נקודות קיצון פרמטרים

בדף זה נלמד למצוא פרמטרים בהקשר של בעיות קיצון.

לדף שלושה חלקים:

  1. הסבר.
  2. דוגמאות.
  3. תרגילים.

שימו לב שהדוגמאות והתרגילים מחולקים גם הם לשני סוגים.

1.הסבר

על מנת למצוא פרמטר בהקשר של נקודות קיצון  יש לנו שתי אפשרויות הצבה:

  1. להציב במשוואת הפונקציה (f(x.
  2. להציב בנגזרת הפונקציה (f ' (x.

נציב ב (f(x
כאשר המידע שנקבל הוא על נקודה שעל הפונקציה.

נציב ב (f ' (x 
כאשר המידע שנקבל הוא על נגזרת הפונקציה.

המידע על הנגזרת לא צריך להיות ישיר כמו "ערך הנגזרת ב x = 4 הוא 2".

אלא המידע יכול להיות על דברים הקשורים לנגזרת.

דוגמאות למשפטים שאתם יכולים לפגוש והמשוואה הנובעת מיהם

על מנת למצוא פרמטר עלינו לבנות משוואה.

ברוב המקרים המשוואה היא

דוגמאות ל 4 משפטים ואיך בונים מיהם משוואה.

משפט 1
"לפונקציה יש נקודת קיצון ב x = 3"

משוואה:
המשפט אומר שב x = 3 הנגזרת שווה 0.
נציב x = 3 בנגזרת ונשווה ל 0.
f ' (3) = 0.

משפט 2
"הפונקציה עוברת בנקודה (4,1)".

משוואה
הנקודה (1,4) נמצאת על (f(x.
נציב x = 1, y = 4 ב (f(x.
f (1) = 4.

משפט 3
"לפונקציה נקודת קיצון ב (6,8)".

משוואה 1
(6,8) נמצאת על הפונקציה.
נציב x = 6,  y = 8 במשוואת הפונקציה.
f (6) = 8.

משוואה 2
הנגזרת שווה 0 ב x = 6.
נציב x = 6 בנגזרת.
f ' (6) = 0.

משפט 4
"לפונקציה הבאה יש שתי נקודות קיצון".

משוואה
לפונקציה יש שתי נקודות קיצון כאשר יש למשוואה
f ' (x) = 0
שתי פתרונות.

לכן אם הנגזרת היא המשוואה הריבועית הבאה:
f ' (x) = ax² + bx + c
אז כדי שיהיו שתי פתרונות צריך להתקיים:
b² – 4ac > 0.

2.דוגמאות

דוגמאות 1-3 הן דוגמאות לשאלות הנפתרות בעזרת בניית משוואה על פי המשפטים שלמדנו.

דוגמה 1
לפונקציה f(x) = ax² – 8x יש קיצון כאשר x = 5.
מצאו את a.

לחצו לצפייה בהסבר וידאו

פתרון
המידע הוא על נקודת הקיצון שעל הפונקציה.

קריאה נכונה של המשפט היא "הנגזרת שווה 0 כאשר x = 5".
לכן נציב x = 5 בנגזרת הפונקציה.

f(x) = ax² – 8x
f ' (x) = 2ax – 8
f ' (5) = 2a * 5 – 8 = 0
10a – 8 = 0
10a = 8
a = 0.8

דוגמה 2
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = ax² – 12 אם הפונקציה עוברת בנקודה (2,0).

פתרון וידאו

פתרון
נתונה לנו נקודה שעל הפונקציה לכן נציב במשוואת הפונקציה.

f(x) = ax² – 12
0 = a * 2² – 12
12 = 4a
3 = a

מכאן צריך למצוא את נקודת הקיצון של הפונקציה
f(x) = 3x² – 12

דוגמה 3
לפונקציה  f(x) = ax³ + bx + 1 יש נקודת קיצון ב (7-, 1).
מצאו את a,b.

פתרון וידאו

דרך הפתרון
נתון ש (7-, 1) היא נקודת קיצון יש שתי משמעויות.

(7-, 1) נמצאת על הפונקציה ולכן נציב את הנקודה במשוואת הפונקציה ( f(x.

x = 1 זו ערך נקודת קיצון, לכן נציב אותו בנגזרת. (f ' (x.

