נקודות קיצון פרמטרים

בדף זה 6 תרגילים בנושא נקודות קיצון ופרמטרים.
תרגילים 1-2 הם התרגילים הבסיסיים.
תרגיל 3 קשה יותר.
תרגיל 4 לא קשה אבל כולל 2 פרמטרים.
תרגילים 5-6 קשים יותר.

לתרגילים 1,4 יש גם פתרון וידאו

דרך הפתרון

על מנת למצוא את הפרמטר לרוב יהיה לנו מידע על נקודה.
אנו נציב את ערכי הנקודה על מנת למצוא את הפרמטר.

היכן מציבים את הנקודה?
אם הנקודה כוללת מידע על הפונקציה אז מציבים את הנקודה במשוואת הפונקציה.
למשל נקודה דרכה עוברת הפונקציה.

אם הנקודה כוללת נקודה על השיפוע, למשל ערך x שעבורו השיפוע הוא 0.
אז מציבים את הערך של הנקודה בנגזרת.

אם יש לנו נקודה שהיא גם וגם. למשל נקודת קיצון שבה גם הפונקציה עוברת וגם מאפסת את הנגזרת אז מציבים את ערכי הנקודה גם במשוואת הפונקציה וגם בנגזרת.

תרגיל 1
לפונקציה f(x) = 2x² +ax – 4  יש נקודת קיצון כאשר x = 2.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב
f ' (x) = 4x + a
על מנת שתהיה נקודת קיצון ב x = 2 הנגזרת צריכה להיות שווה ל 0 בנקודה זו.
נציב x= 2 בנגזרת ונבנה משוואה.
f ' (2)  = 4 * 2 + a = 0
a + 8 = 0  / -8
a = -8

משוואת הפונקציה היא  f(x) = 2x² -8x – 4.

תרגיל 2
לפונקציה f(x) = ax² + 4x + 8  יש נקודת קיצון כאשר x = 1.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f(x) = ax² + 4x + 8
f ' (x) = 2ax + 4

כאשר x = 1 הנגזרת שווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + 4 = 2a + 4 = 0
2a + 4 = 0
2a = -4
a = -2

משוואת הפונקציה היא:
f(x) = 2x² + 4x + 8
s

תרגיל 3
לפונקציה f (x) = 2x² – ax יש קיצון כאשר y = -8
מצאו את a אם ידוע שהוא מספר שלילי.

פתרון
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0.
f (x) = 2x² – ax
f ' (x) = 4x – a = 0
4x = a

נציב את משוואה זו בפונקציה ונקבל משוואה עם נעלם אחד.
f (x) = 2x² – 4x*x = 2x² – 4x² = -2x²

בנקודת הקיצון ערך הפונקציה הוא y = -8.
2x² = -8-
x² = 4
x = 2  או x = -2.

מצאנו כי 4x = a
וגם נתון לנו כי a מספר שלילי.
לכן
a= 4 * -2 = -8
תשובה: a = -8.

תרגיל 4
לפונקציה f(x) = ax² + bx – 2 יש נקודת קיצון בנקודה (0, 1).
מצאו את a,b ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב
יש לנו כאן שני נעלמים ואנו נבנה להם שתי משוואות.
משוואה אחת היא שערך הפונקציה ב x = 1 שווה ל 0.
משוואה שנייה היא שהנגזרת ב x = 1 שווה ל 0.

נציב את הנקודה (0, 1) במשוואת הפונקציה.
f (1) = a*1² + b – 2 = 0
a + b – 2 = 0   (זו המשוואה הראשונה).

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b
נציב x= 1 בנגזרת ונשווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + b = 0   (זו המשוואה השנייה)

שתי המשוואות שקיבלנו הם:
a + b – 2 = 0
2a*1 + b = 0
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
a – (-2) = 0
a + 2 = 0  / -2
a = -2

נציב a = -2 במשוואה הראשונה על מנת למצוא את b.
a + b – 2 = 0
b – 2 – 2 = 0
b – 4 = 0
b = 4

תשובה: משוואת הפונקציה היא f(x) = -2x² + 4x – 2

תרגיל 5
לפונקציה  f (x) = ax³ +4ax² + 8x יש שתי נקודות קיצון. מצאו את טווח הערכים של a.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3ax² + 8ax + 8

בנקודות הקיצון הנגזרת צריכה להיות שווה 0, לכן המשוואה היא:
3ax² + 8ax + 8 = 0

זו משוואה ריבועית.
על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון צריכים להיות למשוואה ריבועית זו שני פתרונות.
זה קורה כאשר:
b² – 4ac > 0
8a)² – 4*3a * 8 > 0)
64a² – 96a > 0  / :32
2a² – 3a > 0

זה אי שוויון ריבועי.
על מנת לפתור צריך למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x ולשרטט סקיצה של פרבולה.

מציאת נקודות החיתוך.
2a² – 3a = 0
2a (a – 1.5) = 0
a = 0,  a = 1.5

זו פרבולה עם נקודת מינימום.
לכן הסקיצה נראית כך:

ניתן לראות כי הפרבולה חיובית, כלומר אי השוויון מתקיים כאשר a > 1.5 או a < 0.
וזה טווח הערכים של a על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון.

תרגיל 6
ידוע כי לפונקציה f (x) = ax³ +2ax² + ax יש שתי נקודות קיצון מקומיות.
מצאו את ערכי ה x של נקודות הקיצון של הפונקציה.
נתון: a ≠ 0

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = ax³ +2ax² + ax
f ' (x) = 3ax² + 4ax + a

זו משוואה ריבועית. על מנת למצוא את נקודות הקיצון עלינו לפתור את המשוואה.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נראה כאן את הדרך של פירוק טרינום.
3ax² + 4ax + a = 0
a (3x² + 4x + 1) = 0
a (3x² + 3x + x +1) = 0
a (3x (x +1) +1(x +1)) = 0
a (3x + 1) (x +1) = 0
מכוון ש a ≠ 0
הפתרונות הם:
x = -1,  x = -0.33
(וזו התשובה).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “נקודות קיצון פרמטרים”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גוזרים את הפונקציה ומגדירים את השיפוע באמצעות b.
      משתמשים ב b הזה לבניית משוואת ישר.

  1. היי, לא הבנתי למה בתרגיל 3 לאחר שהצבתם את הY כביכול יצא לכם 2x² = -8- אבל לא היה נתון Y בתרגיל.. היה רק fx…
    תודה רבה רבה!

  2. במידה ומבקשים ממני למצוא לכל אחד מערכי בפרמטר שמצאתי בסעיף א למצוא את נקודת הקיצון בנקודה x=0, איך עושים את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא ברורה לגמרי.
      אם מצאת פרמטרים ואת צריכה למצוא קיצון.
      את יכולה להציב את המספרים שקיבלת במקום הפרמטרים, לגזור את הפונקציה שאין בה פרמטרים ולמצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

      אבל במקרה זה אני לא בטוח שהקיצון יהיה ב x = 0.

      ובמקרה אחר, אם נתון לך שהקיצון הוא ב x= 0 ואת צריכה למצוא פרמטרים אז גזרי את הפונקציה, הציבי x = 0 בנגזרת ותקבלי משוואה וממנה תוכלי למצוא את הפרמטרים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.