משוואה עם נעלם אחד ומספר במכנה

בכיתה ח אתם נדרשים לדעת לפתור משוואות עם נעלם הכוללות מכנה.
בדף זה הסבר כיצד פותרים משוואות שיש להן מספר במכנה.
בדף ההמשך נלמד כיצד פותרים משוואה עם נעלם במכנה.

בדף זה 6 חלקים:

1. תקציר.
2. תרגילים עם שבר אחד.
3.  תרגילים עם שני שברים.
4. תרגילים עם סימן מינוס בשבר.
5. תרגילים ארוכים וקשים יותר.
6. מידע על 8 מכשולים שאתם יכולים להיתקל בהם בזמן הפתרון.

לפני דף זה עליכם לדעת:

• פתרון משוואה עם נעלם אחד (ללא מכנה).
• מציאת מכנה משותף (חובה לצורך פתרון משוואות עם יותר ממכנה אחד).

1.תקציר

שלושת הסרטונים הבאים מלמדים שלב אחר שלב כיצד לפתור משוואת עם מספר במכנה.
ניתן ללמוד מהסרטונים או מ 7 התרגילים שבאים לאחר מיכן.

כאשר יש לנו משוואה עם מספר במכנה המטרה שלנו היא לעבור למצב שבו אין מכנה.
עושים זאת על ידי פעולת הכפל.

בחלק זה נעבור על 7 תרגילים ובכל תרגיל נלמד משהוא.

תרגיל 1

פתרון

1. כאשר יש מכנה יחיד על מנת לפתור מכפילים במכנה.
2. צריך להכפיל את כל האיברים הנמצאים במשוואה (גם את ה 6)

תרגיל 2

פתרון

1. לא תמיד נשאר לאחר הכפל עם 1x. במקרה זה נשאר עם 2x.

תרגיל 3

פתרון

1. לפני שאנו מכפילים נבדוק אם יש אפשרות לבצע כינוס איברים. ביצוע כינוס איברים יקצר את פתרון התרגיל.

2.כמו כן נשים לב למצב שיש מינוס לפני השבר.

תרגיל 4

פתרון
מתרגיל זה נלמד שני דברים.

1. כאשר יש שני מכנים עלינו להכפיל במכנה המשותף של שניהם. במקרה זה 12.

2. כאשר אנו מכפילים נשים לב שאנו מכפילים את כל אחד מהאיברים. (במקרה זה 4 איברים, כולל את x וגם את 5).
נהוג לסמן את ההכפלות כפי שמופיע כאן:

ואז נקבל:

תרגיל 5

פתרון

1. טעות נפוצה היא לשכוח את המינוס שנמצא לפני השבר.
   שימו לב שאתם לא שוכחים אותו.

נקבל:

תרגיל 6

פתרון

1. בתרגיל זה נשים לב (שוב) שאם יש אפשרות לחשב כינוס איברים נעשה זאת לפני פעולת הכפל.

נכפיל במכנה המשותף שהוא 14.

2.כאשר יש שני איברים במונה אחד נשים את המונה בסוגריים ונבצע כפל של מספר כפול כל מה שיש בסוגריים.

דוגמה למצב שבו יש מספר איברים במונה

כאשר יש לנו מספר איברים במונה

1. אנו צריכים להכפיל בכל אחד מהאיברים הנמצאים במונה.
2. הדרך הבטוחה ביותר לדאוג שזה יקרה היא לשים סוגריים סביב המונה ולהכפיל במספר.

מונים שבהם יש יותר מאיבר אחד יכולים להופיע בשתי צורות:

1.ללא סוגריים במונה.
6x + 1
במקרה זה חובה עלינו לשים סוגריים סביב המונה.

2.עם סוגריים במונה.

3(2x – 4)

במקרה זה אם נשים סוגריים וגם אם לא נשים סוגריים נקבל את אותה תוצאה.

תרגיל 7

פתרון
עלינו להכפיל במכנה המשותף 15.
ועלינו לזכור להכפיל את כל אחד מהאיברים.

25x – 10 -12(2x + 1) = 15x + 30
25x – 10 – 24x – 12 = 15x + 30
x – 22 = 15x + 30
-14x = 52
x = – 3.714

תרגיל 8

פתרון

1. כאשר יש לנו כבר סוגריים במונה נכפיל במספר שמחוץ לסוגריים.

1 – 2x – 2 * 3(x + 2) = 2 * 8
1 – 2x – 6(x + 2) = 16
1 – 2x – 6x – 12 = 16
– 8x – 11 = 16
– 8x = 27
x = -3.375

כיצד מוצאים מכנה משותף כאשר יש יותר משני מכנים

כאשר יש יותר משני מכנים נמצא מכנה משותף לשני מכנים.
אם נבחר שני מכנים היוצרים מכנה משותף קטן זה יכול להקל עלינו.