משוואה ראשונה: (7-, 1) היא נקודה על הפונקציה.

f(x) = ax³ + bx + 1
-7 = a * 1³ + b* 1 + 1
– 7 = a + b + 1
– 8 = a + b

משוואה שנייה: x = 1 מאפס את הנגזרת (קיצון).

f(x) = ax³ + bx + 1
f ' (x) = 3ax² + b

כאשר x = 1 הנגזרת שווה 0
3a * 1² + b = 0
3a + b = 0

פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
קיבלנו את שתי המשוואות:

a + b = – 8
3a + b = 0

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:

2a = 8
a = 4

נציב a = 4 במשוואה הראשונה ונקבל:

a + b = – 8
4 + b = – 8
b = -12

משוואת הפונקציה היא:
f(x) = 4x³ – 12x + 1

דוגמה 4
לפונקציה f(x) = ax³ + 3x + x יש נקודת קיצון אחת.
מצאו את a.

פתרון וידאו

פתרון
המשמעות של "יש נקודת קיצון אחת" היא שלמשוואת הנגזרת יש פתרון יחיד.

נגזור:

f(x) = ax³ + 3x + x
f ' (x) = 3ax² + 3x  +1

בנקודת הקיצון מתקיים:

3ax² + 3x + 1 = 0

זו משוואה ריבועית על מנת שיהיה לה פתרון יחיד צריך להתקיים:

b² – 4ac = 0
3² – 4(3a) * 1 = 0
9 – 12a = 0
9 = 12a
0.75 = a

תשובה: כאשר a = 0.75 למשוואה פתרון יחיד.

דוגמאות בהם צריך להביע באמצעות פרמטר

נתונה פונקציה.
כיצד מביעים נקודת קיצון באמצעות a?

1.נשווה את ערך הנגזרת ל 0, כמו שעושים בכל פעם שרוצים למצוא את נקודת הקיצון.

2.נקבל משוואה אם a ו x.
נבודד את x ונביע את הערך שלו באמצעות a.

3.נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה x שקיבלנו ובכך נביע את y באמצעות a.

כאשר נביע את x ו y באמצעות a הבענו את נקודת הקיצון.

דוגמה 5
עבור פונקציה f(x) = x² – ax.

  1. הביעו באמצעות a את נקודת הקיצון של הפונקציה.
  2. אם ערך ה y של נקודת הקיצון הוא 9- מצאו את a אם ידוע כי a < 0.
לחצו לצפייה בהסבר וידאו

שלבי הפתרון
עלינו למצוא את ערכי x ו y של נקודת הקיצון.

  1. נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0 (כך נמצא את ערך x של הקיצון).
  2. נקבל משוואה עם שני משתנים x,a. נבודד את x. הערך שקיבלנו הוא ערך ה x של נקודת הקיצון.
  3. נציב את ערך x שקיבלנו בפונקציה ונקבל את ערך ה y של הקיצון.

פתרון
נמצא את ערך ה x של הקיצון על ידי גזירה והשוואת הנגזרת ל 0

f(x) = x² – ax
f ' (x) = 2x – a

2x – a = 0
2x = a
x = 0.5a

נמצא את ערך ה y של הקיצון על ידי הצבת ערך ה x במשוואת הפונקציה

f(x) = x² – ax
f(0.5a) = (0.5a)² – a * 0.5a
f(0.5a) = 0.25a² – 0.5a² = – 0.25a²

נקודת הקיצון היא:

(0.5a, -0.25a²)

סעיף ב: ערך ה y של הקיצון הוא 9- מצאו את a

-0.25a²

הוא ערך ה y של הקיצון, לכן המשוואה היא:

-0.25a² = -9
a² = 36
a = 6,   a = -6

נתון ש a < 0, לכן התשובה היא a = 6.

הערה
ניתן לנסח את השאלה בצורה הזו, ללא סעיף א הנמצא למעלה.

עבור פונקציה f(x) = x² – ax ידוע כי יש קיצון ב y = – 9.
מצאו את a.

במקרה זה עליכם:
להביע את נקודת הקיצון באמצעות a.
לבנות משוואה.

