נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר ה- x וציר ה- y

החלקים של דף זה הם:

  1. תכלס, כיצד מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים?
  2. תכונות נוספות של נקודות חיתוך עם הצירים.
  3. תרגילים.
  4. נספח: מציאת נקודות חיתוך עם הצירים בעזרת נקודות סימטריות.

החלקים החשובים של דף זה הם:
1,3
חלק 2 חשוב למי שרוצה להצטיין.
חלק 4 הוא סוג נדיר יחסית של שאלות.

הערה: נקודות האפס הוא שם נוסף של נקודות החיתוך עם ציר ה x.

1.תכלס, כיצד מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים?

  1. חיתוך עם ציר ה y:  מציבים x=0 במשוואת הפרבולה ופותרים משוואה.
  2. חיתוך עם ציר ה x:  מציבים y=0 במשוואת הפרבולה ופותרים משוואה ריבועית.

דוגמה
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y = x² +5x + 6 עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x=0 במשוואת הפרבולה
y = x² +5x + 6
ונקבל:
y = 0² + 5*0 + 6
y = 6
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא 0,6.

חיתוך עם ציר ה x
נציב y=0 במשוואת הפרבולה
x² +5x + 6 = y
נקבל:
x² +5x + 6 = 0

זו משוואה ריבועית.
נפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל את נקודות החיתוך.
הפתרון בעזרת נוסחת השורשים הוא:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

נפצל את המשוואה לשתי הפתרונות:

מצאנו כי פתרונות המשוואה הם:
x1 = -2,  x2 = -3
לכן נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, 2-)
(0, 3-)

הערה
אם היינו רוצים לפתור בעזרת טרינום זה היה נראה כך:
x² +5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x (x + 3) + 2(x + 3) = 0
x + 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:
x = -2,   x =-3

דפים נוספים בנושא פרבולה באתר:

  1. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
  2. קודקוד פרבולה.
  3. ציר הסימטריה.
  4. פרבולה עולה או יורדת.
  5. פרבולה חיובית או שלילית.
  6. הזזה של פרבולה.
  7. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
  8. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  9. שרטוט גרף פרבולה.
  10. מציאת נקודות סימטריות.
  11. מציאת משוואת פרבולה (פרמטרים חסרים).
  12. בעיות בנייה של פרבולה

וגם:

2.תכונות נוספות של נקודות החיתוך

תכונות של נקודת החיתוך עם ציר ה y

1.על מנת למצוא את נקודת החיתוך מציבים x= 0.

2.יכולה להיות רק נקודת חיתוך אחת עם ציר ה y.

3. אם משוואת הפרבולה היא y = ax² + bx + c
אז נקודת החיתוך אם ציר ה y תמיד תהיה c.
הדבר נובע מכך שכאשר נציב x =0 במשוואה נקבל:
y = a*0² + b*0 + c
y = c
כלומר נקודת החיתוך היא c.

דוגמאות נוספות:
y = 2x² + 3x  + 8
נקודת החיתוך עם ציר ה y תהיה:
0,8

y = -x² + 2x – 4
נקודת החיתוך עם ציר ה y תהיה:
4-, 0.

y = 5x² – 3x
את הפרבולה הזו ניתן לכתוב גם כ:
y = 5x² – 3x +0
לכן נקודת החיתוך עם ציר ה y תהיה:
0,0

תכונות של נקודות החיתוך עם ציר ה x

1. מוצאים את נקודות החיתוך על ידי הצבה y = 0.

2. לאחר ההצבה מקבלים משוואה ריבועית.
משוואה שיכולים להיות לה 0 או 1 או 2  פתרונות.
שהם 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך עם ציר ה x.

כיצד מספר נקודות החיתוך נראה בגרף הפרבולה?

