מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

בדף זה נלמד:

  1. כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים.
  2. ישרים שאין להם נקודות חיתוך.
  3. תרגילים.

על מנת לפתור תרגילים בדף זה עליכם לדעת:

  1. לפתור משוואה עם נעלם אחד (חובה).
  2. לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה (זה לא חובה, אבל זה יעזור להבין את דרך הפתרון).

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים?

אם נתונים לנו שני ישרים:
y=5x-2
y=2x+10

נמצא את נקודת החיתוך שלהם על ידי יצרת המשוואה:
5x-2 = 2x+10

5x-2 = 2x+10  / +2-2x
3x=12  /:3
x=4

מצאנו את ערך ה X של נקודת החיתוך עכשיו על מנת למצוא את ערך ה Y של נקודת החיתוך נציב את ערך ה X באחת המשוואות – לא משנה איזו.
y=5x-2
y = 5*4 – 2 = 20-2 = 18
נקודת החיתוך היא (4,18).

לסיכום
מה שעשינו כאן זה לקבל את שתי המשוואות
y=5x-2
y=2x+10
ופתרנו אותן כשתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה.

שרטוט הגרפים של הישרים

דוגמה 2
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים
y= -2x
y=7x+9

פתרון
נשווה את שתי המשוואות.
2x =7x + 9-
9x=9  / :-9-
x=-1

עכשיו נמצא את ערך ה Y של נקודת החיתוך על ידי הצבה x = 1 במשוואת הישרים.
y= -2x
y = -2 *-1=2
נקודת החיתוך היא (2, 1-)

שרטוט הגרפים של הישרים

דוגמה 3
מצאו את נקודת החיתוך בין הישרים
y = 2x + 10
4y = 6x + 2

פתרון
הבעיה שלנו במקרה זה היא שמשוואת ישר אחד היא משוואה לא מפורשת.
על מנת לפתור יש לנו שתי דרכים.

דרך ראשונה.
נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה.
נציב את ערך ה y של המשוואה הראשונה ובמשוואה השנייה בצורה הזו:

8x + 40 = 6x + 2
2x = -38
x = -19

נציב x = -19 במשוואה הראשונה ונקבל:
y = 2 * (-19) + 10
y = -38 + 10 = -28
תשובה: נקודת החיתוך היא  28-, 19-

דרך שנייה
y = 2x + 10
4y = 6x + 2

נחלק את המשוואה השנייה ב 4 ונקבל:
y = 1.5x + 0.5

עכשיו שתי המשוואות שלנו הם:
y = 2x + 10
y = 1.5x + 0.5
ומשוואות כאלו למדנו כיצד לפתור.

2.מקרים בהם אין נקודת חיתוך אחת בין ישרים

נעבור ללמוד שני מצבים מיוחדים של ישרים:

  1. ישרים מקבילים – הם אינם נחתכים.
  2. ישרים מתלכדים – יש להם אינסוף נקודת חיתוך.

ישרים מקבילים אינם נחתכים

ישרים מקבילים אינם נחתכים.
לישרים מקבילים יש את אותו שיפוע, למשל:
y = 2x – 5
y = 2x + 3
לשני הישרים הללו יש את אותו שיפוע (2) והם אינם נחתכים.
(אני מזכיר – שיפוע של ישר הוא המקדם של X במשוואת הישר).

כיצד ניתן להוכיח שהישרים אינם נחתכים?

ננסה למצוא את נקודת החיתוך כפי שעשינו במקרים הקודמים.
2x – 5 = 2x + 3  / -2x
3= 5-
קיבלנו משהוא שהוא אף פעם לא יכול להיות נכון וזאת ההוכחה שלישרים אין נקודת מפגש.

שרטוט הגרפים של הישרים

ישרים מתלכדים, אינסוף נקודות חיתוך

מקרה מיוחד אחר הוא כאשר הישרים מתלכדים אחד עם השני ואז יש להם אינסוף נקודות חיתוך /  מפגש.

y = 3x – 1
2y = 6x – 2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה.
3x – 1)*2 = 6x – 2)
6x-2=6x-2
0=0
וזה תמיד נכון. כאשר הישרים שנקבל יהיו עם אינסוף נקודות מפגש אנו נקבל תוצאה שהיא תמיד נכונה ללא תלות ב X או Y.