רמז לכך שלא ניתן להשתמש בנתון y = -9 באופן מידי הוא השילוב "קיצון ב y = – 9".
קיצון, משמעותו נגזרת שווה 0.
אבל במשוואה:
f ' (x) = 0
אין מקום להציב y = – 9.

לכן עלינו לעשות פעולות לפני שמשתמשים בהצבה y = -9.

*דוגמה 5
(תרגיל ברמת 5 יחידות).
לפונקציה  f (x) = ax³ +4ax² + 8x יש שתי נקודות קיצון. מצאו את טווח הערכים של a.

לחצו לצפייה בהסבר וידאו

פתרון
נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3ax² + 8ax + 8

בנקודות הקיצון הנגזרת צריכה להיות שווה 0, לכן המשוואה היא:
3ax² + 8ax + 8 = 0

זו משוואה ריבועית.
על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון צריכים להיות למשוואה ריבועית זו שני פתרונות.
זה קורה כאשר:
b² – 4ac > 0
8a)² – 4*3a * 8 > 0)
64a² – 96a > 0  / :32
2a² – 3a > 0

זה אי שוויון ריבועי.
על מנת לפתור צריך למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x ולשרטט סקיצה של פרבולה.

הפרבולה הזו היא היא פרבולת מינימום משום שהמקדם של a² הוא חיובי.

נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה x.

2a² – 3a = 0
2a (a – 1.5) = 0
a = 0,  a = 1.5

הפרבולה נראית כך:

הפרבולה חיובית כאשר
a > 1.5 או a < 0.

ואלו ערך a שעבורם לפונקציה f (x) = ax³ +4ax² + 8x  יש שתי נקודות קיצון.

תרגילים

בחלק זה 6 תרגילים בנושא נקודות קיצון ופרמטרים.
תרגילים 1-2 הם התרגילים הבסיסיים.
תרגיל 3 קשה יותר.
תרגיל 4 לא קשה אבל כולל 2 פרמטרים.
תרגילים 5-6 קשים יותר.

לתרגילים 1,4 יש גם פתרון וידאו

תרגיל 1
לפונקציה f(x) = 2x² +ax – 4  יש נקודת קיצון כאשר x = 2.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב
f ' (x) = 4x + a
על מנת שתהיה נקודת קיצון ב x = 2 הנגזרת צריכה להיות שווה ל 0 בנקודה זו.
נציב x= 2 בנגזרת ונבנה משוואה.
f ' (2)  = 4 * 2 + a = 0
a + 8 = 0  / -8
a = -8

משוואת הפונקציה היא  f(x) = 2x² -8x – 4.

תרגיל 2
לפונקציה f(x) = ax² + 4x + 8  יש נקודת קיצון כאשר x = 1.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f(x) = ax² + 4x + 8
f ' (x) = 2ax + 4

כאשר x = 1 הנגזרת שווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + 4 = 2a + 4 = 0
2a + 4 = 0
2a = -4
a = -2

משוואת הפונקציה היא:
f(x) = 2x² + 4x + 8
s

תרגיל 3
לפונקציה f (x) = 2x² – ax יש קיצון כאשר y = -8
מצאו את a אם ידוע שהוא מספר שלילי.

פתרון
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0.
f (x) = 2x² – ax
f ' (x) = 4x – a = 0
4x = a

נציב את משוואה זו בפונקציה ונקבל משוואה עם נעלם אחד.
f (x) = 2x² – 4x*x = 2x² – 4x² = -2x²

בנקודת הקיצון ערך הפונקציה הוא y = -8.
2x² = -8-
x² = 4
x = 2  או x = -2.

מצאנו כי 4x = a
וגם נתון לנו כי a מספר שלילי.
לכן
a= 4 * -2 = -8
תשובה: a = -8.

תרגיל 4
לפונקציה f(x) = ax² + bx – 2 יש נקודת קיצון בנקודה (0, 1).
מצאו את a,b ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב
יש לנו כאן שני נעלמים ואנו נבנה להם שתי משוואות.
משוואה אחת היא שערך הפונקציה ב x = 1 שווה ל 0.
משוואה שנייה היא שהנגזרת ב x = 1 שווה ל 0.

