משולש גיאומטריה אנליטית סיכום

בדף זה נסכם ונעבור על סוגים מרכזיים של שאלות על משולשים בגיאומטריה אנליטית.
לאחר הסיכום מופיעים תרגילים עם פתרונות מלאים.

חלקי הדף הם:

  1. שאלות על משולש כללי.
  2. שאלות על משולש שווה שוקיים.
  3. שאלות על משולש ישר זווית.
  4. תרגילים.

משולש

תרגיל 1:מציאת תיכון, גובה, שטח על פי קודקודים
במשולש נתון

A(-1, 3)
B(-3, -2)
C(2, -4)

מצאו את:

  1. התיכון AE.
  2. הגובה AD.
  3. שטח משולש ABC.

 

פתרון מקוצר:

מציאת תיכון AE
הרעיון:
ניתן למצוא את הנקודה E על ידי הנוסחה לאמצע קטע ואז את משוואת הישר AE על פי שתי נקודות.

נמצאת את הנקודה E על ידי הנוסחה לאמצע קטע.
xE = (-3 + 2) / 2 = -0.5
yE = (- 2 – 4) / 2 = -3

נמצא את משוואת הישר AE על פי הנקודות

A(-1, 3)
E(-0.5, -3)

המשוואה שנקבל היא:
y = -12x – 9

מציאת גובה AD
אנו יכולים למצוא את השיפוע של BC.

 

מכוון ש BC מאונך ל AD ומכפלת ישרים מאונכים שווה ל 1- ניתן למצוא את שיפוע AD.

mAD * mBC = -1

mAD * (-0.4) = -1

mAD = (-1) / (-0.4) = 2.5

נמצא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה.

משוואת הישר AD היא:

y = 2.5x + 5.5

חישוב השטח של משולש ABC

נמצא את משוואת BC על פי הנקודות

B(-3, -2)
C(2, -4)

BC  ⇒  y = -0.4x – 3.2

ניתן למצוא את נקודת החיתוך של הגובה AD והצלע BC.

AD  ⇒ y = 2.5x + 5.5

-0.4x – 3.2 = 2.5x + 5.5

לאחר שיש את הנקודות A,D
ניתן לחשב את המרחק בין A ל D (גודל הגובה).
ניתן לחשב את המרחק בין B ל C (גודל הצלע).

וכך למצוא את שטח המשולש.

לחצו לפתרון מלא

מציאת התיכון AE

שלב א' – מציאת הנקודה E

xE = (xB + xC) / 2

xE = (-3 + 2) / 2

xE = -0.5

yE = (yB + yC) / 2

yE = (- 2 – 4) / 2

yE = -3

E(-0.5 , -3)

שלב ב' – מציאת משוואת הישר AE

ראשית נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות.

A(-1 , 3) , E(-0.5 , -3)

m = (yE – yA) / (xE – xA)

y = -12x + b

נציב את אחת הנקודות במשוואה כדי למצוא את b, לדוגמה את נקודה A.

3 = -12 * (-1) + b

3 = 12 + b

b = 3 – 12 = -9

משוואת הישר AE היא:

y = -12x – 9

 

מציאת הגובה AD

שלב א' – מציאת שיפוע BC

שלב ב' – מציאת שיפוע AD

AD מאונך ל-BC, לכן מכפלת השיפועים היא 1-.

mAD * mBC = -1

mAD * (-0.4) = -1

mAD = (-1) / (-0.4) = 2.5

שלב ג' – מציאת משוואת הישר AD

y = 2.5x + b

נציב את הנקודה A במשוואה כדי למצוא את b.

3 = 2.5 * (-1) + b

3 = -2.5 + b

b = 3 – (-2.5) = 3 + 2.5 = 5.5

משוואת הישר AD היא:

y = 2.5x + 5.5

משולש שווה שוקיים

תרגיל 1
במשולש שווה שוקיים AB = AC הקודקודים:

A(2, 6)
B(-2, 3)

הקודקוד C נמצא על הישר
y = x – 3
מצאו את הקודקוד C.

 

פתרון

1.מגדירים את הנקודה C בעזרת משתנה אחד
הנקודה C נמצאת על הישר:
y = x – 3.

לכן אם ערך ה x בנקודה C הוא x1.
אז ערך ה y הוא:

y = x1 – 3

והנקודה:
(C (x1,  x1 – 3

2.נחשב את המרחק של AB.

