לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

מציאת משוואת פרבולה

בדף זה נלמד כיצד מוצאים משוואת פרבולה עם פרמטרים חסרים.
נקבל משוואה f(x) = ax² + bx + c ונמצא את הפרמטרים a,b,c.

לדף זה שני חלקים:

  1. 5 שיטות למציאת משוואת פרבולה (השיטה החמישית לא כלולה בסרטון).
  2. 7 תרגילים.

1.חמש שיטות למציאת משוואת פרבולה

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

שתי השיטות הראשונות הן החשובות והיותר שימושיות.
שיטות 3-4 מיועדות ל 5 יחידות.

1.שיטה ראשונה: הצבת נקודה במשוואת פרבולה (השיטה השימושית ביותר).
הכלל הבסיסי של מציאת פרמטר חסר במשוואת פרבולה הוא שאם ידועה לנו נקודה על הפרבולה מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה וכך מוצאים את הערך החסר.

למשל, אם יש לנו את הפרבולה f(x) = ax² + 3x – 5
העוברת בנקודה 2,17 אז נציב את הנקודה במשוואת הפרבולה ונקבל:

a*2² + 3*2 – 5 = 17
4a + 6 – 5 = 17
4a + 1 = 17
4a = 16
a = 4

משוואת הפרבולה היא:
f(x) = ax² + 3x – 5
f(x) = 4x² + 3x – 5

  • תרגילים 1-3 שבהמשך נפתרים בשיטה זו.

שיטה שנייה: הצבה במשוואה למציאת נקודת הקודקוד
אם ידועה לנו נקודת הקודקוד אנו יכולים:

  1. להציב את נקודת הקודקוד במשוואת הפרבולה, כך נקבל משוואה ראשונה.
  2. להציב את ערך x של נקודת הקודקוד בנוסחה למציאת קודקוד וכך נקבל משוואה נוספת.
    קודקוד הפרבולה

כלומר, אם ידועה לנו נקודת הקודקוד נוכל לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים; משוואה אחת על ידי הצבה במשוואת הפרבולה ומשוואה שנייה על ידי הצבה במשוואת קודקוד הפרבולה.

לדוגמה:
מצאו את משוואת הפרבולה f (x) = ax² + bx + 10 שנקודה הקודקוד שלה היא (4,6).
פתרון
משוואה ראשונה תהיה על פי הצבה של הנקודה במשוואת הפרבולה.
a*4² + 6b + 10 = 0

משוואה שנייה תהיה על פי נוסחת הקודקוד.

נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים ונמצא את משוואת הפרבולה (הפרמטרים a,b).

  • תרגילים 4-5 שבהמשך נפתרים בשיטה זו.

3. שיטה שלישית: שימוש בנקודת החיתוך עם ציר ה y
כאשר ידועות לנו שתי נקודות ואנו צריכים למצוא שני פרמטרים נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי  משוואות עם שני נעלמים.
האם יש חשיבות לסדר הצבת הנקודות?
בדרך כלל לא.
אבל אם ידועה לנו נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב את נקודה זו ראשונה וכך נמצא ישירות את הפרמטר c ונימנע משתי משוואות עם שני נעלמים.

למשל:
מצאו את משוואת הפרבולה f(x) = x² + bx + c העוברת בנקודות (4,10) ו (0,1).
פתרון
נציב קודם את הנקודה 0,1 במשוואת הפרבולה ונקבל:
c + 0² + b*0 = 1
c=1
ולאחר מיכן נציב את הנקודה 4,10
4b + 4² + 1 = 10
קיבלנו משוואה עם נעלם אחד במקום שתי משוואות עם שני נעלמים אילו היינו פועלים הפוך.

4. שיטה רביעית:הקשר בין מספר פתרונות המשוואה הריבועית למספר נקודות החיתוך עם ציר ה x

משוואה של פרבולה היא משוואה ריבועית.
למשל המשוואה:
f (x) = x² + bx + 16
מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:
x² + bx + 16 = 0

לכן, אם אומרים לנו שלפרבולה שלמעלה יש פתרון יחיד זה אומר שצריך להתקיים:
b² – 4 *1*16 = 0
b² = 64
b = 8,  b = -8

תשובה: עבור b = 8  או b = -8 לפרבולה יש נקודת מגע אחת (נקודת השקה) עם ציר ה x.

5.שיטה חמישית: הצבת נקודות החיתוך עם ציר ה x בהצגת המכפלה

שיטה זו זו מתאימה רק כאשר נתונות נקודות החיתוך עם ציר ה x, ולאלו המכירים את הצגת המכפלה.

