכום בנפרד

דוגמה 
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון
הבעיה בשאלה זו שיש נתונים על ההנחה של השולחן וההנחה של הכיסא.
אבל אין מידע על מחיר הכיסא או מחיר השולחן.
יש מידע על סכום המחירים.
על מנת שנוכל להשתמש בנתונים על השינוי במחיר הכיסא והשולחן עלינו להגדיר את המחיר של כל אחד מיהם בנפרד.

שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא.
y  מחיר שולחן.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650 (משוואה ראשונה)
"15% ממחיר שולחן " זה: 0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה: 0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x
קיבלנו את שתי המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

דרך פתרון שנייה בעזרת נעלם אחד.
x מחיר כיסא.

המשוואה היא "15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
(0.5x = 0.5(650 – x
כאשר נפתור את המשוואה נגיע אל הפתרון שמצאנו קודם.

5.כאשר שואלים אותנו כמה צריך להוסיף…

כאשר שואלים אותנו "כמה צריך להוסיף…" הרבה פעמים זו תוספת המשפיעה על שתי קבוצות. וגם בחירת המשתנה יכולה להיות מבלבלת.

דוגמה
בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות?

פתרון
צריך לשים לב שכאשר מגדילים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.
המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא 30% מתוך 600.
180 = 600 * 0.3

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
x + 600   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.
2x + 360   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי (תיאור זה נובע מכך שלאחר השינוי מספר המוצרים בחנות כפול ממספר מוצרי השוקולד).

בעזרת שתי השורות האחרונות נבנה משוואה.
כל צד במשוואה מתאר בדרך אחרת את מספר המוצרים בחנות.
2x + 360 = x+ 600  /-x-360 x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

עוד באתר:

חזרה על שלושת סוגי בעיות האחוזים

בכיתה ו למדנו על 3 סוגים של בעיות אחוזים:

  1. מציאת חלק מתוך השלם.
  2. מציאת האחוז.
  3. מציאת השלם על פי החלק.

אתם צריכים לדעת את הסוג בראשון באופן יסודי.
הסוג השני פחות חשוב, אבל עדיין מופיע לא מעט.
הסוג השלישי נדיר יחסית.

אתם צריכים לדעת את הסוגים הללו, על ידי לימוד דף זה או לימוד רחב יותר בקישורים שלמעלה.

1.מציאת החלק (סוג ראשון)

בסוג זה של תרגילים נקבל חלק המתואר באחוזים ואנו נצטרך להגיד מה גודלו של החלק הזה במספר.
עושים זאת על ידי:

  1. הפיכת האחוז לשבר.
  2. הכפלת השבר בשלם

זכרו את המשפט "על מנת למצוא חלק משלם מכפילים את החלק בשלם".

דוגמה.
כמה הם 40% מתוך 30?

עונים על כך באמצעות הכפלת החלק (40%) בשלם 30.
את החלק אנו צריכים להפוך לשבר לפני שאנו מציבים אותו במשוואה.
0.4 = 40%
והתרגיל:
12 = 30 * 0.4
תשובה: 40% מתוך 30 הם 12.

2.מציאת האחוז (סוג שני)

בסוג זה יתואר שינוי במספרים ואנו נצטרך לתאר את השינוי באחוזים.
עושים זאת באמצעות:

  1. הפיכת השינוי לשבר.
  2. הכפלת השבר פי 100 (מה שעושים לכל שבר שרוצים להפוך לאחוז).

דוגמה
מחיר ספר עלה מ 80 שקלים ל 100 שקלים.
בכמה אחוזים מחיר הספר עלה?

פתרון
הספר עלה ב 20 שקלים ועלינו להפוך את ה 20 שקלים לאחוזים.
בשלב הראשון עלינו להפוך את ה 20 לשבר.

אנחנו נחלק את ה 20 ב 80 או 100?
התשובה היא שתמיד מחלקים במספר המקורי שהוא במקרה זה 80.

נכפיל את השבר פי 100 על מנת לקבל את האחוז.

תשובה: מחיר הספר עלה ב 25%.

3.מציאת השלם על פי החלק (סוג שלישי)

בשאלות אלו יגידו לנו מה גודלו של חלק מהשלם, באמצעות חלק זה נצטרך למצוא את הגדול של השלם כולו.

במקרים פשוטים נקבל אחוזים שקל להגיע מיהם אל 100%. למשל אם ידוע גודלו של 20% מהשלם נכפיל פי 5 ונמצא את השלם.
במקרים שידוע לנו אחוז שקשה להגיע ממנו ל 100%, נכפיל במספר ההופכי.

דוגמה
במרתף יש יינות לבנים ויינות אדומים.
45% מהינות הם לבנים שהם 36 יינות.
כמה יינות יש במרתף?

פתרון
45% הם 36 יינות.
השבר המתאים ל 45% הוא 45/100.
המספר ההופכי הוא 100/45.
נכפיל את 36 במספר ההופכי.

תשובה: במרתף יש 80 יינות.