A(2, 6)
B(-2, 3)

3.המרחק של AC שווה גם הוא ל 5

A(2, 6)
C (x1,  x1 – 3)

לכן נוכל לבנות את המשוואה:

לאחר שנפתור את המשוואה נמצא את x1 ואת C.

לחצו לפתרון מלא

נגדיר:

C(x1 , x1 – 3)

הנקודות A ו-B הן ידועות, לכן ניתן לחשב את המרחק ביניהן.

ידוע שהצלעות AB ו-AC שוות, לכן גם אורך הצלע AC הוא 5. כעת ניתן להשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות כדי לבנות משוואה עם נעלם אחד.

(x1 – 2)2 + (x1 – 9)2 = 25

x12 – 4x1 + 4 + x12 – 18x1 + 81 = 25

2x12 – 22x1 + 85 = 25

2x12 -22x1 + 60 = 0

נציב בנוסחת השורשים:

x1 = 6 או x1 = 5

כדי לגלות את ערכי ה-y, נציב כל אחת מהאפשרויות בביטוי 3 – x1.

y = 6 – 3 = 3 או y = 5 – 3 = 2

תשובה:

C(5,2) או C(6,3)

תרגיל 2
במשולש שווה שוקיים AB = AC ידועים הקודקודים:

B(-2, 3)
C(5,2)

1.מצאו את משוואת הגובה AD.
2.ידוע כי אורך הצלע AB הוא 5. מצאו את הקודקוד A.

 

פתרון וידאו

פתרון כתוב

מציאת הגובה AD

1.במשולש שווה שוקיים הגובה הוא תיכון, לכן ניתן למצוא את D.

לכן D היא אמצע BC וניתן למצוא אותה בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.

D(1.5 , 2.5)

2.את השיפוע של BC ניתן למצוא על פי שתי נקודות. 
AD מאונך ל BC ולכן ניתן למצוא את השיפוע של AD.

mAD = 7

3.ניתן למצוא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה

D(1.5 , 2.5)
mAD = 7

y = 7x – 8

מציאת הקודקוד A.

הנקודה A נמצאת על הישר AD שמשוואתו

y = 7x – 8

לכן ניתן להגדיר את הנקודה A בעזרת משתנה אחד בצורה הזו:

A(x , 7xA – 8)

האורך של AB שווה לאורך של AC שהוא 5.
נשתמש בנקודות A,B על מנת לבנות משוואה עם נעלם אחד.

B(-2, 3)
A(x , 7xA – 8)

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל שתי אפשרויות
xA = 1 או xA = 2

לחצו לפתרון מלא

שלב א' – מציאת הנקודה D

xD = (xB + xC) / 2

xD = (-2 + 5) / 2 = 1.5

yD = (yB + yC) / 2

yD = (3 + 2) / 2 = 2.5

D(1.5 , 2.5)

שלב ב' – מציאת שיפוע הישר AD

ראשית נמצא את שיפוע הישר BC בעזרת שתי נקודות.

הישרים AD ו-BC מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

mAD * mBC = -1

mAD = 7

שלב ג' – מציאת משוואת הישר AD

y = 7x + b

נציב את הנקודה D במשוואה כדי למצוא את b.

2.5 = 7 * 1.5 + b

2.5 = 10.5 + b

b = 2.5 – 10.5 = -8

לכן משוואת הישר היא

y = 7x – 8

מציאת הנקודה A

נגדיר את שיעורי הנקודה A באמצעות נעלם אחד:

A(x , 7xA – 8)

ידוע אורך הצלע AB. כדי למצוא את xA, נבנה משוואה באמצעות הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות.

(xA + 2)2 + (7xA – 11)2 = 25

xA2 + 4xA + 4 + 49xA2 – 154xA + 121 = 25

50xA2 – 150xA + 125 = 25

50xA2 – 150xA + 100 = 0

xA2 – 3xA + 2 = 0

נפתור את המשוואה באמצעות טרינום.

(xA – 1) (xA – 2) = 0

xA = 1 או xA = 2

כדי לגלות את ערכי ה-y, נציב כל אחת מהאפשרויות בביטוי 7xA – 8.

yA = 7 * 1 – 8 = -1 או yA = 7 * 2 – 8 = 6

תשובות:

.A(1,-1) או A(2,6)

תרגיל 3
נתונות הנקודות:

A(2,6)
B(-2,3)
C(5,2)

הוכיחו כי המשולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

דרך ראשונה (מהירה)
מוכיחים שהאורך של AB שווה לאורך של AC.