נציב את הנקודה (0, 1) במשוואת הפונקציה.
f (1) = a*1² + b – 2 = 0
a + b – 2 = 0   (זו המשוואה הראשונה).

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b
נציב x= 1 בנגזרת ונשווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + b = 0   (זו המשוואה השנייה)

שתי המשוואות שקיבלנו הם:
a + b – 2 = 0
2a*1 + b = 0
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
a – (-2) = 0
a + 2 = 0  / -2
a = -2

נציב a = -2 במשוואה הראשונה על מנת למצוא את b.
a + b – 2 = 0
b – 2 – 2 = 0
b – 4 = 0
b = 4

תשובה: משוואת הפונקציה היא f(x) = -2x² + 4x – 2

תרגיל 5
ידוע כי לפונקציה f (x) = ax³ +2ax² + ax יש שתי נקודות קיצון מקומיות.
מצאו את ערכי ה x של נקודות הקיצון של הפונקציה.
נתון: a ≠ 0

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = ax³ +2ax² + ax
f ' (x) = 3ax² + 4ax + a

זו משוואה ריבועית. על מנת למצוא את נקודות הקיצון עלינו לפתור את המשוואה.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נראה כאן את הדרך של פירוק טרינום.
3ax² + 4ax + a = 0
a (3x² + 4x + 1) = 0
a (3x² + 3x + x +1) = 0
a (3x (x +1) +1(x +1)) = 0
a (3x + 1) (x +1) = 0
מכוון ש a ≠ 0
הפתרונות הם:
x = -1,  x = -0.33
(וזו התשובה).

*תרגיל 6
(תרגיל ברמת 5 יחידות).
לפונקציה  f (x) = ax³ +4ax² + 8x יש שתי נקודות קיצון. מצאו את טווח הערכים של a.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3ax² + 8ax + 8

בנקודות הקיצון הנגזרת צריכה להיות שווה 0, לכן המשוואה היא:
3ax² + 8ax + 8 = 0

זו משוואה ריבועית.
על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון צריכים להיות למשוואה ריבועית זו שני פתרונות.
זה קורה כאשר:
b² – 4ac > 0
8a)² – 4*3a * 8 > 0)
64a² – 96a > 0  / :32
2a² – 3a > 0

זה אי שוויון ריבועי.
על מנת לפתור צריך למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x ולשרטט סקיצה של פרבולה.

הפרבולה הזו היא היא פרבולת מינימום משום שהמקדם של a² הוא חיובי.

נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה x.

2a² – 3a = 0
2a (a – 1.5) = 0
a = 0,  a = 1.5

הפרבולה נראית כך:

הפרבולה חיובית כאשר
a > 1.5 או a < 0.

ואלו ערך a שעבורם לפונקציה f (x) = ax³ +4ax² + 8x  יש שתי נקודות קיצון.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “נקודות קיצון פרמטרים”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גוזרים את הפונקציה ומגדירים את השיפוע באמצעות b.
      משתמשים ב b הזה לבניית משוואת ישר.

  1. היי, לא הבנתי למה בתרגיל 3 לאחר שהצבתם את הY כביכול יצא לכם 2x² = -8- אבל לא היה נתון Y בתרגיל.. היה רק fx…
    תודה רבה רבה!

  2. במידה ומבקשים ממני למצוא לכל אחד מערכי בפרמטר שמצאתי בסעיף א למצוא את נקודת הקיצון בנקודה x=0, איך עושים את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא ברורה לגמרי.
      אם מצאת פרמטרים ואת צריכה למצוא קיצון.
      את יכולה להציב את המספרים שקיבלת במקום הפרמטרים, לגזור את הפונקציה שאין בה פרמטרים ולמצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

      אבל במקרה זה אני לא בטוח שהקיצון יהיה ב x = 0.

      ובמקרה אחר, אם נתון לך שהקיצון הוא ב x= 0 ואת צריכה למצוא פרמטרים אז גזרי את הפונקציה, הציבי x = 0 בנגזרת ותקבלי משוואה וממנה תוכלי למצוא את הפרמטרים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.