נושאים תאורטיים נוספים שתלמידי ח צריכים לדעת

הנושא הראשון חשוב מאוד ובסיסי מאוד.
את שני הנושאים האחרים ני

1.עלייה וירידה באחוזים

אם x הוא המחיר ההתחלתי של מוצר.
אז:
לאחר שהוא עלה ב 30% מחירו יהיה 130% מהמחיר המקורי שהם 1.3x.
החישוב מתבצע כך:

2.סדר העליה והירידה באחוזים אינו משנה (כל עוד השינוי הוא רק באחוזים)

אם מוצר עולה ויורד באחוזים.
זה לא משנה אם הוא יעלה ולאחר מיכן ירד או ירד ולאחר מיכן יעלה.
בשני המקרים הוא יגיע לאותו מחיר.

למשל מוצר שמחירו 50 שקלים עלה ב 20% ולאחר מיכן ירד ב 30%
החישוב התבצע כך:
42 = 0.7 * 1.2 * 50
ואם נהפוך את הסדר ותהיה ירידה של 30% ועליה של 30% החישוב יתבצע כך:
42 = 1.2* 0.7 * 50
אנו רואים שבשני המקרים הגענו לאותה תוצאה.

3.אם מוצר עולה ויורד באותו אחוז המחיר הסופי נמוך מהמחיר ההתחלתי.

נושא זה

חוקי שורשים ונוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נפתור תרגילים המשלבים בין נוסחאות הכפל המקוצר לבין חוקי שורשים.

חוקי השורשים שנשתמש בהם הם:

שזה חוק זהה לחוק החזקה:
an * bn = (a*b)n

ובחוק האומר שפעלת החזקה והשורש מבטלות אחת את השנייה:

נוסחאות הכפל המקוצר הן:

  1. a-b)*(a+b ) = a² – b²) – נוסחה להפרש ריבועים.
  2. a + b)²= a² + 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  3. a – b)²= a² – 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.

דוגמה 1

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a-b)*(a+b ) = a² – b²)
נקבל:

דוגמה 2

פתרון
נפתח סוגריים על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)

עבור האיבר האמצעי נשתמש בנוסחה הבאה ונכניס איבר אל תוך השורש.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a-b)*(a+b ) = a² – b²)
נקבל:

תרגיל 2

פתרון
נפתח סוגריים על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)

עבור האיבר האמצעי נשתמש בנוסחה הבאה ונכניס איבר אל תוך השורש.

תרגיל 3

פתרון
נפתח סוגריים על פי הנוסחה:
a – b)²= a² – 2ab + b²)

עבור האיבר האמצעי נשתמש בנוסחה הבאה ונכניס איבר אל תוך השורש.

נהפוך את ה 2 ל 4√ ונכניס גם אותו אל תוך השורש.

עוד באתר:

כפל וחילוק שברים אלגבריים

שברים אלגבריים מכפילים כמו כפל שברים רגילים: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה.

אבל בשברים אלגבריים יש פעולות שנעשה עוד לפני הכפל:

  1. נפרק לגורמים את המונה והמכנה.
  2. נקבע את קבוצת ההצבה של התרגיל.
  3. נצמצם את השבר אם אפשר.
  4. נבצע את הכפל ונקבל תשובה.

אני מזכיר, כאשר אתם רוצים לפצע פירוק לגורמים עלכם לחשוב על פי הסדר הבא:

  1. הוצאת גורם משותף – של מספר / משתנה.
  2. טרינום / נוסחאות הכפל המקוצר.

תרגיל לדוגמה:

פתרון
שלב א: פירוק לגורמים

שלב ב: תחום הצבה
x ≠ – 3
x ≠ 0
x ≠ 1

שלב ג: צמצום השברים וביצוע הכפל

חילוק שברים אלגבריים

כמו בחילוק רגיל אנו נהפוך את המונה והמכנה של האיבר השני וגם נהפוך את פעולת החילוק לפעולת כפל.

דוגמה.
נקבל את התרגיל:

ונהפוך אותו לתרגיל:

ומכאן נפתור את התרגיל כמו תרגיל כפל.

נפרק לגורמים:

נמצא את תחום ההצבה:
שלב ב: תחום הצבה
x ≠ 10
x ≠ 0
x ≠ – 2

נצמצם את השברים ונבצע את הכפל:

תרגילים

נפתור 3 תרגילים.
תרגילים 1-2 הם כפל שברים אלגבריים.
תרגיל 3 הוא חילוק שברים אלגבריים.

 

תרגיל 1

פתרון
שלב א: פירוק לגורמים

שלב ב: תחום הצבה
x ≠ – 2
x ≠ – 6
x ≠ 2

שלב ג: צמצום שברים אלגבריים וביצוע הכפל

 

תרגיל 2

פתרון
שלב א: נבצע פירוק לגורמים

שלב ב: תחום הצבה
x ≠ – 2
x ≠ – 6
x ≠ 2

שלב ג: צמצום שברים אלגבריים וביצוע הכפל

חילוק שברים אלגבריים

כמו בחילוק שברים רגיל אנו נפתור את התרגיל על ידי הפיכת הסר של המונה והמכנה (באיבר השני) והפיכת פעולת הכפל לפעולת חילוק.

תרגיל 3

פתרון

שלב א: נהפוך את התרגיל לתרגיל כפל

שלב ב: נבצע פירוק לגורמים

שלב ג: תחום הצבה
x ≠ – 10
x ≠ 0
x ≠ 2

שלב ד: נצמצם שברים ונפתור

עוד באתר:

בעיות מילוליות עם חזקות

בדף זה 4 בעיות מילוליות שעל מנת לפתור אותן צריך ידע בחוקי חזקות.
חוק חשוב במיוחד לגבי השאלות בדף זה הוא:
a*b)n = an * bn)

תרגיל 1
בקובייה מגדילים את צלע הקובייה פי 4.
פי כמה גדל נפח הקובייה?

