מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

לדף זה 5 חלקים:

  1. תקציר.
  2. הנוסחה בעזרתה מוצאים את מספר הפתרונות.
  3. המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  4. פתרונות מהירים לתרגילים.
  5. תרגילים.

1.תקציר

עבור המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0
מספר הפתרונות של המשוואה נקבע על ידי:
b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

כל פתרון של המשוואה ax²+bx+c=0 הוא נקודת חיתוך של הפרבולה
f(x) = ax²+bx+c
ציר ה x.
מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0 הוא מספר נקודות החיתוך של הפרבולה.

2.הנוסחה בעזרתה מוצאים את מספר הפתרונות

למשוואה ריבועית יכולים להיות 0 או 1 או 2 פתרונות.
במקרים מסוימים תצטרכו לדעת את מספר הפתרונות ולא את הפתרונות עצמם.

על מנת לדעת את מספר הפתרונות יש נוסחה פשוטה;
אם המשוואה הריבועית היא ax²+bx+c=0 אז מספר הפתרונות נקבע על ידי האי שוויונות הבאים:
b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

איך הגיעו לאי שוויונות הללו?

אנחנו יודעים שמשוואה ריבועית נפתרת על ידי נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים נראית כך:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

חלק א: מדוע כאשר b²-4ac < 0 אין פתרונות
אנחנו שמים לב שבתוך השורש נמצא הביטוי b²-4ac.
אנחנו יודעים גם שאין שורש (זוגי) למספר שלילי.
כאשר b²-4ac < 0 הביטוי שבתוך השורש שלילי.
לכן כאשר b²-4ac < 0 אין למשוואה פתרונות, כי אנחנו מגיעים למשוואה מתמטית שאי אפשר לפתור.

חלק ב: מדוע כאשר b²-4ac > 0 יש שני פתרונות
למשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות.
שני הפתרונות מתקבלים כי במונה של נוסחת השורשים יש את הסימן ±.
פתרון אחד מתקבל כאשר הפעולה היא + ופתרון שני מתקבל כאשר הפעולה היא -.

חלק ג: מדוע כאשר b²-4ac = 0 יש פתרון יחיד
אמרנו שיש שני פתרונות זה נובע מכך שיש פעם אחת את הפעולה פלוס ופעם שנייה את הפעולה מינוס.
אבל כאשר הפעולה הפעולה היא 0 + או 0 – שתי הפעולות מובילות לתוצאה זהה.
לכן כאשר  b²-4ac = 0 נקבל פתרון יחיד.

3.המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

זה נושא חשוב.

כאשר אנחנו הופכים את המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0 לפונקציה f(x) = ax² + bx + c אנו מקבלים גרף של פרבולה.
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x מתקבלות כאשר מציבים f(x)= 0.
בדיוק כמו שאת נקודת החיתוך של ישר עם ציר ה x היינו מקבלים לאחר הצבה y= 0.

כאשר נציב f(x)=0 נקבל את המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0.
לכן מספר נקודות החיתוך עם ציר ה x הוא כמספר הפתרונות של המשוואה.
כל פתרון הוא נקודת חיתוך.

כאשר יש שני פתרונות גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה- x בשני מקומות.
כאשר יש פתרון אחד גרף המשוואה הריבועית משיק לציר ה – x בנקודה אחת – בקודקוד.
כאשר אין פתרונות גרף המשוואה הריבועית אינו חותך את ציר ה – x.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X
מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

4.פתרונות מהירים

בחלק זה יש פתרונות לתרגילים ללא הסברים.

1.כמה פתרונות יש למשוואה x² – 6x + 9 = 0? מה מספר נקודות החיתוך של של הפרבולה f(x) = x² – 6x + 9 עם ציר ה x?
פתרון

לכן למשוואה x² – 6x + 9 = 0 יש פתרון יחיד.
ולפרבולה f(x) = x² – 6x + 9 יש נקודת השקה אחת עם ציר ה x.

2.ידוע כי למשוואה 2x² + bx + 10 = 0 אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
מה טווח הערכים של b?
פתרון
צריך להתקיים:
b² – 4 *2 *10 < 0
b² < 80

5.תרגילים

תרגיל 1
מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית 2x² – 3x + 6 = 0.
מה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 עם ציר ה x?

