מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

בדף זה נלמד:

  1. כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים (ארבע מצבים).
  2. דוגמאות.
  3. תרגילים.

על מנת לפתור תרגילים בדף זה עליכם לדעת:

  1. לפתור משוואה עם נעלם אחד (חובה).
  2. לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה (זה לא חובה, אבל זה יעזור להבין את דרך הפתרון).

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים?

יש 4 סוגי שאלות של חיתוך בין שני ישרים.

הסוג הראשון של השאלות הוא הרוב הגדול של השאלות, להערכתי מעל 90%.
אם תדעו את הסוג הראשון תדעו את העיקר.

  1. חיתוך בין שני ישרים.
  2. חיתוך כאשר אחד מהישרים מקביל לצירים.
  3. ישרים ללא חיתוך (מקבילים) או עם אינסוף נקודות חיתוך (מוכלים).
  4. חיתוך כאשר אחד מהישרים כתוב בצורה לא מפורשת.

נקודת חיתוך בין ישרים היא נקודה שבה יש לשני הישרים אותו ערך x ואותו ערך y.

 

1.חיתוך בין שני ישרים (רגיל)

אם נתונים לנו שני ישרים:
y = 5x – 2
y = 2x +10

נמצא את נקודת החיתוך שלהם על ידי יצרת המשוואה:
5x – 2 = 2x + 10

5x-2 = 2x+10  / +2-2x
3x=12  /:3
x=4

מצאנו את ערך ה X של נקודת החיתוך עכשיו על מנת למצוא את ערך ה Y של נקודת החיתוך נציב את ערך ה X באחת המשוואות – לא משנה איזו.
y=5x-2
y = 5*4 – 2 = 20-2 = 18
נקודת החיתוך היא (4,18).

2.חיתוך כאשר אחד הישרים מקביל לצירים

דוגמה 1: מצב שבו יש ישר המקביל לציר ה y

x = 2
y = 4x – 1

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים.

פתרון
במצב זה לא ניתן לפתור כמו קודם, כי אין במשוואה הראשונה y.

מה שנעשה הוא להציב x = 2 וכך נמצא את נקודת החיתוך.

y = 4 * 2 – 1
y = 8 – 1 = 7

y = 7  בנקודת החיתוך. ומה ערך ה x בנקודת החיתוך?

x = 2
זה ההערך שהצבנו.

נקודת החיתוך היא:
(2,7)

דוגמה 2: מצב שבו יש ישר המקביל לציר ה x
y = 4
y = x – 2
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים הללו.

פתרון
נפתור כרגיל:
x – 2 = 4
x = 6

ערך ה y בנקודת החיתוך חייב להיות 4.
(6,4)

אם רוצים ניתן להציב x = 6 במשוואת הישר
y = x – 2
ולקבל את ערך ה Y של נקודת החיתוך.

y = 6 – 2 = 4

3.חיתוך כאשר אחד הישרים הוא במשוואה לא מפורשת

3y + x = 2
y = x – 1

מצאו את נקודת החיתוך.

פתרון
נציב את ה y במשוואה הראשונה

3 (x – 1) + x = 2

3x – 3 + x = 2
4x = 5
x = 1.25
הצבה באחת המשוואות תיתן את y.

דרך פתרון שנייה (קשה יותר במקרה זה)
נביא את המשוואה הראשונה למצב של משוואה מפורשת.

3y + x = 2 / – x
3y = -x + 2  / : 3
y = -0.33x + 0.66

ועכשיו נמצא נקודת חיתוך לשני הישרים שקיבלנו:
y = -0.33x + 0.66
y = x – 1

עושים זאת על ידי בניית המשוואה:

x – 1 = -0.33x

4.ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך או ללא חיתוך.

לישרים מקבילים אין נקודות חיתוך.

לישרים מוכלים יש אינסוף נקודות חיתוך.

איך נזהה זאת?

ניתן לזהות ישרים מקבילים על פי המקדם של x.
אבל אין חובה לזהות, נפתור את התרגיל כרגיל.

כאשר נקבל משהו שהוא תמיד נכון, כמו 0 = 0. אלו ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך.

כאשר נקבל משהו שהוא אף פעם לא נכון, כמו 2 = 0. אלו ישרים ללא נקודות חיתוך.

דוגמה 1: ישרים ללא נקודות חיתוך (מקבילים)

y = 2x – 5
y = 2x + 3

פתרון
2x + 3 = 2x – 5
5 – = 3
זה אף פעם לא נכון, לכן אין לישרים נקודות חיתוך.

