בדף זה נלמד על סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת.
חלקי הדף הם:
- מה זו סדרה הנדסית אינסופית? כיצד מחשבים את סכומה?
- דוגמאות לסכומי סדרות הנדסיות שיכולות להיווצר מהסדרה.
- תרגילים.
- פתרונות לתרגילם מהבגרות.
1.מה זו סדרה הנדסית אינסופית? כיצד מחשבים את סכומה?
סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא סדרה שבה האיבר הנמצא במקום השואף לאינסוף שואף ל 0.
כלומר an ≈ 0 כאשר n שואף לאינסוף.
בסדרה כזו ערך ה q הוא
-1 < q < 1
בסדרה כזו סכום הסדרה שואף למספר כלשהו, כלומר לסכום יש גבול אותו הוא לא עובר.
נוסחת הסכום היא:
לעומת זאת כך נראה סכום סדרה הנדסית רגילה:
שימו לב שעל מנת למצוא את סכום הסדרה אתם צריכים לדעת שני איברים בלבד – a1 ו q.
לכן בשאלות שתקבלו מספיק לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים על מנת לחשב את הסכום.
הערה
בחלק מהשאלות q יהיה המשתנה ותמצאו יותר מאפשרות אחת ל q (למשל פתרון משוואה ריבועית שייתן לכם שתי תשובות).
אם אחת התשובות לא תהיה בתחום
-1 < q < 1
עליכם לפסול אותה כלא מתאימה לסדרה הנדסית אינסופית.
2.דוגמאות לסכומי סדרות הנדסיות שיכולות להיווצר מהסדרה
אם נתונה לנו סדרה הנדסית אינסופית שהאיבר הראשון שלה הוא a1 ומנת הסדרה היא q אז ניתן ליצור ממנה סדרות הנדסיות אינסופיות אחרות. למשל סדרת המקומות הזוגיים.
בחלק זה נמצא את הנוסחאות לסדרות הללו.
סכום סדרת המקומות האי זוגיים:
סדרת המקומות האי זוגיים היא:
a1, a3, a5…. .
בסדרה זו האיבר הראשון נשאר אותו איבר אך ה q הופך ל q².
לכן נוסחת הסכום למקומות האי זוגיים היא:
סכום סדרת המקומות הזוגיים:
סדרת המקומות הזוגיים היא:
a2, a4, a6….
במקרה זה האיבר הראשון הוא a1q והמנה היא q².
לכן נוסחת הסכום למקומות הזוגיים היא:
סכום סדרת ריבועי המקומות:
סדרת ריבועי המקומות היא:
a1², a2², a3²…
בסדרה זו האיבר הראשון הוא a1².
את מנת הסדרה נמצא על ידי הגדרת a2² בעזרת a1, q.
a2² = (a1q)² = a1² * q²
מנת הסדרה היא:
לכן מנת הסדרה היא q².
3.תרגילים
5 תרגילים.
לתרגילים 1,3,4,5 יש גם פתרון וידאו.
לאחר התרגילים מופיעים תרגילים מבגרויות
תרגיל 1
נתונה הסדרה ההנדסית האין סופית 2-, 4-, 8-.
(הבהרה: a1 = -8)
- חשבו את סכום הסדרה.
- חשבו את סכום סדרת המקומות האי זוגיים.
- חשבו את סכום סדרת המקומות הזוגיים.
פתרון
סכום הסדרה כולה
a1 = -8
q = 0.5
נציב את הנתונים הללו בנוסחת סכום הסדרה ונקבל:
תשובה: סכום הסדרה כולה הוא 16-.
סכום סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = -8 האיבר הראשון הוא אותו איבר.
q’ = q² = 0.5² = 0.25 מנת הסדרה היא ריבוע של מנת הסדרה המקורית.
נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:
תשובה סכום המקומות האי זוגיים הוא 10.66-.
סכום סדרת המקומות הזוגיים
דרך אחת היא להגיד שסכום המקומות הזוגיים ועוד סכום המקומות האי זוגיים שווה לסכום הסדרה כולה.
ולכן אם סכום סדרת המקומות הזוגיים הוא S אז סכום הסדרה כולה הוא:
S + (-10.66) = -16
נבודד את s במשוואה זו
S + (-10.66) = -16
S + (-10.66) = -16 / +10.66
S = -5.33
סכום המקומות הזוגיים הוא 5.33-.
