לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

הזזות של פרבולה

בדף זה נדבר על הזזות של פרבולות ומשפחות של פרבולות.

חלקי הדף הם:

  1. סרטון הסבר.
  2. משפחת ƒ(x) = x² + C (הזזה אנכית)
  3. משפחת ƒ(x) = (x – p)² (הזזה אופקית).
  4. משפחת הפרבולות f(x) = (x-p)² + k.
  5. משפחת הפרבולות ƒ(x) = ax².
  6. משפחת הפרבולות f(x) = a(x-p)² + k.
  7. פרבולות עם נקודות מקסימום / שיקוף של פרבולה.
  8. דוגמאות וידאו לתרגילים קשים יחסית.
  9. תרגילים.

כל ההזזות שנדבר עליהן יתייחסו להצגה קודקודית של פרבולה.
הצגה הנראית כך:
f (x) = a(x- p)² + c
וכאשר p =0, a = 1 ההצגה יכולה להיראות גם כך:
f (x) = x² + c

ההסברים שלנו לא יתייחסו להצגה הסטנדרטית של פרבולה:
f (x) = ax² +bx+ c
כי מהצגה זו לא ניתן ללמוד דבר על ההזזות של הפרבולה.

1.סרטון הסבר

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.משפחת ƒ(x) = x² + C (הזזה אנכית)

משפחה זו נראית כמו ƒ(x) = x² ואילו הערך C מעלה או מוריד את קודקוד הפונקציה. כאשר ה- C הוא 4+ קודקוד הפרבולה עולה 4 מקומות על ציר ה- Y (ערך ה- X של קודקוד הפרבולה נשאר זהה).
כאשר ה- C= -4 הפרבולה יורדת 4 מקומות.

לסיכום: במשוואת הפרבולה f (x) = ax² + c
ההזזה האנכית תלויה אך ורק ב c.

הפרבולה x² וההזזות שלה 4 למעלה ו 4 למטה
הפרבולה x² וההזזות שלה 4 למעלה ו 4 למטה

דוגמאות נוספות.
f(x) = x² + 2  הקודקוד נמצא 2 יחידות מעל  f(x) = x².
f(x) = x² – 6  הקודקוד נמצא 6 יחידות מתחת  f(x) = x².

3.משפחת ƒ(x) = (x – p)² (הזזה אופקית)

במשפחה זו הפרבולה זזה אופקית (ימין ושמאל).
התזוזה היא כערך ה- P.
כאשר P=3 הפונקציה תזוז 3 יחידות ימינה לכיוון החיובי של ציר ה x. 
שימו לב כי כאשר P=3 הפונקציה נראית ƒ(x) = (x -3)² משום שהביטוי שבתוך הסוגריים הוא P-.

שרטוט הפרבולה ƒ(x) = (x -3)²
שרטוט הפרבולה ƒ(x) = (x -3)²

 

כאשר p = -2 הפרבולה תזוז שמאלה לכיוון השלילי של ציר ה x.
ומשוואת הפרבולה תראה כך:
f (x) = (x – (-2))² 
f (x) = (x + 2)²

שרטוט הפרבולה f (x) = (x + 2)²
שרטוט הפרבולה f (x) = (x + 2)²

דוגמאות
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x – 7)² נמצא 7 צעדים מימין לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד החיובי של ציר ה x) .
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x+1)² נמצא 1 צעדים משמאל  לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד השלילי של ציר ה x).

4.משפחת הפרבולות f(x) = (x-p)² + k

משפחה זו היא שילוב של שני הקודמות. ה- K מעלה למעלה למטה ואילו ה- P מזיז ימינה שמאלה.

למשל זו הפרבולה f (x) = (x+2)² – 1
בפרבולה זו יש 2 הזזות שמאלה על הציר האופקי והזזה אחת למטה על הציר האנכי.
(1-, 2-) זו נקודת הקודקוד.

 

ולמטה נמצאת הפרבולה f(x) = (x – 4)² +2 
(4,2) זו נקודת הקודקוד.

דוגמאות נוספות:
f (x) = (x+4)² + 2 זו הזזה 4 יחידות שמאלה, 2 יחידות למעלה.
(2, 4-) זו נקודת הקודקוד.

f (x) = (x – 0.5)²  – 6 זו הזזה 0.5 יחידות ימינה, 6 יחידות למטה.
(6-, 0.5) זו נקודת הקודקוד.

