נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר ה- x וציר ה- y

החלקים של דף זה הם:

  1. תכלס, כיצד מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים?
  2. תכונות נוספות של נקודות חיתוך עם הצירים.
  3. תרגילים.
  4. נספח: מציאת נקודות חיתוך עם הצירים בעזרת נקודות סימטריות.
  5. נספח 2: מדוע מציבים x=0 או y=0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים?

החלקים החשובים של דף זה הם:
1,3
חלק 2 חשוב למי שרוצה להצטיין.
חלק 4 הוא סוג נדיר יחסית של שאלות.

הערה:
נקודות האפס הוא שם נוסף של נקודות החיתוך עם ציר ה x.
כאשר מבקשים ממכם למצוא את נקודות ה 0 צריך למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.

1.תכלס, כיצד מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים?

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

  1. חיתוך עם ציר ה y:  מציבים x=0 במשוואת הפרבולה ופותרים משוואה.
  2. חיתוך עם ציר ה x:  מציבים y=0 במשוואת הפרבולה ופותרים משוואה ריבועית.

דוגמה
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y = x² +5x + 6 עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x=0 במשוואת הפרבולה
y = x² +5x + 6
ונקבל:
y = 0² + 5*0 + 6
y = 6
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא 0,6.

חיתוך עם ציר ה x
נציב y=0 במשוואת הפרבולה
x² +5x + 6 = y
נקבל:
x² +5x + 6 = 0

זו משוואה ריבועית.
נפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל את נקודות החיתוך.
הפתרון בעזרת נוסחת השורשים הוא:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

נפצל את המשוואה לשתי הפתרונות:

מצאנו כי פתרונות המשוואה הם:
x1 = -2,  x2 = -3
לכן נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, 2-)
(0, 3-)

הערה
אם היינו רוצים לפתור בעזרת טרינום זה היה נראה כך:
x² +5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x (x + 3) + 2(x + 3) = 0
x + 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:
x = -2,   x =-3

2.תכונות נוספות של נקודות החיתוך

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.תרגילים

הערה: את כל המשוואות הריבועיות אני אפתור בעזרת פירוק הטרינום. אתם יכולים לפתור אותם גם בעזרת נוסחת השורשים.

תרגילים 1-4 עוברים על האפשרויות השונות של 0,1,2 נקודות חיתוך עם ציר ה x.
תרגיל 5 הוא תרגיל נוסף.

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

תרגיל 1: 2 נקודות חיתוך
נתונה הפרבולה y = x2 – x – 6

  1. מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים.
  2. מצאו את המרחק של הנקודה A מהנקודה B.
  3. מצאו את המרחק של הנקודה C מראשית הצירים.

פתרון התרגיל

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x -3) + 2(x – 3) = 0
x – 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:

x=3,   x= – 2

ערך ה y של נקודות החיתוך הללו הוא y = 0  שאותו הצבנו במשוואה.
לכן:
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:

(A(-2, 0

(B(3, 0

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0
y=x2-x-6
y = 0² – 0 – 6
y = -6

ערך ה x של נקודות החיתוך הללו הוא x = 0 שאותו הצבנו במשוואה.

נקודת החיתוך היא

(C(0, -6

מציאת המרחק בין הנקודות A,B.

לנקודות A ו- B יש את אותו ערך y.

לכן המרחק בניהם הוא הפרש ערכי ה x.

3 – (-2) = 5

תשובה: המרחק בין הנקודות A,B הוא 5 יחידות.

מציאת המרחק בין הנקודה C לראשית הצירים

ראשית הצירים היא הנקודה (0,0).

(C(0, -6

לשתי הנקודות הללו אותו ערך x.

לכן המרחק בניהן הוא הפרש ערכי ה y.

-6 – 0 = -6

מרחק הוא גודל חיובי, לכן נקבל את המרחק בערכו המוחלט 6.

תשובה: במרחק בין הנקודה C לראשית הצירים הוא 6.

תרגיל 2: נקודת השקה אחת
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x² + 4x + 4 עם הצירים.

פתרון התרגיל

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² +4x+4=0
x² +2x +2x + 4 = 0
x (x +2) + 2(x +2) = 0
x +2) (x+ 2) =0)
x+2)²=0)
x= – 2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0 במשוואת הפרבולה.
y=x² + 4x + 4
y=0² + 4*0 + 4
y =4
נקודת החיתוך היא
0,4

גרף הפרבולה

תרגיל 3: ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y=x² +5x+8 עם ציר ה x.

פתרון התרגיל

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y =0
x² +5x+8=0
ננסה לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב שהביטוי שבתוך השורש הוא 7-.
ואין שורש למספר שלילי, לכן למשוואה הריבועית הזו אין פתרון.
ולפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

גרף הפרבולה נראה כך:

גרף הפרבולה

תרגיל 4: פרבולה הפוכה ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y =-x² – 5x-7 עם ציר ה X.

פתרון התרגיל

פתרון
ננסה לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב שבתוך השורש יש לנו את הביטוי:
28 – 25
שהוא ביטוי שלילי, ולכן אין למשוואה הריבועית הזו פתרונות.
ואין לפרבולה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

גרף הפרבולה y=-x² -5x-7 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X.
גרף הפרבולה y=-x² -5x-7 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X.