לאחר מיכן נמצא את המכנה המשותף של המכנה שמצאנו יחד עם המכנה הנוסף.

דוגמה 1

פתרון
נמצא מכנה משותף לשני מכנים.

4 הוא המכנה המשותף של 2,4.

4 הוא המכנה שמצאנו, 3 הוא המכנה שנותר.

12 הוא המכנה המשותף של התרגיל כולו.

נכפיל ב 12:

4(2x – 1) + 6(x + 3) = 3x
8x – 4 + 6x + 18 = 3x
14x + 14 = 3x
11x = -14
x = – 1.27

דוגמה 2

פתרון
המכנה המשותף של 4,6  הוא 12.

המכנה המשותף של 12 ו 5 הוא 60.

60 הוא המכנה המשותף של התרגיל כולו ובו נכפיל.

15(2x – 1) – 12*3(2 – x) + 10(5x – 1) = 0
30x – 15 – 72 + 12x + 50x – 10 = 0
92x – 97 =0
92x = 97
x = 1.054

דוגמה 3

פתרון

המכנה המשתף של 5 ו 10 הוא 10.

10 הוא המכנה המשותף שמצאנו, 3 הוא המכנה הנותר.

30 הוא המכנה המשותף של התרגיל כולו. נכפיל פי 30.

10x – 3(6 – x) = 12x – 90
10x – 18 + 3x = 12x – 90
13x – 18 = 12x – 90
x = -72

2.תרגילים עם מכנה אחד

המטרה שלנו בכול התרגילים שבדף היא "להיפתר" מהמכנה המשותף ולהפוך המשוואה למשוואה ללא מכנה.
עושים זאת על ידי הכפלה במכנה אם יש מכנה אחד או במכנה המשותף אם יש שני מכנים ויותר.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נכפיל במכנה 3 ונקבל:

תרגיל 2

פתרון
נכפיל במכנה 5 ונקבל:

תרגיל 3

פתרון
נכנס איברים (את המספרים לצד שמאל).
לאחר מיכן נכפיל במכנה 4.

תרגיל 4

פתרון
בתרגיל כזה ניתן להעביר את ה 5 אגף ולאחר מיכן להכפיל במכנה.
או להכפיל במכנה (7) ולאחר מיכן להעביר אגף.
אני בחרתי בדרך הראשונה של העברת אגפים ולאחר מיכן הכפלה במכנה המשותף.

3.תרגילים עם שני מכנים

• מכשולים בפתרון משוואה עם מספר במכנה הוא דף שבו תוכלו לקרוא פירוט כתוב של תוכן הוידאו.

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים ללמידה.
תרגיל 3 כולל שלושה מכנים.
תרגיל 4 כולל גם מינוס לפני הביטוי הראשון.
תרגילים 5-6 כוללים x משני צדדי המשוואה (ואין בזה שום דבר מיוחד).

לתרגילים 1-4 יש גם פתרונות כתובים.

תרגילים

פתרונות וידאו

פתרונות כתובים לתרגילים:

תרגיל 5

פתרון
נכפיל במכנה המשותף 15 ונקבל:
(5x = 3(3x – 8
5x = 9x – 24  / -9x
4x = -24  / : -4-
x = 6

תרגיל 6

פתרון
נכפיל במכנה המשותף שהוא 8.
(x + 8 – 8 = 2(3 – 2x
x = 6 – 4x  / +4x
5x = 6  / :5
x = 1.2

4.תרגילים עם סימן שלילי במכנה

בתרגילים 5-8 יש סימן שלילי במכנה.
כל תרגיל מראה פתרון של מצב קצת שונה.
בתרגיל 5 יש מינוס במכנה ואין סוגריים במונה.
בתרגיל 6 יש סוגריים במונה.
בתרגיל 7 יש מינוס במכנה וגם מינוס לפני האיבר.
בתרגיל 8 יש מינוס בשני המכנים

בתרגילים 7-8 רק נסביר איך מתמודדים עם המצב ולא נפתור פתרון מלא.