5.משפחת הפרבולות ƒ(x) = ax² 

ככול שה- a הוא מספר גדול יותר כך שיפוע הפונקציה הריבועית הופך חד יותר.
בשרטוט יש את הגרף של:
f (x) = x² 
לעומת
f (x) = 10x²

השיפוע של f(x) = 10x² הרבה יותר חד משל f(x) = x²
השיפוע של f(x) = 10x² הרבה יותר חד משל f(x) = x²

6.משפחת הפרבולות f(x) = a(x-p)² + k

משפחה זו כוללת את כל המשפחות הקודמות:

  • K מזיז את הגרף אנכית למעלה ולמטה.
  • P מזי את הגרף אופקית (ימינה ושמאלה). יש לזכור שהביטוי שנמצא בתוך הסוגריים הוא -P. כך שכאשר רשום בתוך הסוגריים 3- הפרבולה זזה ימינה, לכיוון החיובי 3 צעדים.
  • a – משפיע על חדות עליית הפרבולה וגם על כיוונה, מינימום או מקסימום במידה והוא שלילי.

7.פרבולות עם נקודות מקסימום / שיקוף של פרבולה

עד עכשיו דיברנו על פרבולות עם נקודת מינימום (פרבולות מחייכת).
אבל אנחנו יודעים שקיימות פרבולות עם נקודת מקסימום (פרבולות בוכות).
כיצד יוצרים ועוברים מפרבולות מסוג זה?

הזזות אופקיות (לאורך ציר ה x)
למשל: נתונה לנו הפרבולה f (x) = -x² כיצד נזיז את הקודקוד 4 צעדים ימינה? (לכיוון החיובי של ציר ה x).

פתרון
הדרך הפשוטה היא לזוז 4 צעדים ימינה כמו שהיינו זזים בפרבולה רגילה. כלומר לכתוב:
f (x) = (x -4)²
ואז לרשום מינוס לפני הביטוי x – 4)²). בצורה הזו:
f (x) = -(x -4)².
הגרף יראה כך:

גרף של פרבולה

הזזות אנכיות (לאורך ציר ה y)
הזזות מסוג זה הם בדיוק כמו בפרבולה רגילה. עם נוסיף למשוואת פרבולה 2 ערך קודקוד הפרבולה יעלה ב 2.
אם נחסר 2 קודקוד הפרבולה ירד ב 2.

סיכום בכמה מילים תאורטיות ומועילות

  • אם הפונקציה היא מינימום או מקסימום זה נקבע אך ורק על ידי ערך ה- a (המקדם של X²). שאר המרכיבים לא משנים.
  • מיקום קודקוד הפרבולה נקבע על ידי a ו- b בלבד. ל- c אין השפעה.
  • לזכור: חיתוך עם ציר ה- X כאשר Y=0. חיתוך עם ציר ה- Y כאשר X=0.
  • כאשר למשוואה הריבועית אין פתרון – אין נקודות חיתוך עם ציר ה- X.
  • חיוביות ושליליות הפונקציה נקבעת על ידי ערכי ה- Y של הפונקציה בלבד.
  • במידה ונותנים שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- X האם ניתן לזהות את הפונקציה הריבועית? לא. ניתן להציע מספר אפשרויות מתאימות אבל אי אפשר לדעת בוודאות שפונקציה ריבועית מסוימת היא הפונקציה.
    האם ניתן לזהות את ערך ה- X של קודקוד הפרבולה? כן. בגלל שהוא סימטרי לשתי הנקודות הללו. אם נקודות החיתוך הן (0, -2) (0, 4). ערך ה- X של הקודקוד הוא X=1. את ערך ה- Y לא ניתן לדעת.

עוד באתר:
דף זה הוא חלק ממספר דפים העוסקים במשוואה ריבועית ופונקציה ריבועית. הדפים האחרים הם:

  1. מבחן בנושא הזזות של פרבולה
  2. פונקציה ריבועית – פירוט של כל הנושאים שאתם צריכים לדעת בנושא פרבולה.
  3. פרבולה תרגילים מסכמים – 13 תרגילים מסכמים.
  4. מתמטיקה כיתה ט – הסברים לתרגילים לחומר הנלמד בשנה זו.
  5. משוואה ריבועית – כיצד לפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, השלמה לריבוע ועוד.

