שתי משוואות עם שני נעלמים השוואת מקדמים

שיטת השוואת מקדמים יחד עם שיטת ההצבה הן שתי השיטות שבעזרתן פותרים שתי משוואת עם שני נעלמים.

אין שיטה שהיא יותר טובה מהשנייה בכול המקרים. עליכם לבחור את השיטה הנוחה לכם, ושאיתה אתם לא שוגים.
אם זאת בהרבה מהמקרים שיטת השוואת המקדמים קצרה יותר.
החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר ודוגמאות לשיטה.
  2. כיצד לבחור את פעולת הכפל הנוחה ביותר.
  3. שני מכשולים.
  4. תרגילים.

1.הסבר ודוגמאות לשיטה

בשיטת השוואת מקדמים נפעל על פי השלבים הבאים:

  1. אם צריך, הכפלת משוואה או שתי משוואות על מנת שנקבל מקדמים שווים או הפוכים בסימנם לאחד המשתנים.
  2. חיבור / חיסור המשוואות כך שנשאר עם משוואה עם נעלם אחד.
  3. פתרון המשוואה עם הנעלם האחד.
  4. הצבת הפתרון באחת משתי המשוואות המקוריות על מנת למצוא את המשתנה השני.

דוגמאות

דוגמה 1: מקדמים עם סימנים מנוגדים
נסתכל על המשוואות:
3x – 2y = 10
x + 2y = 2

המקדמים של y הם עם סימנים מנוגדים.
לכן אם נחבר את המשוואות, האגף השמאלי לאגף השמאלי והאגף הימני לאגף הימני, נקבל:
3x – 2y + x + 2y = 10 + 2
4x = 12

זו משוואה עם נעלם אחד שאנו יודעים לפתור.

דוגמה 2: מקדמים עם סימנים שווים
5x – y = -4
5x – 3y = 2

המקדמים של ה x שווים. לכן אם נחסר את המשוואות נקבל משוואה עם נעלם אחד:
5x – y – 5x – (-3y) = -4 – 2
2y = – 6

ראינו שכאשר יש לנו מקדמים הפוכים בסימן אנו יכולים לחבר משוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד.
כאשר יש לנו מקדמים שווים אנו יכולים לחסר משוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד.

דוגמה 3
2x – 4y = 8
3x + y = 5

כאן אין לנו מקדמים שווים או הפוכים בסימן.
אבל אם נכפיל פי 4 את המשוואה השנייה נקבל מקדמים הפוכים בסימן.

2x – 4y = 8
12x + 4y = 20

נחבר את המשוואות:
2x – 4y +12x + 4y = 8 + 20
14x = 28
x = 2

נציב x = 2 באחת משתי המשוואות המקוריות שקיבלנו:
3x + y = 5
y + 2*3 = 5
y + 6 = 5
y = -1
תשובה: x = 2,  y = -1.

דוגמה 4
2 = 4x + 2y
x -3y=11

במקרה זה נכפיל את משוואה (2) ב 4 וכך ניצור מקדמים שווים עבור משתנה x.

2 = 4x + 2y
4x -12y = 44

שלב 2: נחסר את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.
14y= -42
14y=-42 /:14
y = -3

שלב 3: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.
2 = 4x + 2y
4x + 2*-3=2
4x-6 =2  /+6
4x=8 /:4
x = 2
תשובה: y = -3,  x = 2.

3y + 2x = 3
4y + 3x = 5

דוגמה 5
3y – 2x = 3
4y + 3x = 5

כאן עלינו להכפיל את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.
9y – 6x = 9
8y + 6x = 10

נחבר את המשוואות:
17y=19
y = 1.117

נציב את y = 1.117 במשוואה הראשונה שקיבלנו.
2x + 3*1.117 = 3-
2x + 3.351 = 3-
2x = -0.351-
x = 0.1755

תשובה: y = 1.117,  x = 0.1755.

2.כיצד לבחור את פעולת הכפל על המשוואות כך שהפתרון יהיה נוח

על מנת לפתור בשיטה זו צריך להכפיל משוואות.
בחלק זה נלמד אלו פעולות כפל יאפשרו לנו לפתור בקלות רבה יותר.

