פתרון אי שוויון בדרך גרפית

לפעמים נקבל גרפים של שני פונקציות קוויות ויבקשו מאיתנו לזהות על פי הגרף מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.

דוגמה
מצורפים הגרפים של הפונקציות
f(x) = 0.5x + 3 (בשחור).
g(x) = 2x (באדום)
שני הגרפים נפגשים בנקודה x = 2.
התבוננו בגרף וקבעו מתי
2x > 0.5x + 3
(אותה שאלה יכולה להיות מנוסחת גם כך:
(g(x) > f(x).

פתרון
הפונקציה
g(x) = 2x
גדולה מהפונקציה
f(x) = 0.5x + 3
כאשר הגרף של (g(x נמצא מעל הגרף של (f(x.
בגרף רואים שזה קורה כאשר x> 2.
תשובה: 2x > 0.5x + 3 כאשר x > 2.

התחום בו האי שוויון מתקיים מסומן בקווים אדומים:

מכשולים בשאלות

אתם יכולים לפגוש שני מכשולים עיקריים בשאלות:

  1. אתם תצטרכו לבצע התאמה בין משוואת הישר לבין הגרף. כלומר יגידו לכם מה הן משוואות הישר אבל אתם תצטרכו לזהות איזו משוואה מייצגת איזה גרף.
  2. נקודת מפגש הישרים לא ידועה ואתם תצטרכו למצוא אותה.

את שני הנושאים הללו ניתן ללמוד בקישורים הבאים:

דוגמה 2

פתרון את האי שוויון 2x – 5 > 1   על ידי אלגברה ועל ידי גרף.

פתרון
פתרון אלגברי
2x – 5 > 1
2x > 6  / :2
x > 3

פתרון גרפי
2x – 5 > 1
נתייחס אל האי שוויון כאילו בכול צד יש לנו משוואת ישר.
בצד שמאל:  y = 2x – 5
בצד ימין: y = 1

נשרטט כאן את שני הישרים:
(אני מדלג על שלבי השרטוט).

ניתן לראות ששני הישרים נפגשים ב x = 3

ניתן לראות ששני הישרים נפגשים ב x = 3

y = 2x – 5 הוא הישר השחור.
y = 1 הוא הישר האדום.
ניתן לראות ששני הישרים נפגשים ב x = 3

האי שוויון שאנו צריכים לפתור הוא:
2x – 5 > 1
וניתן לראות שהישר השחור נמצא מעל האדום כאשר:
x > 3

תרגילים

תרגיל 1
בשרטוט הגרפים של הישרים
f(x)=5x-1
g(x)=-2x-+6
הנפגשים כאשר x=1.
על פי הגרף מצאו מתי:
5x – 1 < -2x + 6

שרטוט הגרפים

פתרון
שלב א: זיהוי הגרפים
בגרף יש לנו פונקציה אחת עולה והשנייה יורדת.
f(x)=5x-1 היא פונקציה עולה ולכן מתאימה להיות גרף 2.
גרף g(x) =-2x-+6 יורד והוא מתאים להיות גרף מספר 1.

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

שלב ב: פתרון האי שוויון
הגרף f(x) =5x-1
נמצא מתחת לגרף g(x) =-2x-+6
משמאל לנקודה x = 1 (שזה x < 1).
לכן:
5x – 1 < -2x + 6
כאשר x < 1.

התחום בו האי שוויון מתקיים מסומן בחץ.

תרגיל 2
מצורפים גרפים של משוואות הישר הבאות:
f(x)= -2x
g(x)= -0.5x
שנפגשים ב x = 0
מצאו מתי:
0.5x > -2x-

פתרון
שלב א: התאמה בין משוואות הישר לגרפים
הישר האדום בעל שיפוע חד יותר ולכן מתאים ל f(x) = -2x.
הישר השחור g(x) = -0.5x.

שלב ב: פתרון האי שוויון
0.5x > -2x-
האי שוויון מתקיים כאשר הישר השחור נמצא מעל הישר האדום.
וזה קורה מימין לנקודת המפגש, כאשר x > 0.
תשובה: 0.5x > -2x- כאשר x > 0

סימון התחום בו האי שוויון מתקיים בעזרת חץ אדום.

תרגיל 3
מצורפים גרפים של משוואות הישר הבאות:
f(x)=x+5
g(x)=3x+1
מצאו מתי:
x + 5 < 3x + 1

גרף הישרים

פתרון
שלב א: התאמה בין המשוואות לגרפים
גרף מספר 1 חותך את ציר ה y כאשר y=5.
לכן גרף זה הוא המשוואה f(x)=x+5.

גרף 2 חותך את ציר ה Y כאשר y=1.
לכן גרף זה הוא המשוואה g(x)=3x+1.

דבר נוסף שיכול לעזור לנו לזהות את הגרפים הוא שהשיפוע של ישר 2 גדול יותר.

שלב ב: מציאת נקודת החיתוך של הישרים
3x+1= x+5 /-x-1
2x=4  / :2
x=2
נקודת החיתוך היא x = 2.

שלב ג: פתרון האי שוויון
בגרף ניתן לראות ש:
f(x)=x+5
נמצא מתחת ל:
g(x)=3x+1
מימין לנקודת המפגש (כאשר x >1).

תשובה: x + 5 < 3x + 1 כאשר x > 1

סימון התחום שבו האי שוויון מתקיים בחץ אדום.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “פתרון אי שוויון בדרך גרפית

  1. שלמה

    היי
    כאן בדוגמא הראשונה למשל, מה הכוונה 'מתקיים' האי שוויון, מה התקיים שלא מתקיים באזור אחר בגרף ?
    אני יודע לפתור התרגילים, אבל היה קשה לי להבין המשמעות

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      בדוגמה הראשונה בראש הדף מה שמתקיים הוא שהפונקציה האדומה שמייצגת את y = 2x נמצאת מעל הפונקציה השחורה המייצגת את y = 0.5x + 3.
      מה שאומר שבתחום הזה:
      2x > 0.5x + 3
      כי הרעיון של הפתרון הגרפי הוא שכאשר גרף של פונקציה נמצא מעל גרף אחר אז הפונקציה שנמצאת מעל גדולה יותר.

  2. שלמה

    היי, אתה מסביר ממש ברור!!!

    המורה שלנו צריך ללמוד ממך..

    לא הבנתי למה זה אי שוויון
    כאילו למשל למה בצד שמאל זה לא שווה ובצד ימין זה כן שווה

    איפה אני יכול לקרוא על זה ?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.