משוואת ישר כיתה י

בדף זה נלמד את היסודות של משוואת ישר עבור תלמידי כיתה י.

בכיתה י עליכם לדעת לבנות משוואות קשות יותר.
החלקים של דף זה הם:

  1. הדבר החשוב שצריך ללמוד מדף זה.
  2. תרגילים.

1.הדבר החשוב ביותר שצריך ללמוד מדף זה

כל נקודה מוגדרת על ידי שני ערכים (משתנים), ערך x וערך y.
אבל אם ידוע לנו שנקודה נמצאת על ישר אז ניתן להגדיר את הנקודה על ידי משתנה אחד.

דוגמה 1
הגדירו את הנקודה הנמצאת על הישר y = 2x +1  באמצעות משתנה אחד.

פתרון
נגדיר את ערך ה x של הנקודה כ xA.
על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה נציב xA במשוואת הישר.
נקבל:
y = 2xA +1
אם כך הנקודה שקיבלנו היא:
xA, 2x+ 1

דוגמה 2
הגדירו את הנקודה הנמצאת על הישר y = -4x באמצעות משתנה אחד.

פתרון
נגדיר את ערך ה x של הנקודה כ xA.
על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה נציב xA במשוואת הישר.
נקבל:
y = -4xA
אם כך הנקודה שקיבלנו היא:
xA, -4xA

כמו כן
כל נקודה הנמצאת על אחד הצירים ניתן להגדיר באמצעות משתנה אחד.
כל נקודה הנמצאת על ציר ה x ניתן להגדיר בעזרת משתנה אחד:
(A (x, 0
כל נקודה הנמצאת על ציר ה y ניתן להגדיר באמצעות משתנה אחד:
(B(0,y

דוגמה 
הנקודות B,C נמצאות על ציר ה x.
(B (2,0)  A(5,4
המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
ידוע כי אורך הצלע AB הוא 5.
מצאו את הנקודה C.

פתרון
נגדיר את הנקודה (C (x,0
נציב את הנקודות:
(A(5,4)   C (x,0 ו  d = 5
בנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
x – 5)² + (4 – 0)² = 5²)
x² – 10x + 25 + 16 = 25
x² – 10x + 16 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של הטרינום:
x² – 10x + 16 = 0
x² – 2x – 8x +16 = 0
x (x -2) -8(x – 2) = 0
x – 8) (x -2) = 0)
x = 2 או x = 8

כאשר x = 2 זו הנקודה B.
כאשר x = 8 זו הנקודה C.
תשובה: (C (8,0

דוגמאות עם פתרונות מלאים

לאחר שהגדרנו את הנקודה בעזרת משתנה אחד נצטרך לבנות משוואה על מנת למצוא את המשתנה.

דוגמה 1
על הישר y = 2x +1 נמצאת נקודה שמרחקה מהנקודה 5,9 הוא 5.
מצאו את הנקודה.

פתרון
כפי שמצאנו בדוגמה הראשונה שלמעלה הנקודה הכללית שנמצאת על הישר y = 2x +1 היא:
xA, 2x+ 1

אנו יודעים כי המרחק בין הנקודה 5,9  ל xA, 2x+ 1 הוא 5.
נציב את הערכים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות.
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

xA – 5)² + (2x+ 1 – 9)² = 5²)
xA – 5)² + (2x– 8)² = 5²)
xA² -10xA +25 + 4xA² – 32xA + 64 = 25
5xA² -42xA + 89 = 25
5xA² -42xA + 64 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נקבל:
x = 2  או   xA = 6.4

הנקודה היא:
xA, 2x+ 1
נציב:
x = 2
2,5

אפשרות שנייה היא:
xA = 6.4
13.8 ,6.4

תשובה: שתי הנקודות הנמצאות על הישר y = 2x +1 שמרחקן הוא 5 מהנקודה 5,9 הם:
2,5
13.8 ,6.4

הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר
הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר

דוגמה 2
נקודה הנמצאת על הישר y = – 4x והנקודה 1,8 יוצרות שיפוע של 2.
מצאו את הנקודה הנמצאת על הישר.

פתרון
כפי שראינו למעלה ניתן להגדיר את הנקודה הנמצאת על הישר כ:
xA, -4xA
נציב את הנקודה הזו ואת הנקודה 1,8 בנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נכפיל במכנה ונקבל:
2xA – 2 = -4xA – 8
6xA = -6
xA = -1

הנקודה היא
xA, -4xA

2.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים.
תרגילים 5-7 קשים יותר.

