משוואת ישר לפי שתי נקודות

לדף זה 4 חלקים:

  1. הסבר על שני השלבים למציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות + דוגמאות.
  2. הסבר כיצד להציב נכון בנוסחה ולהימנע מטעויות.
  3. תרגילים בסיסיים.
  4. תרגילים קשים.

בדף זה נעשה שימוש בנוסחה y = mx + n
אלו שלומדים בבית הספר את הנוסחה
(y-y1=m(x-x1
שיעברו לדף משוואת ישר על פי 2 נקודות.

לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

1.בקצרה: שני שלבים למציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות

שלב 1: מוצאים את השיפוע של הישר על ידי הנוסחה:
אם הנקודה A היא (x1,y1) והנקודה B היא  (x2,y2) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

שלב 2: מציבים את השיפוע שמצאנו וערך אחת מהנקודות בנוסחה:

y = mx + n ואז מקבלים את משוואת הישר.

  • חזרה על שימוש בנוסחה y = mx + n יש בדף מציאת משוואת ישר על פי שיפוע

2 דוגמאות שונות

דוגמה 1 (הסוג העיקרי שאתם צריכים לדעת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,6)A  ו (10,1)B

שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את הערכים של הנקודות במשוואה:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

ונקבל:

m= -0.5

השיפוע הוא 0.5-.

שלב 2: מציאת משוואת הישר
נציב m= -0.5  ואת הנקודה (0,6) בנוסחה:
y = mx + n

6 = – 0.5 * 0 + n
6 = n
y= – 0.5x + 6
זו משוואת הישר

משוואת הישר העובר דרך הנקודות (10,1) ו (0,6)
משוואת הישר העובר דרך הנקודות (10,1) ו (0,6)

דוגמה 2 (הוספת קושי)
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (A(2,5 וגם בנקודה B שהיא נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y.

לחצו לצפייה בסרטון המסביר כיצד למצוא נקודת חיתוך עם הצירים

פתרון
הרעיון של הפתרון
יש לנו נקודה אחת (A(2,5.
נמצא את נקודת החיתוך של y =2x + 7  וזו תהיה הנקודה השנייה.

שלב א: מציאת נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y
מוצאים נקודת חיתוך עם ציר ה y על ידי הצבה x = 0 במשוואת הישר.
y =2x + 7
y = 2 *0 + 7
y = 7
הנקודה (B(0,7

עכשיו יש לנו שתי נקודות (A(2,5)   B(0,7
נפתור את התרגיל כמו שפתרנו את את הדוגמה הקודמת.

שלב ב: מציאת שיפוע הישר על פי הנוסחה
נציב את הנקודות (A(2,5)   B(0,7 בנוסחה:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נקבל:

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
(m = -1    B(0,7
נציב את הנתונים הללו בנוסחה:
y = mx + n

7 = -1 * 0 + n
7 = n
תשובה: משוואת הישר היא
y = – x + 7

דוגמה 3 (מציאת משוואת ישר על פי גרף)
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

דף נוסף באתר:

2.סדר ההצבה של הנקודות בנוסחה

שימו לב שאתם מציבים נכון

כאשר אנו מקבילים שתי נקודות. איך נחליט איזו נקודה להציב במקום (x1,y1)  ואיזו נקודה להציב במקום (x2,y2) ?
התשובה היא שאין לזה חשיבות. ובשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.

אבל אנו צריכים להקפיד לשמור על הסדר. אם הצבנו ערך y של נקודה משמאל במונה כ y1 אז אנו צריכים להציב את הערך של x במכנה משמאל כ x1.

עבור הנקודות:
(0,6)A  ו (10,1)B

מוצגות כאן 4 הצבות למציאת שיפוע, חלקן נכונות וחלקן לא בחרו את ההצבות הנכונות.
שימו לב שיש יותר מהצבה אחת  נכונה:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

לחצו לצפייה בפתרון

הצבות 1 ו- 4 הן נכונות כי:

  1. בשתיהן ערכי ה y של הנקודות למעלה וערכי ה x למטה.
  2. בשתיהן הנקודה שמופיעה משמאל למעלה מופיעה משמאל גם למטה.
    בהצבה 1 הנקודה A נמצאת משמאל למעלה ולמטה.
    בהצבה 4 הנקודה B נמצאת משמאל למעלה ולמטה.