תרגיל 5

פתרון
נכפיל ב 6  ונקבל:

תרגיל 6

פתרון
נכפיל ב 6 שהוא המכנה המשותף ונקבל:

תרגיל 7 (ללא פתרון מלא)

פתרון
אם תרצה נפתור את התרגיל כמו שפתרנו את התרגיל הקודם.
(בשניהם יש מכנה אחד חיובי ומכנה שני שלילי).
במקרה זה נכפיל ב 12 ואז יהיה לנו בשבר האמצעי:
3 = (3 -) –

אפשרות שנייה
כאשר יש לנו שני מינוסים בצורה הזו: מינוס אחד לפני השבר ומינוס שני על כל המכנה הם מבטלים זה את זה.
ניתן לכתוב את התרגיל גם כך ולפתור ללא מינוס:

תרגיל 8 (ללא פתרון מלא)

פתרון
כאשר יש לנו סימן שלילי על כל המכנים אנו יכולים לבחור האם להכפיל במכנה משותף שלילי או במכנה משותף חיובי.
אם נכפיל במכנה משותף שלילי (20-) כך זה יראה:

ואם נכפיל במכנה משותף חיובי (20) כך זה יראה.

5.תרגילים עם סוגריים

בתרגילים הקודמים אומנם התמודדנו עם סוגרים, אבל הסוגריים נוצרו רק לאחר שהכפלנו במכנה המשותף.
בתרגילים הבאים הסוגריים מגיעים בתחילת התרגיל.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
הפעולה הראשונה תהיה פתיחת סוגריים.
לאחר מיכן נכנס איברים על ידי העברת ה 2.

נכפיל במכנה המשותף 12 ונפתור את התרגיל.

תרגיל 2

פתרון
נפתח סוגריים ונקבל.

עכשיו יש לנו שתי אפשרויות להמשיך. דרך אחת היא לבצע כינוס איברים.
אבל כינוס איברים עם שברים היא פעולה קשה יחסית.
לכן מה שנעשה זה להכפיל במכנה המשותף על מנת שלא יהיו לנו יותר מכנים.
(נכפיל ב 15).

נבצע כינוס איברים ונפתור את התרגיל.

אם היינו בוחרים לבצע כינוס איברים לפני פעולת הכפל הפתרון היה נראה כך:

ניתן לראות שהפתרון בדרך השנייה קשה וארוך יותר.

6.תרגילים ארוכים ומורכבים

תרגילים

פתרונות

פתרונות וידאו לתרגילים 1,3.

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

7.מכשולים בפתרון משוואות עם מכנה

בהמשך הדף פירוט של חלק מהמכשולים המופיעים בוידאו.
ההסבר הכתוב נועד למי שראה את הוידאו ורוצה להיזכר.
זה לא הסבר המסביר את התוכן למי שלא ראה את הוידאו.

מכשולים 1-7 כולם קשורים לסימן מינוס ולהתמודדות איתו.
מכשול 8 הוא הכפלת שבר בסוגריים.

1.כיצד מתמודדים עם ביטוי הנראה כך (2x -4)-

כאשר יש מינוס לפני סוגריים ללא מספר זה כמו 1- לפני הסוגריים.
כלומר 1- כפול כל מה שיש בסוגריים.
כאשר הסוגריים יפתחו כל האיברים שבתוך הסוגריים ישנו סימן.

(2x -4) = -1(2x – 4)-

2x -4) = – 2x + 4)-

2.למה שווה ביטוי עם שבר שיש מינוס לפניו

מינוס לפני שבר זה כמו להכפיל ב 1- את השבר.
ניתן לעשות זאת על ידי כך ששמים את כל מה שבמונה בתוך סוגריים ומכפילים את הסוגריים ב 1-.

ובסופו של דבר לאחר פתיחת סוגריים זה יראה כך:

3. שבר שיש לו סוגריים במונה ומינוס לפניו למה הוא שווה

זה שווה לכך ששמים את המינוס לפני המספר הנמצא לפני הסוגריים במונה:

4. למה שווה ביטוי שיש לו איבר אחד במכנה והאיבר במינוס

מינוס במצב הזה זה כמו מינוס לפני השבר.
שלושת השברים הכתובים כאן שווים בערכם.

7. כיצד מכפילים במכנה משותף משוואה הכוללת שלמים ושברים

המכנה המשותף הוא 15 וההכפלה נראית כך:

8. למה שווה ביטוי הנראה כך:

השוויון נראה כך:

עוד באתר בנושא משוואה עם נעלם אחד:

• החלק הבא במדריך, משוואות עם נעלם במכנה.
• החלק הקודם במדריך, פתרון משוואה עם נעלם אחד. הדף המרכזי במדריך הכולל קישורים לכל שאר החלקים.

עוד באתר:

• שתי משוואות עם שני נעלמים – הסבר כיצד פותרים + תרגילים.
• מתמטיקה לכיתה ח – רוב החומר הנדרש לכיתה זו.
• מתמטיקה לכיתה ט – רוב החומר הנדרש לכיתה זו.