מציאת משוואת משיק בנקודה שעל הפונקציה

לדף זה 4 חלקים:

  1. השלבים למציאת משוואת משיק לפונקציה בנקודה.
  2. תזכורת: תכונות המשיק שעל פיהם בונים משוואות (אם אתם לא מכירים את זה קראו את זה לפני החלק הראשון).
  3. תרגילים.
  4. תרגילים עם פרמטרים.

1.השלבים למציאת משוואת משיק לפונקציה בנקודה.

הרבה ממכם מגיעים לדף זה עם שאלה אחת בלבד:
יש לי פונקציה ונקודה. כיצד אני מוצא/ת את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה זו?

תשובה
עושים זאת בארבעה שלבים:

  1. גוזרים את הפונקציה ומוצאים את נגזרת הפונקציה.
  2. מציבים בנגזרת הפונקציה את ערך ה x של נקודת ההשקה. הערך שנקבל בהצבה זו הוא שיפוע המשיק.
  3. מציבים את ערך ה x של הנקודה במשוואת הפונקציה, נקבל את ערך ה y של נקודת ההשקה.
  4. נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע שמצאנו עכשיו ועל פי הנקודה שקיבלנו בנתונים.

דוגמה:
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = 3x² בנקודה x = 3.

פתרון
שלב א: נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2*3x = 6x
f ' (x) =  6x

שלב ב: נמצא את שיפוע הפונקציה והמשיק ב x = 3
נציב x = 3 בנגזרת:
f ' (3) =  6*3 = 18
מצאנו כי שיפוע המשיק ושיפוע הפונקציה ב x = 3 הוא 18.

שלב ג: נמצא את נקודת ההשקה
נציב x = 3 במשוואת הפונקציה ונקבל
f (x) = 3x²
f (3) = 3*3² = 3*9 = 27
נקודת ההשקה היא:
(3,27)

שלב ד: נמצא את משוואת המשיק
אנו יודעים כי שיפוע המשיק הוא 18.
נקודת ההשקה היא:
(3,27)
נציב את הנתונים הללו במשוואה:
(y – y1 = m(x – x1
(y – 27 = 18(x – 3
y – 27 = 18x – 54
y = 18x -27

תשובה: משוואת המשיק לפונקציה f (x) = 3x² כאשר x = 3 היא
y = 18x -27

2.תזכורת: תכונת המשיק לפונקציה שעל פיהם בונים משוואות

למשיק לפונקציה יש שתי תכונות שעל פיהם בונים משוואות ופותרים את כל שאלות המשיק:

  1. למשיק ולפונקציה יש את אותו שיפוע בנקודת ההשקה.
  2. המשיק והפונקציה עוברים דרך נקודת ההשקה.

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים.
חלק מהתרגילים כוללים ניסוחים קשים יותר להבנה מהדוגמה שהופיעה למעלה.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = x³ – 4x² בנקודה x = 2.

פתרון
שלב א: נמצא את שיפוע המשיק בנקודה
נגזור את הפונקציה.
f(x) = x³ – 4x²
f ' (x) = 3x² – 8x

נציב בנגזרת x = 2.
f ' (2) = 3*2² – 8*2 = – 4

שלב ב: נמצא את נקודת ההשקה
נציב x = 2 במשוואת הפונקציה
f(x) = x³ – 4x²
f(2) = 2³ – 4*2² = -8
נקודת ההשקה היא (8-, 2).

שלב ג: נמצא את משוואת המשיק
משוואת המשיק ששיפועו 4- ועובר בנקודה (8-, 2) היא:
(y – y1 = m(x – x1
(y – (-8) = -4(x – 2
y + 8 = -4x +8
y = -4x

תרגיל 2
עבור הפונקציה f (x) = 4x³ + 2x.

  1. מצאו את ערך הנגזרת בנקודה x = 4
  2. מצאו את שיפוע המשיק ב x = 4
  3. מצאו את ערך ה x שעבורו f ' (x) = 110

פתרון
סעיף א
נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3 * 4x² + 2 = 12x² +2

נציב x = 4
f ' (4) = 12*4² + 2 = 194
תשובה: f ' (4)  = 194

סעיף ב: שיפוע המשיק
שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת בנקודה.
לכן בנקודה x = 4 שיפוע המשיק הוא 194.

