לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

מציאת נקודות קיצון

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נקודת קיצון פנימית לפונקציה.
החלקים של הדף הם:

  1. תקציר.
  2. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה.
  3. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה.
  4. תרגילים.

1.תקציר בכתב ובוידאו

לפניכם שני סרטונים.
הסרטון הראשון 14:28 דקות הוא הסרטון הארוך.
בסרטון השני ניסיתי לקצר והגעתי ל 8:57.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה

שיטה זו מתבססת באופן מדויק על מה שרשום למעלה.
בנקודת מקסימום הפונקציה עוברת מעליה לירידה.
בנקודת מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעליה.
לכן חשוב שתזכרו היטב את שתי השורות הללו.

כמו כן חשוב שתזכרו שכאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה וכאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

השלבים הם:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים את הנגזרת ל 0. הנקודות שעבורן הנגזרת שווה 0 הן חשודות כקיצון.

2. בודקים בעזרת טבלה כיצד הנגזרת משתנה בסביבת הנקודות החשודות כקיצון על ידי הצבת ערכים קרובים לערכים החשודים כקיצון בנגזרת.
אם בסביבת הנקודה הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות זה אומר שהפונקציה עוברת מעליה לירידה וזו נקודות מקסימום.
אם בסביבת הנקודה הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות זו נקודת מינימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f (x) = x³ -12x

 

שלב 1: גוזרים את הפונקציה
f(x)=x3-12x
f ' (x)=3x²-12  – זו הנגזרת.

שלב 2: משווים את הנגזרת ל-0
3x²-12=0  /+12
3x²=12  /:3
x²=4
x=2  או x=-2.

שלב 3: בודקים האם אלו נקודות מינימום או מקסימום בעזרת טבלה

עבור הנקודה x = 2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = 3 כסביבת הנקודה.
עבור הנקודה x = -2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = -3 כסביבת הנקודה.

נציב את הערכים הללו בנגזרת הפונקציה ונקבל:
X=-3      3*(-3)2-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
X=0      3*02-12 = -12 < 0 הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
X=3      3*32-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

כאשר נציב את הנתונים הללו בטבלה נקבל:

ערך x 3 2 0 2- 3-
ערך הנגזרת חיובי (15) 0 שלילי
(12-)
0 חיובי
(15)
התנהגות הפונקציה עולה נקודת מינימום יורדת נקודת מקסימום עולה

שלב 4: מוצאים את ערך ה- Y של נקודות המינימום והמקסימום
לנקודה יש שני ערכים.
אל תשכחו למצוא גם את ערך ה- Y ולתת תשובה סופית בסוף.
f (-2) = x3-12x = -23 – 12*-2 = -8 + 24 =16
f(2) = x3-12x = 2³-12*2 = -16

תשובה: הנקודה (16, 2-) היא נקודת מקסימום.
הנקודה (16-, 2) היא נקודת מינימום.

כך נראה שרטוט הגרף:

גרף הפונקציה f(x)=x³-12x
גרף הפונקציה f(x)=x³-12x

3.דוגמה נוספת מציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה

כאשר ניתן לגזור נגזרת שנייה בקלות זו שיטה מהירה וקלה יותר.
השלבים:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים אותה ל 0, מוצאים ערכים החשודים כקיצון. בדיוק כמו שעשינו בשיטת הטבלה.

2. מוצאים את הנגזרת השנייה ומציבים בה את הנקודות החשודות כקיצון.
אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה זו אז זו נקודת מינימום.
אם הנגזרת השנייה שלילית בנקודה אז זו נקודת מקסימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
f (x) = 2x³ – 6x

פתרון

הנגזרת הראשונה היא:
f ' (x) = 2 * 3x² – 6
f ' (x) = 6x² – 6

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל- 0.
6x² – 6 = 0  / +6
6x² = 6  / :6
x² = 1
x = 1  או x = -1

אלו הערכים החשודים כקיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונמצא מה הערכים שלה בנקודות הללו.
f ' (x) = 6x² – 6
f " (x) = 6 * 2x = 12x

נציב x= 1  בנגזרת השנייה ונקבל:
f " (1) = 12 * 1 =12
הנגזרת השנייה חיובית. לכן בנקודה x =1 יש נקודת מינימום.

