שתי משוואות עם שני נעלמים שיטת ההצבה

בדף זה נלמד לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים בשיטת ההצבה.
לפתרון יש 3 שלבים:

  1. בידוד אחד אחד המשתנים.
  2. הצבתו במשוואה השנייה, כך נקבל משוואה עם נעלם אחד.
  3. פתרון המשוואה שקיבלנו.

חלקי הדף הם:

  1. תקציר.
  2. דוגמה.
  3. כיצד לבחור את המשתנה שמבודדים.
  4. תרגילים.
  5. תרגילים עם מכנה.

בדף שתי משוואות עם שני נעלמים תוכלו למצוא נושאים נוספים.

1.תקציר

1.דרך הפתרון

בשיטת ההצבה יש שני שלבי פתרון עיקריים:

  1. מבודדים את אחד המשתנים (ניתן לבחור כל משתנה, בכל משוואה).
  2. מציבים את המשתנה שבודדנו במשוואה השנייה. מקבלים משוואה עם נעלם אחד ופותרים.
  3. לאחר מיכן יש להציב את התוצאה שקיבלנו ולמצוא את המשתנה השני.

למשל:
2x – 4y = 8
3x + y = 5

שלב 1: נבודד את y במשוואה השנייה
3x + y = 5
y = 5 – 3x

שלב 2: נציב במשוואה הראשונה.
2x – 4y = 8
2x – 4(5 – 3x) = 8

זו משוואה עם נעלם אחד שאנו יודעים לפתור.
נקבל:
x = 2

שלב 3: נמצא את המשתנה השני
נציב זאת במשוואה המקשרת בין x ל y.
y = 5 – 3* 2
y = 5 – 6 = -1
ובכך פתרנו את התרגיל.

שימו לב
תמיד נבודד את המשתנה באחת המשוואות ונציב את מה שקיבלנו במשוואה האחרת.
לא ניתן לבודד משתנה ולאחר מיכן להציב באותה משוואה בה בודדנו.

2.כיצד לבחור את המשתנה שמבודדים בצורה שהפתרון יהיה נוח

כאשר אנו פותרים תרגיל.

  • מותר לבודד את המשתנה x או y על פי הבחירה שלנו.
  • מותר לבודד משתנה במשוואה הראשונה או במשוואה השנייה על פי הבחירה שלנו.

לרוב נוח יותר לעבוד ללא שברים. לכן:

1.כאשר יש משתנה עם מקדם 1 או 1- נוח לבודד אותו
על מנת לבודד משתנה תמיד נצטרך לחלק במקדם של המשתנה.
זה כלל שכדאי לזכור.

לכן כאשר המקדם של משתנה הוא 1 או 1- נוח לבודד את משתנה הזה, כי אז לא צריך לבצע את פעולת החילוק.
למשל:
4y + 2x = 10
y + 2x = 9

במקרה זה נעדיף לבודד את ה y במשוואה השנייה.
y = 9 – 2x

2.נשתדל לבחור משתנה שכאשר אנו מבודדים אותו הוא אינו גורם לשברים.
המשתנה הזה תמיד יהיה בעל המקדם הקטן ביותר (בערכו המוחלט) במשוואה שלו.
למשל:
4y – 2x = 11
6y + 3x = 9

במשוואות אלו רק צריך לבדוק אם את המשתנים 2x-  או 3x אם ניתן לבודד אותן ללא שבר.
עבור המשתנים 4y  או  6y  אין סיכוי שהם יבודדו בלי ליצור שבר.

3.כאשר אנו מבודדים משתנה עם מקדם שלילי ניתן להעביר אותו צד במקום לחלק במספר שלילי.

למשל:
4y – x = 6
3y + 2x = 9

במקרה זה נוח לבודד את x- במשוואה הראשונה.
ניתן לעשות על ידי העבר ה x- צד.
4y – x = 6  / + x – 6
4y – 6 = x

או על ידי חלוקה ב 1-. ואז צריך לשים לב שמשנים את הסימן לכל האיברים במשוואה.
4y – x = 6  / -4y
x = 6 – 4y  / : -1-
x = -6 + 4y

סיכום שלבי הפתרון של שיטת ההצבה

 

1.דוגמה נוספת

נדגים את שלבי הפתרון בשיטת ההצבה על מערכת המשוואות:

2x-6y=-2
3x-4y=2

1. מבודדים את אחד המשתנים באחת המשוואות.
במערכת משוואת זו הכי נוח לבודד את משתנה x במשוואה הראשונה.
2x-6y=-2  / +6y
2x=-2 +6y /:2
x=-1 +3y

2. מציבים את הערך שמצאנו במשוואה שלא השתמשנו בה לבידוד.
במקרה זה נציב את ערך ה x במשוואה 2.
3x-4y=2
4y+3(-1+3y)=2-
4y-3+9y=2 / +3-
5y=5 /:5
y=1

3. משתמשים בפתרון על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.
y=1
x=-1 +3y
x=-1+3*1=2
תשובה: y=1,   x=2.