פתרון
הנוסחה לחישוב נפח קובייה היא:
v = a³
כאשר a מסמנת את אורך צלע הקובייה ו v מסמן את הנפח.

4a הוא נפח הקובייה לאחר שהגדילו אותה.
ונפח הקובייה החדש הוא:
v = (4a)³ = 4³*a³
v = 64a³

תשובה: מצאנו כי הנפח של הקובייה המוגדלת הוא 64a³ לעומת הקובייה המקורית a³.
לכן נפח הקובייה גדל פי 64.

תרגיל 2
במעגל מגדילים את הרדיוס פי 5.
פי כמה גדל שטח העיגול?

פתרון
r  הוא רדיוס המעגל המקורי.
ושטחו:
S=₶r²

לאחר ההגדלה:
5r  הוא רדיוס המעגל החדש.
לכן שטח המעגל הוא:
S = ₶(5r)²
S = ₶5²*r² = 25₶r²

תשובה: שטח המשולש גדל פי 25.

**תרגיל 3
הגדילו צלע ריבוע ובעקבות כך שטח הריבוע גדל פי 9 משטח הריבוע המקורי.
פי כמה הגדילו את צלע הריבוע?

פתרון
נגדיר
a  אורך הצלע המקורית בסנטימטר.
לכן השטח המקורי של הריבוע הוא:
S = a²
השטח של הריבוע המוגדל הוא פי 9, לכן 9a².

נמצא את אורך הצלע של הריבוע המוגדל על ידי הוצאת שורש לשטח הריבוע המוגדל.
הסבר מורחב להוצאת מספר מתוך שורש בקישור.
כמו כן נשתמש בנוסחה:

אורך צלע הריבוע המוגדלת היא:
9a²) = √9 * √a² = 3*a)√

צלע הריבוע המקורי הוא a, צלע הריבוע המוגדלת היא 3a. לכן הגדילו את צלע הריבוע פי 3.

תרגיל 4
במבחנה כל חיידק הופך ל 4 חיידקים כל שנייה.
שמו במבחנה חיידק אחד.

  1. רשמו כמה חיידקים יהיו כעבור 1,2,3,4 שניות.
  2. רשמו ביטוי למספר החיידקים כעבור 10 שניות.
  3. רשמו ביטוי למספר החיידקים שיש ב 3 מבחנות ששמו בהן חיידק אחד כעבור 10 שניות.

פתרון
סעיף א
כעבור שנייה אחת:
4 = 4 * 1
41
כעבור שתי שניות:
16 = 4 * 4
42
כעבור שלוש שניות:
64 = 4 * 4 * 4
43
כעבור ארבע שניות:
256 = 4 * 4 * 4 * 4
44

סעיף ב
כעבור 10 שניות מספר החיידקים הוא:
410

סעיף ג
בשלוש מבחנות יהיו פי 3 יותר חיידקים מאשר במבחנה אחת:
410 * 3

עוד באתר:

חוקי חזקות

חוקי חזקות וחוקי שורשים הם החוקים שבעזרתם אנו מבצעים את פעולות החשבון של חיבור, חיסור, כפל, חילוק וחזקה בתרגילים הכוללים חזקות.
למשל את התרגיל:
= 26 * 23
לא היינו פותרים בקלות בלי חוקי חזקות.

בדף זה:

  1. הסבר לחוקי חזקות.
  2. קישורים לנושאים שונים של חוקי חזקות.
  3. 25 תרגילים מסכמים.

1. הסבר לחוקי החזקות

חוקי החזקות חולקו כאן לשלושה חלקים:

  1.  חוקי חזקות בסיסיים.
  2. חוקי החזקות של 0 – 1.
  3. חוקי שורשים.

1.כפל של חזקות עם בסיס זהה
am * an = am + n
דוגמאות:
27 = 23+4 = 24 * 23
x5 * x2 = x2+5 = x7

2.חזקה של חזקה
am)n = am * n)
דוגמה:
x4)5 = x4 * 5 = x20)

3.חזקה על מספר איברים
a*b*c)m = am * bm * cm)
דוגמאות
2x)5 = 25x5)
x*2*y)7 = x7*27*y7)
x3*y2*z)5 = x3*5*y2*5*z5 = x15y10z5)

4.חילוק חזקות

דוגמאות:

5.חזקה שלילית
כאשר יש לנו חזקה שלילית במונה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה חיובית במכנה

כאשר יש לנו חזקה במכנה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה שלילית במונה.

דוגמאות

6.חזקה על שבר

דוגמה:

במקרה והחזקה על השבר היא שלילית החוק נראה כך:

חוקי חזקות עם 0 ו 1

1.כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 40
x0 = 1

2 אחד בחזקת כל מספר שווה ל 1.
1 = 1*1*1 = 1³
1x = 1

3. אפס בחזקת כל מספר השונה מ 0 שווה ל 1.
1 = 06
1 = 0-4

4. אפס בחזקת 0 הוא ביטוי לא מוגדר.
לא מוגדר = 00

חוקי שורשים

כל שורש ניתן לכתוב גם כחזקה.
לכן חוקי החזקות שלמדנו הם גם חוקי שורשים ותוכלו לפתור בעזרת חוקי החזקות כל תרגיל הכולל שורשים.
אם זאת נזכיר מספר חוקים גם בצור של שורש.

