מציאת נקודות קיצון

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נקודת קיצון פנימית לפונקציה.
החלקים של הדף הם:

  1. תקציר.
  2. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה.
  3. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה.
  4. תרגילים.

1.תקציר

לפניכם שני סרטונים.
הסרטון הראשון 14:28 דקות הוא הסרטון הארוך.
בסרטון השני ניסיתי לקצר והגעתי ל 8:57.

 

1.מה היא נקודת קיצון פנימית?
נקודות קיצון פנימיות אלו הן נקודות גבוהות או נמוכות מהסביבה שלהן בשתי הצדדים שלהן.

  • נקודה גבוהה מסביבתה – נקודת מקסימום.
  • נקודה נמוכה מסביבתה – נקודת מינימום.

התבוננו בשרטוט ושימו לב:

  • בנקודת המקסימום (A) הפונקציה עולה ואז יורדת.
  • בנקודת המינימום (B) הפונקציה יורדת ואז עולה.

עובדות אלו יעזרו לנו למצוא את סוג הקיצון בעזרת טבלה בהמשך.

2.בנקודת הקיצון ערך הנגזרת הוא הוא תמיד 0
בנקודת קיצון ערך הנגזרת הוא תמיד 0.

לכן כאשר מבקשים מאיתנו למצוא קיצון של פונקציה אנו נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0.
למשל, עבור הפונקציה
f (x) = x³ – 6x²

נגזור:
f ' (x) = 3x² – 12x

ונשווה את הנגזרת ל 0:
3x² – 12x = 0
x (3x – 12) = 0
x = 0 
או 
3x – 12 = 0
3x = 12
x = 4

מצאנו כי הנקודות 
x = 0,   x = 4
חשודות כקיצון.

לא כל המקומות שבהם הנגזרת שווה ל 0 הן נקודות קיצון, לכן עלינו לבצע שלב נוסף על מנת לדעת האם אלו נקודות קיצון ואיזה סוג קיצון.

3.מציאת קיצון בעזרת נגזרת שנייה.

  • נקודת מינימום – הנגזרת הראשונה שווה ל 0 וגם הנגזרת השנייה חיובית f " (x) > 0.
  • נקודת מקסימום – הנגזרת הראשונה שווה ל 0 וגם הנגזרת השנייה שלילית f " (x) < 0.

f ' (x) = 3x² – 12x
f " (x) = 6x – 12

נציב x = 0 בנגזרת השנייה:
f " (0) = 6*0 – 12 = -12
הנגזרת השנייה שלילית – לכן x = 0 זו נקודת מקסימום.

נציב x = 4 בנגזרת השנייה:
f " (4) = 6*4 – 12 
f " (4) = 24 – 12 = 12
הנגזרת השנייה חיובית – לכן x = 4 זו נקודת מינימום.

4.מציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה

בטבלה נבדוק את ערכי הנגזרת הראשונה בסביבת הנקודות החשודות כקיצון.
x = 4,  x = 0

  • אם בנקודה הפונקציה עוברת מעליה לירידה זו נקודת מקסימום.
  • אם בנקודה הפונקציה עוברת מירידה לעליה זו נקודת מינימום.
  • אם הפונקציה לא משתנה בין עליה – ירידה זו לא נקודת קיצון.
x = 54101-
ערך הנגזרת הראשונה חיובית 0 שלילית 0 חיובית

ב x = 0
הנגזרת עוברת מחיובית לשליליות ולכן זו נקודת מקסימום.

ב x = 4
הנגזרת הראשונה עוברת משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מינימום.

פירוט ההצבות אשר ביצענו על מנת לבנות את הטבלה
f ' (x) = 3x² – 12x

(f '(-1
(f ' (-1) = 3*(-1)² – 12* (-1 
f ' (-1) = 3 + 12 = 15

(f '(1
f ' (1) = 3*(1)² – 12* 1  
f ' (1) = 3 – 12 = -9

(f '(5
f ' (5) = 3*(5)² – 12* 5  
f ' (1) = 75 – 60 = 15

כך נראה גרף הפונקציה שמצאנו לה נקודות קיצון:

כיצד נבחר את האיקסים שנמצאים בטבלה?