תרגיל 5
עבור הפרבולה y=x²-7x+10 מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון התרגיל

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x=0 במשוואת הפרבולה
y=0²-7*0+10=10
(10, 0)

חיתוך עם ציר ה x
נציב y=0 במשוואת הפרבולה
x²-7x+10=0
x² -2x – 5x + 10 = 0
x (x -2) -5 (x -2) = 0
x – 5) (x -2) = 0)
x=5 או  x=2.
נקודות החיתוך הם:
2,0
5,0

שרטוט גרף הפרבולה y=x²-7x+10 ונקודות החיתוך שלה עם הצירים
שרטוט גרף הפרבולה y=x²-7x+10 ונקודות החיתוך שלה עם הצירים

עוד באתר:

4.נספח 1: מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x בעזרת נקודות סימטריות

למעלה בדף למדתם את הדרך העיקרית והחשובה למציאת נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים.
כאן נלמד דרך נוספת, הרבה פחות שימושית, אבל כן מרחיבה את הידע על תכונות הפרבולה.

לנקודות סימטריות בפרבולה שתי תכונות:
1.בפרבולה לנקודות סימטריות יש ערך y שווה.
לכן: שתי נקודות החיתוך עם ציר ה x הן נקודות סימטריות כי בשתיהן y = 0.
2.נקודות סימטריות נמצאות באותו מרחק על ציר ה x מהקודקוד.

בשרטוט שלמטה ניתן לראות ששתי נקודות החיתוך עם ציר ה x הן סימטריות.
ושהמרחק של שתיהן על ציר ה x מקודקוד הפרבולה הוא 2.

פתרון תרגיל הנשען על תכונות הסימטריות בוידאו:

תרגיל
ידוע כי נקודת קודקוד הפרבולה היא (1,4).
נקודת חיתוך אחת עם ציר ה x היא (7,0)
מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה עם ציר ה x.

פתרון
המרחק של נקודת החתוך (0,7) מנקודת הקודקוד על ציר ה x היא:
6 = 1 – 7
לכן גם המרחק של נקודת החיתוך השנייה הוא 3.
5- = 6 – 1

תשובה: נקודת החיתוך השנייה היא (0, 5-)

5.נספח 2: מדוע מציבים x=0 או y=0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים?

למדנו כי על מנת למצוא נקודות חיתוך פועלים כך:

  • על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x מציבים y = 0 במשוואת הפונקציה.
  • על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.

מדוע זה כך?

התשובה  היא:
בכול הנקודות על ציר ה x הערך הוא y =0.
בכול הנקודות על ציר y הערך הוא x = 0.

הבנה טובה יותר של התשובה תוכלו לקבל דרך התרגיל הבא:
תרגיל
מצורף גרף, ענו על השאלות הבאות:

  1. מה משותף לנקודות A,B?
  2. מה משותף לנקודות C,D?
  3. מה משותף לנקודות E,F,G?

פתרון
המשותף לנקודות A,B 
בשתי הנקודות y = 4.

המשותף לנקודות C,D 
בשתי הנקודות y = -2.

המשותף לנקודות E,F,G 
בשלוש הנקודות y = 0.

אלו שלוש נקודות על ציר ה x, ומכך ניתן להבין שבכל הנקודות שעל ציר ה x מתקיים y = 0.

 

בצורה דומה ניתן להבין שבכל הנקודות על ציר ה y מתקיים x = 0.
תרגיל
מצורף גרף, ענו על השאלות הבאות:

  1. מה משותף לנקודות A,B?
  2. מה משותף לנקודות C,D?
  3. מה משותף לנקודות E,F,G?

פתרון
המשותף לנקודות A,B 
בשתי הנקודות x = 3.

המשותף לנקודות C,D 
בשתי הנקודות x = -1.

המשותף לנקודות E,F,G 
בשלוש הנקודות x = 0.

אלו שלוש נקודות על ציר ה y ומכך ניתן להבין שבכל הנקודות שעל ציר ה x מתקיים x = 0.

40 מחשבות על “נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר ה- x וציר ה- y”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    איך אני מגלה את הפרמטר b משוואה ריבועית אם אני יודעת רק שהיא משיקה לציר הx?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הפרבולה משיקה לציר ה x זה אומר שערך ה y של הקודקוד היא 0.
      וזה אומר שאם תציב b/2a- במשוואת הפרבולה תקבל 0.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בפרבולה תמיד יש.
      בפונקציות אחרות זה אפשרי אם הפונקציה לא מוגדרת עבור x = 0.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האם הביטוי שווה ל 0?
      אם כן פתרים כך:
      x – 4)² = 0)
      ביטוי בריבוע שווה ל 0 כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
      x – 4 = 0
      x = 4

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למען אלו שקוראים את התגובות אגיד שהשאלה לא קשורה לדף – כי אין כאן פרבולה.
      במקרה זה את לא מוצאת נקודת חיתוך שהיא מספר אלא מבטאת את נקודת החיתוך באמצעות a.
      מה שצריך לעשות הוא:
      1.להציב y = 0.
      2.לבודד את x.
      ערך ה x שמתקבל הוא ערך ה x של נקודת החיתוך.

  2. יש לי מבחן מחר

    הי
    יש לך אולי הסבר על תחום חיוביות ושליליות בפרבולה?
    ומתי הפונקציה עולה או יורדת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כי זו הנקודה המתקבלת כאשר מציבים בפונקציה x =0 ותמיד ניתן להציב x = 0 בפונקציה ריבועית

  3. איך מוצאים מהו המרחק בין נקודת חיתוך של הפרבולה עם ציר ה-y לבין נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה למצוא את שתי הנקודות הללו.
      לאחר מיכן תוכלי למצוא את המרחק בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/distance-between-2-points/
      או בעזרת חישוב מרחק בין נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/2-points-on-line-parallel-to-axis/
      הדרך הראשונה כללית יותר ומתאימה לכל שתי נקודות.