שתי משוואות עם שני נעלמים

שתי משוואות עם שני נעלמים הוא נושא טכני הדורש סדר ותרגול.

בדף זה נלמד את הנושא על פי החלוקה הבאה:

  1. דרך הפתרון בשיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים.
  2. 4 מצבים נפוצים שצריך להכיר.
  3. שיטת השוואת המקדמים.
  4. שיטת ההצבה.
  5. כיצד ניתן לבדוק שהגענו לתשובה הנכונה.
  6. שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים.
  7. שתי משוואות הכוללות מכנה.

דפים נוספים שאינם כלולים בדף זה:

  1. שתי משוואות עם שני נעלמים ואינסוף פתרונות או אף פתרון.
  2. שתי משוואות עם שני נעלמים: משוואות לא מסודרות.
  3. שתי משוואות עם שני נעלמים: פתרון גרפי (חשוב פחות).
  4. שתי משוואות עם שני נעלמים עם משוואה ריבועית.

סיכום וידאו

לסיכום בסרטון זה יש 3 חלקים:

  1. הסבר לשיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים.
  2. 4 מצבים שרוב התרגילים כלולים באים.
  3. משוואות עם אינסוף פתרונות, אף פתרון ופתרון גרפי.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.דרך הפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים

בנושא שתי משוואות עם שני נעלמים יש שני דברים עיקריים שצריך לדעת:

  1. פתרון בשיטת ההצבה.
  2. פתרון בשיטת השוואת המקדמים.

הרעיון של הפתרון בשתי השיטות הוא אותו רעיון: לקחת את שתי המשוואות ולהפוך אותם למשוואה עם נעלם אחד.

בשיטת ההצבה

בשיטת ההצבה הופכים את שתי המשוואות למשוואה אחת על ידי הצבה.

למשל:

x = 2y + 3
3y  – 4x = 18

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:

3y – 4(2y + 3) = 18

זו משוואה עם נעלם אחד שאנו יכולים לפתור ולמצוא את y.

לאחר שנמצא את y צריך להציב באחת משתי המשוואות הראשונות שקיבלנו ולמצוא את x.

שיטת השוואת מקדמים

בשיטת השוואת המקדמים מקבלים משוואה עם נעלם אחד על ידי חיבור או חיסור המשוואות.

לדוגמה

2x – 2y = 10
x + 2y = 2

במקרה זה יש לנו סימנים הפוכים במקדמים של y.
נחבר את צד שמאל לצד שמאל ואת צד ימים לצד ימין ונקבל:

2x – 2y + x + 2y = 10 + 2
3x = 12
x = 4

דוגמה נוספת

4x – y = 10
4x + 5y = 4

במקרה זה לנו מקדמים זהים ל x ולכן נחסר משוואות ונקבל

4x – y – 4x – 5y = 10 – 4
-6y = 6
y = -1

2. ארבעת המצבים הנפוצים שתפגשו

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3.פתרון בשיטת השוואת המקדמים

בחלק זה נתמקד בשיטת השוואת המקדמים.

המטרה של השיטה היא להשוות את המקדמים של x או y ואז "להעלים" את אחד המשתנים על ידי חיבור או חיסור של המשוואות.
לאחר מיכן מה שנותר הוא משוואה אחת עם נעלם אחד.

שלבי השיטה:

  1. אם צריך, הכפלת משוואה או שתי משוואות על מנת שנקבל מקדמים שווים או הפוכים בסימנם לאחד המשתנים.
  2. חיבור / חיסור המשוואות כך שנשאר עם משוואה עם נעלם אחד.
  3. פתרון המשוואה עם הנעלם האחד.
  4. הצבת הפתרון באחת משתי המשוואות המקוריות על מנת למצוא את המשתנה השני.

אדגים את השלבים על מערכת המשוואות:
3y – 2x=3   (משוואה 1)
4y+3x=5   (משוואה 2)
1. מכפילים את אחת המשוואות או את שתיהן על מנת שמקדמי אחד המשתנים יהיו שווים בערכם המוחלט.

במקרה שלנו צריך להכפיל את שתי המשוואות.
את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.

3y – 2x = 3  / *3   ⇒    9y – 6x=9
4y + 3x = 5  / *2  ⇒  8y + 6x=10

הגענו למצב שבמשוואה אחת יש 6x ובשנייה 6x-.
כאשר נחבר את המשוואות ה x "יעלם" ונשאר עם משוואה הכולל y.

