פרבולה קורס היסודות

בדף זה קורס בנושא היסודות של הפרבולה.
הקורס כולל 3 חלקים:

  1. קישורים לדפים בכול הנושאים.
  2. סיכום קצרצר של החומר (או סיכום ארוך).
  3. תרגילים מסכמים.

בנוסף באתר תוכלו למצוא קורס מתקדם בנושא פרבולה.

1.קישורים

קישורים לכל נושאי הקורס.

  1. מציאת נקודה על פרבולה.
  2. קודקוד פרבולה.
  3. ציר הסימטריה.
  4. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וה X
  5. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
  6. פרבולה עולה או יורדת.
  7. שרטוט גרף פרבולה.
  8. פרבולה חיובית או שלילית.

2.סיכום קצרצר

בדף זה סיכום קצרצר של החומר.
אם תרצו סיכום מקיף יותר הכולל תרגילים וסרטוני וידאו תוכלו למצוא אותו בדף פרבולה יסודות סיכום.

1.כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על פרבולה?
מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה.
אם יוצא משהו שהוא תמיד נכון אז הנקודה על הפרבולה.
אם יוצא משהו שהוא תמיד לא נכון אז הנקודה לא על הפרבולה.

2.מציאת קודקוד הפרבולה
כאשר נתונה משוואת פרבולה y=ax²+bx+c
מוצאים את הקודקוד בשני שלבים.

1.את ערך ה x של הקודקוד מוצאים על ידי הצבה בנוסחה:

קודקוד הפרבולה

2.את ערך ה y של הקודקוד מוצאים על ידי הצבת ערך  ה x שמצאנו קודם לכן במשוואת הפרבולה.

3. ציר הסימטריה
ציר הסימטריה הוא ערך ה x של הקודקוד.
אם קודקוד נמצא בנקודה (5,2)
אז ציר הסימטריה הוא הישר x = 5.

אם נתונה לנו משוואת פרבולה נשתמש בנוסחה שלמעלה למציאת ערך ה x של קודקוד הפרבולה וזה יהיה ציר הסימטריה של הפרבולה.

4. חיתוך עם הצירים
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה x מציבים y =0 במשוואת הפרבולה.
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה y מציבים x =0 במשוואת הפרבולה.

5. פרבולת מינימום או מקסימום
אם משוואת הפרבולה היא:
y = ax² + bx + c
אז כאשר a > 0 הפרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).
וכאשר a < 0 הפרבולה עם נקודת מקסימום (בוכה).

6.שרטוט גרף פרבולה
על מנת לשרטט סקיצה של גרף פרבולה אתם צריכים לדעת 3 דברים:

  1. נקודות חיתוך עם ציר ה X.
  2. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. במידה ואתם צריכים להיות מדויקים מוסיפים את שיעור קודקוד הפרבולה.
    ואם נדרש ממכם תוסיפו גם את נקודת החיתוך עם ציר ה Y.

7.תחומי עליה וירידה
על מנת לזהות תחומי עליה וירידה של פונקציה נסתכל על הפרבולה משמאל לימין.

  1. כאשר אנו רואים עליה הפרבולה עולה.
  2. כאשר אנו רואים ירידה הפרבולה יורדת.

8. תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה
הפרבולה חיובית כאשר היא נמצאת על מעל ציר ה x
למציאת תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה יש 4 שלבים:

מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
זיהוי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום על ידי ערך ה a  במשוואת הפרבולה.
שרטוט סקיצה של הפרבולה על פי סעיפים 1 ו 2.
כתיבת התשובה.

3.תרגילים

בחלק זה 5 תרגילים מסכמים.
תרגילים 1-3 הם תרגילי הכנה.

תרגילים 4-5 ארוכים יותר ושניהם ביחד מסכמים את החומר כולו.

תרגיל 1 (מציאת קודקוד)
מצאו את נקודת הקודקוד של הפרבולה שמשוואתה y=2x²+6x-1

פתרון
שלב 1: נמצא את ערך ה X של הקודקוד.

a=2, b=6
קודקוד הפרבולה
1.5

ערך ה X של הקודקוד הוא 1.5-.