  • שתי נקודות חיתוך – הפרבולה חותכת את ציר ה x בשתי נקודות.
  • נקודת חיתוך אחת – ציר ה x משיק לפרבולה.
  • 0 נקודות חיתוך – הפרבולה כולה נמצאת מעל ציר ה x, ואז חייבת להיות לה נקודת מינימום (פרבולה מחייכת).
    או שכולה מתחת לציר ה x, ואז חייבת להיות נקודת מקסימום (פרבולה בוכה).
פרבולות עם 2,1, או 0 נקודות חיתוך עם ציר ה x. מספר נקודות החיתוך הוא מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית
פרבולות עם 2,1, או 0 נקודות חיתוך עם ציר ה x. מספר נקודות החיתוך הוא מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית

תרגיל לדוגמה:
מצאו את נקודות החיתוך של משוואת הפרבולה y=x²-7x+10 עם ציר ה X.

פתרון
נציב y=0 במשוואת הפרבולה ונקבל:
0=x²-7x+10

נפתור את המשוואה הריבועית (בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל את נקודות החיתוך)
0=x²-7x+10
x² – 2x – 5x + 10 = 0
x (x – 2) – 5 (x -2) =0
(x-2) (x-5)=0)
הפתרונות הם:
x=5,  x=2
ונקודות החיתוך הם (0, 5)  (0, 2).

נקודות החיתוך של הפרבולה y=x²-7x+10 עם ציר ה X
נקודות החיתוך של הפרבולה y=x²-7x+10 עם ציר ה X

3.תרגילים

הערה: את כל המשוואות הריבועיות אני אפתור בעזרת פירוק הטרינום. אתם יכולים לפתור אותם גם בעזרת נוסחת השורשים.

תרגילים 1-4 עוברים על האפשרויות השונות של 0,1,2 נקודות חיתוך עם ציר ה x.
תרגיל 5 הוא תרגיל נוסף.

תרגיל 1: 2 נקודות חיתוך
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x2-x-6  עם הצירים.

תרגיל 2: נקודת השקה אחת
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x² + 4x + 4 עם הצירים.

תרגיל 3: ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y=x² +5x+8 עם ציר ה x.

תרגיל 4: פרבולה הפוכה ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y =-x² – 5x-7 עם ציר ה X.

תרגיל 5
עבור הפרבולה y=x²-7x+10 מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרונות

תרגיל 1: 2 נקודות חיתוך
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x2-x-6  עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x -3) + 2(x – 3) = 0
x – 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:
x=3,   x= – 2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם  (0, 2-)  (0,  3).

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0
y=x2-x-6
y = 0² – 0 – 6
y = -6
נקודת החיתוך היא 6-, 0.

גרף הפרבולה

תרגיל 2: נקודת השקה אחת
מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה y=x² + 4x + 4 עם הצירים.
פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² +4x+4=0
x² +2x +2x + 4 = 0
x (x +2) + 2(x +2) = 0
x +2) (x+ 2) =0)
x+2)²=0)
x= – 2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0 במשוואת הפרבולה.
y=x² + 4x + 4
y=0² + 4*0 + 4
y =4
נקודת החיתוך היא
0,4

גרף הפרבולה

תרגיל 3: ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y=x² +5x+8 עם ציר ה x.
פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y =0
x² +5x+8=0
ננסה לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב שהביטוי שבתוך השורש הוא 7-.
ואין שורש למספר שלילי, לכן למשוואה הריבועית הזו אין פתרון.
ולפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

גרף הפרבולה נראה כך:

גרף הפרבולה

תרגיל 4: פרבולה הפוכה ללא נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y =-x² – 5x-7 עם ציר ה X.

פתרון
ננסה לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב שבתוך השורש יש לנו את הביטוי:
28 – 25
שהוא ביטוי שלילי, ולכן אין למשוואה הריבועית הזו פתרונות.
ואין לפרבולה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

גרף הפרבולה y=-x² -5x-7 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X.
גרף הפרבולה y=-x² -5x-7 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X.

