סדרה חשבונית

הנושא של סדרה חשבונית נלמד באתר בעזרת מספר שיעורים הנמצאים כל אחד מיהם בדף נפרד.

  1. הקדמה: היכרות עם המושגים a1, an, nsn (לא כולם צריכים את השיעור הזה)
  2. שיעור ראשון: איך מוכיחים שסדרה היא סדרה חשבונית.
  3. שיעור שני: נוסחת האיבר הכללי.
  4. שיעור שלישי: כלל הנסיגה.
  5. שיעור רביעי: סכום סדרה חשבונית (דף הכולל מספר קישורים נוספים).
  6. שיעור חמישי: בעיות מציאותיות.

לתלמידי 5 יחידות יש דף נוסף נפרד:

  1. סדרות 5 יחידות.

הקישורים שלמעלה מיועדים לתלמידי 4-5 יחידות עבור תלמידי 3 יחידות יש שני דפים העוסקים בסדרה חשבונית:

בדף זה:

  1. מה חשוב כדי לדעת לפתור שאלות בסדרות?
  2. נוסחאות סדרה חשבונית.
  3. תרגילים.

1.מה חשוב כדי לדעת לפתור שאלות בסדרות?

נושא הסדרות דומה מאוד לנושא הבעיות המילוליות. מגישים לכם סיפור מילולי ואתם צריכים לבנות ממנו משוואות ואז לפתור אותם.
כפי שלא תצליחו לפתור בעיות דרך בלי להכיר את הנוסחה מהירות X זמן = דרך. כך לא תצליחו לפתור בעיות בסדרות מבלי להכיר היטב את הנוסחאות של הסדרות.

כמו כן הדבר הראשון שעליכם לעשות כאשר אתם פותרים שאלה בנושא סדרות הוא להפוך את הנתונים המילוליים לנתונים אשר אתם יכולים להציב בנוסחאות.
כלומר לכתוב:
= a1
= d
= n
= s

לאחר שאתם מכירים היטב את נוסחאות הסדרות עליכם להכיר ולתרגל את סוגי השאלות השונות שיכולים לשאול אותכם עליהן.

2.נוסחאות סדרה חשבונית

an = a1 + (n-1)d – נוסחת האיבר מקום ה n.

לסכום סדרה חשבונית יש 3 נוסחאות.
הנוסחה השנייה היא השימושית ביותר.

סכום סדרה חשבונית

סכום סדרה חשבונית

סכום סדרה חשבונית sn = (2an - (n-1)d) * n/2

3.תרגילים

בהמשך הדף 5 תרגילים בנושאים שונים של סדרה חשבונית.
אני ממליץ לכם ללמוד את החומר דרך הקישורים המופיעים למעלה, כך תוכלו ללמוד כל נושא באופן יסודי.
התרגילים בדף זה הם סוג של סיכום, והם חוזרים על חלק מהתרגילים שמופיעים בדפים המקושרים למעלה.

לכל התרגילים פתרונות כתובים ופתרונות וידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1 (הוכחה שסדרה היא חשבונית)

נתונה סדרה חשבונית המקיימת את הנוסחה
an = 2n + 1
הסדרה b מגודרת על ידי הנוסחה
bn = 2an -7
הוכיחו כי הסדרה b היא סדרה חשבונית.

פתרון
על מנת להוכיח שהסדרה היא חשבונית עלינו למצוא את bn, bn+1 ואז לבצע את פעולת החיסור
bn+1 – bn.
על מנת שפעולת החיסור תהיה יעילה עלינו לבטא
את  bn, bn+1 בעזרת משתנה אחד n.

מציאת bn+1
ידוע לנו כי
bn = 2an -7
על מנת למצוא את bn+1 עלינו לרשום n+1 בכול מקום בו היה רשום n.
bn+1 = 2an+1 – 7

מציאת an+1
עלינו למצוא את an+1.
אנו יודעים כי:
an = 2n + 1
בכול מקום בו רשום n נרשום n+1
an+1 = 2(n-1) + 1
an+1 = 2n -2 +1 = 2n -1

הצבה ב bn, bn+1. על מנת להפוך אותם למוגדרים באמצעות n בלבד
נציב את an = 2n + 1
ו an+1 = 2n -1
ב bn, bn+1.