דרך שנייה
נתייחס אל סדרת המקומות הזוגיים כאל סדרה נפרדת.
נמצא את a1, q:
a1 = -8 * 0.5 = -4 האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא האיבר השני של הסדרה כולה.
q’ = q² = 0.5² = 0.25 מנת הסדרה היא ריבוע של מנת הסדרה המקורית.
נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:
תשובה: סכום המקומות הזוגיים הוא 5.33-.
תרגיל 2
בסדרה הנדסית אינסופית סכום המקומות האי זוגיים הוא 2/3 מסכום הסדרה כולה.
- חשבו את מנת הסדרה המקורית (q).
- האם ניתן למצוא את האיבר הראשון?
פתרון
נגדיר
עבור הסדרה המקורית
a1 האיבר הראשון בסדרה המקורית.
q מנת הסדרה המקורית.
לכן סכום הסדרה המקורית הוא:
עבור סדרת המקומות האי זוגיים.
a1 האיבר הראשון בסדרת המקומות האי זוגיים (נשאר כמו בסדרה המקורית).
q² זו המנה של הסדרה החדשה.
לכן סכום הסדרה הוא:
בניית משוואה
בשאלה כתוב “סכום המקומות האי זוגיים הוא 2/3 מסכום הסדרה כולה”
לכן המשוואה היא:
שימו לב שניתן לחלק את המשוואה ב a1 ואז נשאר עם משתנה אחד.
נכפיל במכנה המשותף ונקבל (אנו יודעים שהמכנה לא שווה 0 כי q < 1).
נשתמש בנוסחה להפרש ריבועי על מנת לפרק לגורמים את האיבר בצד שמאל.
זו הנוסחה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נצמצם, ניתן לעשות זאת כי אנו יודעים כי q ≠ 1.
2q + 2 = 3
2q = 1
q = 0.5
תשובה: q = 0.5.
לא ניתן למצוא את a1, כי הוא מתבטל במהלך פתרון המשוואה.
ומכוון שכך האיבר הראשון יכול להיות כל מספר, וכל עוד q = 0.5 אז “סכום המקומות האי זוגיים הוא 2/3 מסכום הסדרה כולה”.
תרגיל 3
בסדרה הנדסית אינסופית הסכום הוא 16.
מנת הסדרה היא 0.25-.
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.
בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יש בסך הכל 3 משתנים:
a1, q, s.
לכן אם אנו יודעים 2 מתוך השלושה אנו יכולים להציב בנוסחה, למצוא את השלישי ואז לעשות כל חישוב הקשור לסדרה.
s = 16
q = -0.25
? = a1
נציב בנוסחת הסכום ונקבל:
a1 = 20
האיבר הראשון הוא 20.
חישוב סכום המקומות הזוגיים.
a1 ‘ = 20* -0.25 = -5 האיבר הראשון הוא האיבר השני של הסדרה המקורית.
q ‘ = (-0.25)² = 0.0625 מנת הסדרה של האיברים הזוגיים היא ריבוע מנת הסדרה המקורית.
עכשיו ניתן להציב בנוסחת הסכום:
תשובה: סכום סדרת המקומות הזוגיים הוא 5.333-.
תרגיל 4
בסדרה הנדסית אינסופית האיבר הראשון הוא a1 = 3.
סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 0.625.
חשבו את האיבר החמישי של הסדרה.
נגדיר:
q מנת הסדרה המקורית
עבור סדרת האיברים הזוגיים
בעזרת המשתנה q אנו יכולים להגדיר את האיבר הראשון 3q.
ואת מנת הסדרה q²
S = 0.625
ומכוון שבנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יש בסך הכל 3 משתנים a1, q, s. אנו יכולים להציב את הנתונים שלנו בנוסחת הסכום ולקבל משוואה עם נעלם אחד (q).
נכפיל במכנה של השבר ונקבל:
3q = 0.625 – 0.625q²
0.625q² + 3q – 0.625 = 0 / : 0.625
q² + 4.8q -1 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
q = -5, q = 0.2
אנו יודעים שהסדרה המקורית היא סדרה הנדסית אינסופית.
