מרחק בין שתי נקודות

בדף זה:

  1. הסבר לנוסחת מרחק בין שתי נקודות.
  2. מרחק בין נקודה לצירים.
  3. תרגילים בסיסיים לשימוש בנוסחה (תרגילים 1-3).
  4. תרגילים לכיתה י ברמת 4-5 יחידות (תרגילים 4-5).
  5. תרגילים המשלבים משוואת מעגל (תרגילים 6-7).

1.הסבר נוסחת מרחק בין 2 נקודות

מרחק בין שתי נקודות מוצאים על ידי הצבה בנוסחה שהיא חלק מדף הנוסחאות הניתן לכם בבחינת הבגרות.
אם (x1, y1)  ו  (x2, y2) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:

d²=(x1-x2)² + (y1-y2

נוסחת המרחק בין שתי נקודות

כלומר המרחק בין שתי נקודות שווה לשורש של הפרש המרחקים על ציר ה x בריבוע  ועוד הפרש המרחקים על ציר ה y.

מדוע מעלים את הפרש המרחקים על ציר ה x וציר ה y בריבוע?
מרחק הוא מספר חיובי תמיד. אבל כאשר מחסרים שני מספרים ניתן לקבל מספר שלילי. לכן מעלים בריבוע על מנת להבטיח שנקבל מספר חיובי.
כמו כן כאשר מעדים בריבוע אין חשיבות לסדר בו אנו מציבים את המספרים:
2² = ²(5 – 3) = ²(3 – 5)

בסוף יש להוציא שורש ל d²√ על מנת לקבל את המרחק d.

2.מרחק נקודה מהצירים

מה המרחק של הנקודה (3-, 4) מציר ה x? מציר ה y?

פתרון
מרחק של נקודה מישר (והצירים הם ישר) הוא האורך של האנך מהנקודה אל הצירים.

באופן מעשי מה שעלינו לעשות הוא להעביר אנך מהנקודה אל הצירים ולמצוא לאיזו נקודה הוא מגיע.
לאחר שנמצא את הנקודה נחשב מרחק בין שתי הנקודות.

המרחק מציר ה x
על ציר ה x הגענו לנקודה
(4,0).
לכן צריך לחשב את המרחק בין הנקודות:
(3-, 4)
(4,0).

המרחק מציר ה y
על ציר ה y הגענו לנקודה
(3-, 0).
לכן צריך לחשב את המרחק בין הנקודות:
(3-, 4)
(3-, 0)

3.דוגמאות ותרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים הדורשים הצבה בנוסחה.
תרגילים 4-6 הם תרגילים קשים יותר הדורשים הגדרת משתנים.
תרגילים 7-8 הם שילוב של נוסחת המרחק בשאלות על מציאת משוואת מעגל. תרגיל 8 קשה יותר מתרגיל 7.

תרגיל 1
מצאו את המרחק בין הנקודות (5,2)  ו (10,0)

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

d²=(10-5)² + (0-2)²
d² = 5² + (-2)²
d²=25+4=29
d=√29
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 29√

תרגיל 2
מצאו את המרחק בין הנקודות (3-,2-)A  ו (5,8)B

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

d²=(-2-5)² + (-3-8)²
d²=49+121=170
d=√170
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 170√

תרגיל 3
מצאו את המרחק בין הנקודות (1-,8)A  ו (8,7)B

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

d²=(8-8)² + (7- -1)²
d²=0+64=64
d=√64=8

4.תרגילים עם שימוש במשתנים

תרגילים אלו מיועדים לתלמידי כיתות י-יא ברמת 4-5 יחידות.

סרטון הוידאו הוא הפתרון של תרגיל 4.

תרגיל 4
המרחק של הנקודה (A(-1, -4 מהנקודה B הוא 29√.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 2x -1.
מצאו את הנקודה B.

פתרון
שלב 1: נגדיר את ערכי ה x וערכי ה y של הנקודה B באמצעות משתנה אחד
xb   ערך ה x בנקודה B.
מכוון שהנקודה B נמצאת על הישר y = 2x -1 ערך ה y בנקודה B הוא:
y = 2xb -1

הנקודה (B(xb, 2xb -1

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
נציב את ערכי הנקודה (A(-1, -4 והנקודה (B(xb, 2xb -1 במשוואת המרחק בין נקודות ונקבל:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
d² = (xb  + 1)² + (2xb -1 + 4)²
d² = (xb  + 1)² + (2xb + 3)²

נפתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ונקבל:
d² = xb² + 2xb + 1 + 4xb² + 12xb + 9
d² = 5xb² + 14xb + 10

אנו יודעים שהמרחק בין הנקודות הוא 29√. לכן:
d² = 29
5xb² + 14xb + 10 = 29  / -29
5xb² + 14xb -19 = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
אנו נראה דרך אחרת, פירוק הטרינום כאשר a ≠ 1.

