מציאת נקודות קיצון

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נקודת קיצון פנימית לפונקציה.
החלקים של הדף הם:

1. תקציר.
2. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה.
3. דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה.
4. תרגילים.

1.תקציר בכתב ובוידאו

לפניכם שני סרטונים.
הסרטון הראשון 14:28 דקות הוא הסרטון הארוך.
בסרטון השני ניסיתי לקצר והגעתי ל 8:57.

2.דוגמה נוספת למציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה

שיטה זו מתבססת באופן מדויק על מה שרשום למעלה.
בנקודת מקסימום הפונקציה עוברת מעליה לירידה.
בנקודת מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעליה.
לכן חשוב שתזכרו היטב את שתי השורות הללו.

כמו כן חשוב שתזכרו שכאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה וכאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

השלבים הם:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים את הנגזרת ל 0. הנקודות שעבורן הנגזרת שווה 0 הן חשודות כקיצון.

2. בודקים בעזרת טבלה כיצד הנגזרת משתנה בסביבת הנקודות החשודות כקיצון על ידי הצבת ערכים קרובים לערכים החשודים כקיצון בנגזרת.
אם בסביבת הנקודה הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות זה אומר שהפונקציה עוברת מעליה לירידה וזו נקודות מקסימום.
אם בסביבת הנקודה הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות זו נקודת מינימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f (x) = x³ -12x

 

שלב 1: גוזרים את הפונקציה
f(x)=x³-12x
f ‘ (x)=3x²-12  – זו הנגזרת.

שלב 2: משווים את הנגזרת ל-0
3x²-12=0  /+12
3x²=12  /:3
x²=4
x=2  או x=-2.

שלב 3: בודקים האם אלו נקודות מינימום או מקסימום בעזרת טבלה

עבור הנקודה x = 2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = 3 כסביבת הנקודה.
עבור הנקודה x = -2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = -3 כסביבת הנקודה.

נציב את הערכים הללו בנגזרת הפונקציה ונקבל:
X=-3      3*(-3)²-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
X=0      3*0²-12 = -12 < 0 הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
X=3      3*3²-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

כאשר נציב את הנתונים הללו בטבלה נקבל:

ערך x	3	2	0	2-	3-
ערך הנגזרת	חיובי (15)	0	שלילי (12-)	0	חיובי (15)
התנהגות הפונקציה	עולה	נקודת מינימום	יורדת	נקודת מקסימום	עולה

שלב 4: מוצאים את ערך ה- Y של נקודות המינימום והמקסימום
לנקודה יש שני ערכים.
אל תשכחו למצוא גם את ערך ה- Y ולתת תשובה סופית בסוף.
f (-2) = x³-12x = -2³ – 12*-2 = -8 + 24 =16
f(2) = x³-12x = 2³-12*2 = -16

תשובה: הנקודה (16, 2-) היא נקודת מקסימום.
הנקודה (16-, 2) היא נקודת מינימום.

כך נראה שרטוט הגרף:

3.דוגמה נוספת מציאת נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה

כאשר ניתן לגזור נגזרת שנייה בקלות זו שיטה מהירה וקלה יותר.
השלבים:

1.גוזרים את הפונקציה ומשווים אותה ל 0, מוצאים ערכים החשודים כקיצון. בדיוק כמו שעשינו בשיטת הטבלה.

2. מוצאים את הנגזרת השנייה ומציבים בה את הנקודות החשודות כקיצון.
אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה זו אז זו נקודת מינימום.
אם הנגזרת השנייה שלילית בנקודה אז זו נקודת מקסימום.

דוגמה
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
f (x) = 2x³ – 6x

פתרון

הנגזרת הראשונה היא:
f ‘ (x) = 2 * 3x² – 6
f ‘ (x) = 6x² – 6

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל- 0.
6x² – 6 = 0  / +6
6x² = 6  / :6
x² = 1
x = 1  או x = -1

אלו הערכים החשודים כקיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונמצא מה הערכים שלה בנקודות הללו.
f ‘ (x) = 6x² – 6
f ” (x) = 6 * 2x = 12x

נציב x= 1  בנגזרת השנייה ונקבל:
f ” (1) = 12 * 1 =12
הנגזרת השנייה חיובית. לכן בנקודה x =1 יש נקודת מינימום.

נציב x = -1 בנגזרת השנייה ונקבל.
f ” (-1) = 12 * -1 = -12
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

שלב 5 ואחרון.
נציב x = 1, x = -1 במשוואת הפונקציה ונמצא את ערכי ה y.
f (1) = 2 * 1³ – 6 * 1 = 2 – 6 = -4

f (-1) = 2 * (-1)³ – 6 * (-1) = -2 + 6 = 4
תשובה: נקודת המינימום היא (4-, 1).
נקודת המקסימום היא (4, 1-).

4.תרגילים

בדף זה 4 תרגילים.
תרגיל 1 נפתור בעזרת טבלה.
תרגילים 2-3 נפתור בעזרת נגזרת שנייה.
תרגיל 4 הוא הוכחה שאין לפונקציה נקודות קיצון.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.