נחשב את אורכה של הצלע AB באמצעות הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות.

אורך AB הוא 5.

עכשיו נחשב באותה צורה את אורך הצלע AC.

גם אורך AC הוא 5. לכן:

AB = AC

ולכן המשולש ABC הוא שווה שוקיים.

 

לתרגיל זה יש דרך פתרון נוספת, ארוכה יותר.
מי שרוצה ללמוד את הדרך הזו לשם העשרה והבנה שילחץ על הקישור.

לחצו לצפייה בדרך הארוכה
  1. מוצאים את משוואת בסיס המשולש על פי שתי נקודות.
  2. מוצאים את משוואת הגובה לבסיס על פי שיפוע ונקודה.  (הנקודה היא קודקוד המשולש והשיפוע הוא השיפוע המאונך למשוואת הבסיס)
  3. מוצאים את נקודת החיתוך של הגובה והבסיס.
  4. מראים שנקודת החיתוך שמצאנו היא גם אמצע הקטע של הבסיס ולכן הגובה הוא גם תיכון.
  5. אם הגובה הוא תיכון אז המשולש שווה שוקיים.

שלב א' – מציאת משוואת בסיס המשולש (BC)

ראשית נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות B ו-C.

נציב את אחת הנקודות במשוואה כדי למצוא את b, לדוגמה את נקודה C.

לכן משוואת BC היא:

שלב ב' – מציאת משוואת הגובה לבסיס (AD)

הישרים AD ו-BC מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

mAD * mBC = -1

mAD = 7

y = 7x + b

נציב את הנקודה A במשוואה כדי למצוא את b.

6 = 7 * 2 + b

6 = 14 + b

b = 6 – 14 = -8

לכן משוואת הישר AD היא:

y = 7x – 8

שלב ג' – מציאת נקודת החיתוך של הגובה והבסיס (D)

נציב 1.5 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

 y = 7 * 1.5 – 8 = 2.5

D(1.5 , 2.5)

שלב ד' – נראה שהגובה AD הוא גם תיכון

נחשב את אמצע הקטע BC ונבדוק אם אנחנו מקבלים את נקודה D.

x = (xB + xC) / 2

x = (-2 + 5) / 2 = 1.5

y = (yB + yC) / 2

y = (3 + 2) / 2 = 2.5

קיבלנו את שיעורי הנקודה D. לכן, הגובה במשולש ABC הוא גם תיכון מה שאומר שהמשולש הוא שווה שוקיים.

משולש ישר זווית

שימו לב לסוג השלישי של השאלות, שימוש בתכונה זו מופיעה הרבה בשאלות.

תכונות של משולש ישר זווית שיש לזכור כאשר פותרים שאלות:

  1. הניצבים מאונכים. לכן אם יודעים שיפוע של ניצב אחד ניתן לדעת את השיפוע של הניצב השני.
  2. משפט פיתגורס. אם יודעים את האורך של שתי צלעות ניתן לדעת את האורך של הצלע השלישית.

3.כאשר מעגל חוסם משולש ישר זווית מרכז המעגל נמצא באמצע היתר.
כי:

  1. זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר – ולכן היתר הוא קוטר המעגל.
  2. אמצע הקוטר שהוא אמצע היתר הוא מרכז המעגל.

תרגיל 1
משולש ABC הוא משולש ישר זווית החסום במעגל. (B = 90∠).
שיעורי הנקודות A,B,C נתונות בשרטוט.
מצאו את משוואת המעגל על פי הנתונים בשרטוט:

פתרון וידאו

פתרון כתוב

  1. AC הוא קוטר המעגל כי הזווית B היא זווית היקפית שגודלה 90 מעלות, וזווית כזו נשענת על קוטר.
  2. מכוון ש AC היא קוטר נמצא את אמצע AC וזה יהיה אמצע המעגל:

נשתמש בנוסחה לאמצע קטע:

נקודת מרכז המעגל היא (2,3).

הרדיוס הוא המרחק של אחת הנקודות A,B,C מאמצע המעגל.
נשתמש בנקודה (A(6,6 לחישוב אורך הרדיוס:

על פי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
d² = (6 – 3)² + (6 – 2)² = 3² + 4²
d² = 9 + 16 = 25
d = 5  או  d = – 5.

מכוון שרדיוס הוא מספר חיובי R= 5.

