פרבולה סיכום היסודות

שלב א: הצבת הנקודה במשוואה הפרבולה

נציב במשוואת הפרבולה ונקבל:

y = x² -1

2 = 2² -1

2 = 3

שלב ב: זיהוי

קיבלנו משהוא שהוא תמיד לא נכון. לכן הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.

אם הנקודה הייתה נמצאת על הפרבולה היינו מקבלים ביטוי כמו 4=4,  0=0 – משהו שהוא תמיד נכון.

שלב א: זיהוי ערכי a,b

המשוואה היא:

y = x² + 6x + 9

נזהה:

b = 6

a = 1

שלב ב: מציאת ערך x של הקודקוד

נציב במשוואה:

b = 6

a = 1

בנקודת הקודקוד x = -3.

שלב ג: מציאת ערך ה y של הקודקוד

על מנת למצוא את ערך ה y של הקודקוד נציב x = -3 במשוואת הפרבולה.

y = x² + 6x + 9

y = (-3)² + 6 *(-3) + 9 =

y = 9 – 18 + 9 =

y = 0

תשובה: קודקוד הפרבולה  (0, 3-).

חיתוך עם ציר ה y

נציב x = 0

y = x² + 8x + 12

y = 0² + 8 * 0 + 12

y = 0 + 0 + 12 = 12

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא (12 ,0).

חיתוך עם ציר ה x

נציב y = 0

y = x² + 8x + 12

0 = x² + 8x +12

ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.

נראה כאן דרך של טרינום.

x² + 8x +12 = 0

x² + 6x + 2x + 12 =0

x (x + 6) + 2 (x +2) = 12

x+6) (x+2)=0)

x= – 6 ,  x= – 2

תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה X הן (0, 2-)  (0,  -6).

המקדם של x² הוא חיובי.

a = 3

לכן זו פרבולת מינימום.

המקדם של x² הוא שלילי.

a = – 3

לכן זו פרבולת מינימום.

שלב א: חיתוך עם ציר ה x

מציבים f (x) = 0 ומקבלים משוואה ריבועית.

x² + 6x + 5 = 0

בעזרת טרינום או נוסחת השורשים נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.

x² + 6x + 5 = 0

x² + x + 5x + 5 = 0

x (x +1) + 5(x +1) = 0

x +5) (x+ 1) = 0)

x = -5 או x = -1.

שלב ב: מינימום או מקסימום

מכוון שהמקדם של x² חיובי אז זו פרבולה עם מינימום (מחייכת).

שלב ג: סקיצה

על פי שני השלבים הקודמים הסקיצה תראה כך.

שלב ד: פתרון
תחומי החיוביות הם כאשר ערכי ה y חיוביים וזה קורה כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.

זה קורה בתחומים

x > -1 או x < -5

תחומי השליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר הגרף מתחת לציר ה x.

זה קורה בתחום:

-5 < x < -1

וזה התחום שבו הפרבולה שלילית.

פתרון
שלב 1: נמצא את ערך ה X של הקודקוד.
a=2, b=6

ערך ה X של הקודקוד הוא 1.5-.

שלב 2: נמצא את ערך ה Y של הקודקוד.

y=2x²+6x-1

נציב x = -1.5

y=2*(-1.5)²+6*(-1.5)-1

y=4.5 -9-1= -5.5

תשובה: נקודת הקודקוד הפרבולה היא (5.5 – ,1.5-)

מכוון שהמקדם של x² הוא חיובי (2) זו פרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).

שלב א: זיהוי ערכי a,b

y = 4x² – 1

במשוואה זו אין את האיבר x, ולכן גם לא רואים את המקדם b.

במקרה זה:

b = 0

a = 4

שלב ב: מציאת ערך ה x בקודקוד

נציב בנוסחת קודקוד הפרבולה:

ערך ה X של נקודת הקודקוד הוא 0.

שלב ג: נמצא את ערך ה Y של הקודקוד על ידי הצבת x =0 במשוואת הפרבולה.

y=4x²-1

y = 4 * (0)² – 1

y = 0 – 1 = -1

תשובה: נקודת קודקוד הפרבולה היא (1-, 0).

שלב ד: אם נרצה לשרטט את הפרבולה נקבע עם זו פרבולת מינימום או מקסימום
מכוון שהמקדם של x² הוא חיובי (4) זו פרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).

