לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

סדרה חשבונית

47 תגובות / סדרות

בדף זה נסכם את החומר בנושא סדרה חשבונית עבור תלמידי 4 יחידות ו 5 יחידות כיתה י.

הסיכום כולל את החלקים הבאים:

  1. סיכום וידאו.
  2. נוסחאות סדרה חשבונית.
  3. סיכום בנושא האיבר הכללי.
  4. סיכום בנושא סכום סדרה חשבונית.
  5. משפטים שעל פיהם בונים משוואות.
  6. תרגילים.

הנושא של איך מוכיחים שסדרה היא סדרה חשבונית לא נמצא בסיכום ויש ללמוד אותו מהקישור בלבד.

לתלמידי 5 יחידות יש דף נוסף נפרד:

  1. סדרות 5 יחידות.

חלקים 1-5 הם חלקים למנויים.
החלק השישי שכולל 5 תרגילים הפתורים בכתב ובוידאו פתוח לכולם.

1.סרטונים מסכמים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.נוסחאות סדרה חשבונית

שתי הנוסחאות השימושיות ביותר הן:

נוסחת האיבר הכללי:
an = a1 + (n – 1)d 

נוסחת סכום סדרה חשבונית:

סכום סדרה חשבונית

כמו כן קיימות עוד שתי נוסחאות לסכום שמשתמשים בהם הרבה פחות.

סכום סדרה חשבונית

 

סכום סדרה חשבונית sn = (2an - (n-1)d) * n/2

 

3.סיכום בנושא נוסחת האיבר הכללי

בחלק זה נעבור על 5 מצבים בהם משתמשים בנוסחת האיבר הכללי:

מנויים לאתר רואים כאן הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.סיכום בנושא סכום סדרה חשבונית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

5.בנו משוואת על פי משפטים

מנויים לאתר רואים כאן הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

6.תרגילים

לכל התרגילים פתרונות כתובים ופתרונות וידאו.

תרגיל 1 (נוסחת האיבר הכללי)
בסדרה חשבונית האיבר העשירי הוא 43 והפרש הסדרה הוא 3.
מצאו את האיבר הראשון.
מצאו את האיבר במקום ה 20.

פתרון כתוב

a10=43
d=3
n=10
a1=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
43=a1 + (10-1)3
a1+27=43  /-27
a1=16
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 16.

נציב את הנתונים בנוסחה על מנת למצוא את האיבר במקום ה 20.
an=a1+ (n-1)d
a20=16 + (20-1)3
a20=16+57=73
תשובה: האיבר במקום ה 20 הוא 73.

פתרון וידאו

תרגיל 2 (נוסחת האיבר הכללי)

מצאו כמה מספרים מתחלקים ב 4 בין 50 ל 150.

פתרון כתוב

המספרים המתחלקים ב 4 הם סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4. d=4.
עלינו למצוא את a1 שהוא המספר הראשון שגדול מ 50 ומתחלק ב 4.
המספר הזה הוא 52 – ניתן למצוא את המספר הזה על ידי הכפולות של 4 או על ידי הצבה: 50,51,52 ובדיקה האם המספר מתחלק ב 4.
באותה דרך נמצא את המספר האחרון שמתחלק ב 4 והוא 148.
נסכם את מה שאנו יודעים:
a1=52
an=148
d=4
n=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
148=52 + n-1)4)
148=52+4n-4
148=4n+48
4n=100  /:4
n=25
תשובה: מספר המספרים שמתחלקים ב 4 בין 50 ל 150 הוא 25.

פתרון וידאו

תרגיל 3 (סכום איברים אחרונים)

סכום 8 אברים בסדרה חשבונית החל באיבר מסוים הוא 208.
ידוע כי: a1 =  -20,  d = 4.
מצאו את מיקום האיבר ממנו התחילו לחשב את הסכום.

פתרון כתוב

פתרון
נתייחס אל שמונת האיברים שסכומם 208 כסדרה חשבונית אשר ה- a1 שלה לא ידוע.
אנו יודעים
d = 4,   n = 8,  sn  = 208.