1.שורש שני (השורש הרגיל) שווה לחזקת 0.5.
60.5 = 6√
x = x0.5

2.פירוק שורש לשני רכיבים
(קוראים לזה גם הוצאת מספר מחוץ לשורש)

דוגמה

ואותו חוק בכיוון ההפוך משמש לתרגילים של "הכנסת מספר אל תוך השורש":

למשל:

3.כיצד רושמים שורש שאינו ריבועי כחזקה

דוגמה:

ריכוז חוקי החזקות

  1. am * an = am+n
  2. an)m = an * m)
  3. a*b*c)n = an*bn*cn)
  4. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  5. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  6. 1 = 1x

2.קישורים

עבור תלמידים מתחילים מצורפים כאן כ 15 קישורים שהם בעצם קורס מלא בחוקי חזקות וחוקי שורשים.

עבור תלמידים שיודעים את החומר יש לאחר הקישורים 24 תרגילים מסכמים.

אדגיש 4 קישורים שהם עיקר השאלות בנושא חזקות:

  1. כפל חזקות.
  2. חילוק חזקות.
  3. חזקה של חזקה.
  4. חיבור וחיסור חזקות.

קישורים נוספים:

  1. מבוא לחזקות.
  2. חזקה שלילית.
  3. חזקות: איזה ביטוי יותר גדול?
  4. בעיות מילוליות עם חזקות.
  5. כתיבה מדעית של מספרים.
  6. כתיב חזקות (כיצד כותבים כל מספר בצורה של חזקה).
  7. שאלות על חוקי חזקות (שאלות ששאלו תלמידים).
  8. חוקי חזקות סיכום.

חוקי שורשים:

  1. חוקי שורשים (תאוריה + תרגילים. כולל את כל הנושאים).
  2. הכנסת מספר אל תוך השורש.
  3. הוצאת מספר מהשורש.
  4. שילוב של חוקי חזקות וחוקי שורשים.
  5. שילוב של נוסחאות הכפל המקוצר וחוקי שורשים.
  6. חוקי שורשים סיכום תאורטי.

 

תרגילים

בחלק זה 24 תרגילים עם פתרונות מלאים.
התרגילים מיועדים למי שיודע את החומר ורוצה לעשות חזקה.

תרגילים 1-18 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 19-24 הם תרגילי "אתגר".

  1.   = 3x)5 * 9x)
  2.   = 6x²y-4)³)
  3.  = xa+2 * ya – 1 * x * ya * y0.5a * x-4
  4.  = 3b³ + (2b)³
  5. תרגיל חזקות
  6. תרגיל חזקות
  7. פי כמה גדול המספר 620 מהמספר 618 ?
  8. האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?
  9. הוכיחו כי 
  10. כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות.
    1. 72,000,000  (יש 6 אפסים).
    2. 0,00006   (יש 4 אפסים)
  11. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם.
    107 * 2,   105 * 2000,   108 * 20
  12. כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות:
    1. 100
    2. 300
  13. בקובייה הגדילו את אורך הצלע פי 4.
    פי כמה גדל נפח הקובייה?
  14. קבעו מי יותר גדול:
    1. 290  או  560
    2.  2710 או 918
  15. חוקי חזקות, תרגיל
  16. קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
    307   או   320
  17. נתון כי 6x = 4
    חשבו את
    6x + 1
    6x -2
    62x
    6-3x
  18. מה הערך של x בתרגיל זה:
    x*220 = 223 + 221 

פתרונות

תרגיל 1
= 3x)5 * 9x)

פתרון
נפתח את הביטוי 3x)5) בעזרת חוק החזקה:
ab)n = an*bn)
ובנוסף נרשום:
3² = 9

3x)5 * 9x = 35x5 * 32 * x)
x5+1 * 35+2 = x6 * 37

תרגיל 2
= 6x²y-4)³)

פתרון
נשלב בין שני החוקים האלו:
an)m = an * m)
a*b*c)n = an*bn*cn)

6x²y-4)³ = 6³ * x2*3 * y-4 * 3 )
6³ * x6 * y-12

תרגיל 3
xa+2 * ya – 1 * x * ya * y0.5a * x-4

פתרון
נרשום את כל המכפלות של ה x אחת ליד השניה ואת כל המכפלות של ה y אחת ליד השניה.
xa+2  * x * x-4 * ya *ya – 1 * y0.5a
נשתמש בחוק החזקה  am * an = am+n

xa+2+1-4 * ya+a -1+ 0.5a
xa-1 * y2.5a – 1

תרגיל 4

פתרון
נצמצם את את המספרים, את האיקסים ואת ה y. כל אחד מיהם בנפרד:
3 = 2 : 6
x5 : x3 = x²
y : y³ = y -2

פתרון התרגיל

תרגיל 5

פתרון
בהתחלה נסתכל על המונה בנפרד ועל המכנה בנפרד.
נרשום את המספרים אחד ליד השני, איקסים אחד ליד השני ו y אחד ליד השני.
לאחר מיכן נבצע את פעולת הכפל במונה בנפרד ובמכנה בנפרד.

