נקודות קיצון פרמטרים

בדף זה 6 תרגילים בנושא נקודות קיצון ופרמטרים.
תרגילים 1-2 הם התרגילים הבסיסיים.
תרגיל 3 קשה יותר.
תרגיל 4 לא קשה אבל כולל 2 פרמטרים.
תרגילים 5-6 קשים יותר.

תרגיל 1
לפונקציה f(x) = 2x² +ax – 4  יש נקודת קיצון כאשר x = 2.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
f ' (x) = 4x + a
על מנת שתהיה נקודת קיצון ב x = 2 הנגזרת צריכה להיות שווה ל 0 בנקודה זו.
נציב x= 2 בנגזרת ונבנה משוואה.
f ' (2)  = 4 * 2 + a = 0
a + 8 = 0  / -8
a = -8

משוואת הפונקציה היא  f(x) = 2x² -8x – 4.

תרגיל 2
לפונקציה f(x) = ax² + 4x + 8  יש נקודת קיצון כאשר x = 1.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f(x) = ax² + 4x + 8
f ' (x) = 2ax + 4

כאשר x = 1 הנגזרת שווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + 4 = 2a + 4 = 0
2a + 4 = 0
2a = -4
a = -2

משוואת הפונקציה היא:
f(x) = 2x² + 4x + 8
s

תרגיל 3
לפונקציה f (x) = 2x² – ax יש קיצון כאשר y = -8
מצאו את a אם ידוע שהוא מספר שלילי.

פתרון
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0.
f (x) = 2x² – ax
f ' (x) = 4x – a = 0
4x = a

נציב את משוואה זו בפונקציה ונקבל משוואה עם נעלם אחד.
f (x) = 2x² – 4x*x = 2x² – 4x² = -2x²

בנקודת הקיצון ערך הפונקציה הוא y = -8.
2x² = -8-
x² = 4
x = 2  או x = -2.

מצאנו כי 4x = a
וגם נתון לנו כי a מספר שלילי.
לכן
a= 4 * -2 = -8
תשובה: a = -8.

תרגיל 4
לפונקציה f(x) = ax² + bx – 2 יש נקודת קיצון בנקודה (0, 1).
מצאו את a,b ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
יש לנו כאן שני נעלמים ואנו נבנה להם שתי משוואות.
משוואה אחת היא שערך הפונקציה ב x = 1 שווה ל 0.
משוואה שנייה היא שהנגזרת ב x = 1 שווה ל 0.

נציב את הנקודה (0, 1) במשוואת הפונקציה.
f (1) = a*1² + b – 2 = 0
a + b – 2 = 0   (זו המשוואה הראשונה).

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b
נציב x= 1 בנגזרת ונשווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + b = 0   (זו המשוואה השנייה)

שתי המשוואות שקיבלנו הם:
a + b – 2 = 0
2a*1 + b = 0
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
a – (-2) = 0
a + 2 = 0  / -2
a = -2

נציב a = -2 במשוואה הראשונה על מנת למצוא את b.
a + b – 2 = 0
b – 2 – 2 = 0
b – 4 = 0
b = 4

תשובה: משוואת הפונקציה היא f(x) = -2x² + 4x – 2

תרגיל 5
לפונקציה  f (x) = ax³ +4ax² + 8x יש שתי נקודות קיצון. מצאו את טווח הערכים של a.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3ax² + 8ax + 8

זו משוואה ריבועית.
על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון צריכים להיות למשוואה ריבועית זו שני פתרונות.
זה קורה כאשר:
b² – 4ac > 0
8a)² – 4*3a * 8 > 0)
64a² – 96a > 0  / :32
2a² – 3a > 0

זה אי שוויון ריבועי.
על מנת לפתור צריך למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x ולשרטט סקיצה של פרבולה.

מציאת נקודות החיתוך.
2a² – 3a = 0
2a (a – 1.5) = 0
a = 0,  a = 1.5

זו פרבולה עם נקודת מינימום.
לכן הסקיצה נראית כך:

ניתן לראות כי הפרבולה חיובית, כלומר אי השוויון מתקיים כאשר a > 1.5 או a < 0.
וזה טווח הערכים של a על מנת שלפונקציה יהיו שתי נקודות קיצון.

תרגיל 6
ידוע כי לפונקציה f (x) = ax³ +2ax² + ax יש שתי נקודות קיצון מקומיות.
מצאו את ערכי ה x של נקודות הקיצון של הפונקציה.
נתון: a ≠ 0

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = ax³ +2ax² + ax
f ' (x) = 3ax² + 4ax + a

זו משוואה ריבועית. על מנת למצוא את נקודות הקיצון עלינו לפתור את המשוואה.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נראה כאן את הדרך של פירוק טרינום.
3ax² + 4ax + a = 0
a (3x² + 4x + 1) = 0
a (3x² + 3x + x +1) = 0
a (3x (x +1) +1(x +1)) = 0
a (3x + 1) (x +1) = 0
מכוון ש a ≠ 0
הפתרונות הם:
x = -1,  x = -0.33
(וזו התשובה).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.