הזזות של פרבולה

בדף זה נדבר על הזזות של פרבולות ומשפחות של פרבולות.

חלקי הדף הם:

1. סרטון הסבר.
2. משפחת ƒ(x) = x² + C (הזזה אנכית)
3. משפחת ƒ(x) = (x – p)² (הזזה אופקית).
4. משפחת הפרבולות f(x) = (x-p)² + k.
5. משפחת הפרבולות ƒ(x) = ax².
6. משפחת הפרבולות f(x) = a(x-p)² + k.
7. פרבולות עם נקודות מקסימום / שיקוף של פרבולה.
8. דוגמאות וידאו לתרגילים קשים יחסית.
9. תרגילים.

כל ההזזות שנדבר עליהן יתייחסו להצגה קודקודית של פרבולה.
הצגה הנראית כך:
f (x) = a(x- p)² + c
וכאשר p =0, a = 1 ההצגה יכולה להיראות גם כך:
f (x) = x² + c

ההסברים שלנו לא יתייחסו להצגה הסטנדרטית של פרבולה:
f (x) = ax² +bx+ c
כי מהצגה זו לא ניתן ללמוד דבר על ההזזות של הפרבולה.

1.סרטון הסבר

2.משפחת ƒ(x) = x² + C (הזזה אנכית)

משפחה זו נראית כמו ƒ(x) = x² ואילו הערך C מעלה או מוריד את קודקוד הפונקציה. כאשר ה- C הוא 4+ קודקוד הפרבולה עולה 4 מקומות על ציר ה- Y (ערך ה- X של קודקוד הפרבולה נשאר זהה).
כאשר ה- C= -4 הפרבולה יורדת 4 מקומות.

לסיכום: במשוואת הפרבולה f (x) = ax² + c
ההזזה האנכית תלויה אך ורק ב c.

דוגמאות נוספות.
f(x) = x² + 2  הקודקוד נמצא 2 יחידות מעל  f(x) = x².
f(x) = x² – 6  הקודקוד נמצא 6 יחידות מתחת  f(x) = x².

3.משפחת ƒ(x) = (x – p)² (הזזה אופקית)

במשפחה זו הפרבולה זזה אופקית (ימין ושמאל).
התזוזה היא כערך ה- P.
כאשר P=3 הפונקציה תזוז 3 יחידות ימינה לכיוון החיובי של ציר ה x. 
שימו לב כי כאשר P=3 הפונקציה נראית ƒ(x) = (x -3)² משום שהביטוי שבתוך הסוגריים הוא P-.

 

כאשר p = -2 הפרבולה תזוז שמאלה לכיוון השלילי של ציר ה x.
ומשוואת הפרבולה תראה כך:
f (x) = (x – (-2))² 
f (x) = (x + 2)²

דוגמאות
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x – 7)² נמצא 7 צעדים מימין לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד החיובי של ציר ה x) .
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x+1)² נמצא 1 צעדים משמאל  לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד השלילי של ציר ה x).

4.משפחת הפרבולות f(x) = (x-p)² + k

משפחה זו היא שילוב של שני הקודמות. ה- K מעלה למעלה למטה ואילו ה- P מזיז ימינה שמאלה.

למשל זו הפרבולה f (x) = (x+2)² – 1
בפרבולה זו יש 2 הזזות שמאלה על הציר האופקי והזזה אחת למטה על הציר האנכי.
(1-, 2-) זו נקודת הקודקוד.

 

ולמטה נמצאת הפרבולה f(x) = (x – 4)² +2 
(4,2) זו נקודת הקודקוד.

דוגמאות נוספות:
f (x) = (x+4)² + 2 זו הזזה 4 יחידות שמאלה, 2 יחידות למעלה.
(2, 4-) זו נקודת הקודקוד.

f (x) = (x – 0.5)²  – 6 זו הזזה 0.5 יחידות ימינה, 6 יחידות למטה.
(6-, 0.5) זו נקודת הקודקוד.

