פרבולה חיובית או שלילית

בדף זה 4 חלקים:

  1. השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות.
  2. תרגילים.
  3. הכרת המושגים "אי חיוביות" ו "אי שליליות".
  4. פרבולות מיוחדות: ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x או משיקות לציר ה x.

חלקים 1,2 הם החלקים החשובים וכוללים את עיקר החומר.

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

1. השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות הם:

שלב א
מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ומסמנים אותן על מערכת צירים.

שלב ב
מזהים האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
במידה וזו פרבולת מינימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה ונמצא מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
במידה וזו פרבולת מקסימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הגבוהה בפרבולה ונמצא מעל נקודות החיתוך עם ציר ה x.

נסמן את נקודת הקודקוד על מערכת הצירים.

שלב ג
נשרטט סקיצה על פי נקודת הקודקוד ונקודות החיתוך עם ציר ה x.

שלב ד
קובעים את תחומי החיוביות והשליליות על פי הסקיצה.
הערה
מה הכוונה "תחומי חיוביות"?
פרבולה חיובית כאשר ערכי ה y של הפרבולה חיוביים. וזה קורה כאשר הגרף מעל ציר ה x.
לעומת זאת תחומי שליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

לסיכום, שני הנתונים שצריך לדעת על מנת לקבוע תחומי חיוביות ושליליות הם:

  1. נקודות חיתוך עם ציר ה x.
  2. לדעת אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

דוגמה
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה f (x) = x² + 6x + 5.

פתרון
שלב א: חיתוך עם ציר ה x
בעזרת טרינום או נוסחת השורשים נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
מציבים f (x) = 0 ומקבלים משוואה ריבועית.
x² + 6x + 5 = 0

נפתור את את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום.
x² + 6x + 5 = 0
x² + x + 5x + 5 = 0
x (x +1) + 5(x +1) = 0
x +5) (x+ 1) = 0)
x = -5 או x = -1.

שלב ב: מינימום או מקסימום?
מכוון שהמקדם של x² חיובי אז זו פרבולה עם מינימום (מחייכת).

שלב ג: סקיצה
על פי שני השלבים הקודמים הסקיצה תראה כך.

סקיצה של פרבולה

שלב ד: פתרון
תחומי החיוביות הם כאשר ערכי ה y חיוביים וזה קורה כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.
זה קורה בתחומים
x > -1 או x < -5

תחומי השליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר הגרף מתחת לציר ה x.
זה קורה בתחום:

וזה התחום שבו הפרבולה שלילית.

2.תרגילים

בתרגיל 1 שרטוט הפרבולה נתון לכם ואתם צריכים לקבוע את תחומי החיוביות והשליליות.
תרגיל זה תרגיל חשוב כי מוצגות בו סוגים שונים של פרבולות.
בתרגילים 2-3 עליכם לשרטט את הפרבולה ואז לקבוע את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה.

תרגיל 1
על פי הגרפים של הפרבולות הבאות קבעו מתי הן חיוביות ושליליות.
בתרגיל 1 נקודות החיתוך הן  x = -2,  x = -4.
בתרגיל 2 נקודת ההשקה היא x = 0.

פתרון
פרבולה 1
פרבולה זו נמצאת מתחת לציר ה x (שלילית) כאשר:
x < -4  או  x > -2.

הפרבולה נמצאת מעל ציר ה x כאשר:

פרבולה 2
הפרבולה הזו לא נמצאת אף פעם מתחת לציר ה x, ולכן היא לא שלילית אף פעם.
עבור x = 0 הפרבולה שווה ל 0, בנקודה זו הפרבולה היא לא חיובית ולא שלילית.

הפרבולה חיובית עבור x ≠ 0.
ניתן לכתוב זאת גם כך:
הפרבולה חיובית כאשר:
x > 0 או x < 0.

פרבולה 3
הפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה x. לכן הפרבולה שלילית לכל x.
הפרבולה אינה חיובית אף פעם.

