נקודות סימטריות בפרבולה

בדף זה נלמד על נקודות סימטריות בפרבולה.

לדף זה 3 חלקים:

  1. תקציר – החלק החשוב.
  2. מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה ידועה.
  3. מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה לא ידועה.

1.תקציר

לנקודות סימטריות על פרבולה יש שתי תכונות:

  1. לנקודות סימטריות ערכי y שווים.
  2. נקודות סימטריות נמצאות באותו מרחק על ציר ה x מקודקוד הפרבולה.

בחלק זה נסביר אלו תרגילים ניתן לפתור בעזרת תכונות אלו.

1.תכונה ראשונה: לנקודות סימטריות ערכי y שווים
לנקודות סימטריות על פרבולה יש את אותו ערך y.
כך תוכלו לזהות נקודות סימטריות.
למשל בשרטוט הנקודות A,B הן סימטריות כי יש להן את אותו ערך y.

 

לכן
אם נותנים לכם נקודה על פרבולה, נניח (2,5), ומשוואת פרבולה, נניח y = x² + 2x – 3, אתם יכולים מצוא את הנקודה הסימטרית ל (2,5) על ידי הצבת 5 במשוואת הפרבולה.
x² + 2x – 3 = 5.

דבר נוסף (ניתן לזהות נקודות סימטריות)
אם נותנים לכם מספר נקודות אתם יכולים לזהות את הנקודות הסימטריות מבניהן על פי ערכי ה y.
(7,8)   (1,2)   (0,8)  (3,5).
אם כל הנקודות הללו על פרבולה אז הנקודות הסימטריות הן:
(7,8)  (0,8)
כי יש להן אותו ערך y.

דבר נוסף: נקודות החיתוך של פרבולה עם ציר ה x הן תמיד נקודות סימטריות

לנקודות החיתוך עם ציר ה x יש ערך y שווה – שהוא 0.
לכן נקודות החיתוך הן נקודות סימטריות.

ובנוסף (מיועד למי שמכיר את הצגת המכפלה)
אם תציבו את נקודות החיתוך עם ציר ה x בהצגת המכפלה של הפרבולה תוכלו למצוא את משוואת הפרבולה.
דוגמה
מצאו את ההצגה הסטנדרטית של הפרבולה שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
(4,0)  (1,0).

פתרון
נכתוב את הצגת המכפלה:
(y = (x – 1) (x – 4
נפתח את הסוגריים ונקבל את ההצגה הסטנדרטית.
y = x² – 4x – x + 4
y = x² – 5x + 4

2.תכונה שנייה: נקודות סימטריות נמצאות באותו מרחק על ציר ה x מקודקוד הפרבולה.

לכן
אם ידועות שתי נקודות סימטריות אז ערך ה x של נקודת הקודקוד הוא הממוצע (אמצע) של שתי הנקודות הסימטריות.
מחשבים את ערך x של הקודקוד בדיוק כמו שמחשבים אמצע קטע.

דוגמה
ידוע כי
(4,5)   (1,5) הן נקודות סימטריות על פרבולה.
מה ערך ה x של נקודת הקודקוד?

תשובה: ערך ה x של נקודת הקודקוד הוא 2.5.

דבר נוסף (בעזרת נקודת הקודקוד ניתן למצוא נקודות סימטריות)
אם ידועה נקודה על הפרבולה ונקודת הקודקוד ניתן למצוא את הנקודה הסימטרית.

דוגמה
על פי השרטוט הבא מצאו את הנקודה C שהיא סימטרית לנקודה A.

מציאת ערך ה y בנקודה C
ערך ה y בנקודה C הוא 1, כי בנקודות סימטריות ערך ה y שווה.

מציאת ערך ה x בנקודה C
A נמצאת במרחק 2 על ציר ה x מהקודקוד B ולכן גם C במרחק 2 על ציר ה x.
(4,1) C

 

החלקים הנמצאים בהמשך הדף מפרטים את מה שכתוב בתקציר.

2.מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה ידועה

כאשר משוואת הפרבולה ידועה ואנו יודעים נקודה סימטרית אחת. נציב את ערך ה y של הנקודה שאנו יודעים ונקבל את ערך ה x של הנקודה הסימטרית אליה.