1.דוגמאות למקרים בהם צריך להכפיל רק משוואה אחת
1.כאשר אחד המקדמים הוא 1 או 1- נוכל להכפיל רק משוואה אחת, וזה נוח יותר.
למשל:
6y + 2x = 5
y – 3x = 7

נכפיל את המשוואה השנייה פי 6 ונקבל מקדמים שווים ל y.
6y + 2x = 5
6y – 18x = 42

2.כאשר אחד המקדמים הוא כפולה של המקדם המתאים במשוואה השנייה.
דוגמה 1
7y + 2x = 5
5y – 6x = 3

מכוון ש 6 הוא כפולה של 2. נכפיל רק את המשוואה הראשונה פי 3 ונקבל משוואות עם מקדמים מנוגדים.
21y + 6x = 15
5y – 6x = 3

דוגמה 2
3y – 2x = 0
12y + 7x = 4

מכוון ש 12 הוא כפולה של 3. נכפיל רק את המשוואה הראשונה פי 4 ונקבל משוואות עם מקדמים זהים.
12y – 8x = 0
12y + 7x = 4

2.במקרים שבהם צריך להכפיל את שתי המשוואות נבחר להכפיל בצורה שתיתן לנו מספרים קטנים ככל הניתן.
תמיד יהיו לנו לפחות 2 אפשרויות לביצוע כפל.
שתיהן נכונות מבחינה מתמטיקה ויובילו אותנו אל הפתרון הנכון.
אבל לפעמים נוח יותר לבחור פעולה אחת מבין השתיים.

למשל בתרגיל הבא:

5y + 2x = 11
8y + 3x = 9

על מנת להשוות את ערכי ה y צריך להכפיל את המשוואה הראשונה ב 8 ואת המשוואה השנייה ב 5.
כך נקבל:
40y + 16x = 88
40y + 15x = 45

ועל מנת להשוות את ערכי ה x אנו צריכים להכפיל את המשוואה הראשונה פי 3 ואת המשוואה השנייה פי 2.
כך נקבל:
15y + 6x = 33
16y + 6x = 18

לרוב האנשים נוח יותר לעבוד עם מספרים קטנים לכן אפשרות הכפל ב 3 ו 2. עדיפה על כפל ב 8 ו 5.

3.מכשולים בדרך לפתרון

1.לשים לב שמכפילים את כל חלקי המשוואה
בשלב הראשון יש לשים לב שאתם מכפילים את כל חלקי המשוואה בצורה נכונה.
כאשר השגיאה הנפוצה היא להכפיל רק את האיבר שאתם רוצים שיתאפס). למשל:
4x + y = -8
7x +3y= 2
במקרה זה אנחנו צריכים להכפיל את המשוואה הראשונה פי 3 על מנת להשוות את מקדמי ה y. במקרים רבים תבוצע הטעות הזו:
4x + y = -8 /*3
12x + 3y = – 8
כלומר שוכחים להכפיל את הצד השני של המשוואה, או שוכחים להכפיל את המקדם של המשתנה השני.

2.לפעמים תקבלו משוואות "לא מסודרות"
2x – 5y = 10
2y + 10 = 2x
במקרה זה אם תחסרו או תחברו את המשוואות אף אחד מהמשתנים לא "יעלם" ויש לסדר את המשוואות בצורה אחרת, למשל כך:
2y + 10 = 2x
2y+10=2x / -2x-10
2y-2x=-10
ועכשיו ניתן לבצע חיבור משוואות.
2y – 2x= -10
2x – 5y = 10

4.תרגילים

בתרגילים 1-2 צריך לכפול רק משוואה אחת.
בתרגילים 3-5 צריך לכפול את שתי המשוואות.

תרגיל 1
5x+y=9
3x-2y= – 5

תרגיל 2
3x+3y= – 6
4x+y= -8

תרגיל 3
3y – 2x=10
2y + 3x = -2

תרגיל 4
2x – 2y = 4
7x – 5y = 4

תרגיל 5
2y = 3x – 14
4x+5y=11

פתרונות

תרגילים בהם צריך להכפיל רק משוואה אחת.

תרגיל 1
5x+y=9
3x-2y= – 5

פתרון
שלב 1: נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2:
5x+y=9  /*2
10x+2y=18

שלב 2: נחבר את המשוואות ונפתור:
10x + 2y = 18
3x – 2y = – 5

13x=13 /:13
x=1

שלב 3: נציב את x=1 באחת המשוואות על מנת למצוא את y.
5x+y=9
y+5 = 9 /-5
y=4

תשובה: y=4,  x=1.