נציב x = -1 בנגזרת השנייה ונקבל.
f " (-1) = 12 * -1 = -12
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

שלב 5 ואחרון.
נציב x = 1, x = -1 במשוואת הפונקציה ונמצא את ערכי ה y.
f (1) = 2 * 1³ – 6 * 1 = 2 – 6 = -4

f (-1) = 2 * (-1)³ – 6 * (-1) = -2 + 6 = 4
תשובה: נקודת המינימום היא (4-, 1).
נקודת המקסימום היא (4, 1-).

שרטוט גרף הפונקציה ונקודות הקיצון

4.תרגילים

בדף זה 4 תרגילים.
תרגיל 1 נפתור בעזרת טבלה.
תרגילים 2-3 נפתור בעזרת נגזרת שנייה.
תרגיל 4 הוא הוכחה שאין לפונקציה נקודות קיצון.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

עוד באתר:

82 מחשבות על “מציאת נקודות קיצון”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. ילנה ילובסקי

    קיצון מקומי
    קיצון פנימי
    מדובר על אותו דבר בדיוק ? זה אותו דבר רק שאפשר להגיד כך או כך ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בשורה התחתונה ולמען אלו שקוראים את השאלה שלך אומר כי אני לא חושב שצריך להתמקד או להסתבך בהבדלים המילוליים הללו, אבל יש הבדל.
      קיצון פנימי – נקודת קיצון שאינה בקצוות.
      קיצון מקומי – נקודת קיצון ביחס לסביבה הצמודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בדומה למה שכתוב בדף, רק שבמקרה שלך הנכזרת היא:
      x^3 – 16x
      וכדי למצוא מתי היא שווה ל 0 צריך להוציא x כגורם משותף.

  2. שלום, במקרים בהם זוהי פונקציה מורכבת ואיני צריך לפתוח את כל הסוגריים, איך אני מוצא את כל נקודות הקיצון? לדוגמא בפונקציה
    f(x) = (x-2)²(x+3)³, קל למצוא את הקיצונים 2 ו-3, אבל איך אני אמור לגלות שגם 0 הוא קיצון?

  3. שלום!
    אשמח לדעת מה קורה במצב כאשר הנגזרת השנייה שלי היא ללא איקסים..
    לדוגמה הנגזרת היא y'=2x, ואז הנגזרת השנייה היא y"=2.
    אין לי שום איקס בנגזרת השנייה להציב את הקיצון שאני מחפש.. אז איך בעצם מחפשים כך ?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במקרה זה הנגזרת השנייה חיובית תמיד, לכל x שבתחום ההגדרה.
      אין צורך להציב במקרה זה.

      1. תודה על התשובה המהירה!
        אשמח אם תפרט קצת יותר.. לא הבנתי, אז האם הנק היא מינימום או מקסימום? כי אין לי איקס בנגזרת השנייה על מנת להציב

        1. לומדים מתמטיקה

          הנגזרת שלך היא 2, חיובית.
          לכן זו נקודת מינימום.
          סימן הנגזרת הוא התוצאה גם אם לא הצבת את x.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          אני מניח שהכוונה היא להצבה בטבלה בנגזרת הראשונה.
          אם משני צדדי הנקודה החשודה כקיצון הנגזרת חיובית אז זו לא נקודת קיצון.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי. אם הצבתי בנגזרת מספר הקטן מהנקודה החשודה, ויצא 0. הפונקציה עולה או יורדת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יתכן ויש טעות.
      כאשר הנגזרת שווה 0 זה אומר שהנקודה שהצבת חשודה כקיצון.
      ואם אין טעות אז עליך להציב נקודה הקרובה יותר לנקודה החשודה כקיצון.