תרגיל 2
מצאו את תחומי החיוביות שליליות של הפרבולה y=x²-x-12.

פתרון
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y=0.
x²-x-12=0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת  נוסחת השורשים או פירוק טרינום. אני אפתור בעזרת פירוק טרינום.
x²-x-12=0
x² + 3x – 4x – 12 = 0
x (x +3) -4 (x + 3) = 0
x-4) (x+3) =0)
הפתרונות הם:
x=4, x=-3 – אלו הנקודות בהם הפרבולה חותכת את ציר ה X.

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום כי a=1>0

שלב 3: שרטוט הסקיצה של הפרבולה
נסמן את נקודות החיתוך עם ציר ה x על מערכת צירים.
זו פרבולת מינימום לכן נקודת קודקוד הפרבולה נמצאת מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
נסמן גם את נקודת הקודקוד במערכת הצירים (מיקום בערך, לא מיקום מדויק).

הנקודות על מערכת הצירים

ועכשיו נעביר בין שלושת הנקודות את גרף הפרבולה.

גרף הפרבולה

שלב 4: רישום תחומי החיוביות והשליליות
על פי הסקיצה ניתן לראות כי הפרבולה חיובית כאשר x>4 או x<-3.
הפרבולה שלילית כאשר x<4 וגם x>-3.

תרגיל 3
מצאו מתי הפרבולה y= – x²+2x-8 חיובית ומתי שלילית.

פתרון
שלב 1: נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה X על ידי הצבה y=0.
x²+2x-8=0-
למשוואה ריבועית זו אין פתרונות בגלל שהדלתא שלה שלילית – אם הייתם מציבים את הערכים שלה בנוסחה של המשוואה הריבועית הייתם מקבלים ביטוי שלילי מתחת לשורש.
לכן לפרבולה הזו אין נקודות חיתוך עם ציר ה X.

הסבר נוסף. אנו יודעים שמספר הפתרונות של משוואה ריבועית נקבע על ידי
b² – 4ac
וכאשר ביטוי זה קטן מ 0 אין למשוואה הריבועית פתרונות.
במשוואה שלנו הערך הוא:
0 > (8-) * (1-) * 4 – 2²
0 > 32 – 4
ולכן אין למשוואה הריבועית הזו פתרון.

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום בגלל ש a=-1<0.

שלב 3: נשרטט סקיצה לפרבולה.
אנו יודעים שלפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x ושהיא פרבולת מקסימום.
הדרך היחידה לשרטט פרבולה העונה על שני התנאים היא לשרטט קודקוד מתחת לציר ה x ומשם לרדת עוד עם הפרבולה.

גרף הפרבולה

שלב 4:  זיהוי ורישום הפתרון
הפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה x לכן היא שלילית עבור כל x.

4.הכרת המושגים: אי חיוביות ואי שליליות

המשמעות של המילה "אי" היא "לא".
אי חיוביות = לא חיובית.
אי שליליות = לא שלילית.
המושגים קצת מבלבלים כי הם מערבים את המילה לא. לכן צריך להתרכז טוב כאשר עונים על שאלות הכוללות את המושגים הללו.

אי חיוביות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא חיובית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה שלילית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0 (נקודות החיתוך עם ציר ה x).

אי שליליות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה חיובית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0.

כלומר כאשר מבקשים מאיתנו למצוא חיוביות שליליות של פרבולה אנחנו לא מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x לאף אחד מהתחומים.
לעומת זאת בתחומי אי החיוביות ואי השליליות אנו מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x בשני המקרים.

תרגיל 1
בשרטוט שלמטה יש את הגרף של הפרבולה  f (x) = -2x² -5x החותכת את ציר ה x בנקודות x = 0,  x = -2.5.
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות של הפרבולה.