לכן q נמצא בתחום q > -1 ו גם q < 1.
התשובה q = -5 לא מתאימה לבעיה והתשובה הנכונה היא q = 0.2.
חישוב האיבר החמישי
עבור הסדרה המקורית אנו יודעים
a1 = 3
q = 0.2
n = 5
נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא:
an=a1qn-1
נציב את הנתונים בנוסחה ונקבל:
a5 = 3*0.24 = 0.0048
תשובה: האיבר החמישי הוא 0.0048.
תרגיל 5
סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 30.
סכום המקומות האי זוגיים הוא 16.667.
חשבו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.
שאלה זו יוצרת שתי משוואות עם שני נעלמים.
המשוואה הראשונה היא סכום הסדרה המקורית
עבור הסדרה המקורית נגדיר.
a1 האיבר הראשון של הסדרה.
q מנת הסדרה.
לכן המשוואה תהיה:
a1 = 30 – 30q (משוואה ראשונה).
עבור סדרת המקומות האי זוגיים:
a1 האיבר הראשון של הסדרה.
q² מנת הסדרה.
סכום סדרת המקומות האי זוגיים הוא:
נכפיל במכנה ונקבל:
a1 = 16.667 – 16.667q² (משוואה שנייה).
פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.
קיבלנו את המשוואות.
a1 = 30 – 30q
a1 = 16.667 – 16.667q²
נשווה את המשוואות (פתרון בשיטת ההצבה)
30q + 30 = 16.667 – 16.667q²-
16.667q² – 30q + 13.333 = 0 / :16.667
q² – 1.8q + 0.8 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
כאן אראה את הדרך של טרינום.
q² – 1.8q + 0.8 = 0
q² – q – 0.8q + 0.8 = 0
q (q -1) – 0.8 (q -1) = 0
q – 0.8) (q -1) = 0)
למשוואה זו יש שני פתרונות:
q = 0.8 או q = 1
אנו יודעים שזו סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ולכן q < 1.
התשובה המתאימה היא q = 0.8.
מציאת האיבר הראשון
מצאנו את q עכשיו עלינו למצוא את a1.
נציב q = 0.8 במשוואה:
a1 = 30 – 30q
ונקבל:
a1 = 30 – 30 * 0.8
a1 = 30 – 24 = 6.
תשובה: a1 = 6, q = 0.8.
4.פתרון תרגילים מבגרויות
קיץ 2018 מועד ב
סעיף א
עלינו ליצור משוואה עם נעלם אחד.
לצורך כך נשתמש בשתי נוסחאות:
נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית
והמשוואה שקיבלנו בשאלה:
7s = 6t
נציב את הנוסחה הראשונה במשוואה השנייה.
(7a1 / (1-q) = 6b1 / (1-3q
נציב a1 = b1 ונכפיל במכנה המשותף.
7a1 * (1-3q) = 6a1 *(1 – q) / :a1
7-21q = 6 – 6q / +21q – 6
15q = 1 / :15
q = 0.066
סעיף ב
נתון a4 = 5
בעזרת נתון זה ניתן למצוא את a1 = b1 ולאחר שנדע את b1 נוכל לחשב את b4.
עבור הסדרה a אנו יודעים:
a4 = 5, q = 0.066
ועלינו למצוא את a1.
נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית היא:
an=a1qn-1
a4 = a1q³
a1*0.0667³ = 5
a1 = 5 : 0.0003 = 16,666
b1 = a1 = 16,666
מנת הסדרה ההנדסית b היא:
0.2 = 3 * 0.667
נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי ונקבל:
b4 = 16,666*0.2³ = 16,666 * 0.008
b4 = 133
(התשובה הסופית של משרד החינוך היא 135 וההבדל נובע מעיגולים שנעשו בדרך).
קיץ 2016 שאלה 1
סעיף א.
נחלק את a3 ב a1.
תשובה: מנת הסדרה היא:
סעיף ב.
נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית היא:
נציב בנוסחה:
שימו לב כי בנתונים כתוב x>1 ולכן x=2.
סעיף ג
עלינו למצוא את האיבר הראשון ומנת הסדרה.