למי שלא הבין את דרך הפתרון הקודמת ניתן למצוא את נקודות החיתוך גם כך:

y = 3x – 1
2y = 6x – 2

נחלק את המשוואה השנייה ב 2 ונקבל את המשוואות
y = 3x – 1
y = 3x – 1

נשווה את המשוואות:
3x – 1 = 3x – 1
0 = 0
קיבלנו משהוא שהוא תמיד נכון לכן למשוואות יש אינסוף נקודות חיתוך.

שרטוט הגרפים של הישרים

3.תרגילים

תרגיל 1 הוא מציאת נקודת חיתוך (תרגיל בסיסי).
בתרגיל 2-4 נוסף קושי. בכול תרגיל קושי אחר.

תרגיל 1
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים
y = 2x – 6
y = -x

פתרון
נשווה את הפונקציות:
2x – 6 = -x
3x – 6 = 0
3x = 6
x = 2

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = 2 באחת ממשואות הישר.
y = -x
y = -2
תשובה: נקודת החיתוך של הישרים היא (2-, 2).

תרגיל 2
דרך נקודת החיתוך של הישרים
y = 3x + 1
y = 2x+ 4
עובר ישר ששיפועו 1-.
מצאו את משוואת הישר.

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x + 1 = 2x + 4
x = 4 – 1
x = 3

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = 3 באחת ממשואות הישר.
y = 2x+ 4
y = 2*3 + 4
y = 6 + 4 = 10

נקודת החיתוך היא (3,10).

משוואת הישר המבוקש עוברת בנקודה (3,10) ושיפועה 1-.
נמצא משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y – y1 = m(x – x1
y – 10 = -1(x – 3
y – 10 = -x + 3  / +10
y = -x + 13

תרגיל 3
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x והישר המקביל לציר ה y העוברים דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 2x + 4 והישר y = -x + 5.5

פתרון
המכשול של השאלה הזו הוא שלא נתנו לנו נקודה.
עלינו למצוא את הנקודה באמצעות מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
y = 2x + 4
y = -x + 5.5

נשווה את משוואות הישרים:
2x + 4 = -x + 5.5    / +x – 4
3x = 1.5   / : 3
x = 0.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
עכשיו נמצא את ערך ה y על ידי הצבה x = 0.5 במשוואת אחד מהישרים.
y = 2x + 4
y = 2 * 0.5 + 4
y = 1 + 4 = 5
נקודת החיתוך של הישרים היא (5, 0.5).

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך y קבוע, ומכוון שערך ה y בנקודה הוא 5.
אז משוואת הישר היא y = 5.

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך x קבוע. ומכוון שערך ה x בנקודה הוא 0.5.
אז משוואת הישר היא x = 0.5.

תרגיל 4
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים:
y = -2x + 1
2y + 6x + 4 = 0

פתרון
משוואת הישר
2y + 6x + 4 = 0
היא משוואה לא מפורשת.
על מנת לפתור בדרך שאנו רגילים עלינו להעביר את משוואה זו לצורה המפורשת שלה.
2y + 6x + 4 = 0
2y = -6x – 4
y = -3x – 2

קיבלנו את שתי משוואות הישר:
y = -2x + 1
y = -3x – 2

נמצא את נקודת החיתוך שלהם:
2x + 1 = -3x – 2-
x = -2 – 1
x = -3

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = -3 באחת ממשואות הישר.
y = -2x + 1
y = -2 * -3 + 1
y = 6 + 1
y = 7

תשובה: נקודת החיתוך היא (7 , 3-).

הערה (זו הרחבה לא הכרחית).
אם היינו רוצים היינו יכולים לפתור את המשוואות
y = -2x + 1
6x + 2y – 4 = 0
ללא מעבר אל הצורה המפורשת של משוואת הישר.

ניתן להתייחס אל שתי משוואות הישר כאל שתי משוואות עם שני נעלמים ולפתור אותן בשיטת ההצבה.
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
6x + 2(-2x + 1) – 4 = 0

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד וכאשר נפתור אותה נגיע לאותו פתרון כמו בדרך הקודמת.

עוד באתר:

נספח: סיכום הדרכים למציאת משוואת ישר

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.