גרף הפרבולה

פתרון
הפרבולה שלילית כאשר
x > 0 או x < 2.5
לכן הפרבולה אי חיובית כאשר
x ≥ 0 או  x ≤ -2.5

הפרבולה אי שלילית כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x או שווה ל 0.

תרגיל 2
הפרבולה f (x) = x² – 10x + 21 חותכת את ציר ה x בנקודות:
x = 7 ,  x = 3
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות.

פתרון
אי שליליות הם כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית
כלומר חיובית או שווה ל 0.
x ≥ 7 או  x ≤ 3

אי חיוביות הם כל המקומות הפרבולה לא חיובית.
כלומר שלילית או שווה ל 0.

5. פרבולות מיוחדות: משיקות לציר ה x או ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x

בחלק זה נדבר על שני סוגי פרבולות:

  1. פרבולות המשיקות לציר ה x.
  2. פרבולות ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x.

מבחינת הכללים שבהם הגדרנו חיוביות / שליליות אין הבדל בין הפרבולות הללו לכל פרבולה אחרת.

אבל טוב להכיר את הגרפים הללו מראש.

העצה שלי: הסתכלו היטב וכל פעם מחדש על הגרף כאשר שואלים אותכם שאלות מסוג זה.

גרפים של פרבולות ללא נקודות חיתוך עם הצירים.

נסתכל על שני הגרפים הבאים:
f (x) = x² + 2
h (x)  = – x² + 2x -1
מהם תחומי:

  1. החיוביות.
  2. השליליות.
  3. האי חיוביות.
  4. האי שליליות.

גרף פרבולה

גרף מספר 1       f (x) = x² + 2
גרף זה כולו מעל ציר ה x, כלומר כולו חיובי ובשום נקודה הוא לא שלילי.
– תחום החיוביות של הגרף הזה הוא כל x.
(כי תמיד f (x) >0)
– תחום האי שליליות הוא כל x.
(כי תמיד f (x ) ≥ 0).

לעומת זאת פרבולה מספר 1 אף פעם לא שלילית.
ואין לה תחום של אי חיוביות (כי היא תמיד חיובית).

גרף מספר 2    h (x)  = – x² + 2x -1
גרף זה כולו מתחת לציר ה x. לכן הפרבולה שלילית תמיד.
– תחום השליליות של הפרבולה הוא כל x.
(כי תמיד f(x) < 0)
תחום האי חיוביות של הפרבולה הוא כל x.
(כי תמיד f (x) ≤ 0)

תחום החיוביות של הפרבולה הוא אף x.
תחום האי שליליות של הפרבולה הוא אף x.

גרפים של פרבולות המשיקים לציר ה x

נסתכל על הגרפים הבאים:
f (x) = – (x -2)²
(נקודת הקודקוד וההשקה עם ציר ה x היא (0, 2))
h (x) = (x + 3)²
(נקודת הקודקוד וההשקה עם ציר ה x היא (0, 3-))

ונמצא את התחומים הבאים:
חיוביות, שליליות, אי שליליות, אי חיוביות.

פתרון
גרף מספר 1    f (x) = – (x -2)²
נסתכל על הגרף ונראה שהוא תמיד מתחת לציר ה x מלבד הנקודה x = 0.
לכן:
תחום השליליות הוא כל x מלבד x = 0.
תחום האי חיוביות הוא כל x.

תחום החיוביות הוא אף x.
תחום האי שליליות הוא x = 0.

גרף מספר 2    h (x) = (x + 3)²
נסתכל על הגרף ונראה שהוא תמיד מעל ציר ה x, מלבד הנקודה x = 0.
לכן:
תחום החיוביות הוא כל x מלבד x = 0.
תחום האי שליליות הוא כל x.

תחום השליליות הוא אף x.
תחום האי חיוביות הוא x = 0.

סיימנו.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 מחשבות על “פרבולה חיובית או שלילית”

  1. עזר לי בטירוף! סוף סוף הבנתי את הנושא אחרי כל כך הרבה זמן שהתקשיתי בו. תודה רבה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.