שלב 2: מחסרים או מחברים את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.
נחבר את המשוואות
9y-6x=9
8y+6x=10
ונקבל:
9y – 6x + 8y + 6x = 9 + 10
17y=19

שלב 3: נפתור משוואה עם נעלם אחד
עכשיו נשארנו עם משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה.
17y =19  / : 17
y = 1.117

שלב 4: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.
מצאנו y = 1.117.
עכשיו עלינו למצוא את x.

אלו המשוואות המקוריות שקיבלנו:
3y – 2x=3
4y + 3x=5
נציב את y = 1.117 במשוואה הראשונה ונמצא את x.

2x + 3 * 1.117 = 3-
2x + 3.351 = 3  / -3.351-
2x = -0.351   / : -2-
x = 0.1755

תשובה: y= 1.117,   x =  0.1755.

תרגילים

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת
6x-2y=24
x+5y=4

פתרון התרגיל

על מנת להשוות את מקדמי ה- X נכפיל את משוואה מספר 2 ב- 6 ונקבל:
x+5y=4  /*6
6x+30y=24

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
6x – 2y=24
6x + 30y=24

נחסר את משוואה (1) ממשוואה (2).
32y=0 /:32
y=0

נציב את הערך שקיבלנו עבור Y במשוואה (1) על מנת למצוא את ערך ה- X.

6x-2*0=24
6x=24 /:6
X=4
תשובה: X=4 , Y=0

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

לחצו לפתרון התרגיל

על מנת שמקדמי ה- Y יהיו בעלי אותו ערך מוחלט נכפיל את משוואה 1 ב- 2 ואת משוואה 2 ב- 3.
8x + 6y=-22
9x – 6y=-12

נחבר את שתי המשוואות:
17x = -34 / :17
x= -2

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה 1.
6y + 8 * (-2) = -22
6y – 16 = -22  / + 16
6y = -6  / : 6
y= -1
תשובה: x= -2,  y= -1

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות
(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

לחצו לפתרון התרגיל

במשוואה הראשונה נעביר את y לצד ה x.
3x=5y+5 / -5y
3x – 5y = 5

במשוואה השנייה נעביר את x לצד ה y.
2y = 4x-16 / -4x
2y – 4x= -16

אלו שתי המשוואות שקיבלנו:
3x – 5y = 5 / *2
2y – 4x = -16 / *5

נכפיל את הראשונה פי 2 ואת השנייה פי 5.
6x-10y=10
10y-20x=-80

נחבר את המשוואות.
14x = -70 / : -14-
x = 5

נציב את  x = 5 במשוואה מספר 2.
2y = 4x – 16
2y = 4*5 -16
2y = 20 – 16
2y = 4 / :2
y=2
תשובה: x=5, y=2.

4.שיטת ההצבה

סדר פעולות:

  1. אם יש מכנים מכפילים אותם המכנה המשותף.
  2. אנו מבודדים את אחד המשתנים ומציבים אותו במשוואה השנייה, כך שנוצרת משוואה עם נעלם אחד.
    חשוב: לא ניתן להציב במשוואה שבה בודדנו את המשתנה.
    איזה משתנה מבודדים? את המשתנה שהכי קל לבודד.
  3. לאחר שמצאנו ערך של משתנה אחד מציבים אותו במשוואה שבודדנו (לאחר שביצענו את הבידוד).
    אם לא ברור איפה מציבים תוכלו לראות זאת בתרגילים הפתורים או להציב באחת משתי המשוואות שקיבלתם לפתור.

תרגילים בשיטת ההצבה

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

תרגיל 1: הצבה מוכנה
  x = y – 6
3x + y = -2

לחצו לפתרון התרגיל

נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
y-6)*3 + y = -2)
3y – 18 + y = -2 / +18
4y = 16 / :4
y = 4

נציב את ערך ה y שקיבלנו במשוואה 1.
x = 4 – 6
x = -2
תשובה: y= 4, x= -2

תרגיל 2
4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

לחצו לפתרון כתוב

נבודד את משתנה x במשוואה 1.
4y + 2x = 20 / -4y
2x = 20 – 4y / :2
x = 10 – 2y

נציב את ערך X במשוואה 2.
10-2y) * 5 – 2y= -10)
50-10y-2y = -10 /-50
12y = -60 / : -12-
y = 5

נציב את ערך ה- y שקיבלנו במשוואה שבה בודדנו את x.
x = 10 – 2y
x = 10 – 2*5
x = 10 – 10
x = 0
תשובה: x=0, y=5

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

לחצו לפתרון התרגיל

נבודד את משתנה y במשוואה 2.
2y – 4x = -34 / +4x-
2y = 4x – 34 /  : -2-
y = -2x + 17

נציב את ערך ה- y במשוואה 1.
2x+17) * 5 + 3x = 15-)
10x + 85 + 3x = 15 /-85-
7x = -70 /  : -7-
x = 10

נציב את ערך ה- x במקום שבו בודדנו את ה- y.
y = -2x + 17
y = -2*10+17
y = -20+17
y = -3
תשובה: x = 10, y = -3.