בפעולה זו אנו עושים שימוש בתכונה שלנקודות סימטריות בפרבולה יש ערך y שווה.

הסבר מפורט לדרך זו דרך שני התרגילים הבאים.

תרגיל 1
על הפרבולה  f(x) = x² -4x + 5  נמצאת הנקודה  (10, 5).
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.

פתרון
ערך ה y בנקודה שקיבלנו הוא 10. לכן נציב f (x) = 10 במשוואת הפרבולה.
x² – 4x + 5 = 10   / -10
x² – 4x – 5 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה על ידי נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן אפתור על ידי פירוק טרינום.
x² – 4x – 5 = 0
x² + x – 5x – 5 = 0
x (x + 1) -5 (x + 1) = 0
x – 5) (x + 1) = 0)

הפתרונות הם x = 5,   x = -1.
x = 5 זו הנקודה שקיבלנו בנתונים (10, 5).
x = -1 זה הערך הנוסף שחיפשנו.

אנו יודעים כי ערך ה y בנקודה x = -1 הוא 10 (זה מה שהצבנו במשוואה).
ולכן הנקודה הסימטרית היא (10, 1-).

כך נראה הגרף עם הנקודות הסימטריות.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

תרגיל 2

על הפרבולה f (x) = – x² +6x – 2  נמצאת הנקודה שערך ה x שלה הוא x = 4.
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.

פתרון
בתרגיל זה אנחנו צריכים לבצע שלב אחד יותר מבתרגיל הקודם.
עלינו למצוא את ערך ה y של הנקודה שקיבלנו.
נציב x = 4 במשוואת הפרבולה ונקבל.
f (4) = -4² + 6*4 – 2 = -16+ 24 – 2 = 6
כלומר הנקודה הראשונה היא (6, 4).

בנקודה הסימטרית לנקודה הראשונה מתקיים y=6
נציב זאת במשוואת הפרבולה ונקבל:
x² +6x – 2 = 6-
x² + 6x – 8  = 0-

קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור בעזרת טרינום
x² +2x + 4x – 8 = 0-
x (2 – x) -4(2 – x)= 0
x – 4) (2 – x) = 0 )
הפתרונות הם:
x = 4,  x = 2

x = 4 זו הנקודה שקיבלנו.
x = 2 זו הנקודה המבוקשת.

הנקודה הסימטרית היא (6, 2).

גרף הפרבולה עם שתי הנקודות הסימטריות נראה כך.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

3.מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה לא ידועה

לפעמים יבקשו מאיתנו למצוא נקודה סימטרית אך לא נדע את משוואת הפרבולה.
במקרה זה נצטרך לדעת את קודקוד הפרבולה או את קודקוד הפרבולה של הפרבולה.

הפתרון מתבסס על כך שהמרחק על ציר ה x של נקודות סימטריות על הפרבולה מקודקוד הפרבולה או מציר הסימטריה הוא מרחק שווה.

משפט מסובך אבל הדוגמאות יעשו אותו פשוט.
אם נתונה לנו הנקודה (3, 8) וקודקוד הפרבולה נמצא ב x= 6 אז הנקודה הסימטרית חייבת להיות ב x = 4.

נקודה (2, 6-) קודקוד ב x = -1  אז בנקודה הסימטרית x = 4.

נקודה (7, 4-) קודקוד ב x = -2  אז בנקודה הסימטרית x = 0.

נקודה (4, 3-) קודקוד ב x = -8  אז בנקודה הסימטרית x = -13.

תרגיל 1
הנקודה (A(3, -1 נמצאת על פרבולה שערך ה x של הקודקוד שלה הוא x= 2.
מצאו נקודה נוספת (B) על הפרבולה שערך ה y שלה הוא 1-.

שרטוט הנקודות Aו- B
שרטוט הנקודות Aו- B

פתרון
הנקודות שיש להן ערך y שווה הן סימטריות ביחס ביחס לציר הסימטריה ולערך ה x של הקודקוד.
המרחק על ציר ה x מהנקודה (A(3, -1 אל x= 2 הוא:
1 = 2 – 3.

לכן גם הנקודה המבוקשת נמצאת במרחק 1 מ- x= 2 רק בכיוון השני.
1 = 1 – 2
לכן הנקודה המבוקשת היא (1-, 1).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.