1.מציאת גודל האיבר ממנו התחילו את הסכום.
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
(sn=2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2a1 + 28 )4 = 208   / : 4)
2a1 + 28 = 52   / -28
2a1 =  24 / : 2
a1 = 12
(נזכור כי זה לא האיבר הראשון בסדרה המקורית, אלא האיבר הראשון ממנו התחילו את הסכום).

2. מציאת מיקום האיבר.
נניח שהאיבר שמצאנו וגודלו 12 נמצא במקום ה n.
an = 12
אנו גם יודעים:
a1 =  -20,  d = 4.

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
an  = a1 + (n-1)d
n- 1)4 -20 = 12)
4n – 4 – 20 = 12  / +24
4n = 36   / :4
n = 9

תשובה: התחילו לחשב את הסכום מהאיבר ה 9.

פתרון וידאו

תרגיל 4 (מקומות זוגיים ואי זוגיים)

בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים סכום 5 האיברים במקומות הזוגיים גדול ב 20 מסכום האיברים במקומות האי זוגיים.
חשבו את הפרש הסדרה

פתרון כתוב

נגדיר:
a1 האיבר הראשון בסדרה.
d  הפרש הסדרה.

סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = a1
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מההפרש המקורי של הסדרה.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 + (5 – 1) 2d) 0.5* 5
sn = (2a1 + 8d)2.5 = 5a1 + 20d
sn =  5a1 + 20d

סדרת המקומות הזוגיים
a1' = a1 + d   האיבר הראשון בסדרה הוא a2.
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מהפרש הסדרה המקורית.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 +2d + (5 – 1)2d) 0.5*5
sn = (2a1 + 8d) *2.5 = 5a1 +25d
sn =  5a1 + 25d

בניית משוואה ופתרון
סכום האיברים במקומות האי זוגיים
5a1 + 20d
סכום האיברים במקומות הזוגיים
5a1 + 25d

סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב- 20 לכן המשוואה שלנו תהיה
5a1 + 20d + 20 = 5a1 + 25d   / -5a1 – 20d
5d = 20  /: 5
d = 4
תשובה: הפרש הסדרה הוא 4.

פתרון וידאו

תרגיל 5 (הוכחה שסדרה היא חשבונית)

נתונה סדרה חשבונית המקיימת את הנוסחה
an = 2n + 1
הסדרה b מגודרת על ידי הנוסחה
bn = 2an -7
הוכיחו כי הסדרה b היא סדרה חשבונית.

פתרון כתוב

על מנת להוכיח שהסדרה היא חשבונית עלינו למצוא את bn, bn+1 ואז לבצע את פעולת החיסור
bn+1 – bn.
על מנת שפעולת החיסור תהיה יעילה עלינו לבטא
את  bn, bn+1 בעזרת משתנה אחד n.

מציאת bn+1
ידוע לנו כי
bn = 2an -7
על מנת למצוא את bn+1 עלינו לרשום n+1 בכול מקום בו היה רשום n.
bn+1 = 2an+1 – 7

מציאת an+1
עלינו למצוא את an+1.
אנו יודעים כי:
an = 2n + 1
בכול מקום בו רשום n נרשום n+1
an+1 = 2(n+1) + 1
an+1 = 2n + 2 +1 = 2n + 3

הצבה ב bn, bn+1. על מנת להפוך אותם למוגדרים באמצעות n בלבד
נציב את an = 2n + 1
ו an+1 = 2n + 3
ב bn, bn+1.

הצבה של an = 2n + 1 ב bn
bn = 2an -7
 bn = 2(2n + 1) – 7= 4n+2 – 7
bn = 4n – 5

הצבה של an+1 = 2n + 3 ב bn+1
bn+1 = 2an+1 – 7
bn+1 = 2(2n + 3) – 7= 4n + 6 – 7
bn+1 = 4n – 1

נחסר שני איברים סמוכים בסדרה b.
(bn+1 – bn = 4n – 1 – (4n – 5
4n – 1 – 4n + 5 = 4

מצאנו שההפרש של איברים סמוכים בסדרה b הוא מספר קבוע ולכן הסדרה b היא סדרה חשבונית.
הפרש הסדרה d הוא 4 (כלומר d= 4).