דוגמה
מצאו את ההצגה הסטנדרטית של הפרבולה שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
(4,0)  (1,0).

פתרון
נכתוב את הצגת המכפלה:
(y = (x – 1) (x – 4
נפתח את הסוגריים ונקבל את ההצגה הסטנדרטית.
y = x² – 4x – x + 4
y = x² – 5x + 4

2.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים הכוללים מציאת פרמטר חסר בפרבולה.
תרגילים 1-4 הם תרגילי הצבה בסיסיים.
תרגילים 5-7 קשים יותר.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

45 מחשבות על “מציאת משוואת פרבולה”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שלום, אם יש לי הפונקציה f(x)=5x^2-2x+1 ומשוואת קו ישר g(x)=2x-3 איך פותרים
    למצוא נקודות החיתוך עם הצירים
    למצוא נקודות החיתוך של הפונקציה

    ותודה.

  2. שלום אחרי שיש לי את הנקודה (4וחצי. 3-) קיבלתי במשוואת הפרבולה
    9-= 3-בי+9a מה המשוואה השנייה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשוואה השנייה מתקבלת על ידי הצבת נקודת הקודקוד במשוואה למציאת ערך x של הקודקוד.
      המשוואה מופיעה כאן:
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-formula/
      ולאחר ההצבה תקבל:
      t = 0 = -b / 2a
      ה t לא שייך למשוואה ורשמתי אותו רק על מנת שסדר המספרים שנרשם ישמר.
      כמו כן ממשואה זו אתה יכול לקבל באופן ישיר את b.

  3. שלום יש לי משוואת פרבולה וחציy=ax+bx+4 יש לי נקודת קודקוד וחציx=0 y=4
    איך אני מוצא פרמטרים חסרים הסתכלי בפתרון האתר ולא הצלחתי לגלות אם אפשר לפרט לי יותר תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיקרון יש כאן שתי משוואות עם שני נעלמים.
      כפי שמוסבר בשיטה השנייה שבדף.
      הבעיה בתרגיל זה היא שהצבה x = 0 במשוואת הפרבולה מאפסת את המשתנים.
      ממה שכתוב כאן הפתרון לא ברור, אבקש שתשלח צילום של התרגיל המקורי בוואטסאפ.

  4. היי, אשמח לעזרה בכיצד לפתור את התרגיל הזה

    נתונה פרבולה מהצורה y=ax^2+bx+c.
    שיעור הx של קודקוד הפרבולה הוא 7-.
    אחד מהפתרונות של המשוואה ax^2+bx+c=0 הוא x=-6.
    א. מה הוא הפיתרון השני?
    ב.האם ניתן למצוא את משוואת הפרבולה?

    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נקודת קיצון של פרבולה זו נקודה שמאפשרת שתי משוואות.
      1ץמשוואה הנובעת מכך שהנקודה על הפרבולה.
      2.משוואה הנובעת מנוסחת קודקוד הפרבולה.
      יש דוגמה לכך בחלק של הדוגמאות בדף.

  5. היי, ממש אשמח לעזרה… אני תקועה בשאלה..
    יש לי את המשוואה: Y=-2x^2+bx+c
    אני מתבקשת למצוא את b,c.
    אינני מבינה איך לעשות זאת, אשמח לפירוט ודרך פתרון תודה רבה!

    *נקודות חיתוך ציר x
    2,0
    6,0

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מציבים כל אחת מהנקודות במשוואה ומקבלים שתי משוואות עם שני נעלמים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מציבים פעם אחת במשוואה למציאת ערך x של הקודקוד ופעם שנייה במשוואת הפרבולה.

  6. הי בשיטה הרביעית למציאת משוואה ריבועית כתוב שלפרבולה יש פתרון יחיד אך בו-זמנית גם כתוב שb=8, b=-8
    מה זה אומר?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה באמת לא היה ברור.
      המשמעות היא שעבור כל אחד מהערכים הללו לפרבולה יש פתרון יחיד – נקודת מגע אחת (השקה) עם ציר ה x.

      הוספתי בדף את המשפט:
      תשובה: עבור b = 8  או b = -8 לפרבולה יש נקודת מגע אחת (נקודת השקה) עם ציר ה x.
      אם זה לא ברור חזור אליי.

