מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

בדף זה נלמד:

1. הסבר בכתב ובוידאו: כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים (ארבע מצבים).
2. דוגמאות.
3. תרגילים.

על מנת לפתור תרגילים בדף זה עליכם לדעת:

1. לפתור משוואה עם נעלם אחד (חובה).
2. לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה (זה לא חובה, אבל זה יעזור להבין את דרך הפתרון).

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך בין שני ישרים?

יש 4 סוגי שאלות של חיתוך בין שני ישרים.

הסוג הראשון של השאלות הוא הרוב הגדול של השאלות, להערכתי מעל 90%.
אם תדעו את הסוג הראשון תדעו את העיקר.

1. חיתוך בין שני ישרים.
2. חיתוך כאשר אחד מהישרים מקביל לצירים.
3. חיתוך כאשר אחד מהישרים כתוב בצורה לא מפורשת.
4. ישרים ללא חיתוך (מקבילים) או עם אינסוף נקודות חיתוך (מוכלים).

שימו לב:
נקודת חיתוך בין ישרים היא נקודה שבה יש לשני הישרים אותו ערך x ואותו ערך y.

נתחיל בהסבר וידאו ולאחר מיכן ההסבר הכתוב.

מצורפים שני סרטונים.

הסרטון הראשון עובר בקצרה על העיקר:

הסרטון השני מסביר בפירוט ועובר על מצבים שונים.

את הסרטון השני ניתן למצוא כשהוא מחולק לחלקים קצרים יותר בהמשך הדף.

1.חיתוך בין שני ישרים (רגיל)

אם נתונים לנו שני ישרים:
y = 5x – 2
y = 2x +10

נמצא את נקודת החיתוך שלהם על ידי יצרת המשוואה:
5x – 2 = 2x + 10

5x-2 = 2x+10  / +2-2x
3x=12  /:3
x=4

מצאנו את ערך ה X של נקודת החיתוך עכשיו על מנת למצוא את ערך ה Y של נקודת החיתוך נציב את ערך ה X באחת המשוואות – לא משנה איזו.
y=5x-2
y = 5*4 – 2 = 20-2 = 18
נקודת החיתוך היא (4,18).

2.חיתוך כאשר אחד הישרים מקביל לצירים

דוגמה 1: מצב שבו יש ישר המקביל לציר ה y

x = 2
y = 4x – 1

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים.

פתרון
במצב זה לא ניתן לפתור כמו קודם, כי אין במשוואה הראשונה y.

מה שנעשה הוא להציב x = 2 וכך נמצא את נקודת החיתוך.

y = 4 * 2 – 1
y = 8 – 1 = 7

y = 7  בנקודת החיתוך. ומה ערך ה x בנקודת החיתוך?

x = 2
זה ההערך שהצבנו.

נקודת החיתוך היא:
(2,7)

דוגמה 2: מצב שבו יש ישר המקביל לציר ה x
y = 4
y = x – 2
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים הללו.

פתרון
נפתור כרגיל:
x – 2 = 4
x = 6

ערך ה y בנקודת החיתוך חייב להיות 4.
(6,4)

אם רוצים ניתן להציב x = 6 במשוואת הישר
y = x – 2
ולקבל את ערך ה Y של נקודת החיתוך.

y = 6 – 2 = 4

3.חיתוך כאשר אחד הישרים הוא במשוואה לא מפורשת

• משוואה מפורשת (הרחבה).

3y + x = 2
y = x – 1

מצאו את נקודת החיתוך.

פתרון
נציב את ה y במשוואה הראשונה

3 (x – 1) + x = 2

3x – 3 + x = 2
4x = 5
x = 1.25
הצבה באחת המשוואות תיתן את y.

דרך פתרון שנייה (קשה יותר במקרה זה)
נביא את המשוואה הראשונה למצב של משוואה מפורשת.

3y + x = 2 / – x
3y = -x + 2  / : 3
y = -0.33x + 0.66

ועכשיו נמצא נקודת חיתוך לשני הישרים שקיבלנו:
y = -0.33x + 0.66
y = x – 1

עושים זאת על ידי בניית המשוואה:

x – 1 = -0.33x

4.ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך או ללא חיתוך.

לישרים מקבילים אין נקודות חיתוך.

לישרים מוכלים יש אינסוף נקודות חיתוך.

איך נזהה זאת?

ניתן לזהות ישרים מקבילים על פי המקדם של x.
אבל אין חובה לזהות, נפתור את התרגיל כרגיל.

כאשר נקבל משהו שהוא תמיד נכון, כמו 0 = 0. אלו ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך.

כאשר נקבל משהו שהוא אף פעם לא נכון, כמו 2 = 0. אלו ישרים ללא נקודות חיתוך.

דוגמה 1: ישרים ללא נקודות חיתוך (מקבילים)

y = 2x – 5
y = 2x + 3

פתרון
2x + 3 = 2x – 5
5 – = 3
זה אף פעם לא נכון, לכן אין לישרים נקודות חיתוך.

 

דוגמה 2: ישרים עם אינסוף נקודות חיתוך

y = 3x – 1
2y = 6x – 2

מצאו את נקודות החיתוך.

פתרון
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה.

2(3x – 1) = 6x – 2
6x – 2 = 6x – 2
0 = 0

וזה תמיד נכון. כאשר הישרים שנקבל יהיו עם אינסוף נקודות מפגש אנו נקבל תוצאה שהיא תמיד נכונה ללא תלות ב x או y.

דרך שנייה למצוא את נקודת החיתוך של הישרים
y = 3x – 1
2y = 6x – 2

נחלק את המשוואה השנייה ב 2 ונקבל את המשוואות
y = 3x – 1
y = 3x – 1

נשווה את המשוואות:
3x – 1 = 3x – 1
0 = 0
קיבלנו משהוא שהוא תמיד נכון לכן למשוואות יש אינסוף נקודות חיתוך.

[/su_spoiler] [/su_accordion]

2.דוגמאות

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים תרגילים

תרגיל 1 הוא מציאת נקודת חיתוך (תרגיל בסיסי).
בתרגיל 2-4 נוסף קושי. בכול תרגיל קושי אחר.