תרגיל 1
הנקודה (3,5) והנקודה (x,2) נמצאות על ישר ששיפועו ששיפועו 3.
מצאו את x.

פתרון
נציב את שתי הנקודות הללו בנוסחה למציאת שיפוע ונקבל:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

3x – 9 = -3
3x = 6
x = 2

תשובה: הנקודה (2,2)  והנקודה (3,5) יוצרות ישר ששיפועו 3.

תרגיל 2
הנקודה A נמצאת על הישר Y=2X+3.
מהנקודה A מעבירים אנך לציר ה x  וציר ה y כך שנוצר מלבן.
שטחו של המלבן הוא 44 יחידות ריבועיות.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

  1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
  2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
  3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
  4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
2xA + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא (A(xA, 2xa + 3

עכשיו נשרטט את הישר Y=2X+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן
בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה כי אורך הצלע AB= XA ו AC = 2XA +3.
לכן המשוואה שנקבל היא:
2XA + 3) XA = 44)
2XA² + 3XA = 44  / -44
2XA² + 3XA  – 44 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
xA = 4   או   xa = -5.5.
כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y1 = 2*4+3 = 11
y2 = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

תרגיל 3 (מרחק בין נקודות)
הנקודה C נמצאת על הישר y=8.
הנקודה B נמצאת על הישר BC המקביל לציר ה Y. (גם הנקודה C נמצאת על הישר BC).
הנקודה B נמצאת גם על הישר y = 0.5x.
ערך ה y בנקודה B נמוך יותר מערך ה y בנקודה C.
המרחק בין הנקודות B ל C הוא 6.5.
מצאו את הנקודות B ו C.

פתרון

בשאלה זו ניתן לבחור את ערך ה x של הנקודה B או של הנקודה C כמשתנה.
קצת יותר נוח לבחור את הערך של הנקודה B ואת זה נעשה.

הנקודה B
נגדיר: xB הוא ערך ה x בנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן ערך ה y שלה הוא:
y = 0.5xB.
xB, 0.5xB זו הנקודה B.

הנקודה C
מכוון שהישר BC מקביל לציר ה y ערכי ה X עליו זהים לכל אורכו. לכן ערך ה X בנקודה C הוא גם כן xB.
הנקודה C היא xB, 8.

המרחק בין הנקודות ובניית משוואה
מכוון שערכי ה x זהים בשתי הנקודות המרחק בין שתי הנקודות שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות.
שימו לב שנתון שערך ה y בנקודה C גדול יותר ולכן:
d = 8 – 0.5xB = 6.5 / -8
0.5xB = -1.5 / *-2-
xB = 3

זיהוי הנקודות
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן:
y = 0.5*3=1.5
(B(3, 1.5
ערך ה y בנקודה C הוא 8 ולכן:
(C (3, 8.

1.5  3
8, 3

תרגיל 3 (שיפוע ישר על פי 2 נקודות)
הנקודה B נמצאת על הישר y= 4x.
ואילו ערך ה y של הנקודה A גדול ב 6 מערך ה y של הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y= -x + 4.
אם שיפוע הישר AB הוא 3- מה הוא ערכן של הנקודות A ו B?

פתרון

נגדיר XB הוא ערך ה x בנקודה B.
y = 4xB זה ערך ה y בנקודה B.
הנקודה B היא: xB, 4xB

בנקודה A ערך ה Y גדול ב 6 ולכן הוא 4xB + 6.
נמצא את ערך ה X בנקודה A:
4xB + 6 = – xA + 4
xA = -2 -4xB
הנקודה A היא: 2-4XB, 4XB +6-

שיפוע הישר AB הוא 3-. נבנה את הנוסחה לשיפוע הישר על פי שתי נקודות:

המשך פתרון התרגיל

נציב את הערך שקיבלנו בנקודה B.
y = 4*0 =0
הנקודה B היא (0,0).

הנקודה A היא 2-4XB, 4XB +6- :
(6, 2-)

תרגיל 4 (שטח משולש)
שטח משולש ABC הוא 21 יחידות ריבועיות.
הנקודות AB נמצאות על הישר x= -1. והמרחק בניהן הוא 6 יחידות.

