פרבולה חיובית או שלילית

בדף זה 4 חלקים:

  1. השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות.
  2. תרגילים.
  3. הכרת המושגים "אי חיוביות" ו "אי שליליות".
  4. פרבולות מיוחדות: ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x או משיקות לציר ה x.

חלקים 1,2 הם החלקים החשובים וכוללים את עיקר החומר.

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

1.השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות הם:

הסבר בכתב ובוידאו


שלב א
מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ומסמנים אותן על מערכת צירים.

שלב ב
מזהים האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
במידה וזו פרבולת מינימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה ונמצא מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
במידה וזו פרבולת מקסימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הגבוהה בפרבולה ונמצא מעל נקודות החיתוך עם ציר ה x.

נסמן את נקודת הקודקוד על מערכת הצירים.

שלב ג
נשרטט סקיצה על פי נקודת הקודקוד ונקודות החיתוך עם ציר ה x.

שלב ד
קובעים את תחומי החיוביות והשליליות על פי הסקיצה.
הערה
מה הכוונה "תחומי חיוביות"?
פרבולה חיובית כאשר ערכי ה y של הפרבולה חיוביים. וזה קורה כאשר הגרף מעל ציר ה x.
לעומת זאת תחומי שליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

לסיכום, שני הנתונים שצריך לדעת על מנת לקבוע תחומי חיוביות ושליליות הם:

  1. נקודות חיתוך עם ציר ה x.
  2. לדעת אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

דוגמה
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה f (x) = x² + 6x + 5.

פתרון
שלב א: חיתוך עם ציר ה x
בעזרת טרינום או נוסחת השורשים נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
מציבים f (x) = 0 ומקבלים משוואה ריבועית.
x² + 6x + 5 = 0

נפתור את את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום.
x² + 6x + 5 = 0
x² + x + 5x + 5 = 0
x (x +1) + 5(x +1) = 0
x +5) (x+ 1) = 0)
x = -5 או x = -1.

שלב ב: מינימום או מקסימום?
מכוון שהמקדם של x² חיובי אז זו פרבולה עם מינימום (מחייכת).

שלב ג: סקיצה
על פי שני השלבים הקודמים הסקיצה תראה כך.

סקיצה של פרבולה

שלב ד: פתרון
תחומי החיוביות הם כאשר ערכי ה y חיוביים וזה קורה כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.
זה קורה בתחומים
x > -1 או x < -5

תחומי השליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר הגרף מתחת לציר ה x.
זה קורה בתחום:

וזה התחום שבו הפרבולה שלילית.

2.תרגילים

בחלק זה 3 תרגילים.

בתרגיל 1 שרטוט הפרבולה נתון לכם ואתם צריכים לקבוע את תחומי החיוביות והשליליות.
תרגיל זה תרגיל חשוב כי מוצגות בו סוגים שונים של פרבולות.
בתרגילים 2-3 עליכם לשרטט את הפרבולה ואז לקבוע את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה.

תרגיל 1
על פי הגרפים של הפרבולות הבאות קבעו מתי הן חיוביות ושליליות.
בתרגיל 1 נקודות החיתוך הן  x = -2,  x = -4.
בתרגיל 2 נקודת ההשקה היא x = 0.

פתרון
פרבולה 1
פרבולה זו נמצאת מתחת לציר ה x (שלילית) כאשר:
x < -4  או  x > -2.

הפרבולה נמצאת מעל ציר ה x כאשר:

פרבולה 2
הפרבולה הזו לא נמצאת אף פעם מתחת לציר ה x, ולכן היא לא שלילית אף פעם.
עבור x = 0 הפרבולה שווה ל 0, בנקודה זו הפרבולה היא לא חיובית ולא שלילית.

הפרבולה חיובית עבור x ≠ 0.
ניתן לכתוב זאת גם כך:
הפרבולה חיובית כאשר:
x > 0 או x < 0.

פרבולה 3
הפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה x. לכן הפרבולה שלילית לכל x.
הפרבולה אינה חיובית אף פעם.

תרגיל 2
מצאו את תחומי החיוביות שליליות של הפרבולה y=x²-x-12.

פתרון
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y=0.
x²-x-12=0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת  נוסחת השורשים או פירוק טרינום. אני אפתור בעזרת פירוק טרינום.
x² – x – 12=0
x² + 3x – 4x – 12 = 0
x (x +3) -4 (x + 3) = 0
x – 4) (x + 3) =0)
הפתרונות הם:
x = 4, x= -3 – אלו הנקודות בהם הפרבולה חותכת את ציר ה X.