לעומת זאת בהצבה 2 ערכי ה x נמצאים למעלה: וזה פסול.

בהצבה 3 ערך של A (המספר 6) נמצא משמאל למעלה.
ואילו ערך של B (המספר 10) נמצא משמאל למטה: וזה פסול.

3.תרגילים

  • תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים של הצבה בנוסחה.
  • תרגילים 3-4 משלבים מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. (דומים לדוגמה 2)
  • תרגילים 5-6 קשים יותר ומיועדים לתלמידי כיתה י.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5)  ו   (4,10).

פתרון
שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את ערכי הנקודות במשואה:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

ונקבל:

m= 2.5

שיפוע הישר הוא m=2.5

שלב 2: מציאת משוואת הישר
מציבים בנוסחה
y = mx + n
m = 2.5 ואת הנקודה (2,5)
ונקבל:

5 = 2.5 * 2 + n
5 = 5 + n
0 = n

משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5) ו (4,10)
משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5) ו (4,10)

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות  (4,2)  ו  (8,2).
פתרון
שלב 1: נמצא את שיפוע הישר
השיפוע הוא:

m = 0

השיפוע הוא 0. (כלומר זה קו מהסוג Y= מספר).

שלב 2: נציב בנוסחת הישר שיפוע ונקודה
משוואת הישר היא:
y = mx + n
נציב:
m = 0,  x = 4,  y = 2

2 = 0*4 + n
2 = n

במשוואת הישר:
y = mx + n
נציב m = 0,  n = 2.
y = 0x + 2
y = 2

משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,2) ו (4,2)
משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,2) ו (4,2)
3-4 תרגילים קשים יותר

בשאלות קשות יותר לא יתנו לכם את הנקודות עצמם אלא תצטרכו למצוא אותם על פי הנתונים בשאלה. הנתונים יכולים להיות:

  1. הנקודה היא נקודת חיתוך של ישר עם ציר ה X. במקרה זה מציבים y=0 ומוצאים את ערך ה x.
  2. הנקודה היא נקודת חיתוך עם ציר ה y. במקרה זה מציבים x=0 ומוצאים את ערך ה y.
  3. הנקודה היא נקודת חיתוך של שני ישרים.

כאשר אומרים "ראשית הצירים" הכוונה היא לנקודה (0,0). ו

בוידאו פתרון תרגיל מספר 3

תרגיל 3
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר y=2x+6 עם ציר ה y . וגם דרך נקודת המפגש של הישרים y = -x+8 ו  y=3x.

פתרון
שלב 1: מציאת 2 הנקודות המוזכרות בשאלה
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y=2x+6 עם ציר ה y.
חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x=0 במשוואת הישר.
y = 2*0 +6=6
(0,6) היא הנקודה הראשונה.

נמצא את נקודת המפגש של הישרים y = -x+8 ו  y=3x.
חיתוך של שני ישרים מוצאים על ידי השוואת המשוואות שלהם.
3x = -x +8  / +x
4x = 8  /:4
x=2.

נציב x=2 באחת המשוואות לא חשוב איזו.
y = 3*2 =6
(2,6) היא הנקודה השנייה.

שלב 2: מציאת השיפוע על פי 2 נקודות
נמצא את משוואת הישר העובר בנקודות (0,6) ו- (2,6)
נמצא את השיפוע הישר על פי שתי הנקודות:
m = 0

שלב 3: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
נציב (m = 0,  (0,6 במשוואת הישר:
y = mx + n

6 = 0 * 0 + n
6 = n

נציב m = 0,  n = 6
במשוואת הישר:
y = mx + n
y = 0 * x + 6
y = 6    זו משוואת הישר.

 

שרטוט פתרון הבעיה. הישר המבוקש בצבע אדום. הישרים הירוקים הם הישרים מנתוני הבעיה
הישר המבוקש בצבע אדום. הישרים הירוקים הם הישרים מנתוני הבעיה

הסברים נוספים כיצד למצוא נקודת חיתוך של שני ישרים או כיצד למצוא נקודת חיתוך של ישר עם הצירים.