5xb² + 14xb -19 = 0
5xb² – 5xb + 19xb – 19 = 0
5xb (xb – 1) + 19(xb-1) = 0
xb – 1)( 19 + 5xb) = 0)

xb = 1
או
5xb = -19  / :5
xb = -3.8

שלב 3: הצבה של ערכי xb ומציאת הנקודה B
נציב xb = 1 במשוואת הישר y = 2x -1 ונקבל:
y = 2*1 – 1 = 1
y = 1
אפשרות ראשונה היא: (1, 1)B

נציב xb = -3.8 במשוואת הישר y = 2x -1 ונקבל:
y = 2 * -3.8 – 1 = -7.6 – 1 = -8.6
אפשרות שנייה היא (8.6- , 3.8-)B

תשובה: יש שתי אפשרויות לנקודה B והן:
(1, 1)B
(8.6- , 3.8-)B

תרגיל 5 (דומה לתרגיל 4)
על הישר y = 2x +1 נמצאת נקודה שמרחקה מהנקודה 5,9 הוא 5.
מצאו את הנקודה.

פתרון
הנקודה הכללית שנמצאת על הישר y = 2x +1 היא:
xA, 2x+ 1

אנו יודעים כי המרחק בין הנקודה 5,9  ל xA, 2x+ 1 הוא 5.
נציב את הערכים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות.
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

xA – 5)² + (2x+ 1 – 9)² = 5²)
xA – 5)² + (2x– 8)² = 5²)
xA² -10xA +25 + 4xA² – 32xA + 64 = 25
5xA² -42xA + 89 = 25
5xA² -42xA + 64 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נקבל:
x = 2  או   xA = 6.4

הנקודה היא:
xA, 2x+ 1
נציב:
x = 2
2,5

אפשרות שנייה היא:
xA = 6.4
13.8 ,6.4

תשובה: שתי הנקודות הנמצאות על הישר y = 2x +1 שמרחקן הוא 5 מהנקודה 5,9 הם:
2,5
13.8 ,6.4

הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר
הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר

תרגיל 6
על הישר y = 3x יש נקודה (A) הנמצאת במרחקים שווים מהנקודות (C(10,12 ו   (B(-6,0.
מצאו את הנקודה.

הרעיון של הפתרון:

  1. מכוון שהנקודה על ישר ניתן להגדיר אותה באמצעות מתנה אחד.
  2. נחשב את המרחק של כל אחת מהנקודות מהנקודה על הישר. ומכוון שהמרחקים שווים נוכל לבנות משוואה עם נעלם אחד.

פתרון
שלב א: הגדרת הנקודה A בעזרת משתנה אחד
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A שעל הישר.
לכן ערך ה y יהיה:
y = 3xA
והנקודה A היא:
(A (xA ,3xA

שלב ב: הגדרת המרחק של הנקודה A מהנקודות B,C
המרחק של (A (xA ,3xA  מ  (B(-6,0 הוא:

dAB² = (xA + 6)² + (3xA  – 0)²

המרחק של (A (xA ,3xA  מ (C(10,12 הוא:

dAC² = (xA – 10)² + (3xA  – 12)²

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
המרחקים של הנקודות B,C מ A שווים.
לכן ניתן לבנות את המשוואה:
dAB² = dAC²
xA + 6)² + (3xA  – 0)² = (xA – 10)² + (3xA  – 12)²)
xA² + 12xA  + 36 + 9xA² = xA² – 20xA + 100 + 9xA² – 72xA +144
10xA² + 12xA  + 36= 10xA² -92xA  +244
104xA  = 208
xA = 2

ערך ה x של הנקודה A הוא 2.
ערך ה y הוא:
y = 3xA  = 6
תשובה: (A(2,6

5.תרגילים המשלבים את הנוסחה עם מציאת משוואת מעגל

בתרגילים 6-7 נשלב את הנוסחה במציאת משוואת מעגל.
תרגיל 7 קשה יותר.

 תרגיל 7
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו (6,2) ועובר דרך הנקודה (12,10).

פתרון
תזכורת
משוואת המעגל שמרכזו הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R היא:
x-a)2+(y-b)2=R2)
למשל, אם מרכז המעגל הוא (6,2) והרדיוס 5 אז משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=5²)

נחזור לשאלה:
מה שחסר לנו למשוואת המעגל הוא הרדיוס.
הרדיוס שווה למרחק שבין מרכז המעגל (6,2) לנקודה שעליו (12,10)
נציב את הנקודות הללו בנוסחת המרחק בין נקודות:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
לכן:
r²=(12-6)² + (10-2)²
r²=6² +8²
r²=36+64=100

לכן משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=100)
שימו לב שאם היינו צריכים למצוא את גודל הרדיוס היה עלינו להוציא שורש.
r²=100
r=10 (האפשרות של r=-10 נפסלת כי הרדיוס הוא גודל חיובי).