שלב 2: נמצא את ערך ה Y של הקודקוד.
y=2x²+6x-1
נציב x = -1.5
y=2*(-1.5)²+6*(-1.5)-1
y=4.5 -9-1= -5.5
תשובה: נקודת הקודקוד הפרבולה היא (5.5 – ,1.5-)

מכוון שהמקדם של x² הוא חיובי (2) זו פרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).

קודקוד הפרבולה y=2x²+6x-1
קודקוד הפרבולה y=2x²+6x-1

תרגיל 2
שרטטו את גרף הפרבולה
y = x² – 3x -4

פתרון
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x
בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נמצא כי ערכי ה x של נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
x = 4,  x = -1
נשים את שתי הנקודות הללו על מערכת הצירים.

שלב 2: מיקום נקודת הקודקוד בשרטוט
לפרבולה y = x² – 3x -4
a > 1
ולכן יש לפרבולה נקודת מינימום.
כלומר קודקוד הפרבולה נמוך יותר מכל נקודה על הפרבולה ונמצא מתחת לציר ה x.

שלב 3: נשרטט את הפרבולה
נעביר פרבולה בין שלושת הנקודות.

 

תרגיל 3
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x2-x-6  עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x -3) + 2(x – 3) = 0
x – 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:
x=3,   x= – 2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם  (0, 2-)  (0,  3).

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0
y=x2-x-6
y = 0² – 0 – 6
y = -6
נקודת החיתוך היא 6-, 0.

גרף הפרבולה

 

תרגיל 4 (תרגיל מסכם)
נתונה הפרבולה f(x) = x² – 3x – 10 מצאו את:

  1. האם הנקודה (1,1) נמצאת על הפונקציה? אם לא מצאו נקודה שרירותית הנמצאת על הפונקציה.
  2. מה היא נקודת קודקוד הפרבולה?
  3. האם זו פונקציית מינימום או מקסימום?
  4. מה הם נקודות החיתוך עם ציר ה- X וציר ה- Y.
  5. שרטטו את גרף הפונקציה.

פתרון

סעיף א: נקודה על הפרבולה
נציב את הנקודה 1,1 במשוואת הפרבולה.
10 – 1 * 3- 1² = 1
10 – 3 – 1 = 1
12- = 1
זה אינו נכון לכן הנקודה (1,1) אינה על הפונקציה.

נמצא נקודה שכן נמצאת על הפונקציה. לשם כך נוכל להציב כל x אבל לרוב נוח וקל להציב x=0.
y = 0² -3* 0 – 10
10- =y.
נקודה שנמצאת על הפונקציה היא (10-, 0).

סעיף ב: מציאת ערך קודקוד הפרבולה וציר הסימטריה
f(x) = x² – 3x – 10
ערך ה- x של הקודקוד מתקבל על ידי הנוסחה:
קודקוד פרבולה

1.5

נציב את x = 1.5 בפונקציה על מנת לקבל את ערך ה- y.
y = 1.5² – 3*1.5 – 10
y = 2.25 – 4.5 – 10
y = -12.25
נקודת קודקוד הפרבולה היא (12.25-, 1.5).

ציר הסימטריה הוא ערך ה x של הקודקוד. לכן:
x = 1.5

סעיף ג: מינימום או מקסימום
המקדם של X² הוא חיובי (1) ולכן זו פונקציה ריבועית עם נקודת מינימום.

סעיף ד: נקודות החיתוך עם ציר ה- X וציר ה- Y.
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- y מציבים x=0.
f(x) = x² – 3x – 10
y = 0² -3* 0 – 10
10- =y.
הנקודה  (10-, 0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה- Y.

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- x מציבים y=0.
0=x² -3x-10
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
0=x² – 3x – 10
0=x² + 2x – 5x – 10
(x(x+2) – 5(x+2
x-5) (x+2) = 0)
הפתרונות הם: x = 5  או x = -2.
נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן (5,0)  (0, 2-).

סעיף ה: שרטטו את גרף הפונקציה
על מנת לשרטט סקיצה של פרבולה הדברים שחשוב שנשים אליהם לב הם:

  1. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  2. נקודת הקודקוד.
  3. נקודות חיתוך עם הצירים.
שרטוט של f(x)=x² -3x-10
שרטוט של f(x)=x² -3x-10

תרגיל 5(תרגיל מסכם)
בשרטוט מצורף גרף הפרבולה f (x) = -2x²  + 6x – 4
נקודת הקודקוד של הפרבולה היא (1.5,0.5).
ונקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
(1,0)  (2,0)

  1. מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה.
  2. מה הם תחומי העליה והירידה של הפרבולה.
  3. הנקודה 4-, 3 נמצאת על הפרבולה. מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.