תרגיל 4
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y = -3x+1 ו y = 2x-4.
וגם דרך הנקודה על ציר ה x שבה x=7.

פתרון
שלב 1: מציאת הנקודה על ציר ה x
שערכי ה y בכול מקום על ציר ה x הם 0.
לכן:
הנקודה על ציר ה x שבה x=7 היא (7,0).

שלב 2: מציאת נקודת החיתוך של שני הישרים
נקודת החיתוך של הישרים:
y = -3x+1
y = 2x-4
מתקבלת על ידי המשוואה:
2x-4 = -3x +1

נפתור את המשוואה:
2x-4 = -3x +1  / +3x+4
5x = 5  / :5
x=1
זה ערך ה x של נקודת החיתוך.

נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
נציב x =1 במשוואת הישר
y = 2x-4
y = 2*1 -4 = -2
נקודת החיתוך של הישרים היא (2-, 1).

שלב 3: נמצא את שיפוע הישר
נמצא את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (7,0) ו  (2-, 1).

הערה
במונה היה צריך להיות כתוב:
(2-) – 0
ובמקום זה נכתב על מנת לקצר הביטוי
2 + 0
הביטויים שווים לכן תוצאת התרגיל נכונה.

שלב 4: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
נציב את m = 0.33 והנקודה (7,0) במשוואת הישר.
y = mx + n

0 = 0.33 * 7 + n
0 = 2.33 + n
– 2.33 = n

משוואת הישר היא:
y = 0.33x – 2.33

שרטוט התרגיל. הישר המבוקש בצבע אדום. הישרים הירוקים הם הישרים מנתוני הבעיה
הישר המבוקש בצבע אדום. הישרים הירוקים הם הישרים מנתוני הבעיה
תרגילים לכיתה י

תרגיל 5 (שילוב עם נוסחת מרחק בין שתי נקודות)
הנקודה (A(2,1 נמצאת במרחק 5 יחידות מנקודה B הנמצאת על הישר y= x -2 וגם ברביע הראשון.
מצאו את ערכי הנקודה B.

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב 1: נגדיר את הנקודה B בעזרת משתנה אחד.
xb   הוא ערך ה x בנקודה B.
מכוון שהנקודה B נמצאת על הישר y = x – 2
ערך ה y הוא: yb = xb – 2
נסכם: הנקודה (B(xb, xb -2

שלב 2: בניית משוואה על ידי שימוש בנוסחת המרחק.
המרחק של הנקודה (B(xb, xb -2 מהנקודה (A(2,1 הוא 5.
נציב את הנתונים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות ונקבל משוואה עם נעלם אחד.
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
d² = (2-xb)² + (1- (xb -2)²
d² = 4 – 4xb + xb² + (3 – xb
d² = 4 – 4xb + xb² + 9 -6xb + xb²
d² = 2xb² -10x+ 13
מכוון ש: d² =25 המשוואה היא:
2xb² -10x+ 13 = 25  / -25
2xb² -10x -12 = 0  / : 2
xb² -5xb – 6 = 0

ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
אני אשתמש כאן בפירוק הטרינום.
xb²  + xb – 6xb – 6 = 0
xb (xb +1) -6 (xb +1)=0
xb + 1)(xb – 6) = 0)

קיבלנו מכפלה של שני איברים שאחד מיהם חייב להיות שווה ל- 0.
xb + 1 = 0 xb = -1 או xb – 6 =0 xb = 6
מכוון שהנקודה B נמצאת ברביע הראשון xb = 6 הוא הפתרון המתאים.

שלב 3: מציאת ערך ה Y של הנקודה B
הנקודה B נמצאת על הישר y = x – 2.
נציב x = 6 במשוואה זו.
y = 6 – 2 = 4
תשובה: הנקודה (B (6, 4

תרגיל 6 (שאלה קצת מתחכמת)
ידוע שישר עובר דרך הנקודות (9,1) (7,5).
מצאו את הנקודה (0, x) הנמצאת על הישר. (מבלי למצוא את משוואת הישר).