תרגיל 5
עבור הפרבולה y=x²-7x+10 מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x=0 במשוואת הפרבולה
y=0²-7*0+10=10
(10, 0)

חיתוך עם ציר ה x
נציב y=0 במשוואת הפרבולה
x²-7x+10=0
x² -2x – 5x + 10 = 0
x (x -2) -5 (x -2) = 0
x – 5) (x -2) = 0)
x=5 או  x=2.
נקודות החיתוך הם:
2,0
5,0

שרטוט גרף הפרבולה y=x²-7x+10 ונקודות החיתוך שלה עם הצירים
שרטוט גרף הפרבולה y=x²-7x+10 ונקודות החיתוך שלה עם הצירים

עוד באתר:

נספח 1: מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x בעזרת נקודות סימטריות

למעלה בדף למדתם את הדרך העיקרית והחשובה למציאת נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים.
כאן נלמד דרך נוספת, הרבה פחות שימושית, אבל כן מרחיבה את הידע על תכונות הפרבולה.

לנקודות סימטריות בפרבולה שתי תכונות:
1.בפרבולה לנקודות סימטריות יש ערך y שווה.
לכן: שתי נקודות החיתוך עם ציר ה x הן נקודות סימטריות כי בשתיהן y = 0.
2.נקודות סימטריות נמצאות באותו מרחק על ציר ה x מהקודקוד.

בשרטוט שלמטה ניתן לראות ששתי נקודות החיתוך עם ציר ה x הן סימטריות.
ושהמרחק של שתיהן על ציר ה x מקודקוד הפרבולה הוא 2.

פתרון תרגיל הנשען על תכונות הסימטריות בוידאו:

תרגיל
ידוע כי נקודת קודקוד הפרבולה היא (1,4).
נקודת חיתוך אחת עם ציר ה x היא (7,0)
מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה עם ציר ה x.

פתרון
המרחק של נקודת החתוך (0,7) מנקודת הקודקוד על ציר ה x היא:
6 = 1 – 7
לכן גם המרחק של נקודת החיתוך השנייה הוא 3.
5- = 6 – 1

תשובה: נקודת החיתוך השנייה היא (0, 5-)

נספח 2: מדוע מציבים x=0 או y=0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים?

למדנו כי על מנת למצוא נקודות חיתוך פועלים כך:

  • על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x מציבים y = 0 במשוואת הפונקציה.
  • על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.

מדוע זה כך?

התשובה  היא:
בכול הנקודות על ציר ה x הערך הוא y =0.
בכול הנקודות על ציר y הערך הוא x = 0.

הבנה טובה יותר של התשובה תוכלו לקבל דרך התרגיל הבא:
תרגיל
מצורף גרף, ענו על השאלות הבאות:

  1. מה משותף לנקודות A,B?
  2. מה משותף לנקודות C,D?
  3. מה משותף לנקודות E,F,G?

פתרון
המשותף לנקודות A,B 
בשתי הנקודות y = 4.

המשותף לנקודות C,D 
בשתי הנקודות y = -2.

המשותף לנקודות E,F,G 
בשלוש הנקודות y = 0.

אלו שלוש נקודות על ציר ה x, ומכך ניתן להבין שבכל הנקודות שעל ציר ה x מתקיים y = 0.

 

בצורה דומה ניתן להבין שבכל הנקודות על ציר ה y מתקיים x = 0.
תרגיל
מצורף גרף, ענו על השאלות הבאות:

  1. מה משותף לנקודות A,B?
  2. מה משותף לנקודות C,D?
  3. מה משותף לנקודות E,F,G?

פתרון
המשותף לנקודות A,B 
בשתי הנקודות x = 3.

המשותף לנקודות C,D 
בשתי הנקודות x = -1.

המשותף לנקודות E,F,G 
בשלוש הנקודות x = 0.

אלו שלוש נקודות על ציר ה y ומכך ניתן להבין שבכל הנקודות שעל ציר ה x מתקיים x = 0.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

14 מחשבות על “נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר ה- x וציר ה- y”

  1. איך מוצאים מהו המרחק בין נקודת חיתוך של הפרבולה עם ציר ה-y לבין נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה למצוא את שתי הנקודות הללו.
      לאחר מיכן תוכלי למצוא את המרחק בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/distance-between-2-points/
      או בעזרת חישוב מרחק בין נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/2-points-on-line-parallel-to-axis/
      הדרך הראשונה כללית יותר ומתאימה לכל שתי נקודות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.