לאחר מיכן נבצע את פעולת החילוק בין המונה למכנה.

תרגיל 6
= 3b³ + (2b)³

פתרון
בשלב הראשון לא ניתן לבצע חיבור כי באיבר אחד החזקה היא על ה b בלבד 3b³ ואילו באיבר שני היא על ה b ועל מספר 2b)³).

לכן קודם נפתח את הסוגריים בעזרת החוק
a*b)n = an * bn)
ורק לאחר מיכן נחבר:
3b³ + (2b)³  = 3b³ + 2³*b³ = 3b³ + 8b³ = 11b³

תרגיל 7

פתרון

תרגיל 8

תרגיל חזקות

פתרון
נשתמש בחוקי החזקות הבאים ונקבל:

ונקבל:

תרגיל 9

תרגיל חזקות

פתרון
כאשר אנו פותרים תרגיל נשאף שיהיו לו כמה שפחות בסיסים.
נשים לב שניתן להפוך :

  1. את הבסיס 4 לבסיס 2.
  2. את הבסיס 6 לבסיס 2*3.

כך נשאר עם שני בסיסים בלבד שהם 2,3 ונוכל לצמצם בניהם.

פתרון התרגיל

פתרון התרגיל

תרגיל 10
פי כמה גדול המספר 620 מהמספר 618 ?

פתרון
נזכור כי:
6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6 = 620  (20 פעמים)
6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6*6= 618 (18 פעמים).
לכן
6* 6 * 618 = 620
618 * 36 = 620 
לכן: 620 גדול פי 36 מ 618.

דרך אחרת לפתור את התרגיל היא בעזרת החוק:
am* n = am * an
618 * 62 = 618+2 = 620

תרגיל 11
האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?
אם כן, מה הם המקרים?

פתרון
כאשר x הוא מספר שלילי.
x7 הוא מספר שלילי.
x6 הוא מספר חיובי.
לכן כאשר:
x < 0
אז:
x7 < x6

אפשרות נוספת
כאשר:

כאשר x הוא בתחום הזה ככול שמכפילים אותו בעצמו יותר פעמים אז הוא קטן ומתקיים
x7 < x
(דוגמה נוספת לתכונה זו היא:
0.5 > 0.5²)

תרגיל 12

פתרון
נשתמש בחוק השורשים:

ונקבל:

תרגיל 13
הוכיחו כי

פתרון
בתרגיל זה עלינו להוציא מספר מחוץ לשורש.
על מנת לעשות זאת עלינו למצוא כפולה השווה ל 63 וכוללת מספר שיש לו שורש "עגול".
זאת תהיה הכפולה:
63 = 7 * 9
כאשר ל 9 יש שורש עגול.

תרגיל 14
כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות.

  1. 72,000,000  (יש 6 אפסים).
  2. 0,00006   (יש 4 אפסים).

פתרון
סעיף א
הכלל בכתיבה מדעית אומר שאנו רוצים מספר הנמצא בין 1 ל 10 כפול 10 בחזקת משהו.
הכלל השני אומר היא שהחזקה על ה 10 תהיה שווה למספר המקומות שהזזנו את הנקודה העשרונית.
107 * 7.2 = 72,000,000

סעיף ב:   0,00006
כאן אנו צריכים להזיז את הנקודה העשרונית ב 5 מקומות.
10-5 * 6 = 0,00006

תרגיל 15
סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם.
107 * 2,   105 * 2000,   108 * 20

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל ננסה לכתוב את כל המספרים עם אותה חזקה.
החזקה הקטנה ביותר היא 105. לכן נוח לכתוב את כל המספרים איתה.
105 * 100 * 2 = 107 * 2
105 * 1000 * 20 = 108 * 20

שלושת המספרים שקיבלנו הם:
105 * 100 * 2
105 * 1000 * 20
105 * 2000

לכן סדר המספרים הוא:
105 * 1000 * 20  >  105 * 2000 > 105 * 100 * 2

ואם נרשום את זה במספרים המקוריים:
108 * 20 > 105 * 2000 > 107 * 2

תרגיל 16
כתבו את המספרים הבאים בכתיב חזקות:

  1. 100
  2. 300

פתרון
יש שתי דרכים לפתור תרגילים מסוג זה.
דרך הדורשת ידע בלוח הכפל + מזל.
דרך טכנית אבל בטוחה של פירוק מספר לרכביו הראשוניים.

הדרך השנייה ארוכה יותר ונלמד אותה בדף כתיב חזקות.
כאן נדגים את הדרך שראשונה שהיא דורשת פחות לימוד ויותר מזל.

סעיף א: 100
ננסה לפרק את המספר 100 לכפולה של שני מספרים.
למשל
100 = 25 * 4
עכשיו נפרק כל אחד מהמספרים שקיבלנו לגורמיו הראשוניים.
100 = 5 * 5 * 2 * 2
100 = 5² * 2²
וזה הפירוק המבוקש.

הערה: גם אם היינו מפרקים את 100 ל:
100 = 10 * 10
היינו מגיעים לאותה תשובה כך:
100 = 5 * 2 * 5 * 2
100 = 5² * 2²

סעיף ב:  300
כבר פירקנו את המספר 100, לכן כל מה שנותר לנו להוסיף זה את המספר 3.
300 = 100 * 3
300 = 100 = 5² * 2² * 3
זה הפירוק המבוקש.