הצבה של an = 2n + 1 ב bn
bn = 2an -7
bn = 2(2n + 1)= 4n+2
bn = 4n+2

הצבה של an+1 = 2n -1 ב bn+1
bn+1 = 2an+1 – 7
bn+1 = 2(2n -2)= 4n – 4
bn+1 = 4n – 4

נחסר שני איברים סמוכים בסדרה b.
(bn+1 – bn = 4n – 4 – (4n + 2
4n – 4 – 4n – 2 = -6

מצאנו שההפרש של איברים סמוכים בסדרה b הוא מספר קבוע ולכן הסדרה b היא סדרה חשבונית.
הפרש הסדרה d הוא 6- (כלומר d= -6).

תרגיל 2 (נוסחת האיבר הכללי)

בסדרה חשבונית האיבר העשירי הוא 43 והפרש הסדרה הוא 3.
מצאו את האיבר הראשון.
מצאו את האיבר במקום ה 20.

פתרון
a10=43
d=3
n=10
a1=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
43=a1 + (10-1)3
a1+27=43  /-27
a1=16
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 16.

נציב את הנתונים בנוסחה על מנת למצוא את האיבר במקום ה 20.
an=a1+ (n-1)d
a20=16 + (20-1)3
a20=16+57=73
תשובה: האיבר במקום ה 20 הוא 73.

תרגיל 3: (נוסחת האיבר הכללי)

מצאו כמה מספרים מתחלקים ב 4 בין 50 ל 150.

פתרון
המספרים המתחלקים ב 4 הם סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4. d=4.
עלינו למצוא את a1 שהוא המספר הראשון שגדול מ 50 ומתחלק ב 4.
המספר הזה הוא 52 – ניתן למצוא את המספר הזה על ידי הכפולות של 4 או על ידי הצבה: 50,51,52 ובדיקה האם המספר מתחלק ב 4.
באותה דרך נמצא את המספר האחרון שמתחלק ב 4 והוא 148.
נסכם את מה שאנו יודעים:
a1=52
an=148
d=4
n=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
148=52 + n-1)4)
148=52+4n-4
148=4n+48
4n=100  /:4
n=25
תשובה: מספר המספרים שמתחלקים ב 4 בין 50 ל 150 הוא 25.

תרגיל 4 (סכום איברים אחרונים)

סכום 8 אברים בסדרה חשבונית החל באיבר מסוים הוא 208.
ידוע כי: a1 =  -20,  d = 4.
מצאו את מיקום האיבר ממנו התחילו לחשב את הסכום.

פתרון
נתייחס אל שמונת האיברים שסכומם 208 כסדרה חשבונית אשר ה- a1 שלה לא ידוע.
אנו יודעים
d = 4,   n = 8,  s = 208.

1.מציאת גודל האיבר ממנו התחילו את הסכום.
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
(sn=2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2a1 + 28 )4 = 208   / : 4)
2a1 + 28 = 52   / -28
2a1 =  24 / : 2
a1 = 12
(נזכור כי זה לא האיבר הראשון בסדרה המקורית, אלא האיבר הראשון ממנו התחילו את הסכום).

2. מציאת מיקום האיבר.
נניח שהאיבר שמצאנו וגודלו 12 נמצא במקום ה n.
an = 12
אנו גם יודעים:
a1 =  -20,  d = 4.

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a = a1 + (n-1)d
n- 1)4 -20 = 12)
4n – 4 – 20 = 12  / +24
4n = 36   / :4
n = 9

תשובה: התחילו לחשב את הסכום מהאיבר ה 9.