פתרון וידאו

עוד באתר:

47 מחשבות על “סדרה חשבונית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום אשמח להכוונה איך פותרים זאת.

    log5^x- 3log5^x=log5^x + 1?
    תודה.

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לכנס את כל איברי הלוג הזהים לצד אחד של המשוואה ובצד השני להשאיר את ה 1.
      ואז לפתור על פי הגדרת הלוג.

      תגובה
  3. shar_math

    היי, רציתי לשאול האם זה אפשרי לחלק 2 משוואות סכום אחת בשניה כדי לקבל משוואה אחת כשיש מערכת משוואות או שניתן לעשות זאת רק בסדרה הנדסית?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מותר לחלק שני צדדי משוואה בגדלים שווים.
      אז אם הבנתי אותך נכון והחלוקה שלך עומדת בכלל הזה אז מותר.

      תגובה
      1. shar_math

        אז רק כדי לוודא, אם יש לי את שתי המשוואות הבאות:
        %2((2b+(n-1)d)*n)=38
        n*(4b+d(n-1)))%2=109
        ניתן לחלק את הביטוי המשוואה השנייה בביטוי המשוואה הראשונה ולהשוואות אותם לסכום המשוואה השנייה חלקי סכום המשוואה הראשונה (109%38) כי אני מחלקת את הביטוי השני בשני ביטויים השווים זה לזה?

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          הביטוי המשוואה השנייה n*(4b+d(n-1)))%2=
          בביטוי המשוואה הראשונה %2((2b+(n-1)d)*n)=

          התשובה כן

          תגובה
    2. יגאל

      בשנה הראשונההציגה החברה רוןח של 100000 שחובכול שנה מאז הרוות עולה בשעור קבוע בשנה ה5 הרווח של החברה היה121551 באיזו שנה לראשונה הרווח השנתישל החברההיה מעל 180000

      תגובה
      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        בשנה הראשונההציגה החברה רוןח של 100000 שחובכול שנה מאז הרוות עולה בשעור קבוע בשנה ה5 הרווח של החברה היה121551
        את הנתונים הללו ניתן להציב בנוסחת האיבר הכללי ולמצוא את d.
        ואז על ידי ידע מתמטי שאינו קשור לסדרות למצוא מספר שכאשר תכפיל בו את d ותוסיף לזה 100,000 תעבור את 180,000

        תגובה
  4. מוריה

    היי, יש לי שאלה..
    אם אומרים לי שיש שתי קירות שווים, ובכל אחד מהקירות תומכים עמודים בגדלים שונים, גודל העמוד הגבוהה ביותר הוא 8 מטר וגובה העמוד הנמוך ביותר הוא שתי מטר, אומרים לי גם שההפרש בין עמוד לעמוד הוא 60 ס"מ.
    צריך למצוא את n.
    מה אני עושה?

    תגובה
  5. אור

    היי,
    a1 = 1
    d = 2
    ג) לבניית משולש משתמשים ב – 289 כדורים, כמה שורות של כדורים יהיו במשולש זה? איך אני מוצאת את ה – n? איך מציבים ובאיזה נוסחא?
    תודה.

    תגובה
  6. אלעד

    איך לבטא את האיבר הכללי באמצעות n כאשר נתונה לי סדרה ולא נתון לי d?

