מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

לדף זה 8 חלקים:

  1. הסבר וידאו.
  2. דברים שצריך לדעת על שורש.
  3. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  4. דוגמאות.
  5. המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  6. תקציר הדברים שלמדנו.
  7. פתרונות מהירים לתרגילים.
  8. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.דברים שצריך לדעת על שורש

כפי שאתם רואים נוסחת השורשים כוללת שורש.
ולפני שאנו מתקדמים יש 3 דברים שאתם צריכים לדעת על שורש.

1.למספר חיובי יש שורש יחיד.

לדוגמה:

√16 = 4

יש החושבים שגם 4 – הוא פתרון, אבל זה לא נכון.

התוצאה של פעולת השורש היא חיובית בלבד.

2.למספר שלילי אין שורש.

כלומר:

√-9

הוא ביטוי ללא פתרון.

וכל משוואה הכוללת שורש שלילי היא משוואה ללא פתרון.

למשל:

x + √-25 = 10

זו משוואה שאין לה פתרון.

3.השורש של 0 הוא 0.

√0 = 0

למשל:
x + √0 = 10
x + 0 = 10
x = 10

 

3.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

נסביר את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית באמצעות נוסחת השורשים:

באמצע נוסחת השורשים יש את הסימן ±.

והמשמעות שלו היא שניתן לכתוב את נוסחת השורשים כשתי משוואות שונות.

שתי המשוואות הללו נותנות לנו את שני הפתרונות של נוסחת השורשים.

אבל:

כאשר הביטוי שבתוך השורש שלילי – אלו משוואות שלא ניתן לפתור ואין למשוואה הריבועית פתרון.

וכאשר בתוך השורש יש 0 אז
√0 = 0

ואין הבדל בין המשוואה שיש בה + למשוואה שיש בה -.

לכן שתי המשוואות מביאות לאותו פתרון ואנו מקבלים פתרון יחיד.

b² – 4ac
הוא הביטוי הנמצא מתחת לשורש ולכן ניתן לקבוע את מספר הפתרונות בדרך הבאה:

b² – 4ac > 0 יש שני פתרונות.
b²- 4ac = 0 יש פתרון אחד.
b²- 4ac < 0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

על ידי הביטוי b² – 4ac נוכל לדעת את מספר הפתרונות גם מבלי לפתור את המשוואה.

הביטוי b² – 4ac
נקרא הרבה פעמים דלתא או דיסקרימיננטה.

4.דוגמאות 

בחלק זה יש 4 דוגמאות:
(דוגמאות 3-4 מתאימות לתלמידי 4-5 יחידות).

  1. משוואה ריבועית ללא פתרון.
  2. משוואה ריבועית עם פתרון יחיד.
  3. מציאת מספר הפתרונות בלי לפתור את המשוואה הריבועית.
  4. בעיה עם פרמטר.

דוגמה 1 (משוואה ללא פתרון)

מצאו את הפתרונות של המשוואה:

x² + 2x + 10 = 0

פתרון
נוסחת השורשים היא:

ההצבה תהיה:

הביטוי בתוך השורש הוא שלילי ולכן אנו לא יכולים לפתור את המשוואה.

דוגמה 2 (משוואה עם פתרון יחיד)

x² + 6x + 9 = 0

פתרון
ההצבה במשוואה היא:

נפרק את הסימן ± לשתי משוואת שונות:

ואם הסימן מינוס נקבל:

בשתי הדרכים נקבל 3-.
כלומר יש פתרון אחד שהוא x = -3.

הערה
פתרון זה נכתב בצורה ארוכה על מנת להראות שבשתי הדרכים מתקבל אותו פתרון.

בפועל אתם יכולים לכתוב את הפתרון בצורה קצרה יותר בצורה הזו:

 

דוגמה 3 (מציאת מספר פתרונות ללא פתרון המשוואה).

x² – 6x + 9 = 0

פתרון
במשוואה זו:

a = 1,  b = -6,   c= 9

נחשב את הערך של:

b²- 4ac
(-6)² – 4 * 1 * 9 =
36 – 36 = 0

במשוואה זו מתקיים:

b²- 4ac = 0

לכן למשוואה זו יש פתרון יחיד.

דוגמה 4 (מציאת פרמטר)

ידוע כי למשוואה 2x² + bx + 10 = 0 אין פתרונות
מה טווח הערכים של b?

פתרון
צריך להתקיים:
b² – 4 *2 *10 < 0
b² < 80

-√80 < b < √80

זה טווח הערכים של b.

5.המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

משוואה של פרבולה היא כמו משוואה ריבועית.

f(x) = ax² + bx + c
או
y = ax² + bx + c

זו משוואה שהגרף שלה הוא פרבולה.

למשל:

f(x) = x² + 5x + 6

זה גרף של פרבולה.

ואיך נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ?

נציב y = 0.
תמיד מציבים y = 0 כדי למצוא חיתוך עם ציר ה x.

ההצבה תיתן את הביטוי הבא, שהוא משוואה ריבועית:

0 = x² + 5x + 6

כאשר נפתור את המשוואה הזו נקבל את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.

לכן, אלו שתי המשמעות הגרפית של פתרונות משוואה ריבועית.

1.הפתרונות של המשוואה הריבועית ax² + bx + c = 0
הם נקודות החיתוך של הפרבולה f(x) = ax² + bx + c עם ציר ה x.