  1. הנקודה C נמצאת ברביע הראשון. מצאו את ערך ה x של הנקודה C.
  2. אם הנקודה C נמצאת על הישר y=x+1 מצאו את הנקודה C.

פתרון 

נגדיר את אורך הגובה
האנך / גובה לישר x=-1 הוא ישר מהסוג y=k כאשר k הוא מספר כלשהו.
לכן לאורך כל הגובה כולו רק ערך ה x משתנה וערך ה y נשאר קבוע.
נגדיר xc הוא ערך ה x בנקודה C.
לכן אורך הגובה מהנקודה C אל הישר x= -1 הוא xc + 1.

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש
הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

נבנה משוואה
על פי הנוסחה לשטח משולש נקבל:
xc + 1 ) * 6 / 2 = 21)
6xc + 6 = 42 / -6
6xc = 36 / :6
xc = 6
תשובה: ערך ה x של הנקודה C הוא 6.

חלק שני
נציב x=6 במשוואת הישר
y = 6+1=7
תשובה: (C(6,7

הערה: הסיבה שיש בשאלה זו סעיף ב, שהוא מאוד קל, היא שבפועל יכולים לדלג על סעיף א ויכולים לבקש ממכם למצוא את הנקודה מבלי לתת את סעיף א (ואז השאלה קשה יותר).

תרגיל 5
ידועה הנקודה (A (2,4
הנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.
הנקודה C היא אמצע הקטע AB.

מצאו את הנקודה B אם ידוע שערך ה x בנקודה C הוא 5.

פתרון
שלב 1: הגדרת הנקודה B.
xb ערך ה x בנקודה B.
xb -2   ערך ה Y בנקודה B.
הדבר נובע מכך שהנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.

שלב 2: נבנה משוואה על מנת למצוא את xb
אנו יודעים שערך ה x בנקודה C הוא 5.
לכן ניתן לבנות את המשוואה הבאה:

xb + 2 = 10  / -2
xb = 8

שלב 3: נמצא את yb.
הנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.
וערך ה x בנקודה B הוא xb = 8

נציב xb = 8  במשוואת הישר y = x -2 ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
y = 8 -2 = 6
תשובה: (B (8, 6.

תרגיל 6
הנקודה A היא (4,5).
הנקודה B נמצאת על ציר ה x.
הישר y = x + 1.5 חותך את הישר AB בנקודה C שהיא אמצע הקטע AB.

  1. מצאו את הנקודה C.

הרעיון של הפתרון

  1. אנו יודעים את ערך ה y של הנקודה A והנקודה B.
  2. לכן ניתן למצוא את ערך ה y של הנקודה C.
  3. לאחר שאנו יודעים את y נציב במשוואה y = x + 1.5 ונמצא את x.

פתרון
B נמצאת על ציר ה x לכן ניתן לכתוב אותה כך:
(B (x,0

ערך ה y של הנקודה C הוא:

נציב y = 2.5 במשוואת הישר
y = x + 1.5
x + 1.5 = 2.5
x = 1
תשובה: הנקודה (C(1,2.5

תרגיל 7
על הישר y = 2x  נמצאת הנקודה A.
על הישר y = 3x נמצאת הנקודה B.
אמצע הקטע AB הוא הנקודה 7 ,2.5
מצאו את הנקודות A ו B.

פתרון
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
לכן ערך ה y הוא:
y = 2x
(A(x, 2xA

נגדיר:
xB ערך ה x בנקודה B.
לכן ערך ה y הוא:
y = 3x
(B(xB, 3xB

שלב ב: בניית שתי משוואות עם שני נעלמים
נקודת האמצע היא: 7 ,2.5
לכן המשוואה עבור ערכי ה x היא:

xA + xB = 5

עבור ערכי ה y המשוואה היא:

2xA + 3xB = 14

קיבלנו את שתי המשוואות:
xA + xB = 5
2xA + 3xB = 14
נפתור בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2.
2xA + 2xB = 10
2xA + 3xB = 14
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
x = 4

נציב במשוואה:
xA + xB = 5
xA + 4 = 5
xA = 1

תשובה סופית
הנקודות הן:
(A(x, 2xA
(B(xB, 3xB
מצאנו כי:
xA = 1
x = 4
לכן:
(A(1,2
(B(4,12

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.