5.משפחת הפרבולות ƒ(x) = ax² 

ככול שה- a הוא מספר גדול יותר כך שיפוע הפונקציה הריבועית הופך חד יותר.
בשרטוט יש את הגרף של:
f (x) = x² 
לעומת
f (x) = 10x²

6.משפחת הפרבולות f(x) = a(x-p)² + k

משפחה זו כוללת את כל המשפחות הקודמות:

• K מזיז את הגרף אנכית למעלה ולמטה.
• P מזי את הגרף אופקית (ימינה ושמאלה). יש לזכור שהביטוי שנמצא בתוך הסוגריים הוא -P. כך שכאשר רשום בתוך הסוגריים 3- הפרבולה זזה ימינה, לכיוון החיובי 3 צעדים.
• a – משפיע על חדות עליית הפרבולה וגם על כיוונה, מינימום או מקסימום במידה והוא שלילי.

7.פרבולות עם נקודות מקסימום / שיקוף של פרבולה

עד עכשיו דיברנו על פרבולות עם נקודת מינימום (פרבולות מחייכת).
אבל אנחנו יודעים שקיימות פרבולות עם נקודת מקסימום (פרבולות בוכות).
כיצד יוצרים ועוברים מפרבולות מסוג זה?

הזזות אופקיות (לאורך ציר ה x)
למשל: נתונה לנו הפרבולה f (x) = -x² כיצד נזיז את הקודקוד 4 צעדים ימינה? (לכיוון החיובי של ציר ה x).

פתרון
הדרך הפשוטה היא לזוז 4 צעדים ימינה כמו שהיינו זזים בפרבולה רגילה. כלומר לכתוב:
f (x) = (x -4)²
ואז לרשום מינוס לפני הביטוי x – 4)²). בצורה הזו:
f (x) = -(x -4)².
הגרף יראה כך:

הזזות אנכיות (לאורך ציר ה y)
הזזות מסוג זה הם בדיוק כמו בפרבולה רגילה. עם נוסיף למשוואת פרבולה 2 ערך קודקוד הפרבולה יעלה ב 2.
אם נחסר 2 קודקוד הפרבולה ירד ב 2.

סיכום בכמה מילים תאורטיות ומועילות

• אם הפונקציה היא מינימום או מקסימום זה נקבע אך ורק על ידי ערך ה- a (המקדם של X²). שאר המרכיבים לא משנים.
• מיקום קודקוד הפרבולה נקבע על ידי a ו- b בלבד. ל- c אין השפעה.
• לזכור: חיתוך עם ציר ה- X כאשר Y=0. חיתוך עם ציר ה- Y כאשר X=0.
• כאשר למשוואה הריבועית אין פתרון – אין נקודות חיתוך עם ציר ה- X.
• חיוביות ושליליות הפונקציה נקבעת על ידי ערכי ה- Y של הפונקציה בלבד.
• במידה ונותנים שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- X האם ניתן לזהות את הפונקציה הריבועית? לא. ניתן להציע מספר אפשרויות מתאימות אבל אי אפשר לדעת בוודאות שפונקציה ריבועית מסוימת היא הפונקציה.
  האם ניתן לזהות את ערך ה- X של קודקוד הפרבולה? כן. בגלל שהוא סימטרי לשתי הנקודות הללו. אם נקודות החיתוך הן (0, -2) (0, 4). ערך ה- X של הקודקוד הוא X=1. את ערך ה- Y לא ניתן לדעת.

עוד באתר:
דף זה הוא חלק ממספר דפים העוסקים במשוואה ריבועית ופונקציה ריבועית. הדפים האחרים הם:

1. מבחן בנושא הזזות של פרבולה
2. פונקציה ריבועית – פירוט של כל הנושאים שאתם צריכים לדעת בנושא פרבולה.
3. פרבולה תרגילים מסכמים – 13 תרגילים מסכמים.
4. מתמטיקה כיתה ט – הסברים לתרגילים לחומר הנלמד בשנה זו.
5. משוואה ריבועית – כיצד לפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, השלמה לריבוע ועוד.

8.דוגמאות וידאו לתרגילים קשים יחסית