2.מספר הפתרונות של המשוואה ax² + bx + c = 0 הוא מספר נקודות החיתוך של הפונקציה
f(x) = ax² + bx + c
עם ציר ה x.

בשרטוט דוגמאות למשוואות עם 0,1,2 נקודות חיתוך עם ציר ה x.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X
מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

6.תקציר הדברים שלמדנו

עבור המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0
מספר הפתרונות של המשוואה נקבע על ידי:
b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

כל פתרון של המשוואה ax²+bx+c=0 הוא נקודת חיתוך של הפרבולה
f(x) = ax²+bx+c
עם ציר ה x.
מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0 הוא מספר נקודות החיתוך של הפרבולה.

7.תרגילים

תרגיל 1
מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית 2x² – 3x + 6 = 0.
מה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 עם ציר ה x?

פתרון
במשוואה הריבועית הזו הערך של הפרמטרים הוא:
a = 2
b = -3
c = 6
נציב את המספרים הללו בביטוי b² – 4ac ונקבל:
6*2*4 – ²(3-)
48 – 9
0 > 39-
קיבלנו כי b² – 4ac < 0  ולכן למשוואה ריבועית זו אין פתרונות.
ומכוון שכך גם לפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

תרגיל 2
למשוואה הריבועית
x² +bx + 16 = 0 יש פתרון יחיד.
מצאו את b.

פתרון
במשוואה הזו:
a = 1
b = b
c = 16
מכוון שיש פתרון יחיד b² – 4ac = 0

b²-4*16 = 0
b² -64 = 0  / +64
b² = 64
b = 8, b = -8
תשובה: על מנת שלמשוואה יהיה פתרון יחיד b = 8 או b = -8

תרגיל 3
ידוע כי לגרף הפרבולה f(x) = 2x² + bx + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
מבין הגרפים הבאים איזה גרף יכול להיות הגרף של (f(x?

פתרון
גרף של פרבולות

פתרון
גרף מספר 3 חותך את ציר ה x ולכן לא יכול להיות התשובה הנכונה.
גרף מספר הוא פרבולה עם נקודת מקסימום, ולכן הערך של a צריך לקיים a < 0. אבל בפרבולה שלנו a= 2. לכן זה לא יכול להיות גרף מספר 2.
גרף מספר 1 לא חותך את ציר ה x וה a שלו מקיים a > 0 ולכן גרף זה יכול לתאר את הפרבולה.

תרגיל 4
עבור אלו ערכי a הפרבולה y = ax² +3 נמצאת תמיד מעל ציר ה x?

פתרון
תנאי ראשון: פרבולת מינימום
על מנת שהפרבולה תהיה מעל ציר ה x זו צריכה להיות פרבולת מינימום.
לכן:
a > 0.

תנאי שני: ללא פתרונות
במשוואה הריבועית הזו:
a = a
b = 0
c = 3
לכן על מנת שלא יהיו פתרונות צריך להתקיים:
0²-4a*3 < 0
12a < 0-
a > 0

שני התנאים שקיבלנו הם a > 0, לכן כאשר a > 0 הפרבולה חיובית תמיד ונמצאת תמיד מעל ציר ה x.

תרגיל 5
קבעו מה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה f(x) = x² – 6x + 10  והישר y = 3x – 10
פתרו מבלי לפתור משוואה ריבועית.

פתרון
על מנת למצוא את מספר נקודות החיתוך עלינו לפתור את המשוואה:
x² – 6x + 10 = 3x – 10
x² – 9x + 20 = 0

מספר נקודות החיתוך הוא כמספר הפתרונות של המשוואה.
נשתמש בנוסחה:
b² – 4ac

מצאנו כי:
b² – 4ac > 0
ולכן לפרבולה ולישר יש שתי נקודות חיתוך.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “מספר הפתרונות של משוואה ריבועית”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי
    תוכל לכוון אותי לעמוד שמסביר מה עושים כאשר יש משתנה נוסף?
    למשל במקום x^5+8x^4+16x^3
    זה יהיה
    x^5+8x^4+16x^3+20
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשוואה כמו שכתבת אין הסבר כאן באתר ולא נתקלתי במצב שתלמידי בית ספר צריכים לדעת לפתור אותה.

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        יש דרך אולי לדעת כמה פתרונות יש למשוואה במקום מהם הפתרונות למשוואה?
        שוב תודה על העזרה

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אפשר הסבר איך פותרים את זה? אשמח שתסבירו במפורט
    כדי שאני אבין יותר

    x + 6x =-5 משוואה ריבועית

  3. כל הכבוד אני עושה מכינה להנדסה וזה עוזר לי מאוד.
    למרות שאני סטודנט רציתי לתרום 50 שקל זה לא הרבה אבל זה כדי להודות לכם.
    אין הרבה אתרים כאלה שמסבירים בחינם.

    הייתי מציע אוליי שתשימו לאתר מקום לתרומה מי שרוצה לתרום לכם.

    1. לומדים מתמטיקה

      היי.
      תודה רבה, באמת שמעריך את זה.
      האמת ששמנו כפתור לתרומה – וזה כפתור הווטסאפ שבאמצעותו ניתן לשלוח קישור והמלצה לאתר לאנשי הקשר שלך.
      זה מה שתורם ומשמח אותנו.
      תודה :)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.