סעיף ג: מציאת ערך ה x שעבורו f ' (x) = 110
אנו יודעים כי:
(12x² +2 = f ' (x
לכן נציב f ' (x) = 110 ונפתור את המשוואה.

12x² +2 = 110  / -2
12x² = 108  / : 12
x² = 9
x = 3  או x = -3.
תשובה: עבור x = 3  או x = -3 ערך הנגזרת הוא 110.

תרגיל 3
נתונות הפונקציות f (x) = 2x³  ו  g (x) = 6x.

  1. מצאו את ערכי ה x עבורם השיפוע של הפונקציה שווה.
  2. האם באחת מהנקודות הללו לשתי הפונקציות יש משיק משותף?

פתרון
סעיף א: מציאת הנקודות בהן הנגזרות שוות
נגזור את שתי הפונקציות
f (x) = 2x³
f ' (x) = 3*2x² = 6x²

g (x) = 6x
g ' (x) = 6

מבקשים מאיתנו:
(f ' (x) = g ' (x
נשווה את שתי הנגזרות ונקבל:
6x² = 6  / : 6
x² = 1
x = 1  או  x = -1

סעיף ב: משיק משותף
על מנת שיהיה משיק משותף לשתי פונקציות הם צריכות לעבור באותה נקודה ושיהיה להם שיפוע שווה בנקודה זו.
מצאנו כי ב x = 1  או  x = -1 לפונקציות יש שיפוע שווה.
נבדוק אם עבור ערכי ה x הללו יש להם את אותו ערך y.

עבור x = 1.
g (x) = 6x
g (1) = 6*1 = 6

f (x) = 2x³
f (1) = 2*1³ = 2
ב x = 1 לשתי הפונקציות אין אותו ערך y ולכן אין להם משיק משותף.

עבור x = – 1.
g (x) = 6x
g (1) = 6*(-1) = -6

f (x) = 2x³
f (-1) = 2*(-1)³ = -2
ב x = -1 לשתי הפונקציות אין אותו ערך y ולכן אין להם משיק משותף.

תרגיל 4
עבור הפונקציה f (x) = 4x² – 6x מצאו מצאו את ערך הנגזרת כאשר f (x) = 28.

פתרון
שלב א: מציאת x שעבורו f (x) = 28
עלינו למצוא את ערך ה x עבורו ערך y של הפונקציה שווה ל 28.
עושים זאת על ידי הצבה f (x) = 28.
4x² – 6x = 28
4x² – 6x = 28  / -28
4x² – 6x – 28 = 0  / :2
2x² – 3x – 14 = 0

זו משוואה ריבועית.
ניתן לפתור על ידי נוסחת השורשים או טרינום.
כאן נפתור על ידי טרינום.
2x² – 3x – 14 = 0
2x² + 4x – 7x – 14 = 0
2x (x +2) – 7(x + 2) = 0
2x – 7) (x + 2) = 0)

למשוואה זו שני פתרונות.
אפשרות אחת
x + 2 = 0
x = -2

אפשרות שנייה:
2x – 7 = 0
x = 3.5

שלב ב: מציאת ערך הנגזרת כאשר x = -2,  x = 3.5
נגזור את הפונקציה
f (x) = 4x² – 6x
f ' (x) = 8x – 6

ערך הנגזרת עבור x = -2 הוא:
f ' (-2) = 8*(-2) – 6 = -22

ערך הנגזרת עבור x = 3.5 הוא:
f ' (3.5) = 8*3.5 – 6 = 22

תשובה: ערכי הנגזרת כאשר f (x) = 28 הם 22 או 22-.

תרגיל 5
לפונקציה f(x) = x² מעבירים משיקים בנקודות x = 4 ו  x = -1.
מצאו את נקודת החיתוך של המשיקים.

פתרון
שלבי הפתרון יהיו:

  1. מציאת משוואות המשיקים בנקודות, כפי שעשינו בתרגילים קודמים.
  2. מציאת נקודת החיתוך של שני הישרים.

שלב א: מציאת משוואות המשיקים
נמצא את נקודות ההשקה על ידי הצבת ערכי ה x במשוואת הפונקציה.
f (4) = 4² = 16
f (-1) = (-1)² = 1

נקודות ההשקה הן:
(4,16).
(1, 1-).