תרגיל 17
בקובייה הגדילו את אורך הצלע פי 4.
פי כמה גדל נפח הקובייה?

תזכורת: אם a הוא אורך צלע הקובייה אז נפח הקובייה הוא a³.
(נהוג לסמן את הנפח באות v).

פתרון
נגדיר
a אורך צלע הקובייה בסנטימטרים
לכן נפח הקובייה המקורית לפני שהגדילו אותה הוא:
v = a³

3a הוא אורך צלע הקובייה לאחר שהאריכו אותה פי 3.
נפח הקובייה הוא:
v = (3a)³

עכשיו נשתמש בחוק החזקה:
a*b)n = an * bn)
ונקבל:
v = (3a)³ = 3³ * a³
v = 27a³

נפח הקובייה המקורית הוא a³ נפח הקובייה המוגדלת הוא 27a³ לכן הקובייה גדלה פי 27.

תרגיל 18
קבעו מי יותר גדול:

  1. 290  או  560
  2.  2710 או 918

פתרון
בתרגילים אלו המטרה שלנו תהיה להשוות את מעריך החזקה או בסיס החזקה על סמך חוק החזקה.
הפעולה תמיד תתבסס על חוק החזקה הזה:
am)n = am * n)

סעיף א:   290  או  560 
במקרה זה לא ניתן להביא את המספרים 2 ו 5 לאותו בסיס.
אבל ניתן להביא את שני מעריכי החזקה למעריך חזקה 30.

מכך נובע:
560 > 290

סעיף ב:   2710 או 918
במקרה זה אנו יכולים להביא את שני בסיסי החזקה לאותו בסיס שהוא 3.

נובע מכך:
918 > 2710

הערה 1
מדוע אנו לא יכולים לענות על השאלה:
מי יותר גדול  290  או  560 .
ישירות?
מדוע לא ניתן לראות ישר את התשובה?
זה נובע מכך שלבסיס הגדול (5) יש את החזקה הקטנה (60).

אם הבסיס הגדול היה מקבל גם את החזקה הגדולה, כמו למשל במקרה הזה:
560  או  340
אז היינו יכולים לקבוע מיד וללא חישוב ש 560 גדול יותר כי הוא בסיס החזקה ומעריך החזקה הגדולים יותר.

הערה 2
יש תרגילים לא ניתן להשוות את בסיס החזקה וגם לא את מעריך החזקה אבל עדיין ניתן לקבוע מה יותר גדול.
דוגמה לכך תוכלו למצוא בתרגילי האתגר שבהמשך.

תרגילי אתגר – קשים מהרגיל

תרגיל 19

חוקי חזקות, תרגיל

פתרון
ניתן ללמוד כאן כיצד להתייחס לשבר משולש שכזה.
לאחר שמבינים את השבר הפתרון לא קשה.

תרגיל 20
(מקרה שלא ניתן להשוות בו את מעריך החזקה ולא את בסיס החזקה).
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
307   או   320

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן לגרום לשני הבסיסים להיות שווים (אין קשר של חזקה בין 3 ל 30).
וגם לא ניתן להשוות את מעריכי החזקה 7 ו 3.

לכן מה שנעשה זה להביא את בסיס החזקה / מעריך החזקה להיות שווים "בקירוב".
ל 30 אין שורש "עגול" לכן לא נגע בו.

ננסה לקדם את המספר 3 להיות קרוב ל 30 וזה על ידי הפיכתו ל 27.

ועכשיו מה שאנו צריכים לקבוע זה
307   או   276.66

לשאלה זו כבר ניתן לענות.
ל 30 יש גם בסיס חזקה גדול יותר וגם מעריך חזקה גדול יותר. לכן הוא המספר הגדול יותר.
307 > 276.66
307  > 320

תרגיל 21

פתרון
לחלקכם יהיה נוח לרשום את התרגיל עם חזקות בלבד וללא שורשים על מנת להגיע לתשובה הנכונה:

תרגיל מסוג זה יש שתי דרכים לפתור.
הדרך הראשונה לדעתי קלה יותר להבנה ואילו הדרך השנייה קצרה יותר בחישובים.

דרך ראשונה
בדרך זו קודם נשתמש בחוקי החזקות בתוך השורש ולאחר מיכן ניפטר מהשורש.

שלב א: נפשט את הביטויים שבתוך השורש
נשתמש בחוקי החזקות הבאים:
am)n = am * n)
a*b*c)m = am * bm * cm)

שלב ב: "ניפתר" מהשורש
נשתמש בחוק האומר:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ג: נפשט את הביטוי
נשתמש בחוקים
am * an = am + n

ונפשט את התרגיל.

דרך שנייה
בדרך זו קודם "ניפתר" מהשורש ולאחר מיכן נפתח כל ביטוי.
בדרך זו פחות חישובים אבל לא תמיד היא מובנת.

שלב א: ניפתר מהשורש
על ידי שימוש בחוקים:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ב: נפשט את הביטוי
על ידי שימוש בחוק
am)n = am * n)

נמשיך עם החוקים
am * an = am + n

ונגיע לתשובה.