5.כיצד ניתן לבדוק שהגענו לתשובה הנכונה

עבור המשוואות האחרונות:
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

מצאנו כי הפתרון הוא:
x = 10, y = -3.

איך נבדוק שפתרון זה נכון?
על ידי הצבה של הפתרון בשתי המשוואות.
לאחר ההצבה נוכל לראות אם הפתרון נכון עבור המשוואה או לא.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
5y + 3x = 15
15 = 10 * 3 + (3-) * 5
15 = 30 + 15-
15 = 15
הפתרון נכון עבור המשוואה הראשונה.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
2y – 4x = -34-
34- = 10 * 4 – (3-) * 2-
34 – = 40 – 6
34- = 34-
הפתרון נכון עבור המשוואה השנייה.

הפתרון x = 10, y = -3 נכון עבור שתי המשוואות ולכן הוא הפתרון של המשוואות.

עוד באתר:

6.שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

בקצרה אומר שאין שיטה אחת שיותר טובה בכול המקרים.
והדבר החשוב הוא שתבחרו בשיטה שאיתה אתם לא עושים טעויות.

לפעמים שיטת ההצבה מובילה אל הפתרון במהירות רבה יותר ולפעמים שיטת השוואת המקדמים.
אבל עבור מערכת משוואות רגילה שיטת השוואת המקדמים לרוב מהירה יותר.

7.לסיום: תרגילים עם מכנה בשתי השיטות

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

63 מחשבות על “שתי משוואות עם שני נעלמים”

  1. הי יש לי שאלה אך אני פותרת משוואה כזו אשר בנויה מ 2 משוואות
    אחת: Y=X-3
    שניה:Y=2X+4
    תודההההההה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה דומה לשיטת ההצבה.
      מציבים את ערך ה Y של המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ומקבלים:
      x – 3 = 2x – 4

  2. יש משוואות שאפשר לפתור רק בדרך אחת? או השוואת מקדמים או הצבה . או שתמיד אפשר את שניהם?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תמיד אפשר את שניהם אבל יש מקרים שבם הקושי שווה בשתי הדרכים ומקרים אחרים בהם דרך אחת קלה יותר מהאחרת.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    1.דרך הפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים
    ב 1.18 שניות אמור להיות בסוף 10 או 12 ?

  4. היי
    יש לי שאלה
    כשיש מערכת משוואות ממעלה גבוהה
    אז אחרי שמקבלים את הX איפה מציבים אותו כדי לגלות את הY?
    במשוואה מהמעלה הגבוהה ביותר? הנמוכה ביותר? או שבכלל זה קשור לזוגיות של המעלה?
    תודה רבה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מבודדים את המשתנה במשוואה שקל לבודד אותו – בדרך כלל במשוואה ממעלה נמוכה.
      ומציבים במשוואה שלא בודדנו בה את המשתנה – בדרך כלל המעלה הגבוהה יותר.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום.
    נגיד ויש לי 3x+5y=75
    ו 4x-7y=-23
    זה משנה במה אני מכפילה לדוגמה את המשוואה הראשונה ב 4 ואת השנייה ב 3 או את המשוואה הראשונה ב -7 ואת השנייה ב 5
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שתי הדרכים נכונות.
      אבל האפשרות השנייה תגרום למספרים גדולים יותר במשוואות. (אבל במקרה זה זה לא כל כך משנה).

  6. שלום זה אתר נפלא!
    אבל אני לא הבנתי איך פותרים משוואה עם שני נעלמים עם שברים לדוגמא: x:5+y:3=5
    4x-7y=-23
    תודה

  7. שלום.
    אם יש לי תרגיל שבתשובה שלו יש שני נעלמים
    (לדוג': 2X+7Y-20=60+4Y
    3X+2Y+11=99-X)
    איך אני יכול לפתור?
    אם אני אעשה השוואת מקדמים עדיין יישארו לי 2 נעלמים כי אי אפשר לעשות X-Y!
    תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשר לקבל מכך בעזרת הכלל של פתיחת סוגריים עם חזקה.
      xy)^2 *3 = 64)
      ואז לחלק ב 3.
      וזה בתנאי שה 3 במשוואה הראשונית לא היה בריבוע.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רן
      החומר נלמד לראשונה בכיתה ח, ממשיכים ללמוד גם בשנים שלאחר מיכן.