      1. התכוונתי, איך אני רואה שהיא חיובית.. כאילו אמרו לי למצוא תחומי עליה וירידה ובתשובות הם אמרו שהנגזרת חיובית אבל אני לא יודעת איך יודעים את זה..

  5. היי, קודם כל תודה על האתר הוא ממש ממש עוזרר
    דבר שני אני חושבת שיש טעות בתרגיל 3. כתוב שם שמינוס שלוש בשלישית שווה תשע והתשובה האמתית היא שזה שווה עשרים ושבע.. זה דופק את כל התשובה והנקודה לא נכונה.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        f זה קיצור של פונקציה. זו הפונקציה שעל בסיסה בונים את הפונקציה האחרת g.

  6. היי יש לי שאלה. דבר ראשון תודה רבה על כל ההשקעה והסירטונים המפורטים וההסברים פשוט יוצאים מן הכלל!
    לגבי השאלה אם הפונקציה שלי שלילית/ הנגזרת האם זה משנה משהו בהצגה של הטבלה?
    דבר שני לפי מה שהבנתי בסרטון לא משנה לי בכלל (בהצגה של טבלה) מה התוצאה שיצאה לי מההצבה של ערך הx בנגזרת בסביבה הקרובה כי תכלס משנה אם זה מספר חיובי או שלילי.
    דבר שלישי בסרטון דובר על כך שהנקודות שיצאו לי מהשוואת הנגזרת ל-0 צריך לבדוק האם בין הנק' הללו (מצד שמאל וימין) יש עלייה או ירידה, ובסרטון הראתה מצב שיש מצד אחד עלייה ומצד שני ירידה אבל מה קורה במצב ששני הנק' הקרובות הם בירידה או בעלייה איך אני קובע אז איזה סוג של נק' אלה
    דבר רביעי לפי מה שהבנתי נגזרת שנייה עובדת רק בx^3 כי בx^4 הנגזרת השנייה עדיין תהיה עם נעלם, ואז לא יהיה לי מספר להציב בנוסחה של הנגזרת השנייה.
    סליחה אם שאלתי יותר מיידי…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ידידיה
      1.הפונקציה שלי שלילית/ הנגזרת האם זה משנה משהו בהצגה של הטבלה?
      לא בטוח שהבנתי את השאלה.
      פונקציה שלילית – אין לזה משמעות בטבלה.
      נגזרת שלילית – זה אומר שהפונקציה יורדת.
      2.לא משנה לי בכלל (בהצגה של טבלה) מה התוצאה שיצאה לי מההצבה של ערך הx בנגזרת בסביבה הקרובה כי תכלס משנה אם זה מספר חיובי או שלילי.
      כשמציבים בנגזרת לצורך מציאת תחומי עלייה וירידה מה שחשוב אם התוצאה חיובית או שלילית. המספר המדויק שהתקבל לא חשוב.
      3.דבר שלישי
      בודקים בסביבת הנקודה החשודה.
      אם משמאל הפונקציה יורדת ומימין עולה זה מינימום.
      אם משמאל הפונקציה עולה ומימין יורדת זה מקסימום.
      4.נגזרת שנייה עובדת רק בx^3 כי בx^4
      לא בטוח שהבנתי ולא בטוח שאתה צודק לגבי זה.
      זה תלוי בכל האיברים שיש בפונקציה, מה שכתבת בוודאי לא נכון תמיד.
      בכל אופן נגזרת שנייה זו אחת משתי אפשרויות למציאת קיצון. אם לא מסתדר לך בדרך אחת לך בשנייה.