פתרון
במשוואה הריבועית הזו הערך של הפרמטרים הוא:
a = 2
b = -3
c = 6
נציב את המספרים הללו בביטוי b² – 4ac ונקבל:
6*2*4 – ²(3-)
48 – 9
0 > 39-
קיבלנו כי b² – 4ac < 0  ולכן למשוואה ריבועית זו אין פתרונות.
ומכוון שכך גם לפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

תרגיל 2
למשוואה הריבועית
x² +bx + 16 = 0 יש פתרון יחיד.
מצאו את b.

פתרון
במשוואה הזו:
a = 1
b = b
c = 16
מכוון שיש פתרון יחיד b² – 4ac = 0

b²-4*16 = 0
b² -64 = 0  / +64
b² = 64
b = 8, b = -8
תשובה: על מנת שלמשוואה יהיה פתרון יחיד b = 8 או b = -8

תרגיל 3
ידוע כי לגרף הפרבולה f(x) = 2x² + bx + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
מבין הגרפים הבאים איזה גרף יכול להיות הגרף של (f(x?

פתרון
גרף של פרבולות

פתרון
גרף מספר 3 חותך את ציר ה x ולכן לא יכול להיות התשובה הנכונה.
גרף מספר הוא פרבולה עם נקודת מקסימום, ולכן הערך של a צריך לקיים a < 0. אבל בפרבולה שלנו a= 2. לכן זה לא יכול להיות גרף מספר 2.
גרף מספר 1 לא חותך את ציר ה x וה a שלו מקיים a > 0 ולכן גרף זה יכול לתאר את הפרבולה.

תרגיל 4
עבור אלו ערכי a הפרבולה y = ax² +3 נמצאת תמיד מעל ציר ה x?

פתרון
תנאי ראשון: פרבולת מינימום
על מנת שהפרבולה תהיה מעל ציר ה x זו צריכה להיות פרבולת מינימום.
לכן:
a > 0.

תנאי שני: ללא פתרונות
במשוואה הריבועית הזו:
a = a
b = 0
c = 3
לכן על מנת שלא יהיו פתרונות צריך להתקיים:
0²-4a*3 < 0
12a < 0-
a > 0

שני התנאים שקיבלנו הם a > 0, לכן כאשר a > 0 הפרבולה חיובית תמיד ונמצאת תמיד מעל ציר ה x.

תרגיל 5
קבעו מה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה f(x) = x² – 6x + 10  והישר y = 3x – 10
פתרו מבלי לפתור משוואה ריבועית.

פתרון
על מנת למצוא את מספר נקודות החיתוך עלינו לפתור את המשוואה:
x² – 6x + 10 = 3x – 10
x² – 9x + 20 = 0

מספר נקודות החיתוך הוא כמספר הפתרונות של המשוואה.
נשתמש בנוסחה:
b² – 4ac

מצאנו כי:
b² – 4ac > 0
ולכן לפרבולה ולישר יש שתי נקודות חיתוך.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “מספר הפתרונות של משוואה ריבועית”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי
    תוכל לכוון אותי לעמוד שמסביר מה עושים כאשר יש משתנה נוסף?
    למשל במקום x^5+8x^4+16x^3
    זה יהיה
    x^5+8x^4+16x^3+20
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשוואה כמו שכתבת אין הסבר כאן באתר ולא נתקלתי במצב שתלמידי בית ספר צריכים לדעת לפתור אותה.

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        יש דרך אולי לדעת כמה פתרונות יש למשוואה במקום מהם הפתרונות למשוואה?
        שוב תודה על העזרה

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אפשר הסבר איך פותרים את זה? אשמח שתסבירו במפורט
    כדי שאני אבין יותר

    x + 6x =-5 משוואה ריבועית

  3. כל הכבוד אני עושה מכינה להנדסה וזה עוזר לי מאוד.
    למרות שאני סטודנט רציתי לתרום 50 שקל זה לא הרבה אבל זה כדי להודות לכם.
    אין הרבה אתרים כאלה שמסבירים בחינם.

    הייתי מציע אוליי שתשימו לאתר מקום לתרומה מי שרוצה לתרום לכם.

    1. לומדים מתמטיקה

      היי.
      תודה רבה, באמת שמעריך את זה.
      האמת ששמנו כפתור לתרומה – וזה כפתור הווטסאפ שבאמצעותו ניתן לשלוח קישור והמלצה לאתר לאנשי הקשר שלך.
      זה מה שתורם ומשמח אותנו.
      תודה :)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.