שרטוט הגרפים של הישרים

 

דוגמה 2: ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך

y = 3x – 1
2y = 6x – 2

מצאו את נקודות החיתוך.

פתרון
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה.

2(3x – 1) = 6x – 2
6x – 2 = 6x – 2
0 = 0

וזה תמיד נכון. כאשר הישרים שנקבל יהיו עם אינסוף נקודות מפגש אנו נקבל תוצאה שהיא תמיד נכונה ללא תלות ב x או y.

דרך שנייה למצוא את נקודת החיתוך של הישרים
y = 3x – 1
2y = 6x – 2

נחלק את המשוואה השנייה ב 2 ונקבל את המשוואות
y = 3x – 1
y = 3x – 1

נשווה את המשוואות:
3x – 1 = 3x – 1
0 = 0
קיבלנו משהוא שהוא תמיד נכון לכן למשוואות יש אינסוף נקודות חיתוך.

שרטוט הגרפים של הישרים

 

2.דוגמאות

דוגמה 1
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים
y= -2x
y=7x+9

פתרון
נשווה את שתי המשוואות.
2x =7x + 9-
9x=9  / :-9-
x=-1

עכשיו נמצא את ערך ה Y של נקודת החיתוך על ידי הצבה x = 1 במשוואת הישרים.
y= -2x
y = -2 *-1=2
נקודת החיתוך היא (2, 1-)

שרטוט הגרפים של הישרים

 

דוגמה 2 (משוואה לא מפורשת)
מצאו את נקודת החיתוך בין הישרים
y = 2x + 10
4y = 6x + 2

פתרון
הבעיה שלנו במקרה זה היא שמשוואת ישר אחד היא משוואה לא מפורשת.
על מנת לפתור יש לנו שתי דרכים.

דרך ראשונה.
נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה.

נציב את ערך ה y של המשוואה הראשונה ובמשוואה השנייה בצורה הזו:

4(2x + 10) = 6x + 2

8x + 40 = 6x + 2
2x = -38
x = -19

נציב x = -19 במשוואה הראשונה ונקבל:
y = 2 * (-19) + 10
y = -38 + 10 = -28
תשובה: נקודת החיתוך היא  28-, 19-

דרך שנייה
y = 2x + 10
4y = 6x + 2

נחלק את המשוואה השנייה ב 4 ונקבל:
y = 1.5x + 0.5

עכשיו שתי המשוואות שלנו הם:
y = 2x + 10
y = 1.5x + 0.5
ומשוואות כאלו למדנו כיצד לפתור.

3.תרגילים

תרגיל 1 הוא מציאת נקודת חיתוך (תרגיל בסיסי).
בתרגיל 2-4 נוסף קושי. בכול תרגיל קושי אחר.

תרגיל 1
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים
y = 2x – 6
y = -x

פתרון
נשווה את הפונקציות:
2x – 6 = -x
3x – 6 = 0
3x = 6
x = 2

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = 2 באחת ממשואות הישר.
y = -x
y = -2
תשובה: נקודת החיתוך של הישרים היא (2-, 2).

תרגיל 2
דרך נקודת החיתוך של הישרים
y = 3x + 1
y = 2x+ 4
עובר ישר ששיפועו 1-.
מצאו את משוואת הישר.

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x + 1 = 2x + 4
x = 4 – 1
x = 3

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = 3 באחת ממשואות הישר.
y = 2x+ 4
y = 2*3 + 4
y = 6 + 4 = 10

נקודת החיתוך היא (3,10).

משוואת הישר המבוקש עוברת בנקודה (3,10) ושיפועה 1-.
נמצא משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y – y1 = m(x – x1
y – 10 = -1(x – 3
y – 10 = -x + 3  / +10
y = -x + 13

תרגיל 3
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x והישר המקביל לציר ה y העוברים דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 2x + 4 והישר y = -x + 5.5

פתרון
המכשול של השאלה הזו הוא שלא נתנו לנו נקודה.
עלינו למצוא את הנקודה באמצעות מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
y = 2x + 4
y = -x + 5.5

נשווה את משוואות הישרים:
2x + 4 = -x + 5.5    / +x – 4
3x = 1.5   / : 3
x = 0.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
עכשיו נמצא את ערך ה y על ידי הצבה x = 0.5 במשוואת אחד מהישרים.
y = 2x + 4
y = 2 * 0.5 + 4
y = 1 + 4 = 5
נקודת החיתוך של הישרים היא (5, 0.5).