תרגיל 5 (מקומות זוגיים ואי זוגיים)

בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים סכום 5 האיברים במקומות הזוגיים גדול ב 20 מסכום האיברים במקומות האי זוגיים.
חשבו את הפרש הסדרה

פתרון
נגדיר:
a1 האיבר הראשון בסדרה.
d  הפרש הסדרה.

סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = a1
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מההפרש המקורי של הסדרה.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 + (5 – 1) 2d) 0.5* 5
sn = (2a1 + 8d)2.5 = 5a1 + 20d
sn =  5a1 + 20d

סדרת המקומות הזוגיים
a1' = a1 + d   האיבר הראשון בסדרה הוא a2.
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מהפרש הסדרה המקורית.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 +2d + (5 – 1)2d) 0.5*5
sn = (2a1 + 8d) *2.5 = 5a1 +25d
sn =  5a1 + 25d

בניית משוואה ופתרון
סכום האיברים במקומות האי זוגיים
5a1 + 20d
סכום האיברים במקומות הזוגיים
5a1 + 25d

סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב- 20 לכן המשוואה שלנו תהיה
5a1 + 20d + 20 = 5a1 + 25d   / -5a1 – 20d
5d = 20  /: 5
d = 4
תשובה: הפרש הסדרה הוא 4.

עוד באתר:

פתרון תרגילים מהבגרות

בגרות 4 יחידות שאלון 482 (805) קיץ 2017

נתון a1=0,   an+1= an +2n + 5

א. חישוב a2, a3
an+1= an +2n + 5
a2= a1 +2*1+5=0+7=7
a2= 7

a3= a2+2*2+5=7+9=16
a= 16

ב.
bn = an+1 – an
bn = an +2n + 5 – an = 2n+5
bn  = 2n+5

ג. הוכחה שהסדרה bn היא חשבונית.
bn+1 = 2(n+1) +5=2n+2+5=2n+7
bn+1 =2n+7
נמצא את ההפרש בין שני איברים סמוכים:
bn+1– bn = 2n+7 – (2n+5) = 2
מצאנו כי ההפרש בין איברים סמוכים הוא קבוע (2) והוא אינו תלוי ב n (מיקום האיבר) לכן זו סדרה חשבונית.

ד. עלינו למצוא את a5. ונעשה זאת בעזרת נוסחת הנסיגה an+1= an +2n + 5.
a4 = 16+2*3+5=27
a5 = 27+2*4+5=40

נמצא את b1 בעזרת הנוסחה bn = an+1 – an
b1 = 7-0=7
d=2
הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:
sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2
סכום n איברים בסדרה bn הוא:
sn = (2*7+(n-1)2) 0.5n=(12+2n)0.5n = 6n+n²
סכום האיברים שווה ל a5 = 40.
n²+6n=40
n²+6n-40=0
n+10)*(n-4)=0)
n= -10, n =4
מכוון ש n חיובי התשובה היא n=4.

בגרות 4 יחידות שאלון 482 (805) חורף 2017

an+1 = an-2n+3
bn= an + n²

סעיף א.
הוכחה ש bn היא סדרה חשבונית.
bn+1= an+1 + (n+1)²
bn+1= an-2n+3+ n²+2n+1

(bn+1 – bn = an-2n+3+ n²+2n+1 – (an + n²
4 =
קיבלנו כי ההפרש בין שני איברים עוקבים בסדרה bn הוא מספר קבוע ולכן זו סדרה חשבונית.

סעיף ב.
a3=2

עלינו למצוא את b1 על מנת לבצע את החישוב.
b3 = 2 +3²=11
b1=11-4-4=3

נוסחת האיבר הכללי היא:
an = a1+ (n-1)d
נציב בנוסחה
an = 3+ (n-1)4=3 +4n-4=4n-1
an= 4n-1 – תשובה.

סעיף ג.
בסדרת האברים האי זוגיים b1=3.
d=2*4=8.
n=16

(Sn = (2a1 + (n-1)d
Sn = (6+ (16-1)8)*8
8*((8*15)+ 6)
1008 = 126*8
תשובה: סכום האיברים הוא 1008.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.