    לדוגמה הסדרה 5,4,11/3,7/2,17/5

    תגובה
  7. דני

    אם יש לי שאלה כזו האם תוכל לעזור לי לפתור אותה וגם את הדרך שבה פותרים אותה : לפניכם סדרה של צורות שבכל אחת משבצות לבנות המקיפות משבצות אפורות. מספר המשבצות הלבנות קשור למספר המשבצות המשבצות האפורות. לדוגמה : למשבצת אפורה אחת מתאימות 8 משבצות לבנות, ל-3 משבצות אפורות מתאימות 12 משבצות לבנות. ממשיכים את הסדרה ובכל פעם מגדילים ב- 1 את מספר המשבצות האפורות. 1) לצורה שיש 6 משבצות אפורות, כמה משבצות לבנות מתאימות? 2)לצורה שיש בה 15 משבצות אפורות, כמה משבצות לבנות מתאימות? 3) לצורה שיש בה 22 משבצות לבנות כמה משבצות אפורות מתאימות? 4)רשמו תבנית מתאימה : לצורה שיש בה X משבצות אפורות כמה משבצות לבנות מתאימות ? 5) נתון שרטוט ובו 78 משבצות לבנות רשמו תבנית פסוק מתאימה ומצאו כמה משבצות אפורות בשרטוט : ביטויים אלגבריים – הצבה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא מוסברים כאן בתגובות פתרונות ארוכים.
      הרעיון של הפתרון הוא שהמספר האפור הוא המיקום של האיבר והלבן הערך של איבר הסדרה.
      למשל בסדרה שלך האיבר השלישי הוא 12 והאיבר הראשון הוא 8.
      מכך עליך להסיק את הפרש הסדרה.
      ומכך להסיק את האיברים השונים של הסדרה.
      אם הייתי יודע באיזו כיתה אתה הייתי מפנה אותך לדף.

      תגובה
  8. חיה

    היי צריכה עזרה בשאלה זו
    בסדרה חשבונית האיבר החמישי גדול פי 6 מהאיבר הראשון והאיבר השמיני גדול ב 30 מהאיבר השני
    מצא את a1 d
    ומהו סכום 30 האיברים הראשונים בסדרה
    איך מציבים בחלק הראשון?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום חיה
      את צריכה להגדיר את האיבר הראשון והפרש הסדרה כמשתנים ואת לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים.
      האיבר החמישי גדול פי 6 מהאיבר הראשון – זה המשפט של המשוואה הראשונה.
      והאיבר השמיני גדול ב 30 מהאיבר השני – זה המשפט של המשוואה השנייה.

      בחלק הרביעי של הסיכום שנקרא: דוגמאות למשפטים מהם בונים משוואה יש דוגמאות מפורטות כיצד לבנות משוואה.

      תגובה
  9. רוני

    שלום,

    נתונות שתי סדרות חשבוניות. הפרש הסדרה הראשונה הוא 5 והאיבר האחרון הוא 30.
    האיבר הראשון בסדרה השנייה הוא 24 וסכום עשרת האיברים הראשונים שלה הוא -30.

    א. מצא כמה איברים בסדרה הראשונה.
    ב. סכום האיברים בסדרה השנייה הוא -468. מצא את סכום כל איברי הסדרה השנייה.

    אשמח לעזרה :)

    תגובה
    1. רוני

      שכחתי לציין במשפט השאלה ש – האיבר התשיעי בסדרה הראשונה שווה לאיבר החמישי בסדרה השנייה

      תגובה
    2. לומדים מתמטיקה

      שלום רוני
      צריך להגדיר את האיבר הראשון ומספר איבר הסדרה הראשונה וגם את הפרש הסדרה השנייה כ 3 נעלמים ואז לבנות 3 משוואות עם 3 נעלמים.

      תגובה
  10. יוני

    הי
    אם יש לי סדרה חשבונית שמתוכה מריכיבים עוד סדרה .
    בסדרה הראשונה קראתי לאיבר הראשון a1 בסדרה שהורכבה ממנה אני יכול להשתמש גם ב a1 או לסמן אותו אחרת ?
    תודה !

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יוני
      צריך לסמן איברים ראשונים לסדרות שונות באותה שאלה בסימונים שונים.
      אפשר לסמן b1 או להוסיף '.

      תגובה
  11. אסף מלמד

    הי .
    Sn זה סכום n איברים ראשונים כידוע .
    זה יכול גם לייצג את סכום כל איברי הסדרה ולא רק את n ראשונים?
    לדוגמה אם יש לי סכום כל איברי הסדרה הוא 1100 נתון a1 וd אז ברגע שאני רושם sn=1100 זה מייצג את סכום כל האיברים בסדרה ולא את n איברים ראשונים ?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אסף
      בהרבה שאלות n הוא מספר האיברים בסדרה ו sn הוא סכום כל איברי הסדרה.
      אם יש 1100 איברים אז
      n = 1100
      ולא sn = 1100.
      כי
      sn הוא הסכום ולא מספר האיברים.