פתרון
חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 במשוואת הפרבולה.
x² – x – 6 = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
כאן נראה את הדרך של טרינום.

x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x -3) + 2(x – 3) = 0
x – 3) (x + 2) = 0)
הפתרונות הם:
x=3,   x= – 2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם  (0, 2-)  (0,  3).

חיתוך עם ציר ה y
נציב x = 0
y=x²-x-6
y = 0² – 0 – 6
y = -6
נקודת החיתוך היא 6-, 0.

פתרון
על מנת לשרטט סקיצה של פרבולה צריך לדעת שני דברים:

1. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
2. מה הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.

במקרה זה זו פרבולת מינימום – כי המקדם של x² חיובי.

וגם נקודות החיתוך הן x = 2,  x = -3.
כי אלו הנקודות שמאפסות את משוואת הפרבולה:
y = (x + 3)(x – 2)

לכן סקיצה של הפרבולה תראה כך:

פתרון
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x
בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נמצא כי ערכי ה x של נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
x = 4,  x = -1
נשים את שתי הנקודות הללו על מערכת הצירים.

שלב 2: מיקום נקודת הקודקוד בשרטוט
לפרבולה y = x² – 3x -4
a > 1
ולכן יש לפרבולה נקודת מינימום.
כלומר קודקוד הפרבולה נמוך יותר מכל נקודה על הפרבולה ונמצא מתחת לציר ה x.

שלב 3: נשרטט את הפרבולה
נעביר פרבולה בין שלושת הנקודות.

פתרון

השאלה היא בעצם “האם לפרבולה יש ערך y שהוא 8? או ערך y שהוא 2?”

ניתן לזהות שכל הפרבולה נמצאת מעל y = 2 לכן ערך זה לא קיים על הפרבולה.

ניתן לזהות כי הנקודות (8,8) וגם (8, 6-) כן נמצאות על הפרבולה.
לכן y = 8 כן נמצא על על הפרבולה.

דרך נוספת לזהות היא להעביר את הישרים
y = 2
y = 8
בגרף

וכך נוכל לראות את שתי נקודות החיתוך של y = 8.
ואת זה של y = 2 אין נקודות חיתוך.

פתרון
נזהה נקודה הנמצאת על אחד הגרפים ונציב אותה בשתי המשוואות.
המשוואה שתקיים את הנקודה זו המשוואה שמתאימה לפרבולה.

למשל:
(4, 2-) נמצאת על הפרבולה האדומה.
המשוואה שמקיימת את (4, 2-) זו המשוואה שמתאימה לפרבולה האדומה.

y = x² + 4x + 6
4 = (-2)² + 4 * (-2) + 4
4 = 4 – 8 + 4
4 = 0

זה לא נכון.
לכן y = x² + 4x + 6  היא לא הפרבולה האדומה.

נבדוק את המשוואה y = x² + 3x + 6.

y = x² + 3x + 6
4 = (-2)² + 3 * (-2) + 6
4 = 4 – 6 + 6
4 = 4

זה נכון, לכן y = x² + 3x + 6 זו הפרבולה האדומה.

y = x² + 4x + 6  זו הפרבולה השחורה.

פתרון
בכל פרבולות המקסימום המקדם של x² הוא שלילי.

אם משוואת הפרבולה נראית כך:
y = ax² + bx + c

אז בכל פרבולות המקסימום a < 0.

פתרון

סעיף א: נקודה על הפרבולה
נציב את הנקודה 1,1 במשוואת הפרבולה.
10 – 1 * 3- 1² = 1
10 – 3 – 1 = 1
12- = 1
זה אינו נכון לכן הנקודה (1,1) אינה על הפונקציה.

נמצא נקודה שכן נמצאת על הפונקציה. לשם כך נוכל להציב כל x אבל לרוב נוח וקל להציב x=0.
y = 0² -3* 0 – 10
10- =y.
נקודה שנמצאת על הפונקציה היא (10-, 0).

סעיף ב: מציאת ערך קודקוד הפרבולה וציר הסימטריה
f(x) = x² – 3x – 10
ערך ה- x של הקודקוד מתקבל על ידי הנוסחה:

נציב את x = 1.5 בפונקציה על מנת לקבל את ערך ה- y.
y = 1.5² – 3*1.5 – 10
y = 2.25 – 4.5 – 10
y = -12.25
נקודת קודקוד הפרבולה היא (12.25-, 1.5).

ציר הסימטריה הוא ערך ה x של הקודקוד. לכן:
x = 1.5

סעיף ג: מינימום או מקסימום
המקדם של X² הוא חיובי (1) ולכן זו פונקציה ריבועית עם נקודת מינימום.