פתרון
משתי הנקודות הראשונות ניתן ללמוד כי כאשר x עולה ב- 2 (מ- 7 ל- 9) אז ה Y יורד ב 4 (מ- 5 ל – 1).
כלומר על כל עליה של x ב- 1 ערך ה y יורד ב- 2.
ביחס לנקודה  (9,1) ערך ה y של  (0, x) יורד ב 1.
לכן ערך ה x צריך לעלות ב 0.5.
הנקודה המבוקשת היא (0 ,9,5).

נספח: טעויות שיכולות להתרחש

מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות דורשת בעיקר היצמדות לנוסחה. אבל עדיין יכולות להתרחש מספר טעויות שיהרסו את התרגיל:

1.כאשר מופיעות נקודות הכוללות סימן מינוס צריך להקפיד להציב אותן נכון במשוואת השיפוע
משוואת השיפוע כוללת מינוס. כאשר גם הנקודות כוללות מינוס זה יכול לגרום לבעיות. לכן שימו לב שאתם לא "מתעלמים" מהמינוס ואם המשוואה כוללת מינוס מינוס זכרו להפוך אותו לפלוס.

למשל: אם שתי הנקודות הם:
(A (4, -6
(B (2 ,-3

אז ההצבה בנוסחה תראה כך:

2. לדעת להתמודד אם m=0 (ישר המקביל לציר ה x) או אם שיפוע לא מוגדר, ישר המקביל לציר ה y.
כאשר לשתי נקודות ערך y זהה, למשל (4,8)  (1,8) אנו נקבל כי ערך שיפוע הישר הוא 0.
וזה נכון.
על מנת להמשיך מציבים m=0 במשוואת הישר ומקבלים משוואה ללא x.
y=8.
תרגיל מספר 1 הוא דוגמה לבעיה מסוג זה.

הישר y=8
הישר y=8

כאשר ערכי ה x  של שתי הנקודות זהים; למשל (3,6)  (3,2). במקרה זה נקבל במכנה של המשוואה 0. וכידוע חילוק ב 0 הוא לא מוגדר.
אז איך מוצאים את משוואת הישר?
מפעילים את ההיגיון. אם ערך ה x תמיד 3 אז נכתוב משוואה הנראית כך:
x=3.

הישר x=3
הישר x=3

 

עוד באתר:

נספח: סיכום 5 הדרכים למציאת משוואת ישר

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 מחשבות על “משוואת ישר לפי שתי נקודות”

  1. בשאלה 5,כתוב שצריך למצוא את נק החיתוך עם Y כנראה התכוונת לכתוב X כי בהמשך חישבת ובנק יצא שבX יש 0

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום!
    קודם כל ממש תודה, אבל יש לי שאלה לגבי ההצבה בנוסחה.
    כאשר מקבלים שתי נקודות איך בעצם יודעים מה הוא x/y1 ומה הוא x/y2? אני מוצאת את עצמי מציבה הפוך את הספרות במשוואה ומקבלת תשובה שונה לחלוטין.
    יש דרך להסביר את זה?

    תודה ♥

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה נושא חשוב והוספתי לו הסבר מפורט בדף מיד לאחר 3 הדוגמאות לפתרון תרגילים.
      אם עדיין זה לא מובן אפשר לחזור אליי.
      בהצלחה

  3. יש לישאלה שאני לא מצליחה האם תוכלו לעזור לי השאלה :נתונות הנקודות(8;0) . (0;4) הנקודה Dהיא אמצע הקטע bc ישר העובר דרך הנקודה D ומאונך לקטע bc חותך את ציר ה בנקודה a חשב את אורך הקטע abאם תוכלו לעזור לי תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את הנקודה D ניתן למצוא על פי הנוסחה לאמצע קטע.
      נקבל ש- (4, 2)D
      ניתן למצוא את השיפוע של BC על פי הנוסחה למשוואת ישר על פי שתי נקודות.
      הישר AD מאונך לשיפוע הזה לכן ניתן למצוא את השיפוע של AD.

      עכשיו יש לנו את השיפוע של AD וגם את הנקודה D ניתן למצוא את משוואת AD.
      ניתן למצוא את נקודות החיתוך של AD עם הצירים
      הסבר כאן:
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/intersection-with-axis/
      ואחרי שמצאנו ניתן לחשב את המרחק.
      מקווה שברור
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.