האיקסים שנמצאים סמוך לנקודת הקיצון צריכים לענות על שני דברים:

  1. אין בינם לבין הנקודה החשודה כקיצון נקודה אחרת החשודה כקיצון.
  2. אין בינם לבין לבין הנקודה החשודה כקיצון נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת.

אלו שני דברים שהם חובה.
בנוסף ננסה לבחור איקסים שכאשר נציב אותם נקבל מספרים קלים לחישוב.

דוגמה
עבור פונקציה 
x = 3
x = 4
הם נקודות החשודות כקיצון.
הפונקציה לא מוגדרת עבור 
x = 4.5

אלו ערכי x ניתן להציב בטבלה כדי לבדוק את הנקודה x = 4?

תשובה
על מנת לבדוק מצד ימין ניתן להציב ערכים בתחום:

4 < x < 4.5

לא ניתן להציב למשל x = 5 כי הוא מעבר לנקודת האי הגדרה ב 
x = 4.5.

על מנת לבדוק מצד שמאל צריך להציב ערכים בתחום:

3 < x < 4

לא ניתן להציב למשל x = 2.5 כי נקודה זו נמצאת מעבר לנקודה אחרת החשודה כקיצון ב x = 3.

2.דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה

שיטה זו מתבססת באופן מדויק על מה שרשום למעלה.
בנקודת מקסימום הפונקציה עוברת מעליה לירידה.
בנקודת מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעליה.
לכן חשוב שתזכרו היטב את שתי השורות הללו.

כמו כן חשוב שתזכרו שכאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה וכאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

השלבים הם:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים את הנגזרת ל 0. הנקודות שעבורן הנגזרת שווה 0 הן חשודות כקיצון.

2. בודקים בעזרת טבלה כיצד הנגזרת משתנה בסביבת הנקודות החשודות כקיצון על ידי הצבת ערכים קרובים לערכים החשודים כקיצון בנגזרת.
אם בסביבת הנקודה הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות זה אומר שהפונקציה עוברת מעליה לירידה וזו נקודות מקסימום.
אם בסביבת הנקודה הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות זו נקודת מינימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f (x) = x³ -12x

 

שלב 1: גוזרים את הפונקציה
f(x)=x3-12x
f ' (x)=3x²-12  – זו הנגזרת.

שלב 2: משווים את הנגזרת ל-0
3x²-12=0  /+12
3x²=12  /:3
x²=4
x=2  או x=-2.

שלב 3: בודקים האם אלו נקודות מינימום או מקסימום בעזרת טבלה

עבור הנקודה x = 2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = 3 כסביבת הנקודה.
עבור הנקודה x = -2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = -3 כסביבת הנקודה.

נציב את הערכים הללו בנגזרת הפונקציה ונקבל:
X=-3      3*(-3)2-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
X=0      3*02-12 = -12 < 0 הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
X=3      3*32-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

כאשר נציב את הנתונים הללו בטבלה נקבל:

ערך x3202-3-
ערך הנגזרתחיובי (15)0שלילי
(12-)
0חיובי
(15)
התנהגות הפונקציהעולהנקודת מינימוםיורדתנקודת מקסימוםעולה

שלב 4: מוצאים את ערך ה- Y של נקודות המינימום והמקסימום
לנקודה יש שני ערכים.
אל תשכחו למצוא גם את ערך ה- Y ולתת תשובה סופית בסוף.
f (-2) = x3-12x = -23 – 12*-2 = -8 + 24 =16
f(2) = x3-12x = 2³-12*2 = -16

תשובה: הנקודה (16, 2-) היא נקודת מקסימום.
הנקודה (16-, 2) היא נקודת מינימום.

כך נראה שרטוט הגרף:

גרף הפונקציה f(x)=x³-12x
גרף הפונקציה f(x)=x³-12x

3.דוגמה נוספת מציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה

כאשר ניתן לגזור נגזרת שנייה בקלות זו שיטה מהירה וקלה יותר.
השלבים:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים אותה ל 0, מוצאים ערכים החשודים כקיצון. בדיוק כמו שעשינו בשיטת הטבלה.