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום כי a=1>0

שלב 3: שרטוט הסקיצה של הפרבולה
נסמן את נקודות החיתוך עם ציר ה x על מערכת צירים.
זו פרבולת מינימום לכן נקודת קודקוד הפרבולה נמצאת מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
נסמן גם את נקודת הקודקוד במערכת הצירים (מיקום בערך, לא מיקום מדויק).

הנקודות על מערכת הצירים

ועכשיו נעביר בין שלושת הנקודות את גרף הפרבולה.

גרף הפרבולה

שלב 4: רישום תחומי החיוביות והשליליות
על פי הסקיצה ניתן לראות כי הפרבולה חיובית כאשר x>4 או x<-3.
הפרבולה שלילית כאשר x<4 וגם x>-3.

תרגיל 3
מצאו מתי הפרבולה y= – x²+2x-8 חיובית ומתי שלילית.

פתרון
שלב 1: נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה X על ידי הצבה y=0.
x²+2x-8=0-
למשוואה ריבועית זו אין פתרונות בגלל שהדלתא שלה שלילית – אם הייתם מציבים את הערכים שלה בנוסחה של המשוואה הריבועית הייתם מקבלים ביטוי שלילי מתחת לשורש.
לכן לפרבולה הזו אין נקודות חיתוך עם ציר ה X.

הסבר נוסף. אנו יודעים שמספר הפתרונות של משוואה ריבועית נקבע על ידי
b² – 4ac
וכאשר ביטוי זה קטן מ 0 אין למשוואה הריבועית פתרונות.
במשוואה שלנו הערך הוא:
0 > (8-) * (1-) * 4 – 2²
0 > 32 – 4
ולכן אין למשוואה הריבועית הזו פתרון.

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום בגלל ש a=-1<0.

שלב 3: נשרטט סקיצה לפרבולה.
אנו יודעים שלפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x ושהיא פרבולת מקסימום.
הדרך היחידה לשרטט פרבולה העונה על שני התנאים היא לשרטט קודקוד מתחת לציר ה x ומשם לרדת עוד עם הפרבולה.

גרף הפרבולה

שלב 4:  זיהוי ורישום הפתרון
הפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה x לכן היא שלילית עבור כל x.

4.הכרת המושגים: אי חיוביות ואי שליליות

המשמעות של המילה "אי" היא "לא".
אי חיוביות = לא חיובית.
אי שליליות = לא שלילית.
המושגים קצת מבלבלים כי הם מערבים את המילה לא. לכן צריך להתרכז טוב כאשר עונים על שאלות הכוללות את המושגים הללו.

אי חיוביות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא חיובית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה שלילית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0 (נקודות החיתוך עם ציר ה x).

אי שליליות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה חיובית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0.

כלומר כאשר מבקשים מאיתנו למצוא חיוביות שליליות של פרבולה אנחנו לא מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x לאף אחד מהתחומים.
לעומת זאת בתחומי אי החיוביות ואי השליליות אנו מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x בשני המקרים.

תרגיל 1
בשרטוט שלמטה יש את הגרף של הפרבולה  f (x) = -2x² -5x החותכת את ציר ה x בנקודות x = 0,  x = -2.5.
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות של הפרבולה.

גרף הפרבולה

פתרון
הפרבולה שלילית כאשר
x > 0 או x < 2.5
לכן הפרבולה אי חיובית כאשר
x ≥ 0 או  x ≤ -2.5

הפרבולה אי שלילית כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x או שווה ל 0.

תרגיל 2
הפרבולה f (x) = x² – 10x + 21 חותכת את ציר ה x בנקודות:
x = 7 ,  x = 3
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות.

פתרון
אי שליליות הם כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית
כלומר חיובית או שווה ל 0.
x ≥ 7 או  x ≤ 3

אי חיוביות הם כל המקומות הפרבולה לא חיובית.
כלומר שלילית או שווה ל 0.

5. פרבולות מיוחדות: משיקות לציר ה x או ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x

בחלק זה נדבר על שני סוגי פרבולות:

  1. פרבולות המשיקות לציר ה x.
  2. פרבולות ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x.

מבחינת הכללים שבהם הגדרנו חיוביות / שליליות אין הבדל בין הפרבולות הללו לכל פרבולה אחרת.

אבל טוב להכיר את הגרפים הללו מראש.

העצה שלי: הסתכלו היטב וכל פעם מחדש על הגרף כאשר שואלים אותכם שאלות מסוג זה.

גרפים של פרבולות ללא נקודות חיתוך עם הצירים.

נושא זה כולל כמה דרגות קושי.
כאן ייכתב הסבר בסיסי.