  8. היי דבר ראשון תודה הכל כל כך ברור ומובןן אתה מלמד ממש טוב רציתי לשאול מה עשים אם יש לי במשוואה X, Y. וגם XY מה עלי לעשות במצב כזה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לבודד את אחד מהמשתנים ואז להציב במשוואה האחרת.
      למשל כך:
      x + 2y + 3xy = 0
      x(1 + 3y) = -2y
      (x = -2y / (1 + 3y

  9. שלום
    ההסברים שלך מצויינים ואני נהנית להשתמש באתר שלך.
    בסרטון השני שלך, המסכם את 2 השיטות, בשיטת ההצבה ישנה טעות: אם x=1 y=2 הרי שהמשוואה הראשונה שווה ל-7, ולא ל-6.
    בברכה, שירן

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שירן
      תודה על המחמאות ותודה על התיקון.
      צפיתי בסרטון ולא ראיתי שנאמר של ש x = 1, y = 2 הוא הפתרון בשיטת ההצבה.
      x = 1, y = 2 הוא הפתרון עבור המערכת שבאה אחר כך (פתרון גרפי).
      אם את רואה משהו אחר אשמח שתגידי.
      תודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מצאת את אחד המשתנים, תציב אותו באחת משתי המשוואות הראשונות שקיבלת, תקבל משוואה עם נעלם אחד ותמצא את ערך המשתנה השני.

      לפעמים הדרך קצרה יותר אם פתרת בדרך של שיטת ההצבה.
      במקרה זה צריכה להיות לך משוואה שבאמצעותה ניתן להציב ולמצוא בצורה קצת יותר מהירה את המשתנה השני.

  10. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שאלה
    איך ניתן לפתור משוואה עם שני נעלמים כאשר במכנה יש גם X וגם Y?

      1. היי אם יש לי משוואה למשל שכתוב בה ככה
        4y+ 5x+xy=6
        איך אני פותרת אותה עם האיקס וואי מחוברים?

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          ניתן להשתמש בהוצאת גורם משותף על מנת לבודד את אחד המשתנים.
          למשל כך:
          4y+ 5x+xy=6
          xy + 4y = 6 – 5x
          y(x + 4) = 6 – 5x
          y = (6 – 5x) / (x + 4)
          ואז להציב את y במשוואה השנייה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מכפלת המספרים היא תמיד המכנה המשותף. כך ש 180 היא תשובה.
      אבל במקרה הזה ניתן למצוא גם מכנה משותף קטן יותר והוא 90.
      90 = 9 * 10
      90 = 5 * 18

  11. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש גם פתיחה לנושא כלומר הנגשת החומר והרלוונטיות שלו בחיים??

      1. איך פותרים משוואה כזו:
        מינוס איקס מינוס וואי שווה 12
        חמש איקס מינוס שש וואי שווה מינוס חמש

  12. במשוואה השניה שבה מופיע השבר העשרוני 0.5.
    מדוע לא מתייחסים לשבר העשרוני כשבר רגיל (1/2) ואז מכפילים אותו ב2 ולא ב4 למציאת מכנה משותף?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שון
      אם אתה מדבר על התרגיל השני בחלק – תרגילים עם מכנה בשתי השיטות –
      אז יש שם מכנה 2 ומכנה 4.
      המכנה המשותף של 2 ו 4 הוא 4 ולכן מכפילים פי 4.
      מקווה שעזרתי

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה דן. בנוגע לסרטונים אני מעדיף להתאים את עצמי למי שצריך זמן כדי להבין.

      1. שלום וברכה אני רוצה לתת לכם תרגיל שאני פשוט לא מצליחה לפוראותו והעינין הוא שכן הבנתי את מ שאתם מסבירים כי אתם מסבירים מעולה אבל מעשי אני לא מצליחה לעשות
        אין לי מושג איך עושים איקסים וואי אז אני יכתוב את זה באותיות
        7 איקס+3וואי=20
        5איקס=2וואי+6
        אשמח אם אגיע לתשובה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          אם הדרך בסדר אבל יש טעות זו כנראה טעות חישוב – ולא ניתן לראות אותה בלי לראות תרגיל.
          דרך קצרה יחסית לפתרון היא לבודד את Y במשוואה השנייה ואז להציב במשוואה הראשונה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.