תרגיל 8
מרכז מעגל נמצא על הישר y = -2x – 5.
הנקודה 1,3 נמצאת על המעגל ואורך רדיוס המעגל הוא 5 יחידות ריבועיות.
מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
שלב א: נבטא את נקודת מרכז המעגל בעזרת משתנה אחד.
נניח כי ערך ב x בנקודת מרכז המעגל הוא x1.
נציב ערך זה במשוואת הישר על מנת למצוא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y = -2x1 – 5.
נקודת מרכז המעגל היא: x1, -2x1 – 5

שלב ב: נמצא מרכז המעגל בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות
המרחק בין מרכז המעגל x1, -2x1 – 5 לנקודה שעליו 1,3 הוא 5.
נציב זאת במשוואת המרחק בין שתי נקודות.
x1-x2)² + (y1-y2)² = d²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 5 – 3)² = 5²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 8)² = 5²)
x1² -2x1 +1 + 4x1² + 32x1 + 64 = 25
5x1² +30x1 + 65 = 25   / -25
5x1² +30x1 + 40 = 0   / :5
x1² + 6x1 + 8 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן נראה פירוק טרינום.
x1² + 6x1 + 8 = 0
x1² + 2x1 + 4x1 + 8 = 0
x1 (x1 + 2) +4 (x+ 2) = 0
x1 + 4) (x + 2) = 0)
שני הפתרונות האפשריים הם:
x1 = -4,  x2 = -2.

כלומר, יש שתי נקודות אפשריות למרכז המעגל.

מציאת ערך ה y של מרכז המעגל
נציב את ערכי ה x שמצאנו במשוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל.
y = -2x – 5

עבור x1 = -4
y1 = -2 * -4 – 5
y1 = 8 – 5 = 3
נקודה אפשרית אחת למרכז המעגל היא (3 , 4-).

עבור x2 = -2
y2 = -2 * -2 – 5 = -1
נקודה אפשרית שנייה למרכז המעגל  (1-, 2-).

כך נראה שרטוט של שני המעגלים:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

19 מחשבות על “מרחק בין שתי נקודות”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    ערב טוב
    כיצד אני פותרת את התרגיל הבא
    הנקדות B(-10,4), A(2,-7) ו- C(6,11) הן שלושת קדקודים של מקבילית ABCD. מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי D

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    צהוריים טובים!!
    כשאני מגיעה לנוסחא d=שורש התוצאה שיצא לנו אז אני צריכה לפתוח את השורש?
    ואם כן ויוצא לי שזה מספר כמו -5.385164807 אז מה התוצאה?

    שאלה זו נשאלת על תרגיל שהראו בסרטון

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עם בתוך השורש יש רק מספרים אז אתה צריך להפוך את כל המספרים למספר יחיד ואז להוציא לו שורש.
      התוצאה שקיבלת היא המרחק. גם עם זה מספר מסובך.
      בדרך כלל כותבים 2-3 ספרות לאחר הנקודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לבנות משוואה ובאמצעותה למצוא את הנעלם.
      תרגילים 4-8 בדף כוללים משתנה בנקודות.

  3. יש לי משולש ישר זווית ונתון לי היתר (16) והגובה (ניצב) (6) עלי לחשב את צלע הבסיס של המשולש.. איך?

      1. לומדים מתמטיקה

        משהו חסר בפתרון.
        כנראה שהיית צריך לבנות עוד משוואה וכך לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קודם כל שיהיה לך המון בהצלחה. התמדה היא חלק חשוב בהצלחה. כמו כן תוכלי לפנות לכאן על מנת לקבל תשובות לשאלות שיהיו לך בעתיד.
      ולנושא עצמו:
      1. משוואת מעגל מורכבת משני דברים: נקודת מרכז המעגל והרדיוס.
      2. נקודת מרכז המעגל היא חלק מהנתון בשאלה.
      3. הרדיוס לעומת זאת הוא המרחק שבין נקודת מרכז המעגל לנקודה שעל המעגל.
      4. בשאלה חישבנו את הרדיוס על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות.
      בזכותך:
      הוספתי את הצורה הכללית של משוואת מרכז המעגל בתחילת הפתרון.
      כמו כן בדף "משוואת המעגל" יש שאלות נוספות בנושא.
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/circle-analytic-geometry/circle-equation/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר מחשבים מרחק של שתי נקודות על פי הנוסחה המרחק הוא תמיד תוצאה של שורש.
      איפה ראית שלא יצא שורש?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.