תרגיל 2
3x+3y= – 6
4x+y= -8

פתרון
שלב 1: נכפיל את המשוואה השנייה פי 3.
4x + y= -8 /*3
12x +3y= – 24

שלב 2: נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2 ונפתור.
3x + 3y = – 6
12x + 3y= – 24

(9x = -24 – (-6
9x = -18  / :9
x = -2

שלב 3: נציב x = -2 במשוואה 2 על מנת למצוא את y.
(מי שרוצה יכול להציב גם במשוואה 1).
4x+y= -8
y + 4*-2 =-8
y-8=-8 /+8
y=0
תשובה: x=-2,   y=0.

תרגילים קשים יותר בהם צריך להכפיל את שתי המשוואות.

בנוסף, תרגיל 5 הוא משוואה לא מסודרת.

תרגיל 3
3y – 2x=10
2y + 3x = -2

פתרון
נכפיל את משוואה 1 ב 2. ואת משוואה 2 ב 3.
3y-2x=10  /*2
2y + 3x = -2 / *3

6y – 4x = 20
6y + 9x = -6
נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2.
(9x – (-4x) = – 6 -(-20
13x = -26  / :13
x = -2

נציב x = -2 במשוואה 2 על מנת למצוא את y.
2y + 3x= -2
2y -2*3=-2
2y – 6 = -2 /+6
2y=4 /:2
y=2
תשובה: x=-2,  y=2.

תרגיל 4
2x – 2y = 4
7x – 5y = 4

פתרון
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת המשוואה השנייה פי 2.
2x – 2y = 4  /*5
7x – 5y = 4  /*2

10x – 10y = 20
14x – 10y = 8
נחסר את המשוואה 1 ממשוואה 2.
14x – 10x =8 – 20
4x = -12
x=-3

נציב את x=-3 במשוואה 1 על מנת למצוא את y.
2x – 2y = 4
2y + 2*-3 = 4-
2y – 6 = 4 / +6-
2y = 10  /:-2-
y = -5
תשובה: y =-5   x=-3.

תרגיל 5
2y = 3x – 14
4x+5y=11

קודם כל עלינו לסדר את משוואה 1 על מנת שנוכל להמשיך.
2y=3x-14  / -3x
2y – 3x = -14

עכשיו נכפיל את משוואה 1 ב 4 ואת המשוואה השנייה ב 3.
2y – 3x = -14  / *4
4x + 5y = 11  /*3

8y – 12x = -56
12x + 15y = 33
נחבר את המשוואות:
8y + 15y = -56 + 33
23y = -23 /:23
y = -1

נציב במשוואה 1 על מנת למצוא את x.
3x – 14 = 2y
2*-1 = 3x -14
3x = -2 + 14
3x = 12  /:3
x=4
תשובה: x = 4,   y = -1.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “שתי משוואות עם שני נעלמים השוואת מקדמים”

  1. אם יש סימנים מנוגדים בy אז למה צריך להכפיל את אחת המשוואות?
    5x+y= 9
    3x-2y= – 5
    אם יש סימנים מנוגדים צריך רק לחבר בין המשוואות, לא?

    1. לומדים מתמטיקה

      מעבר לסימנים מנוגדים המקדם של המשתנה y צריך להיות שווה או הפוך בסימנו.
      במשוואות הללו 1 הוא המקדם בראשונה ו 2- הוא המקדם בשנייה.
      לכן מכפילים את המשוואה הראשונה פי 2.

    1. לומדים מתמטיקה

      כאשר הסימנים של אחד מהמקדמים הם הפוכים. כמו 4 לעומת 4-.
      לדוגמה
      2x + 4y = 10
      2x – 4y = -1

      במקרה זה נחבר את המשוואות על מנת לקבל משוואה ללא y.

  2. תודה ממש עזר.
    אבל אם יש לי שתי משוואת ששתיהן עם פלוס כך שבעצם לא מתבטל לי הy לצורך העניין?
    למשל
    2X+Y=2
    X+3Y=1

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן להכפיל את המשוואה הזו
      2X+Y=2
      פי 3 ולקבל
      6x + 3y = 6
      ואז אתה עם שתי המשוואות
      X+3Y=1
      6x + 3y = 6
      תחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה ותקבל:
      5x = 5
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.