      תגובה
      1. אסף מלמד

        רשמתי סכום כל איברי הסדרה .
        שאלה שלי הייתה כך .
        Sn זה סכום n איברים ראשונים נכון ?
        האם זה יכול להיות סכום כל איברי הסדרה ?

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          כן זה יכול להיות.
          ומכוון שאנחנו מדברים דרך תגובות ועל מנת שלא תטעה אני מוסיף:
          אם בסדרה יש n איברים אז סכום הסדרה כולה הוא sn.

          תגובה
          1. אסף מלמד

            אז sn יכול להיות סכום n איברים ראשונים כמו s6 שזה סכום 6 איברים ראשונים . וגם יכול לשמש אותנו כסכום כל איברי הסדרה אם בסדרה יש n איברים ? הבנתי נכון ?

            תגובה
  12. זיו

    בתרגיל 5, הוכחתי כי
    b(n) +b(n+2)) : 2 = b(n+1) a)
    כלומר, שאיבר N + 1, הוא ממוצע חשבוני של איברים N ו- N+2
    ואז להשוות אותם ולקבל בסוף 0=0
    מה דעתך על הדרך הזאת?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום זיו
      מבחינה מתמטית התשובה שלך נכונה.
      אם אתה תלמיד בית ספר הניגש לבגרות אז השאלה היא האם המשפט שאתה נשען עליו הוא משפט שניתן להוכיח באמצעותו שסדרה היא חשבונית. והתשובה היא שאני לא בטוח.
      וגם ניתן להגיע מהמשוואה הזו למשוואה שהיא כן מוכרת כהוכחה לסדרה חשבונית.
      b(n) +b(n+2)) : 2 = b(n+1)
      b(n) +b(n+2)) = 2b(n+1)
      b(n+2) – b(n +1) = b(n+1) – bn)

      תגובה
  13. אנונימי

    שלום !
    קודם כל ממש תודה לך אתה מסביר מצוין ואני ממש נהנית מהאתר שלך יש לי שאלה שאני לא מצליחה לפתור
    בסדרה חשבונית יש 2n אברים סכומם של האברים הנמצאים במקומות האי זוגיים גדול פי 2 מסכום מn האברים הראשונים מצא את a1
    חילקתי את הסדרה לאיברים הראשונים והאחרונים ולקחתי את הסדרה האי זוגית וחילקתי ב2 מה יכול להיות ?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      תודה.
      לא ברור מה הכוונה בשאלה מה יכול להיות?
      דרך הפתרון היא להגדיר את a1,d כמשתנים ואז לחשב את סכום n האיברים הראשונים.
      לחשב את סכום האיברים האי זוגיים (בסדרה זו ההפרש הוא 2d).
      כאשר מכפילים את סכום הסדרה הראשונה פי 2 זו משואה.

      תגובה
  14. קארינה

    שלום, יש לי בעיה, הטמפרטורה של חומר מסוים קטנה בכל דקה באופן מעריכי, כאשר מכניסים אותו לקירור בסביבה
    של 0 מעלות צלזיוס. (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    תגובה
  15. אילה

    היי יש לי בעיה:באולם יש 15 שורות של כיסאות.
    בשורה הראשונה יש 12 כיסאות, ומספר הכיסאות (המשך השאלה הוסר מהאתר).
    אשמח לקבל תשובה בהקדם

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נתנו לך בשאלה את האיבר הראשון, הפרש הסדרה ומספר האיברים בסדרה.
      האם את מזהה אותם?
      את צריכה להציב אותם בנוסחת סכום סדרה חשבונית המופיעה למעלה ותקבלי את הסכום.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האם את התכוונת איך את מוצאת?
      בסדרה שמספר האיברים אי זוגי האיבר האמצעי שווה למספר האיברים + 1.
      ואת התוצאה מחלקים ב 2.
      אם מספר האיברים הוא 11 אז
      12 = 1 + 11
      6 = 2 : 12
      האיבר האמצעי הוא 6.

      אם את צריכה למצוא את האיבר שנמצע באמצע אז עושים זאת בעזרת נוסחת האיבר הכללי.
      https://www.m-math.co.il/algebra/math-progression/arithmetic-progression-series-formula/

      תגובה

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2024