נמצא את שיפוע הפונקציה והמשיקים בנקודות הללו.
נגזור את הפונקציה.
f(x) = x²
f ' (x) = 2x

נציב את הנקודות בנגזרת.
f ' (4) = 2*4 = 8
f ' (-1) = 2*(-1) = -2

נמצא את משוואות המשיק.
בנקודה (4,16) השיפוע הוא 8.
לכן משוואת המשיק בנקודה היא:
(y – y1 = m(x – x1
(y – 16 = 8(x – 4
y – 16 = 8x – 32  / +16
y = 8x – 16

בנקודה (1, 1-) השיפוע הוא 2-.
לכן משוואת המשיק בנקודה
(y – 1 = -2(x  + 1
y – 1 = -2x – 2  / +1
y = -2x – 1

שלב ב: מציאת נקודת החיתוך של המשיקים
שני המשיקים שמצאנו הם:
y = 8x – 16
y = -2x – 1

נקודת החיתוך שלהם היא:
8x – 16 = -2x – 1
10x = 15
x = 1.5

נציב x = 1.5 במשוואה y = -2x – 1 על מנת למצוא את ערך ה y של החיתוך.
y = -2 * 1.5 – 1
y = -3 – 1 = -4.

תשובה: נקודת החיתוך של של שני המשיקים היא (4-, 1.5).

תרגיל 6
לפונקציה f(x) = x² + 4x מעבירים משיק בנקודה x = 1.
בנקודה x = -0.5 שעל המשיק מעבירים למשיק אנך.
מצאו את משוואת האנך.

פתרון
שלב א: נמצא את משוואת המשיק
נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבה x = 1 במשוואת הפונקציה
f (1) = 1² + 4*1 = 5
(1,5)

נמצא שיפוע המשיק על ידי הצבה x = 1 בנגזרת.
f(x) = x² + 4x
f ' (x) = 2x + 4
f ' (1) = 2*1 + 4 = 6

משוואת הישר העובר בנקודה (1,5) ושיפועו 6 היא:
(y – 5 = 6 (x – 1
y – 5 = 6x – 6
y = 6x – 1

שלב ב: מציאת משוואת האנך
הנקודה שבה מעבירים את האנך היא x = -0.5.
נמצא את ערך נקודה זו על המשיק.
y = 6*(-0.5) – 1 = -4
(4-, 0.5-)

נמצא את שיפוע האנך.
מכפלת שיפוע האנך בשיפוע המשיק היא 1-.
m * 6 = -1
m = -0.166

האנך עובר בנקודה (4-, 0.5-) ושיפועו 0.166-.
לכן משוואתו:
(y + 4 = -0.166(x + 0.5
y + 4 = -0.166x – 0.0833
y = – 0.166x  – 4.0833

תשובה: משוואת האנך היא y = – 0.166x  – 4.0833.

4.תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 1
נתונה הפונקציה f (x) = ax³ ידוע כי f ' (2) = 8. מצאו את a.
וכתבו את משוואת הפונקציה.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = ax³
f ' (x) = 3ax²

כאשר x  = 2 ערך הנגזרת שווה ל 8.
נציב את הנתונים הללו בנגזרת
3a2² = 8
12a = 8  / 12
a = 0.66

משוואת הפונקציה היא f (x) = 0.66x³

תרגיל 2 (דומה לתרגיל 1)
נתונה הפונקציה    f (x) = x³ + ax ידוע כי f ' (4) = 2. מצאו את a.
וכתבו את משוואת הפונקציה.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = x³ + ax
f ' (x) = 3x² + a

נציב x = 4,  f ' (4) = 2 במשוואת הנגזרת.
a + 3*4² = 2
a+ 48 = 2  / – 48
a = -46
תשובה: משוואת הפונקציה היא f (x) = x³ – 46x.

תרגיל 3 (שני פרמטרים)
נתונה הפונקציה f (x) = ax² + bx ונתון כי f ' (0) = 2,   f ' (2) = 8
מצאו את a,b.

פתרון
נגזור את הפונקציה ונציב את f ' (0) = 2
f ' (x) = 2ax + b
נציב f ' (0) = 2 (כלומר x= 0,  f ' (x) = 2)
2a * 0 + b = 2
b = 2

נציב f ' (2) = 8  וגם b = 2 במשוואת הנגזרת.
f ' (x) = 2ax + b
2a * 2 + 2 = 8
4a=6   / : 4
a = 1.5

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.