משוואת המעגל שמרכזו (2,3) ורדיוסו 5 היא:

(x – 2)² + (y – 3)² = 25

תרגיל 2
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90).
משוואת BC היא y = 2x.
(A (-3, 4
מצאו את משוואת הישר AB.

 

פתרון וידאו

פתרון

1.AB ו-BC מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

mAB * mBC = -1

משוואת BC היא y = 2x, לכן השיפוע הוא 2.

mAB * 2 = -1

mAB = -0.5

y = -0.5x + b

 

2.מוצאים את משוואת AB על פי שיפוע ונקודה

נציב את הנקודה A במשוואה כדי למצוא את b.

4 = -0.5 * (-3) + b

4 = 1.5 + b

b = 4 – 1.5 = 2.5

לכן, משוואת AB היא:

y = -0.5x + 2.5

תרגיל 3
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90).
(A (-3, 4)  B (1,2
מצאו את משוואת BC.

התרגיל מאוד דומה לתרגיל הקודם, רק שבתרגיל זה נמצא את השיפוע של הניצב הראשון בעזרת הנקודות AB.

לאחר מיכן נמשיך לפתור כמו קודם:

  1. BC מאונך ל AB לכן ניתן למצוא את שיפוע BC.
  2. מוצאים את משוואת BC על פי שיפוע ונקודה.
לחצו לפתרון מלא

ראשית, נמצא את שיפוע AB.

AB ו-BC מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

mAB * mBC = -1

-0.5 * mBC = -1

mBC = 2

y = 2x + b

נציב את הנקודה B במשוואה כדי למצוא את b.

2 = 2 * 1 + b

2 = 2 + b

b = 0

לכן, משוואת BC היא:

y = 2x

4.תרגילים

משולש ישר זווית

תרגיל 1

משוואת אחד מהניצבים במשולש ישר זווית היא y= -x+1.
ידוע כי הניצב השני עובר דרך הנקודה (0,5). מצאו את משוואת הניצב השני.

פתרון
נגדיר את שיפוע הניצב השני כ m. שיפוע הניצב הראשון הוא 1-.
m*-1=-1
m=1
נציב את הנתונים במשוואה (y-y1=m(x-x1 .
(y-5 = 1(x-0
y-5 = x /+5
y=x+5
תשובה: משוואת הניצב השני היא y=x+5.

משוואת הניצב y=x+5, נקודה דרכה הוא עובר והניצב השני במשולש
משוואת הניצב y=x+5, נקודה דרכה הוא עובר והניצב השני במשולש

תרגיל 2

במשולש ישר זווית ΔABC הזווית B=90∠.
שניים מהקודקודים הם (A(2,12),  C(14,4.
הנקודה B נמצאת על הישר y=0.5x.
מצאו את הנקודה B.

שרטוט התרגיל, גיאומטריה אנליטית ומשולש

תשובה סופית: (B(4,2

פתרון מלא
אם ערך ה x בנקודה B הוא xb אז ערך ה y הוא:
y = 0.5xb
( B (xb, 0.5xb
הישרים AB⊥BC ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
שיפוע AB:
(Mab = (12 – 0.5xb) / (2-xb
שיפוע BC:
(MBC = (4-0.5xb) / (14-xb
MBC * Mab = -1
כאשר נפתור את המשוואה הזו נקבל:
xb = 4
הנקודה B נמצאת על הישר y=0.5x
yb= 0.5xb= 0.5*4=2
תשובה: הנקודה (B(4,2.

המשולש נראה כך
המשולש נראה כך

 

משולש שווה שוקיים

תרגיל 3

במשולש שווה שוקיים ΔABC (צלע AB=AC) משוואה הצלע AB היא y=2x+4. משוואת הצלע BC היא y=-x-2.
קודקוד (A(4,12.
מצאו את קודקוד C.

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

פתרון
שלב 1: נמצא את קודקד B.
2x+4 = -x-2 /+x -4
3x =-6 /:3
x=-2
נמצא את ערך ה y בנקודה B.
y=2*-2 +4=0
(B(-2,0

שלב 2: נמצא את אורך AB. נשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.
(A(4,12)   B(-2,0
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
d² = (4+2)² + (12-0)²
d² = 36+144=180
d= √180