האיבר הראשון הוא:
¼ = ²(½)
מנת הסדרה שווה למנת סדרת המקומות האי זוגיים בריבוע.
תשובה: סכום ריבועי המקומות הזוגיים הוא 0.234
עוד באתר:
- סדרה הנדסית.
- סדרה חשבונית.
- סכום סדרה חשבונית.
- סכום סדרה הנדסית.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
היי
מתי סדרה אין סופית היא מתכנסת
שלום
סדרה הנדסית אינסופית היא מתכנסת כאשר q בין 1- ל 1.
1.מה ההבדל בין סדרה אינסופית מתכנסת לבין סדרה אינסופית?
2. מה הq של סדרה אינסופית עולה?
שלום
סדרה איננסופית היא סדרה עם אינסוף איברים וסדרה אינסופית מתכנסת היא סדרה שהאיברים שלה שנמצאים במיקום השואף לאינסוף שואפים למספר מסוים.
סדרה אינסופית עולה היא עם q גדול מ 1 כאשר האיבר הראשון חיובי ועם q בין 0 ל 1 כאשר האיברים הראשון שלילי.
הי
האם סנדרה הנדסית אינסופית וסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת זה אותו דבר רק בשמות שונים ?
תודה רבה
שלום
לרוב אלו שני מושגים זהים.
בנוגע לתרגיל 5, מצאתי שאפשר לפתור שאלות של איברים זוגיים/אי-זוגיים דרך הבנה של יחס ונוסחת כפל מקוצר.
נוסחת כל הסדרה 30 ונוסחת האיברים האי זוגיים 16.67:
איבר ראשון חלקי (1 פחות מנה) = [איבר ראשון כפול 1.8 בגלל יחס הסכומים] חלקי (1 פחות מנה בריבוע) מכאן אפשר להביע את מכנה סכום אי זוגיים בתור (1 ועוד מנה) כפול (1 פחות מנה) ומכאן שני ביטוי הסכומים זהים מלבד הרחבה של 1.8 במונה וביטוי (1 + מנה) במכנה שעליו אם כן להיות גם הוא 1.8. מכאן המנה היא 0.8.
וגם – נוסחת כל הסדרה 30, האי זוגיים 16.67 ומכאן היתר, סדרת הזוגיים היא 13.33.
איבר ראשון חלקי (1 פחות מנה) = [איבר ראשון כפול מנה כפול 2.25 בגלל יחס הסכומים] חלקי (1 פחות מנה בריבוע) מכאן אפשר להביע את מכנה סכום אי זוגיים בתור (1 ועוד מנה) כפול (1 פחות מנה) ומכאן שני ביטוי הסכומים זהים מלבד הרחבה של (מנה כפול 2.25) במונה וביטוי (1 + מנה) במכנה שעליו אם כן להיות גם הוא (מנה כפול 2.25). אם כן במשוואה פשוטה נמצא כי 1.25 כפול מנה שווה ל1 ואז מנה שווה ל0.8
שלום
אתה בעצם אומר לחשב סכום של כל סדרה לאז להכפיל ביחס בין הסכומים – גם זו דרך נכונה. יפה שחשבת על כך ותודה ששיתפת.
צריך לבצע אותה בפועל על מנת לראות אם היא גם קצרה יותר מבחינת הפתרון.
ערב טוב. כתבת למעלה שסדרה הנדסית אינסופית בעלת q בין 0 ל-1 יכולה להתכנס לאיזשהו סכום, זה קצת מוזר לי כי זו סדרה מתנדנדת (הערכים משתנים כל הזמן מחיוביים לשליליים).. אשמח אם תוכל להסביר לי יותר מפורט :)
ערב טוב
כאשר ערכי ה q בטווח הזה האיברים הולכים ומתקרבים ל 0 עד שמגיעים לכך שהאיברים סמוכים ל 0 בערכם המוחלט וההוספה שלהם לא משנה את סכום הסדרה. זו דרך החשיבה.
הבנתי, תודה רבה!
האם סדרה הנדסית אינסופית היא תמיד יורדת?|
שלום מוטי
כאשר q בין 0 ל 1 היא יורדת.
כאשר q בין 0 ך 1- היא לא יורדת באופן רציף כי יש לה איבר חיובי ואיבר שלילי.