      1. היי לגבי הדבר השלישי מה שהתכוונתי לשאול מה קורה אם גם משמאל וגם מימין יש לי עלייה או מה קורה אם גם משמאל וגם מימין יש לי ירידה אז במצב כזה מה זה min/max או כלום.
        לגבי הדבר הרביעי אני אמרתי שאם יש לי x^4 אז בנגזרת הראשונה זה "ירד" לx^3 ובנגזרת השנייה לx^2 ואז אני לא אוכל להציב את זה בנוסחה של נגזרת שנייה כי נשאר לי x ולכן רציתי לבדוק אם נגזרת שנייה עובדת על כל הנגזרות כמו בטבלה וע"י אני אוכל להחליט על איזה שיטה אני הולך להתמקד (טבלה \ נגזרת שניייה). תודה על המענה המהיר!

        1. לומדים מתמטיקה

          אם יש משמאל ומימין את אותו דבר זו לא נקודת קיצון, זה יכול להיות נקודת פיתול.
          https://www.m-math.co.il/mathematics-function/inflection-point/

          בנוגע לנגזרת השנייה x^4 לרוב לא יהיה לבדו, אלא יהיה משהו שכן יתן ערך לנגזרת השנייה.
          למשל
          x^4 + 4x^3.
          במקרים בודדים הנגזרת השנייה לא מקבלת ערך ואז צריך להמשיך ולגזור וקובעים על פי סימן הנגזרת הזוגית הבאה (נגזרת רביעית).
          כדאי לדעת גם טבלה וגם נגזרת שנייה כאשר הגזירה פשוטה כדאי להשתמש בה, כאשר הגזירה השנייה מורכבת כדאי להשתמש בטבלה.

            1. לומדים מתמטיקה

              בדף של נקודת פיתול יש תרגילים המשלבים בין נקודות קיצון לנקודות פיתול, למשל תרגיל 1.

  7. שלום,
    בתרגיל היינו צריכים למצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה f (x) = x³ + 6x² + 12x
    ראיתי בתגובות האחרונות על הטעות בחישוב, אבל עדיין לא הבנתי:
    f (x) = x³ + 6x² + 12x
    f ' (x) = 3x² + 12x + 12
    ואז כתבת:
    f ' (x) = 3x² + 6x + 12
    f " (x) = 6x + 6
    אבל הנגזרת השנייה אמורה להיות:
    f ' (x) = 3x² + 12x + 12
    f " (x) = 6x + 12
    אם אני מציבה את הנקודה x=-2, יוצא: f " (-2) = 6* -2 +12 = 0
    באופן כללי בתרגילים, ידוע כי כאשר הנגזרת השנייה חיובית, הנקודה היא מינימום, ולהפך. אבל מה קורה כאשר הנקודה שווה לאפס (כמו במקרה שלנו)?
    תודה רבה:-)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      אכן יש שם טעות, תודה רבה על התיקון.
      הנגזרת הראשונה היא:
      f ' (x) = 3x² + 12x + 12
      והיא הועתקה לא נכון
      f ' (x) = 3x² + 6x + 12
      לכן נגרמה טעות, תודה רבה על התיקון.

      אם הנגזרת השנייה שווה 0 צריך להמשיך לבדוק.
      יתכן וזו נקודת קיצון או שזו נקודת פיתול.
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/inflection-point/

  8. תמיד הערך של הx בנקודת הקיצון הוא 0 אבל כדי למצוא ערך בכלל מציבים בפונקציה המקורית אז מאיפה לי לדעת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רון
      ערך הנגזרת הוא 0.
      משווים את הנגזרת ל 0 כך נוצרת משוואה שממנה מוצאים את x.

      המשפט שכתבת: ערך ה x בקיצון הוא 0 הוא משפט לא נכון.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לאחר שמצאנו ערכי x שמאפסים את הנגזרת הראשונה אלו הם בעצם נקודות חשודות כקיצון.
      על מנת לקבוע באופן ודאי שזה קיצון ועל מנת לדעת את סוג הקיצון משתמשים בטבלה.
      אלו שני השימושים: מציאת קיצון וקביעת סוג הקיצון.