8.דוגמאות וידאו לתרגילים קשים יחסית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

62 מחשבות על “הזזות של פרבולה”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שאלה
    איזה תרגיל עושים כדי למצוא חיתוך של הפרבולה עם ציר ה-Y
    g(x)=f(x+3) -כל הביטוי בחזקת 2

    שאלה נוספת על אותה פונקציה איך פותרים תרגיל למציאת חיתוך עם ציר הX

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      רק אציין שזה לא נושא הדף.
      ההזזה של x + 3 היא הזזה של 3 יחידות שמאלה.
      לכן ערך ה y של g(x) ללא הריבוע הוא ערך ה y של f(x) ב 3 יחידות יותר מערך ה x של חיתוך f(x).
      זה מסובך במילים אבל פשוט יותר להסבר כאשר רואים גרף.
      אם את מנויה שלחי תמונה בוואטסאפ.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש כאן3 ההזזות שניתן לזהות על פי הכתוב כאן בדף:
      x – 3 לאן זה מזיז את הפונקציה?
      * 2 – לאז זה מזיז את הפונקציה?
      1- לאן זה מזיז את הפונקציה

  2. וואו התחלנו ללמוד בכיתה בתחילת שנה ולא הבנתי כלוםם ויש לי מבחן עוד שבועיים
    וזה מוסבר כלכך טוב והבנתי, תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ערכי ה y גדלים פי 3.
      אם הנקודה 1,4 הייתה על הפונקציה אז עכשיו הנקודה 1,12 תהיה על הפונקציה.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תודה רבה זה עוזר לי ממש, אבל נגיד יש לי פונקציה g(x)= 2x-3x ואם יהיה אותה פונקציה רק +3x אז איזו הזזה זו?

  4. במיוחד בתקופה הזאת ממש קשה לי בשיעורי מתמטיקה ומזלללללל גדול שיש את האתר הזה אחרת מהקבצה א להקבצה ג תודההההההה♥

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, אשמח לעזרה בהזזת פרבולה,
    נתונה לי פונקציה: fx= x⁴-2x+1
    שנקודות הקיצון שלה הן: (0, 1), (0, 1-), (1, 0)
    אני צריכה כעת לגלות את נקודות הקיצון של הפונקציה:
    (mx= f(x+4
    אני מבינה שיש להזיז את האיקס ארבעה צעדים שמאלה אך אני לא מצליחה לעלות על הדרך..
    אשמח לעזרה, תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      נראה לי שהכתיבה יצאה לא מסודרת.
      בנוגע לפונקציה הראשונה יש רק נקודת קיצון אחת לפרבולה.
      בנוגע לשנייה, אם המשוואה היא:
      f(x) = (x -4)^2
      אז אז צריכה להבין את משפחה מספר 2 שבדף או להבין את הנושא של הצגה קודקודית של פרבולה וכך לדעת את מיקום הקודקוד.
      בעיקרון ההזזה על ציר ה x הוא במספר ההפוך למה שרשום בסוגריים.
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-display/

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שרית
      לא ניתן לגלות את ההזזה בצורה הזו, אלה צריך לעבור להצגה קודקודית.
      להצגה קודקודית עוברים על ידי מציאת הקודקוד.
      במקרה שלנו הקודקוד הוא 1, 1-
      לכן משוואת הפרבולה היא:
      y = (x +1)^2 + 1
      וההזזה היא 1 שמאלה ואחד למעלה.
      מקווה שעזרתי

    2. ואוו בחיים שלי לא ראיתי אתר כזה טוב כל הכבוד לך שאתה נותן משלך לאחרים ללא תמורה ישר כח

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעזרת נקודת הקודקוד אתה יכול לזהות שהפרבולה זזה שני מקומות שמאלה על ציר ה x ולכן
      p = 3
      כמו כן הפרבולה ירדה 3 מקומות על ציר ה y. לכן
      k = -3
      לכן משוואת הפרבולה היא:
      y=a(x+ 3)^2 -3
      עכשיו יש שתי אפשרויות:
      1) להציב את הנקודה הנוספת במשוואת הפרבולה ואז למצוא את a.
      2) לפתוח סוגריים ואז לבנות משוואה הכוללת את a ומתארת את ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
      מקווה שעזרתי.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום רעות.
          מתנצל על האיחור בתגובה ואת צודקת, הכיתוב שם היה לא ברור.
          היו שם שני שרטוטים בראשון ה p =3 בשני p = -2.
          הוספתי כיתוב מפורט יותר מעל השרטוט השני.
          תודה

  6. מי הבנאדם המקסים ששיתף את הידע שלו לכל באתר בצורה כל כך יפה ?

    התרשמתי מאוד
    .
    כל הכבוד לך !