      1. הבנתי את החלק הזה ועכשיו בעצם אני מקבל שתי משוואות ריבועיות
        אחת עם +8x ואחת עם -8x
        שניהם נכונות?
        כי אני אמור למצוא את הפרמטרים החסרים במשוואה אך אני מקבל בעצם שתי משוואות?
        תודה רבה על העזרה מעבר לכך אתר מושלם מושלם מושלם

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, נתנו לי למצוא פרבולה המתארת את הפונקציה y=x^2+bx+c, ושהיא עוברת דרך 2 נקודות (1,-1), (4,2) ובעזרת זה למצוא את שיעורי הקודקוד שלה. תוכלו בבקשה להסביר לי איך אני עושה את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש כאן שני נעלמים b,c.
      הצבה של כל אחת מהנקודות במשוואת הפרבולה תתן לך משוואה.
      ומשתי ההצבות תקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.

        1. לומדים מתמטיקה

          שתי משוואות עם שני נעלמים זה דבר שניתן לפתור ולמצוא את שני הנעלמים.
          הנעלמים הם a,b – מה שמחפשים על מנת למצוא את משוואת הפרבולה.

          1. עבודה לחופש

            עדיין לא ברור לי כל כך:
            ברגע שהגעתי למצב של שתי משוואות עם שני נעלמים, ניסיתי לחבר ביניהם וליצור משוואה אחת אך גם אחרי החיבור נשארתי עם שני נעלמים.
            נ.ב: את a מצאתי כבר, מה שחסר לי זה b,c שאותם אני לא מוצא דרך לקבל תוצאה של כל אחד מהם.

  8. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום יש לי את המשוואה y=x²+bx+c ו2 נקודות שהפרבולה עוברת בהם ואני צריך למצוא את b,c מה אני אמור לעשות

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      להציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ולקבל שתי משוואות עם שני הנעלמים.
      הנעלמים הם b,c.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את יכולה להציב את שלושת הנקודות במשוואת הפרבולה ולקבל 3 משוואות עם 3 נעלמים.
      זה יכול להיות קל יותר אם אלו נקודות מיוחדות – למשל נקודות סימטריות או נקודת קודקוד.

  9. רציתי לשאול איך אני מוצאת משוואה של פרבולה ממעלה שלישית על ידי שרטוט?? כלומר אני רואה שהיא יורדת עלוה ושוב יורדת ואני רואה את הקודקודים ואת החיתוכים עם הצירים…
    תודה❤️❤️
    האתר הזה תותח על!!!!
    אחד השלמויות???
    עוזר פלאים הכל ברור ומובן תודה ענקית!!!!!!!!???

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם לפונקציה יש שני תחומי ירידה אז זו לא פרבולה.
      אם יש לך מבנה כללי של הפונקציה, כמו:
      f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
      אז את יכולה לאתר נקודות בגרף ולהציב את הנקודות במשוואה של הפונקציה.
      יתכן גם שאני לא מבין את השאלה.

  10. יש לי שאלה קשה שלא הצלחתי לפתור,
    נקודות האפס של פונקציה ריבועית מהצורה y=(x-p)+k הן (0,4) (0,2) ושיעורי ה- y של קודקוד הפרבולה הוא -1.
    מצאו משוואת הפרבולה.
    אשמח אם תעזרו לי

  11. איך מוצאים משוואת יצוג קודקודי רק לפי גרף?
    בנוסף את התוצאה אני צריכה להפוך לערך מוחלט ולצייר את גרף הערך המוחלט
    תודה

  12. היי
    בשאלה 6 חישבתי גם בייצוג סטנדרטי וגם בייצוג קודקודי והמשוואה שיצאה לי שוב ושוב היא
    Y = -1.25X*2 +5X +1
    ׁׁׁׁׁׁׁׂ( 2* – בחזקת שתיים )
    תוכל אולי להסביר אך בתוצאה זה בלי -1.25X .

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך להיות 1.25x-. המינוס נשמט בתשובה.
      תודה על התיקון וסליחה על הטרחה.

  13. אני לא מצליחה להבין כל כך איך אני מוצאת משוואה של פרבולה באמצעות הקודקוד בלבד (-3,72).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין פרבולה יחידה שמתאימה לקודקוד. ניתן לבנות אינסוף פרבולות לאותו קודקוד.
      לכן בדרך כלל נתון אחד הפרמטרים.
      בשאלה 4 שבדף זה יש פתרון לשאלה של מציאת משוואת פרבולה על פי קודקוד. ויש שם 2 דרכי פתרון.

      אם לא נתון שם אחד הפרמטרים ואת לא צריכה להגיע למשוואה יחידה אז את יכולה להציב את הקודקוד במשוואה של הצגה קודקודית
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-display/
      אם משהו לא ברור ניתן לחזור אליי.