2. מוצאים את הנגזרת השנייה ומציבים בה את הנקודות החשודות כקיצון.
אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה זו אז זו נקודת מינימום.
אם הנגזרת השנייה שלילית בנקודה אז זו נקודת מקסימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
f (x) = 2x³ – 6x

פתרון

הנגזרת הראשונה היא:
f ' (x) = 2 * 3x² – 6
f ' (x) = 6x² – 6

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל- 0.
6x² – 6 = 0  / +6
6x² = 6  / :6
x² = 1
x = 1  או x = -1

אלו הערכים החשודים כקיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונמצא מה הערכים שלה בנקודות הללו.
f ' (x) = 6x² – 6
f " (x) = 6 * 2x = 12x

נציב x= 1  בנגזרת השנייה ונקבל:
f " (1) = 12 * 1 =12
הנגזרת השנייה חיובית. לכן בנקודה x =1 יש נקודת מינימום.

נציב x = -1 בנגזרת השנייה ונקבל.
f " (-1) = 12 * -1 = -12
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

שלב 5 ואחרון.
נציב x = 1, x = -1 במשוואת הפונקציה ונמצא את ערכי ה y.
f (1) = 2 * 1³ – 6 * 1 = 2 – 6 = -4

f (-1) = 2 * (-1)³ – 6 * (-1) = -2 + 6 = 4
תשובה: נקודת המינימום היא (4-, 1).
נקודת המקסימום היא (4, 1-).

שרטוט גרף הפונקציה ונקודות הקיצון

4.תרגילים

בדף זה 4 תרגילים.
תרגיל 1 נפתור בעזרת טבלה.
תרגילים 2-3 נפתור בעזרת נגזרת שנייה.
תרגיל 4 הוא הוכחה שאין לפונקציה נקודות קיצון.

תרגיל 1
מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) = x²

פתרון

שלב א: נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0
f(x) = x²
f ' (x) = 2x

נשווה את הנגזרת ל 0:
2x = 0
x = 0

שלב ב: נבדוק את התנהגות הפונקציה בסביבת הנקודה
נבדוק אם הנגזרת חיובית או שלילית בנקודות x = 1,  x = -1.

f ' (x) = 2x
f ' (1) = 2*1 = 2
לכן הפונקציה עולה מימין ל x = 0.

f ' (-1) = 2 * (-1) = – 2
לכן הפונקציה יורדת משמאל ל x = 0.

בטבלה זה נראה כך:

ערך ה x101-
ערך הנגזרתחיובית (2)0שלילית (2-)
התנהגות הפונקציהעולהמינימוםיורדת

מכוון שהפונקציה עולה מימין לנקודה החשודה.
ויורדת משמאל לנקודה החשודה זו נקודת מינימום.

שלב ג: מציאת ערך ה y של נקודת הקיצון
נציב x = 0 במשוואת הפונקציה
f(x) = x²
f(0) = 0² =0

נקודת הקיצון היא (0,0)

תרגיל 2
מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה  f(x) = x³ – 15x²

פתרון
שלב א: נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0
f(x) = x³ – 15x²
f ' (x) = 3x² – 30x
3x² – 30x = 0
3x (x – 10) = 0

הפתרונות של המשוואה הם:
x = 0,  x = 10
ואלו הנקודות החשודות כקיצון.

שלב ב: נגזור נגזרת שנייה ונציב בה את הנקודות
f ' (x) = 3x² – 30x
f " (x) = 6x – 30

נציב x = 0.
f " (0) = 6*0 – 30 = -30
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

נציב x = 10.
f " (10) = 6*10 – 30 = 30
הנגזרת השנייה חיובית לכן זו נקודת מינימום.

שלב ג: נמצא את ערכי ה y של הנקודות
נציב במשוואת הפונקציה:
f(x) = x³ – 15x²
f(0) = 0³ – 15*0² = 0
f(10) =10³ – 15*10² = -500

נקודות הקיצון הם (0,0)  (500-, 10).

תרגיל 3 
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה  f (x) =  x³ + 6x² + 12x

פתרון
שלב א: מציאת הנקודה החשודה כקיצון
נגזור את הפונקציה.
f (x) =  x³ + 6x² + 12x
f ' (x) = 3x²  + 12x + 12

נמצא מתי הנגזרת שווה ל 0.
3x²  + 12x + 12 = 0  / : 3
x² +4x + 4 = 0
ניתן לפתור משוואה ריבועית.
אני אשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר.
x + 2)² = 0)
x = -2

שלב ב: מציאת סוג הקיצון
הנקודה x = -2 חשודה כקיצון.
נמצא את ערך הנגזרת השנייה
f ' (x) = 3x²  + 6x + 12
f " (x) = 6x + 6

f " (-2) = 6* -2 + 6  = – 6
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

שלב 3: מציאת ערך הפונקציה בנקודת הקיצון
נציב x = -2 במשוואת הפונקציה.
(f (-2) =  (-2)³ + 3 * (-2)² + 12 * (-2
f (-2) = -8 +12 – 24 = -20

תשובה: הנקודה (20-, 2-) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.