סעיף ד: נקודות החיתוך עם ציר ה- X וציר ה- Y.
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- y מציבים x=0.
f(x) = x² – 3x – 10
y = 0² -3* 0 – 10
10- =y.
הנקודה  (10-, 0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה- Y.

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- x מציבים y=0.
0=x² -3x-10
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
0=x² – 3x – 10
0=x² + 2x – 5x – 10
(x(x+2) – 5(x+2
x-5) (x+2) = 0)
הפתרונות הם: x = 5  או x = -2.
נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן (5,0)  (0, 2-).

סעיף ה: שרטטו את גרף הפונקציה
על מנת לשרטט סקיצה של פרבולה הדברים שחשוב שנשים אליהם לב הם:

1. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
2. נקודת הקודקוד.
3. נקודות חיתוך עם הצירים.

פתרון
סעיף א: תחומי חיוביות ושליליות
כאשר אומרים פרבולה חיובית מתכוונים לערכי y או (f(x גדולים מ 0.
בגרף אלו המקומות שנמצאים מעל ציר ה x.
ומכוון שנקודות החיתוך הם x = 1, x = 2 הפרבולה חיובית ב:

הפרבולה שלילית כאשר הגרף שלה מתחת לציר ה x וזה קורה ב:
x > 2  או  x < 1.

סעיף ב: תחומי עליה וירידה
אין קשר בין תחומי עליה וירידה לתחומי חיוביות ושליליות.

מהתבוננות בגרף ניתן לראות שהפונקציה עולה משמאל לנקודת הקודקוד.
ויורדת מימין לנקודת הקודקוד.
תחום העליה x < 1.5
תחום הירידה x > 1.5

סעיף ג: נקודה סימטרית לנקודה 4-, 3
לנקודות סימטריות על פרבולה יש שתי תכונות:
1.יש להם את אותו ערך y.
2. הם באותו מרחק על ציר ה x מנקודת הקודקוד.

לכן אנו יכולים להציב y = -4 במשוואת הפרבולה ולמצוא את הנקודה:
2x²  + 6x – 4 = -4-
2x² + 6x = 0-
2x (-x + 3) = 0

הפתרונות הם:
2x = 0
x = 0
או
x + 3 = 0-
x = 3

x = 3 זו הנקודה שקיבלנו ולכן הנקודה המבוקשת היא:
4-, 0

דרך שנייה למציאת הנקודה הסימטרית
אנו יודעים שלשני הנקודות הסימטריות מרחק שווה מנקודת הקודקוד כל ציר ה x.
המרחק של 4-, 3 מ (1.5,0.5) הוא 1.5
לכן ערך ה x של הנקודה הסימטרית יהיה
0= 1.5 – 1.5

אנו יודעים שערכי ה y של נקודות סימטריות שווה.
לכן הנקודה הסימטרית היא (4-, 0)

פתרון
לא.
הזזות של פרבולות ניתן להסיק רק מההצגה שנראית כך:

y = (x -a)² + c

מההצגה הסטנדרטית, כפי שקיבלנו, לא ניתן להסיק על הזזות של פרבולה.

פתרון

y = -x² + 1
זו פרבולת המקסימום היחידה ולכן הגרף הכחול הוא זה שמתאים לה.

y = x² + 1
זו פרבולה שהיא הזזה אחת למעלה ביחס לפרבולה y = x².
לכן זו הפרבולה הירוקה.

y = (x + 1)²
זו הזזה אופקית שמאלה, הפרבולה האדומה.

y = (x – 1)²
זו הזזה אופקית ימינה, הפרבולה השחורה.

כיצד מבדילים בין שתי הפרבולות האחרונות?

אפשרות ראשונה
לזכור שכאשר יש סימן + בתוך הסוגריים התזוזה היא לכיוון ההפוך: שמאלה, לכיוון המספרים השליליים.

אפשרות שנייה
להציב נקודה הנמצאת על אחת הפרבולות, בשתי המשוואות ולראות איזו משוואה מקיימת את הנקודה.

(2,1)  זו נקודה הנמצאת על הפרבולה השחורה.

נציב אותו בשתי המשוואות:

y = (x + 1)²
1 = (2 + 1)²
זה לא נכון, לכן זו לא הפרבולה המתאימה

y = (x – 1)²
1 = (2 – 1)²
זה  נכון, לכן זו הפרבולה השחורה