לסיכום:

  1. מבודדים את אחד המשתנים, ניתן לבחור איזה משתנה שנוח לנו.
  2. מציבים את המשתנה שבודדנו במשוואה השנייה ופותרים. נקבל ערך של משתנה אחד.
  3. מציבים את הפתרון שקיבלנו בחלק הקודם באחת המשוואות ומוצאים את הערך של הפתרון השני.

2.כיצד לבחור את המשתנה אותו אנו מבודדים?

יש מספר שאלות שחוזרות על עצמן בנושא שיטת ההצבה.
אנסה לענות עליהן כאן.

1.האם צריך לבודד משתנה במשוואה הראשונה או השנייה?

נבחר את המשוואה שבה נוח וקל לנו יותר לבודד משתנה.
ניתן לבחור במשוואה הראשונה או השנייה, אין לכך חשיבות.

2.איזה משתנה צריך לבודד, x או y?

נבחר את המשתנה שנוח וקל לנו לבודד.
ניתן לבחור את x או את y, שניהם טובים.

3.האם מותר לבודד את המשתנה במשוואה ולהציב את המשתנה שבודדנו באותה משוואה?

לא.
אם אנו מבודדים את המשתנה במשוואה מסוימת עלינו להציב את המשתנה המבודד במשוואה האחרת.
דבר זה הוסבר בפירוט בדוגמה שלמעלה.

4.אם מותר לבודד איזה משתנה שרוצים, איך אדע איזה משתנה לבחור על מנת לבודד?

בדרך כלל אנו רוצים לבחור בדרך הפתרון הקלה יותר.
ברוב המקרים הדרך הקלה היא זו שכאשר מבודדים משתנה לא נוצרים שברים.

נשים לב שכאשר אנו מבודדים משתנה אנו מחלקים את המשוואה כולה במקדם שלו.
ואם חלוקה במקדם של המשתנה יוצרת שבר יתכן וכדאי לנו לבחור משתנה אחר לבידוד.

מסיבה זו לרוב נבודד את המשתנה שלו יש את המקדם הקטן ביותר בתוך המשוואה.
כי אם נבודד משתנה עם מקדם גדול תמיד יוצר לנו שבר.

כמו כן שימו לב שאין תשובה נכונה או לא נכונה לגבי איזה משתנה לבודד. ניתן לבודד כל משתנה שנבחר.
בחלק מהמקרים יש משתנה יחיד שקל יותר לבודד ובחלק מהמקרים יש כמה משתנים באלה אותה רמת קושי.

דוגמה 1
3y + 2x = 8
y = x + 2

כאן ה y כבר מבודד במשוואה השנייה לכן אין ספק שבכך כדאי להשתמש.

דוגמה 2
4y + 2x = 10
y + 2x = 9

כאן יש לנו y עם מקדם 1.
מה שאומר שכאשר נבודד אותו לא נצטרך לחלק את המשוואה ולכן לא יווצרו שברים.

y + 2x = 9 / -2x
y = 9 – 2x

דוגמה 3
4y + 2x = 11
6y + 3x = 9

במקרה זה 2 הוא המקדם הקטן ביותר במשוואה הראשונה.
אבל אם נחלק את המשוואה ב 2 נקבל שבר.

לעומת זאת במשוואה השנייה המקדם 3 הוא המקדם הקטן ביותר ואם נחלק את המשוואה ב 3, נקבל רק שלמים.
לכן אני הייתי בוחר לבודד את x במשוואה השנייה.

6y + 3x = 9  / -6y
3x = 9 – 6y  / :3
x = 3 – 2y

5.איך מבודדם משתנה שהמקדם שלו שלילי

הבעיה בבידוד מספר עם מקדם שלילי היא שתמיד אנו מחלקים את המשוואה במקדם.
וחילוק במספר שלילי יכול לגרום לטעויות.
יש לכך שני פתרונות:

  1. להעביר את המשתנה הזה אגף ואז הוא יהפוך להיות חיובי.
  2. לחלק במספר שלילי בלי לעשות טעויות – זה משהו שצריך לדעת.