שלב 3: נמצא את קודקוד C.
או יודעים כי קודקוד C נמצא על הצלע BC שהמשוואה שלה היא y=-x-2.
לכן אם ערך ה X של הנקודה C הוא x אז ערך ה y הוא:
y=-x-2
לכן הנקודה (C(x, -x-2
אנו גם יודעים שהמרחק של הנקודה C מהנקודה A הוא 180√.
נציב את הנתונים הללו במשוואת המרחק AC.
(A(4,12) C(x, -x-2
x+2+12)² + (4-x)² = 180)
x²+28x+196 +16-8x+x²=180
2x²+20x+212 = 180 /-180
2x² +20x+32 =0 /:2
x² +10x +16 =0
x+2) (x+8) =0)
x=-2, x=-8.
שימו לב: x=-2 זו הנקודה B שכבר מצאנו. לכן הנקודה C מקיימת x=-8.
נציב x=-8 במשוואת הישר BC שהיא y=-x-2.
y= 8-2=6
(6, 8-).
תשובה: הנקודה (6, 8-)C.

שרטוט פתרון התרגיל
פתרון התרגיל

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים AB=AC ידוע כי (B(2,1 וכי חוצה הזווית מקודקוד A פוגש את הצלע BC בנקודה בנקודה (D(0,0

  1. מבלי לפתור את השאלה נסו להעריך איפה נמצא קודוקד C.
  2. מצאו את קודקוד C.
  3. מצאו את שיפוע הישר AD.

פתרון
א. (D(0,0 היא אמצע הקטע BC ואנו רואים שביחס ל (B(2,1 ערכי (D(0,0 יורדים לאורך ציר ה y וציר ה x. לכן עד שנגיע ל C הערכים הללו צריכים להמשיך לרדת ונקודה C צריכה להיות ממוקמת ברביע השלישי עם ערכי x ן y שליליים.

ב. נניח כי הנקודה C היא (C(x,y.
על פי הנוסחה לאמצע קטע נקבל:
0 =2 / (2+x)
x+2=0
x=-2
0 = 2 / (1+y)
y+1=0
y=-1
תשובה: (C(-2,-1

ג. במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל הבסיס הוא גם גובה. לכן AD מאונך ל BC.
נמצא את שיפוע BC (נגדיר אותו כ m) על פי הנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.
(C(-2,-1), B(2,1
m = (1+1) / (2+2)=2/4=0.5
אם שיפוע AD הוא v אז מתקיים:
0.5v=-1 / *2
v=-2
תשובה: שיפוע AD הוא 2-.

שרטוט התרגיל

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “משולש גיאומטריה אנליטית סיכום”

  1. שלום אם יש לי תרגיל ומצאתי את נקודת חיתוך בין שני קווים ויצא לי (1,4 ) עכשיו אני צריך לחשב שטח ואין לי את הגובה איך אני מוצא ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עידן
      אם יש לך את המשוואה של הישר שאליו מגיע הגובה השתמש בכך שהגובה מאונך לישר זה, כלומר מכפלת השיפועים היא 1-.
      יש דוגמאות בדף זה.

  2. שלום
    ישלי תרגיל שנתון לי A, B, ו C
    אני צריך להוכיח שהמשולש הוא ישר זווית, איך אני עושה את זה?
    (A(5,6
    (B(11,8
    (C(7,4

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מוצא את השיפוע של שלושת הצלעות ואז מוצא זוג צלעות שמכפלת השיפועים שלהם היא 1-.

  3. תודה על ההסבר המפורט,
    יש לי שאלה ואשמח להכוונה

    במשולש ABC הצלע AB מונחת על ישר y=2x+1 והצלע AC מונחת על הישר y=-x+7. הנק (2,10) נמצאת על צלע BC
    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עבור הצלע BC יש את השיפוע (על פי הישר המקביל) ונקודה.
      כך את יכולה למצוא את משוואת BC.

  4. שלום , תודה רבה על האתר המעולה עוזר לי..
    אני לא מוצאת איך פותרים לבסוף את שטח המשולש יש לי תרגיל שקבלתי שאני צריכה למצוא בו את שטח המשולש ועשיתי מרחק בין הנקודות ומצאתי את כל אורכי צלעות המשולש איך אני ממשיכה מכאן

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה למצוא אורך של צלע ואורך של גובה המגיע אל הצלע.

      לאחר מיכן לחשב כפי שמחשבים כל שטח של משולש.
      צלע כפול הגובה לצלע
      ואת התוצאה לחלק ב 2.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    במשולש שווה שוקיים סוג אחד.
    שאני מציב את a ו c בנוסחאת מרחק אני מציב ביחס למרחק שמצאתי?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.