שרטוט הפרבולה

פתרון
סעיף א: תחומי חיוביות ושליליות
כאשר אומרים פרבולה חיובית מתכוונים לערכי y או (f(x גדולים מ 0.
בגרף אלו המקומות שנמצאים מעל ציר ה x.
ומכוון שנקודות החיתוך הם x = 1, x = 2 הפרבולה חיובית ב:

הפרבולה שלילית כאשר הגרף שלה מתחת לציר ה x וזה קורה ב:
x > 2  או  x < 1.

סעיף ב: תחומי עליה וירידה
אין קשר בין תחומי עליה וירידה לתחומי חיוביות ושליליות.

מהתבוננות בגרף ניתן לראות שהפונקציה עולה משמאל לנקודת הקודקוד.
ויורדת מימין לנקודת הקודקוד.
תחום העליה x < 1.5
תחום הירידה x > 1.5

סעיף ג: נקודה סימטרית לנקודה 4-, 3
לנקודות סימטריות על פרבולה יש שתי תכונות:
1.יש להם את אותו ערך y.
2. הם באותו מרחק על ציר ה x מנקודת הקודקוד.

לכן אנו יכולים להציב y = -4 במשוואת הפרבולה ולמצוא את הנקודה:
2x²  + 6x – 4 = -4-
2x² + 6x = 0-
2x (-x + 3) = 0

הפתרונות הם:
2x = 0
x = 0
או
x + 3 = 0-
x = 3

x = 3 זו הנקודה שקיבלנו ולכן הנקודה המבוקשת היא:
4-, 0

דרך שנייה למציאת הנקודה הסימטרית
אנו יודעים שלשני הנקודות הסימטריות מרחק שווה מנקודת הקודקוד כל ציר ה x.
המרחק של 4-, 3 מ (1.5,0.5) הוא 1.5
לכן ערך ה x של הנקודה הסימטרית יהיה
0= 1.5 – 1.5

אנו יודעים שערכי ה y של נקודות סימטריות שווה.
לכן הנקודה הסימטרית היא (4-, 0)

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “פרבולה קורס היסודות”

  1. ואווו אתה לא מבין איך האתר הזה עזר לי בטירוף לפני 9 חודשים הייתי ב3 יחידות ועכשיו אני בקבוצה של 5 יחידות והכל בזכות האתר הנפלא הזה תמשיכו ככה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אוריאל
      שמח מאוד לשמוע שזה כך. ממש תענוג.
      מאחל לך שתמשיך לעשות מאמצים ותתקדם.

  2. היי רציתי לדעת איך אפשר למצוא את הייצוג האלגברי של פרבולה על פי שתי נקודות על ציר ה-x ונקודת קודקוד במשפחת הפרבולות y=ax²+c

  3. שלום. רציתי לשאול למה משתמשים במשוואות ובגרף בy שווה וכ' ולא בx שווה כלומר האם זה משנה על מה מרכיבים את המשוואה?

  4. הייתי שמחה לדעת איפה נמצא תרגול סופי על כל נושא הבפרבולות ומשוואות הישר
    תודה רבה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שרית.
      אם היית מצרפת את מספר השאלון היה יותר קל לתת תשובה מדויקת.
      בכול אופן עבור שאלון 802 בסוף דף זה יש שאלות ברמת בגרות
      http://www.m-math.co.il/3/381/parabola-381-3-units/
      עבור משוואת הישר יש הסברים על החומר שאני ממליץ לעבור עליהם אבל אין שאלות מסכמות

      עבור שאלון 801 נושא משוואת הישר נמצא כאן,
      http://www.m-math.co.il/182/analytic-geometry-3-units/
      עבור שאלון 803 נושא משוואת הישר נמצאת כאן
      http://www.m-math.co.il/3/382/linear-function-803/
      בהצלחה

      נ.ב אני ממליץ לעבור דרך הקישורים שנמצאים באתר:
      בגרות במתמטיקה (ברמה שאת לומדת) >>> מספר השאלון >> ושם תוכלי למצוא כל נושא הקשור לשאלון.
      וכמובן שניתן גם לשאול

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.