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך y קבוע, ומכוון שערך ה y בנקודה הוא 5.
אז משוואת הישר היא y = 5.

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך x קבוע. ומכוון שערך ה x בנקודה הוא 0.5.
אז משוואת הישר היא x = 0.5.

תרגיל 4
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים:
y = -2x + 1
2y + 6x + 4 = 0

פתרון
משוואת הישר
2y + 6x + 4 = 0
היא משוואה לא מפורשת.
על מנת לפתור בדרך שאנו רגילים עלינו להעביר את משוואה זו לצורה המפורשת שלה.
2y + 6x + 4 = 0
2y = -6x – 4
y = -3x – 2

קיבלנו את שתי משוואות הישר:
y = -2x + 1
y = -3x – 2

נמצא את נקודת החיתוך שלהם:
2x + 1 = -3x – 2-
x = -2 – 1
x = -3

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך על ידי הצבה x = -3 באחת ממשואות הישר.
y = -2x + 1
y = -2 * -3 + 1
y = 6 + 1
y = 7

תשובה: נקודת החיתוך היא (7 , 3-).

הערה (זו הרחבה לא הכרחית).
אם היינו רוצים היינו יכולים לפתור את המשוואות
y = -2x + 1
6x + 2y – 4 = 0
ללא מעבר אל הצורה המפורשת של משוואת הישר.

ניתן להתייחס אל שתי משוואות הישר כאל שתי משוואות עם שני נעלמים ולפתור אותן בשיטת ההצבה.
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
6x + 2(-2x + 1) – 4 = 0

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד וכאשר נפתור אותה נגיע לאותו פתרון כמו בדרך הקודמת.

עוד באתר:

נספח: סיכום הדרכים למציאת משוואת ישר

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

14 מחשבות על “מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים”

    1. לומדים מתמטיקה

      לא הבנתי אם A היא נקודה על הישרים או ש A היא חלק ממשואת הישר.
      השאלה לא מדויקת ואולי חסרים נתונים.

  1. היי רציתי לשאול מה קורה במקרה שיש לי שני ישרים-
    y=2x+8
    y=-2x+8
    ניסיתי לחשב את נקודת החיתוך ביניהם ויצא לי ש-x=0 אבל לפי השרטוט הנקודה נמצאת ברביע הראשון ולא ב- 0 כמו שיצא לי.

  2. יש לי איזה בלבול בנקודות חיתוך בישרים מקבילים לצירים,במבחן שעשיתי באתר שלכם,בשאלה מה הנקודת חיתוך של Y=5היתה התשובה (0,5) ואחרי זה היתה שאלה Y=3 איפה הוא חותך בX למה שלא נכתוב (0,3)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הכוונה לשאלות 3 ו 4 שבדף זה אז אין שם טעות.
      בשאלה 3 ביקשו משוואת ישר מקביל לצירים.
      בשאלה 4 ביקשו נקודת חיתוך של ישרים.
      אלו שתי שאלות שונות ולכן נפתרות בדרך שונה.

  3. שלום, רציתי לדעת מה עושים במקרה ש…
    נתונים לח שניי ישרים , לאחד נתונה מהשוואת ישר (y=7) ולקחת נתונה לי רק הנקודה עליו (2,11) איך אני יכולה למצוא את נקודת החיתוך בניהם ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם נתונה לך רק נקודה על ישר בלי שום נתון נוסף לא ניתן למצוא את המשוואה שלו ואת נקודות החיתוך שלו.
      משהו חסר בשאלה.

  4. היי! רציתי לדעת אם יש לי משולש ישר זויות ויש לי את שתי הנקודות של שני קודקודים ואני צריכה למצוא את הנקודה השלישית (שהיא בקודקוד של ה90 מעלות) איך אני עושה את זה? לא הבנתי מהדף הזה את ההסבר. תודה!

  5. שלום רציתי לשאול מה עושים כשיש שצריך למצוא שתי נקודות חיתוך של ישרים?
    ורק רציתי להגיד שהאתר ממש עוזר וההסברים שלכם ממש טובים!

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה.
      בין שני ישרים יש נקודת חיתוך אחת או 0 נקודות חיתוך או אינסוף נקודות חיתוך.
      בכל המקרים הדרך לפתרון היא אותה דרך כמו שרשום למעלה.
      אין אפשרות לשתי נקודות חיתוך בין שני ישרים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.