  9. שלום,
    אשמח לעזרה:
    הבנתי שכדי למצוא נקודות קיצון משווים את הנגזרת ל0, פותרים משוואה ריבועית, עושים טבלה וכו וכו… אך לא ברור לי כיצד מוצאים את הנקודות אם וכאשר המספרים אינם בריבוע ולא ניתן לפתור דרך נוסחת השורשים. איך פותרים אז?
    לדוגמה הנגזרת שלי הינה 4x^3-12x+4x, השוויתי ל0 אך אין לי מושג כיצד לפתור אותה..
    אשמח להסבר. תודה רבה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועם
      במקרה זה מוצאים x גורם משותף ואת מתקבלת משוואה ריבועית בתוך הסוגריים.
      בנוסף ניתן לחלק את המשוואה ב 4 על מנת לקבל משוואה נוחה יותר.

  10. תוכל להסביר איך אפשר למצוא נעלמים במשוואת פונקציה בעזרת נקודת קיצון? למשל, אם נתונה המשוואה
    y=ax^5-b^2x ונקודת המינימום היא (1,-1), מה הערך של a ו-b?
    תודה!

  11. היי, רציתי לדעת האם יש דף באתר שתואם לשאלה: "מצא את נקודת המקסימום של הפונקציה"?
    תודה רבה

  12. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, בטבלה, אתה מציין את האיקס הנתון ועוד איקסים, על סמך מה אתה בוחראת האיקסים הנוספים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האיקסים הנוספים צריכים להיות בסביבה הקרובה של הנקודה החשודה.
      שזה אומר: בין הנקודה החשובה כקיצון לבין האיקסים שנבחרו לא יכולה להיות נקודת קיצון אחרת, ולא יכולה להיות נקודה שהפונקציה לא מוגדרת.
      אלו שני תנאים: מעבר לכך בוחרים x שנוח וקל להציב

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y = 0.
      חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x = 0.

      אם הפונקציה היא משוואה ריבועית פותרים כרגיל.

      אם זו פונקציה עם חזקה גדולה יותר לרוב יהיה ניתן להוציא x כגורם משותף ואז לפתור משוואה ריבועית.

  13. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש לי שאלה למה בסרטון הסבר לא שמת בטבלה 3? הפונקציה יכולה לרדת בנקודה 1 ואז לעלות ב3 ואז הפתרון לא יהיה נכון

  14. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אם יצא לי רק נקודה אחת שחשודה כקיצון האם עדיין צריך לבדוק עם נגזרת שנייה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עד שלא בודקים בנגזרת שנייה או טבלה לא ניתן לדעת אם זה מינימום / מקסימום או אליי בכלל לא קיצון.
      נגזרת ראשונה ששווה 0 זה לא אומר הרבה.
      לכן נגזרת שנייה או טבלה הכרחיים לקביעת הקיצון.

  15. רציתי לשאול בהקשר של נקודות קיצון האם אני יכול לחלק X בחזקת 3 ע"י X וככה להגיע לX בשניה כשבצד השני של המשוואה יש 0. תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זה שלב בפתרון משוואה אז כן.
      כמו כן כל פעם שיש משתנה במכנה עליך למצוא תחום הגדרה.

  16. הי
    אתה יכול להסביר למה אם הנגזרת השנייה היא שלילית בנקודה החשודה לקיצון של הנגזרת הראשונה, אז זה אומר שמדובר בנקודת מקסימום, ולמה כשהנגזרת השנייה חיובית בנקודה, אז מדובר על נקודת מינימום. בעצם אני שואל למה הנגזרת השניה יכולה לסווג אם מקוגר במינימום/מקסימום?

    תודה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין לי הסבר מלא שניתן לכתוב בתגובה.
      ההסבר החסר הוא שכאשר הנגזרת השנייה שלילית הפונקציה היא קעורה – וזה מינימום.
      וכאשר הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה וזה מקסימום.
      קמירות וקעירות נלמדת כאן
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/concave-convex-function/