פרבולה מחייכת או בוכה – מינימום מקסימום

החלקים של דף זה הם:

  1. איך נראית פרבולות מינימום (מחייכת) ופרבולת מקסימום (בוכה).
  2. כיצד מזהים על פי משוואה האם הפרבולה היא מינימום או מקסימום?
  3. תרגילים.
  4. נספח: השימושים של פרבולת מינימום או מקסימום.

בסוף דף זה עליכם לדעת שני דברים:

  1. בפרבולת מינימום נקודת הקודקוד היא הנקודה הנמוכה ביותר (ערך ה y הקטן ביותר). בפרבולת מקסימום נקודת הקודקוד היא הנקודה הגבוהה ביותר (ערך ה y הגדול ביותר).
  2. בפרבולה y=ax²+bx+c כאשר a > 0 זו פרבולת מינימום. כאשר a < 0 זו פרבולת מקסימום.

שני הדברים הללו הם סיכום של הדף כולו.

1.איך נראית פרבולות מינימום (מחייכת) ופרבולת מקסימום (בוכה)

בפרבולת מינימום הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר (לכן קוראים לה מינימום) ובגלל צורתה קוראים לה גם פרבולה מחייכת.

בפרבולת מקסימום הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר (לכן קוראים לה מקסימום) ובגלל צורתה קוראים לה גם פרבולה מחייכת.

מימין פרבולת מינימום (מחייכת) משמאל פרבולת מקסימום (בוכה).
מימין פרבולת מינימום (מחייכת) משמאל פרבולת מקסימום (בוכה).

2.כיצד מזהים על פי משוואה האם הפרבולה היא מינימום או מקסימום?

משוואת הפרבולה היא y=ax²+bx+c
המספר a שהוא המקדם של x² הוא הדבר היחידי שקובע אם הפרבולה מחייכת או בוכה.

כאשר a > 0 הפרבולה מחייכת (פרבולת מינימום).
כאשר a < 0 הפרבולה בוכה (פרבולת מקסימום)

דוגמאות
y = 5x²-2x-1
נקודת מינימום (מחייכת) בגלל שהמקדם של x² הוא חיובי (5).

y = – 3x²
נקודת מקסימום (בוכה) בגלל שהמקדם של x² הוא שלילי (3-).

y = x² – 3x
נקודת מינימום (מחייכת) בגלל שהמקדם של x² הוא חיובי (1).

דוגמה לפרבולה מחייכת ובוכה

הערה
מה קורה כאשר a=0 ?
כאשר a=0  המשוואה שנקבל נראית כך:
y = bx + c
זו אינה פרבולה אלא משוואת ישר.

3.תרגילים

תרגיל 1
עבור הפרבולות הבאות זהו אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

  • y = 3x²
  • y = -0.5x² + 3x +1
  • y = -2x² – 4

פתרון

y = 3x²
פרבולת מינימום (מחייכת) כי a חיובי.

y = -0.5x² + 3x +1
פרבולת מקסימום (בוכה) כי a שלילי.

y = -2x² – 4
פרבולת מקסימום (בוכה) כי a שלילי.

תרגיל 2
עבור הפרבולה
y = -x² + 2x +15
ידוע כי נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
x = 5,  x =-3

  1. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום?
  2. שרטטו סקיצה של הפרבולה.
  3. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה.

פתרון
סעיף א: מינימום או מקסימום
y = -x² + 2x +15
המקדם של x² הוא 1-. לכן זו פרבולת מקסימום (בוכה).

סעיף ב: שרטוט סקיצה
נשרטט סקיצה של פרבולה שיש לה נקודת מקסימום ונקודות חיתוך עם ציר ה x ב x = 5,  x =-3

  • שרטוט סקיצה של פרבולה הסבר מורחב.

סעיף ג: תחומי חיוביות ושליליות
הפרבולה חיובית כאשר היא מעל ציר ה x.
הפרבולה שלילית כאשר היא מתחת לציר ה x.

כאשר

גרף הפרבולה מעל ציר ה x ולכן הפרבולה חיובית.

כאשר
x < -3  או x > 5
גרף הפרבולה מתחת לציר ה x ולכן הפרבולה שלילית.

עוד באתר:

4. נספח: שימושים של פרבולת מינימום או מקסימום

על מנת להבין על מה מדובר בחלק זה עליכם לדעת נושאים נוספים הקשורים לפרבולה.
יתכן ולא למדתם אותם עד עכשיו, לכן חלק זה אינו חובה.

בעזרת מידע האם הפרבולה היא מינימום או מקסימום ומידע נוסף נוכל

  1. קביעת תחומי העליה והירידה של פונקציה.
  2. הכרחי על מנת לשרטט סקיצה של פרבולה.
  3. מאפשר למצוא תחומי חיוביות ושליליות של פרבולה.

קביעת תחומי העליה והירידה של פונקציה

אם אנו יודעים את :

  1. ערך ה x של הקודקוד.
  2. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

ניתן לקבוע את תחומי העליה והירידה של פרבולה.

נניח וידוע לנו כי ערך ה x של קודקוד פרבולה הוא x = 2

במידה וזו פרבולת מינימום ניתן לקבוע כי הפונקציה יורדת כאשר:
x < 2
ועולה כאשר:
x > 2

לעומת זאת אם זו פרבולת מקסימום ניתן לקבוע כי הפונקציה יורדת כאשר:
x > 2
ועולה כאשר:
x < 2

שרטוט גרף של פרבולה

אם נדע את:

  1. נקודות החיתוך עם ציר ה x.
  2. אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

נוכל לשרטט סקיצה של פרבולה.

למשל אם נדע שאלו נקודות החיתוך של פרבולה עם ציר ה x.

במידה וזו פרבולת מינימום הסקיצה תראה כך:

ובמידה וזו פרבולת מקסימום הפרבולה תראה כך:

תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה

לאחר ששרטטנו את גרף הפרבולה נוכל לקבוע את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “פרבולה מחייכת או בוכה – מינימום מקסימום”

  1. תודה רבה על הכל,
    בקרוב יש לי מבחן מעבר לחמש יחידות לימוד, אני עושה את כל המאמצים כדי להשקיע ולעבור והאתר עוזר לי כל כך ,
    אני יום אחר יום לומדת חומר אחר באמצעות הסרטונים באתר
    וזה כל כך עוזר לי להבין את החומר טוב יותר,
    תודה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.