תרגיל 4
הוכיחו כי לפונקציה  f (x) = x³ +2x² + 10x אין נקודות קיצון.

פתרון
שלב א: נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0
f (x) = x³ +2x² + 10x
f ' (x) = 3x² + 4x + 10

3x² + 4x + 10 = 0
זו משוואה ריבועית.
אנו יודעים כי מספר הפתרונות של משוואה ריבועית נתון על ידי הביטוי:
b² – 4ac
נמצא את מספר הפתרונות של המשוואה שלנו.

0 > 10 * 3 * 4 – 4²
הביטוי b² – 4ac קטן מ 0.
לכן למשוואה הריבועית אין לפתרונות ולפונקציה אין נקודות החשודות כקיצון.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

20 מחשבות על “מציאת נקודות קיצון”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, בטבלה, אתה מציין את האיקס הנתון ועוד איקסים, על סמך מה אתה בוחראת האיקסים הנוספים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האיקסים הנוספים צריכים להיות בסביבה הקרובה של הנקודה החשודה.
      שזה אומר: בין הנקודה החשובה כקיצון לבין האיקסים שנבחרו לא יכולה להיות נקודת קיצון אחרת, ולא יכולה להיות נקודה שהפונקציה לא מוגדרת.
      אלו שני תנאים: מעבר לכך בוחרים x שנוח וקל להציב

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y = 0.
      חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x = 0.

      אם הפונקציה היא משוואה ריבועית פותרים כרגיל.

      אם זו פונקציה עם חזקה גדולה יותר לרוב יהיה ניתן להוציא x כגורם משותף ואז לפתור משוואה ריבועית.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש לי שאלה למה בסרטון הסבר לא שמת בטבלה 3? הפונקציה יכולה לרדת בנקודה 1 ואז לעלות ב3 ואז הפתרון לא יהיה נכון

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אם יצא לי רק נקודה אחת שחשודה כקיצון האם עדיין צריך לבדוק עם נגזרת שנייה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עד שלא בודקים בנגזרת שנייה או טבלה לא ניתן לדעת אם זה מינימום / מקסימום או אליי בכלל לא קיצון.
      נגזרת ראשונה ששווה 0 זה לא אומר הרבה.
      לכן נגזרת שנייה או טבלה הכרחיים לקביעת הקיצון.

  4. רציתי לשאול בהקשר של נקודות קיצון האם אני יכול לחלק X בחזקת 3 ע"י X וככה להגיע לX בשניה כשבצד השני של המשוואה יש 0. תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זה שלב בפתרון משוואה אז כן.
      כמו כן כל פעם שיש משתנה במכנה עליך למצוא תחום הגדרה.

  5. הי
    אתה יכול להסביר למה אם הנגזרת השנייה היא שלילית בנקודה החשודה לקיצון של הנגזרת הראשונה, אז זה אומר שמדובר בנקודת מקסימום, ולמה כשהנגזרת השנייה חיובית בנקודה, אז מדובר על נקודת מינימום. בעצם אני שואל למה הנגזרת השניה יכולה לסווג אם מקוגר במינימום/מקסימום?

    תודה!!

      1. אני לא בטוחה שהטעות תוקנה בשלוש:
        פה רשום הפונקציה והנגזרת
        f (x) = x³ + 6x² + 12x
        f ' (x) = 3x² + 12x + 12
        ואז פתאום הוחלף אחד מן מהספרים וזה משפיע על כל התרגיל, או שסתם לא הבנתי נכון
        f ' (x) = 3x² + 6x + 12
        f " (x) = 6x + 6

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          אם הכוונה היא ל:
          f " (x) = 6x – 12
          אז זו נגזרת שנייה המספרים הוחלפו כי מדובר על נגזרת שנייה ולא נגזרת ראשונה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.