למשל:
4y – x = 6
3y + 2x = 9

על פי הכללים שלמדנו קודם לכן ניתן להבין שאת המשתנה x המשוואה הראשונה הוא המשתנה שכדאי לבודד.

דרך ראשונה (על ידי העברת x אגף)
4y – x = 6  / + x – 6
4y – 6 = x

דרך שנייה (על ידי חילוק / כפל במספר שלילי).
4y – x = 6  / -4y
x = 6 – 4y  / : -1-
x = -6 + 4y

3.תרגילים

תרגיל 1
4x+2y=8
3y+3x=0

תרגיל 2
4x-5y=-22
x+2y=1

תרגיל 3
6x-3y=-21
4y-5x=28

תרגיל עם מכנה

פתרונות

תרגיל 1
4x+2y=8
3y+3x=0

פתרון
שלב 1: נבודד את y במשוואה 2.
3y+3x=0 /-3x
3y=-3x  /:-3
y=-x

שלב 2: נציב את מה שמצאנו במשוואה 1.
4x+2y=8
4x-2x=8
2x=8  /:2
x=4

שלב 3: נמצא את y על ידי הצבה במשוואה 1 או 2.
3y+3x=0
3y +3*4=0  /-12
3y=-12 /:3
y=-4
תשובה: x=4,   y=-4.

תרגיל 2
4x-5y=-22
x+2y=1

פתרון
שלב 1: נבודד את x במשוואה השנייה.
x+2y=1
x=1-2y

שלב 2: נציב את התוצאה במשוואה שבה לא השתמשנו.
במקרה זה משוואה 1.
4x-5y=-22
5y+4(1-2y)=-22-
5y+4-8y=22  /-4-
13y=-26  / :-13-
y=2

שלב 3: נמצא את ערך ה x.
x=1-2y
x=1-2*2=-3
תשובה: x=-3,   y=2.

תרגיל 3
6x-3y=-21
4y-5x=28

פתרון
שלב 1: נבודד את y במשוואה 1.
6x-3y= -21  /-6x
3y=-21 -6x  /:-3-
y=7+2x

שלב 2: נציב את התוצאה במשוואה שבה לא השתמשנו.
במקרה זה נציב במשוואה 2.
4y-5x=28
5x+4(7+2x) =28-
5x +28+8x =28  /-28-
3x=0  /:3
x=0

שלב 3: נמצא את ערך ה y.
y=7+2x
y=7 +0=0
y=7
תשובה: x=0,  y=7.

4.תרגיל עם מכנה

כאשר אתם צריכים לפתור תרגילים עם מכנה, עליכם לפשט את שתי המשוואות ואז להמשיך כמו בתרגילים הקודמים.

פתרו את המשוואות הבאות בשיטת ההצבה.

פתרון

נהפוך את המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

נהפוך את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

קיבלנו את שתי המשוואות:

2y – 5x=-30-
6y – 7x=2

נבודד את Y במשוואה הראשונה.
(הערה: אם לא היו הנחיות לפתור זאת בשיטת ההצבה היה נוח יותר לפתור את המשוואות הללו בשיטת השוואת המקדמים).

-2y-5x=-30 / +5x-
-2y=5x-30 / :-2-
Y=-2.5x+15

נציב את הערך שקיבלנו במשוואה השנייה.
6y-7x=2
2.5x+15) * 6 -7x = 2-)
15x+90-7x=2 / -90-
22x=-88 / : -22-
X=4

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה שבודדנו בה את Y.
Y = -2.5 * 4 + 15
Y= -10+15
Y=5
תשובה: x=4, y=5 .

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “שתי משוואות עם שני נעלמים שיטת ההצבה”

  1. אלישבע מזרחי

    היי תודה רבה על השיעורים זה מאד עוזר לי, אני לא הבנתי למה בתרגיל אחד התחלת עם המשוואה השניה??ולפני זה התחלת עם הראשונה?? אשמח לתשובה☺

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין מחויבות להשתמש בראשונה או בשניה.
      ניתן להשתמש בכול משוואה שנרצה – ולכן מה שנבחר זו המשוואה שבה יותר נוח לבודד בה את ה x.
      זה מה שעשיתי בשתי המשוואות הללו.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בדקתי ואצלי הסרטון עובד.
      מניסיון העבר אלו הם תוספים בדפדפן שמונעים מהסרטון לעבוד.
      האם סרטונים עובדים עבורך באתרים אחרים? יש לך דפדפן נוסף לבדוק איתו?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.