פונקציות פולינום 4 יחידות שאלון 481

פונקציית פולינום היא הפונקציה הראשונה שעליכם להכיר.

פונקציית פולינום היא פונקציה הכוללת מספרים ומשתנים שיש עליהם חזקה שהיא מספר שלם.
למשל:

f(x) = 4x³ – 2x + 1

פונקציית פולינום לא יכולה לכלול:

1. משתנה במכנה (זו פונקציה רציונלית).
2. שורש (זו פונקציית שורש).
3. רכיב טריגונומטרי (זו פונקציה טריגונומטרית).
4. משתנה במעריך החזקה (זו פונקציה מעריכית).
5. רכיב לוגרתמי שבו המשתנה בתוך הלוגריתם (זו פונקציה לוגריתמית).

באתר זה יש חומר מקיף בנושא פונקציית פולינום ותוכלו להגיע אל הנושאים השונים דרך דף זה.

הדף מחולק כך:

1. קישורים לדפים שדרכם ניתן ללמוד את החומר.
2. סיכום בסרטונים – גם דרכם ניתן ללמוד או לחזור על החומר.
3. חקירה מלאה של פונקציות – מיועד למי שכבר למד את הנושאים השונים.

1.קישורים

1. נגזרת פולינום.
2. זיהוי תחומים של גרף הפונקציה.
3. מציאת קיצון.
4. מציאת קיצון בעזרת טבלה.
5. מה זו סביבה של נקודה?
6. קיצון מוחלט.
7. קיצון עם פרמטרים.
8. איך מוצאים שיפוע של פונקציה בנקודה.
9. מציאת משוואת משיק.
10. זיהוי תכונות של פונקציה על פי גרף.
11. שרטוט גרף של פולינום.
12. הישר y = k.
13. פונקציות עם שני פרמטרים.
14. אינטגרל של פולינום.
15. אינטגרל של פולינום חישוב שטחים.
16. הזזות של פונקציה.

2.סיכום וידאו

בסרטונים הבאים נסכם את נושא פונקציית הפולינום.

יש כאן קצת יותר מ 4 שעות של וידאו.

3.חקירה מלאה של פונקציית פולינום

בחלק זה נחקור את הפונקציות הבאות:

1. f(x) = x²
2. f(x) = 2(x-1)²
3. f(x) = x*(3-x)²

תרגיל 1
f(x) = x²

1.תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת לכל x . (אין שום בעיה של אי הגדרה).

2.נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
x² = 0
x = 0
ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה. נקבל:
f(0) = 0לכן נקודת החיתוך עם הצירים היא (0,0) – ראשית הצירים.

3.נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.
f ‘ (x) = 2x = 0
x = 0
לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים:
א. x > 0
ב. x < 0
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

 

4.נקודת מינימום : (0,0)
עלייה: x > 0
ירידה: x < 0

5.אסימפטוטות:
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.

ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 2

f(x) = 2(x-1)²

1.תחום הגדרה:
לפולינום אין נקודות אי הגדרה,
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

2. נק’ חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
f(x) = 2(x-1)² = 0
x = 1
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 ,1). 
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 2*(-1)² = 2 
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (2, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.
f ‘ (x) = 2*2*(x-1) = 0
x = 1
לכן x = 1 נקודה חשודה לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים:
א.   x > 1
ב.   x < 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום: (0 , 1)
עלייה: x > 1
ירידה: x < 1

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.

ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 3
f(x) = x*(3-x)²

פתרון
ראשית, נפתח את הסוגריים ונגיע לצורה של פולינום. לאחר מכן נתחיל לחקור את הפונקציה.
f(x) = x*(9 – 6x + x²) = 9x – 6x² + x³
f(x) = x³ – 6x² + 9x

1. תחום הגדרה:
לפולינום אין נקודות אי הגדרה,
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

2. נק’ חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x³ – 6x² + 9x = 0
x*(x² – 6x + 9) = 0
פירוק לגורמים: (נוסחת כפל מקוצר)
x(x-3)² = 0
x₁ = 0 , x₂ = 3
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (0 ,0) , (3,0).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.
f ‘ (x) = 3x² – 12x + 9 = 0
נחלק ב- 3:
x² – 4x + 3 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 1) = 0)

לכן x = 1 , x = 3 נקודות חשודות לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים:
א.   x > 3
ב. 
ג.   x < 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן :
נקודת מקסימום: (4 , 1)
נקודת מינימום: (0 , 3)
עלייה: x > 3 , x < 1
ירידה: 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.

ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.