יש פרבולות שהן חיוביות תמיד (הפרבולה העליונה בשרטוט).

ופרבולות שהן שליליות תמיד (הפרבולה התחתונה).

גרף פרבולה

 

הדרך לזהות פרבולות מהסוג הזה היא כמו לפתור תרגיל רגיל.
משרטטים את הפרבולה על פי הכללים שלמדנו ואז רואים שהפרבולה חיובית או שלילית תמיד.

אז למה אנחנו מדברים על זה בנפרד?
כדי שתדעו שהאפשרות הזו קיימת.

וגם יש משהו משותף לכל הפרבולות האלו:

  • אין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x.

כפי שהיינו אמורים ללמוד ניתן לדעת שלמשוואה ריבועית אין פתרונות על פי האי שוויון

b² – 4ac < 0

ובמקרה זה הפרבולה חיובית או שלילית תמיד.

כמו כן:
יש ביטויים שניתן לזהות שהם חיוביים תמיד.
למשל:

x² + 4

כי:
x² חיובי או שווה ל 0 לכל x.
4 חיובי תמיד.
לכן החיבור שלהם חיובי תמיד.
הסבר זה יכול לשמש כנימוק לכך שהפרבולה

y = x² + 4

חיובית תמיד (ללא צורך לשרטט את הפרבולה).

בצורה דומה
ניתן להגיד כי הפרבולה

y = -2x² – 1

היא שלילית תמיד.
כי:

2x²- הוא ביטוי השווה ל 0 או שלילי לכל x.
1- שלילי תמיד.

ולכן החיבור שלהם הוא שלילי תמיד.
בכך הוכחנו כי הפרבולה שלילית תמיד ללא צורך לשרטט פרבולה.

 

גרפים של פרבולות המשיקים לציר ה x

נסתכל על הגרפים הבאים:
f (x) = – (x -2)²
(נקודת הקודקוד וההשקה עם ציר ה x היא (0, 2))
h (x) = (x + 3)²
(נקודת הקודקוד וההשקה עם ציר ה x היא (0, 3-))

ונמצא את התחומים הבאים:
חיוביות, שליליות, אי שליליות, אי חיוביות.

פתרון
גרף מספר 1    f (x) = – (x -2)²
נסתכל על הגרף ונראה שהוא תמיד מתחת לציר ה x מלבד הנקודה x = 0.
לכן:
תחום השליליות הוא כל x מלבד x = 0.
תחום האי חיוביות הוא כל x.

תחום החיוביות הוא אף x.
תחום האי שליליות הוא x = 0.

גרף מספר 2    h (x) = (x + 3)²
נסתכל על הגרף ונראה שהוא תמיד מעל ציר ה x, מלבד הנקודה x = 0.
לכן:
תחום החיוביות הוא כל x מלבד x = 0.
תחום האי שליליות הוא כל x.

תחום השליליות הוא אף x.
תחום האי חיוביות הוא x = 0.

סיימנו.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

18 מחשבות על “פרבולה חיובית או שלילית”

  1. יש טעות בפיתרון תרגיל 2, ממש בהתחלה.
    מוצגת הפרבולה y=x^2-x+12
    התשובה של הטרינום הוא לא x=-3 , x=4 כמו שרשום באתר אלא
    X=-4 x=3

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה על הרצון לתקן אבל התשובה הרשומה היא התשובה הנכונה.
      נסה להציב את המספרים שכתבת במשוואה ותראה שהם לא נכונים.
      יתכן ואתה מתבלבל בין המספרים שנוצרים בטרינום למספרים שהם פתרונות המשוואה.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    איך מוצאים תחום חיוביות/שליליות במשותף של שתי פרבולות ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נטע
      אני מניח שהכוונה היא לדוגמה.
      בדוגמה וגם באופן כללי עאשר מח]שים תחמי חיוביות ושליליות אין חשיבות לערך המדויק של הקודקוד.
      יש חשיבות לכך האם הקודקוד נמצא מעל או מתחת לציר ה x. ואז זה יודעים על י מינימום או מקסימום ומספר נקודות החיתוך – כמפורט בדף.
      הערך המדויק של הקודקוד לא חשוב לצורך חיוביות ושליליות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האם ניסית לשרטט את הפרבולה?
      שרטוט הפרבולה מוביל לפתרון.
      אם יש שאלה על הדרך שבה משרטטים אוכל לענות.
      כמו כן זו פרבולה שיש בה משהו מיוחד.

  3. עזר לי בטירוף! סוף סוף הבנתי את הנושא אחרי כל כך הרבה זמן שהתקשיתי בו. תודה רבה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.