תרגיל 22

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)
נכתוב את המכנה מצד שמאל כחזקה חיוביות במונה.

כמו כן נכפיל את המשוואה ב  12ונקבל:
33n * 22n * 12n  = 1

נפרק את המספר 12 ל:
12 = 3 * 2 * 2
33n * 22n * (2*2*3)n  = 1

נשתמש בחוק החזקה:
a * b) n = an * bn)
33n * 22n * 2n * 2n * 3n  = 1
34n * 24n  = 1

נשתמש באותו חוק אבל בכיוון ההפוך:
an * bn = (a * b) n

על מנת להביא את שני בסיסי החזקה לאותו מספר נשתמש בכלל:
60 = 1

תרגיל 23
נתון כי 6x = 4
חשבו את
6x + 1
6x -2
62x
6-3x

פתרון
עלינו לבטא את כל אחד מהביטויים שלמעלה בעזרת 6x.
נעשה זאת בעזרת שימוש בחוק החזקה:
 am + n = am * an

סעיף א: 6x + 1 
6x + 1  =  6x * 6¹
עכשיו נשתמש בנתון:
6x = 4
ונקבל:
6x * 6 = 4* 6 = 24

סעיף ב: 6x -2 

סעיף ג: 62x 

62x = 6x * 6x = 4 * 4 = 16

סעיף ד: 6-3x  

תרגיל 24
מה הערך של x בתרגיל זה:
x*220 = 223 + 221 

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל נרצה שהביטוי היחידי עם חזקה בתרגיל הנוכחי יהיה 220.
למה דווקא 220 ולא אחד מהביטויים האחרים?
כי הוא הביטוי הקטן ביותר ונוח לקחת את הביטויים הגדולים ולהפוך אותם לקטנים. ולא את הקטן להפוך לגדול יותר.

על מנת לעשות זאת נשתמש בכלל:
 am + n = am * an

נחזור לתרגיל:
x*220 = 223 + 221  
x*220 =  220 * 23 + 21 * 220
x*220 =  220 * 8 + 2 * 220
x*220 = 10* 220

מכך נקבל:
x = 10

עוד באתר:

נספח: סיכום הדרכים לפתרון תרגילים

נסכם כאן את הדרכים לפתרון תרגילים.

1.שילוב של שני חוקים

תרגילים המשלבים בין שני החוקים
a*b*c)n = an * bn * cn)
am)n = am * n)
נפתור בצורה הזו:

דוגמה
a3*b2*c)5 )

פתרון
קודם כל נשתמש בחוק:
a*b*c)n = an * bn * cn)
ונקבל:

עכשיו נשתמש בחוק:
am)n = am * n)
ונקבל:

2.מונה ומכנה עם מספר איברים

פתרון
שלב א
נתייחס אל המונה בנפרד ואל המכנה בנפרד.
נרשום כל שני איברים דומים אחד ליד השני ונבצע כפל בניהם.

שלב ב
נצמצם בין מונה ומכנה.

3.חיבור וחיסור חזקות

כאשר יש חיבור או חיסור חזקות עלינו להקפיד שבסיס החזקה שווה וגם מעריך החזקה שווה.

דוגמה 1
2x³ + 5x³ = 8x³

דוגמה 2
= 3x)² – 4x²)

קודם נשתמש בחוק:
a*b)n = an * bn)
9x² – 4x² = 5x²

דוגמה 3
= 4x6 + 3x5
בתרגיל זה לא ניתן לעשות חיבור כי החזקות אינן שוות.
על איבר אחד יש חזקת 6 ועל איבר שני חזקת 5.

4.שאלות "מי יותר גדול"

משתמשים בחוק
am)n = am * n)
על מנת ליצור מעריך חזקה שווה או בסיס חזקה שווה.

קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
210   או   415

פתרון
ננסה להציג את שני הביטויים בעזרת הבסיס 2.
נשתמש בחוק:
am)n = am * n)

230 גדול יותר מ 215 לכן ניתן לקבוע:
415 > 210

הוצאת מספר מתוך השורש

בדף זה נלמד להוציא מספר מחוץ לשורש.
דף זה הוא חלק מפרויקט חוקי השורשים וחוקי החזקות שבאתר.

שני החלקים בדף הם:

  1. שלבי פתרון ודוגמאות.
  2. תרגילים.

על מנת להוציא מספר מתוך השורש עליכם להשתמש בחוק השורשים / חוק החזקה הבא:

חוק שורשים זה מבוסס על חוק החזקה:
a*b)n = an * bn)

1.שלבי הפתרון, דוגמאות

על מנת להוציא מספר מתוך השורש נפעל בשני שלבים.

שלב 1:
נפרק את המספר שבתוך השורש לכפל של שני מספרים. אחד מהמספרים הללו צריך להיות מספר עם שורש שהוא מספר שלם.

שלב 2:
נשתמש בחוק

ונכתוב את הביטוי שקיבלנו כ 2 שורשים שונים (ובכך הוצאנו מספר מחוץ לשורש).

דוגמה 1

פתרון
שלב 1: פירוק המספר 12 לשני מספרים, לאחד מיהם צריך להיות שורש עגול
ניתן לכתוב:
2 * 6 = 12
3 * 4 = 12
הדוגמה הראשונה כוללת שני מספרים (2,6) שלאף אחד מיהם אין שורש עגול. לכן הפירוק הזה לא טוב לנו.

לעומת זאת הפירוק ל 3*4 הוא טוב כי ל 4 יש שורש עגול.

שלב 2: שימוש בחוק השורשים על מנת לפצל את שני המספרים הנמצאים בתוך השורש
נשתמש בחוק:

ונקבל:

דוגמה 2

פתרון
שלב 1: פירוק המספר 50
את המספר 50 ניתן לפרק בצורות הבאות:
2 * 25 = 50
5 * 10 = 50

הפירוק של 10 * 5 כולל שני מספרים ללא שורש עגול ולכן לא טוב לנו.
לעומת זאת בפירוק 2 * 25 למספר 25 יש שורש עגול לכן נבחר בפירוק הזה.

שלב 2: הוצאת מספר מחוץ לשורש
נשתמש בחוק הבא:

ונוציא מספר מחוץ לשורש:

2.תרגילים

בכול התרגילים הבאים עליכם להוציא מספר שלם מחוץ לשורש.

תרגיל 1

פתרון
את המספר 90 ניתן לפרק בדרכים הבאות:
2 * 45 = 90
3 * 30 = 90
9 * 10 = 90

בפירוק 9 * 10 למספר 9 יש שורש שלם, לכן נשתמש בפירוק זה:

בעזרת החוק הבא נוציא מספר מחוץ לשורש ונפשט

תרגיל 2

פתרון
את המספר 300 ניתן לפרק בהרבה צורות:
2 * 150 = 300
3 * 100 = 300
10 * 30 = 300
15 * 20 = 300

הצורה היחידה הכוללת מספר שיש לו שורש עגול היא 3 * 100.
לכן נפרק בדך זו:

תרגיל 3

פתרון
את המספר 80 ניתן לפרק בכמה צורות:
2 * 40 = 80
4 * 20 = 80
5 * 16 = 80
10 * 8 = 80

כאן יש לנו שתי צורות פירוק הכוללות מספר עם שורש עגול:
4 * 20 = 80
5 * 16 = 80

אם נפרק 4 * 20 נקבל:

ואם נפרק 5 * 16 נקבל:

תרגיל 4
פשטו את הביטוי הבא (הפכו אותו לביטוי אחד).

פתרון
שלב 1
נפרק את שני המספרים שבתוך השורש למכפלה של שני מספרים.

את המספר 12 ניתן לפרק כך:
4 * 3 = 12
את המספר 75 ניתן לפרק כך:
25 * 3 = 75

נבצע את הפירוק ונקבל:

שלב 2
נשתמש בחוק

ונקבל:

3√7 זו התשובה הסופית.

 

 

הכנסת מספר אל תוך השורש

יש שני סוגי תרגילים של הכנסת מספר לתוך השורש.

סוג 1: אנו צריכים להפוך שני שורשים לשורש יחיד.
למשל התרגיל:

סוג 2: יש מספר ושורש ואנו צריכים להפוך אותם לשורש יחיד.
למשל התרגיל:

בדף זה נלמד כיצד פותרים את שני סוגי התרגילים הללו.
לאחר ההסברים והדוגמאות יש תרגילים.

1.הכנסת שני שורשים תחת שורש אחד

על מנת להכניס שני שורשים תחת שורש אחד אנו נשתמש בחוק השורשים:

חוק זה הוא בעצם חוק החזקות הבא:
an * bn = (a*b)n

כאשר n = 0.5 במקרה של שורש.
a = a0.5

דוגמאות

דוגמה 1

פתרון
נשתמש בחוק, ונכניס את שני המספרים לשורש אחד:

נפשט את התרגיל

דוגמה 2

פתרון
נשתמש בחוק, ונכניס את שני המספרים לשורש אחד:

נפשט את התרגיל

2.הכנסת מספר ושורש תחת שורש אחד

למשל התרגיל:

בתרגילים כאלו המטרה שלנו תהיה לכתוב את המספר "5" כשורש.
לאחר שנעשה זאת נקבל תרגיל עם שני שורשים, ואת זה אנו כבר יודעים לפתור.

את "5" נכתוב כשורש בצורה הזאת:
5²√ = 5
(השוויון הזה זה משהו שעליכם לדעת.
מה שעשינו כאן זה להעלות בריבוע ולהוציא שורש למספר 5. ומכוון שעשינו שתי פעולות הפוכות הערך של המספר נשמר)

עכשיו נציב את השוויון במשוואה המקורית ונקבל:

קיבלנו מכפלה של שני שורשים ואת זה למדנו לפתור למעלה בעזרת החוק:

בעזרת החוק נשלים את פתרון התרגיל:

דוגמאות

דוגמה 1

פתרון
שלב 1
נכתוב את המספר 10 בצורה של שורש וחזקה.
10²√ = 10

שלב 2
נכניס את המספר על לתוך השורש.

3.תרגילים

  1. *

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון

*תרגיל 6

פתרון
על מנת שיהיה לנו יותר ברור על פי איזה חוק חזקה אנו עובדים נעביר את השורש לחזקה:

נשתמש בחוק הזה:
an * bn = (a*b)n
על מנת להכניס את הביטויים (x – 2) (x +3) תחת חזקה יחידה.

נכנס איברים ונחזור להציג את התשובה כשורש:

עוד באתר: