שתי משוואות עם שני נעלמים

שתי משוואות עם שני נעלמים הוא נושא טכני הדורש סדר ותרגול.
באתר זה יש קורס מלא ומקיף בנושא.

לאחר הקישורים לדפי הקורס תוכלו למצוא בדף:

1. סרטון היכרות.
2. שיטת השוואת המקדמים.
3. שיטת ההצבה.
4. שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים.
5. שתי משוואות הכוללות מכנה.

הקורס

דפים בסיסיים:
הנושאים הנמצאים בקישורים 2,3 שיטת השוואת המקדמים ושיטת ההצבה הם הנושאים החשובים ביותר והם עיקר החומר.
גם קישור 4 חשוב.
את כל שאר הנושאים יש לדעת בהתאם לנדרש ממכם בכיתה.

1. היכרות עם שתי משוואות ושני נעלמים (לא חובה).
2. שיטת השוואת המקדמים. (השיטה המועדפת עלי)
3. שיטת ההצבה,
4. משוואות ללא פתרון או עם אינסוף פתרונות.
5. משוואות לא מסודרות עם שני נעלמים.
6. בעיות מילוליות עם שני נעלמים.

דפי בונוס:
ניתן ללמוד משני הדפים הללו במקום 6 הדפים שלמעלה. למעט בעיות מילוליות שלא נכללות בחלק זה.

1. שתי משוואות עם שני נעלמים סיכום.
2. שתי משוואות עם שני נעלמים תרגילים (11 תרגילים מכל הסוגים).

נושאים נוספים:
פתרון גרפי זה נושא שנלמד – אך הוא לא חשוב.
שילוב של פרמטר במשוואות נלמד בכיתה י.

1. פתרון גרפי של שתי משוואות עם שני נעלמים (נושא לא חשוב).
2. שתי משוואות ושני נעלמים עם פרמטר (כיתה י)

1.היכרות ומשמעות גרפית של שתי משוואות עם שני נעלמים

2.פתרון בשיטת השוואת המקדמים

המטרה של השיטה היא להשוות את המקדמים של x או y ואז "להעלים" את אחד המשתנים על ידי חיבור או חיסור של המשוואות.
לאחר מיכן מה שנותר הוא משוואה אחת עם נעלם אחד.

שלבי השיטה:

1. אם צריך, הכפלת משוואה או שתי משוואות על מנת שנקבל מקדמים שווים או הפוכים בסימנם לאחד המשתנים.
2. חיבור / חיסור המשוואות כך שנשאר עם משוואה עם נעלם אחד.
3. פתרון המשוואה עם הנעלם האחד.
4. הצבת הפתרון באחת משתי המשוואות המקוריות על מנת למצוא את המשתנה השני.

אדגים את השלבים על מערכת המשוואות:
3y – 2x=3   (משוואה 1)
4y+3x=5   (משוואה 2)
1. מכפילים את אחת המשוואות או את שתיהן על מנת שמקדמי אחד המשתנים יהיו שווים בערכם המוחלט.

במקרה שלנו צריך להכפיל את שתי המשוואות.
את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.

3y – 2x = 3  / *3   ⇒    9y – 6x=9
4y + 3x = 5  / *2  ⇒  8y + 6x=10

הגענו למצב שבמשוואה אחת יש 6x ובשנייה 6x-.
כאשר נחבר את המשוואות ה x "יעלם" ונשאר עם משוואה הכולל y.

שלב 2: מחסרים או מחברים את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.
נחבר את המשוואות
9y-6x=9
8y+6x=10
ונקבל:
9y – 6x + 8y + 6x = 9 + 10
17y=19

שלב 3: נפתור משוואה עם נעלם אחד
עכשיו נשארנו עם משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה.
17y =19  / : 17
y = 1.117

שלב 4: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.
מצאנו y = 1.117.
עכשיו עלינו למצוא את x.

אלו המשוואות המקוריות שקיבלנו:
3y – 2x=3
4y + 3x=5
נציב את y = 1.117 במשוואה הראשונה ונמצא את x.

2x + 3 * 1.117 = 3-
2x + 3.351 = 3  / -3.351-
2x = -0.351   / : -2-
x = 0.1755

תשובה: y= 1.117,   x =  0.1755.

תרגילים עם פתרונות מלאים השוואת מקדמים

תרגיל 1
6x-2y=24
x+5y=4

תרגיל 2
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

תרגיל 3
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

תשובות סופיות
תרגיל 1: X=4 , Y=0
תרגיל 2: x= -2,  y= -1
תשובה: x=5, y=2.

פתרונות

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת
6x-2y=24
x+5y=4

פתרון
על מנת להשוות את מקדמי ה- X נכפיל את משוואה מספר 2 ב- 6 ונקבל:
x+5y=4  /*6
6x+30y=24

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
6x – 2y=24
6x + 30y=24

נחסר את משוואה (1) ממשוואה (2).
32y=0 /:32
y=0

נציב את הערך שקיבלנו עבור Y במשוואה (1) על מנת למצוא את ערך ה- X.

6x-2*0=24
6x=24 /:6
X=4
תשובה: X=4 , Y=0

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

פתרון
על מנת שמקדמי ה- Y יהיו בעלי אותו ערך מוחלט נכפיל את משוואה 1 ב- 2 ואת משוואה 2 ב- 3.
8x + 6y=-22
9x – 6y=-12

נחבר את שתי המשוואות:
17x = -34 / :17
x= -2

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה 1.
6y + 8 * (-2) = -22
6y – 16 = -22  / + 16
6y = -6  / : 6
y= -1
תשובה: x= -2,  y= -1

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות
(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

פתרון
במשוואה הראשונה נעביר את y לצד ה x.
3x=5y+5 / -5y
3x – 5y = 5

במשוואה השנייה נעביר את x לצד ה y.
2y = 4x-16 / -4x
2y – 4x= -16

אלו שתי המשוואות שקיבלנו:
3x – 5y = 5 / *2
2y – 4x = -16 / *5

נכפיל את הראשונה פי 2 ואת השנייה פי 5.
6x-10y=10
10y-20x=-80

נחבר את המשוואות.
14x = -70 / : -14-
x = 5

נציב את  x = 5 במשוואה מספר 2.
2y = 4x – 16
2y = 4*5 -16
2y = 20 – 16
2y = 4 / :2
y=2
תשובה: x=5, y=2.

3.שתי משוואות בשני נעלמים בשיטת ההצבה

סדר פעולות:

1. אם יש מכנים מכפילים אותם המכנה המשותף.
2. אנו מבודדים את אחד המשתנים ומציבים אותו במשוואה השנייה, כך שנוצרת משוואה עם נעלם אחד.
   חשוב: לא ניתן להציב במשוואה שבה בודדנו את המשתנה.
   איזה משתנה מבודדים? את המשתנה שהכי קל לבודד.
3. לאחר שמצאנו ערך של משתנה אחד מציבים אותו במשוואה שבודדנו (לאחר שביצענו את הבידוד).
   אם לא ברור איפה מציבים תוכלו לראות זאת בתרגילים הפתורים או להציב באחת משתי המשוואות שקיבלתם לפתור.

תרגילים עם פתרונות מלאים שיטת ההצבה

תרגיל 1
x = y – 6
3x + y = -2

תרגיל 2
4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

תשובות סופיות
תרגיל 1: y= 4, x= -2
תרגיל 2: x=0, y=5
תרגיל 3: x = 10, y = -3.

פתרונות

תרגיל 1: הצבה מוכנה
  x = y – 6
3x + y = -2

פתרון
נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
y-6)*3 + y = -2)
3y – 18 + y = -2 / +18
4y = 16 / :4
y = 4

נציב את ערך ה y שקיבלנו במשוואה 1.
x = 4 – 6
x = -2
תשובה: y= 4, x= -2

תרגיל 2

4y + 2x = 20
5x – 2y = -10

פתרון
נבודד את משתנה x במשוואה 1.
4y + 2x = 20 / -4y
2x = 20 – 4y / :2
x = 10 – 2y

נציב את ערך X במשוואה 2.
10-2y) * 5 – 2y= -10)
50-10y-2y = -10 /-50
12y = -60 / : -12-
y = 5

נציב את ערך ה- y שקיבלנו במשוואה שבה בודדנו את x.
x = 10 – 2y
x = 10 – 2*5
x = 10 – 10
x = 0
תשובה: x=0, y=5

תרגיל 3
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

פתרון
נבודד את משתנה y במשוואה 2.
2y – 4x = -34 / +4x-
2y = 4x – 34 /  : -2-
y = -2x + 17

נציב את ערך ה- y במשוואה 1.
2x+17) * 5 + 3x = 15-)
10x + 85 + 3x = 15 /-85-
7x = -70 /  : -7-
x = 10

נציב את ערך ה- x במקום שבו בודדנו את ה- y.
y = -2x + 17
y = -2*10+17
y = -20+17
y = -3
תשובה: x = 10, y = -3.

4.כיצד ניתן לבדוק שהגענו לתשובה הנכונה

עבור המשוואות האחרונות:
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

מצאנו כי הפתרון הוא:
x = 10, y = -3.

איך נבדוק שפתרון זה נכון?
על ידי הצבה של הפתרון בשתי המשוואות.
לאחר ההצבה נוכל לראות אם הפתרון נכון עבור המשוואה או לא.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
5y + 3x = 15
15 = 10 * 3 + (3-) * 5
15 = 30 + 15-
15 = 15
הפתרון נכון עבור המשוואה הראשונה.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
2y – 4x = -34-
34- = 10 * 4 – (3-) * 2-
34 – = 40 – 6
34- = 34-
הפתרון נכון עבור המשוואה השנייה.

הפתרון x = 10, y = -3 נכון עבור שתי המשוואות ולכן הוא הפתרון של המשוואות.

עוד באתר:

• בעיות מילוליות עם שני נעלמים.
• משוואה עם נעלם אחד – מדריך הכולל את כל השלבים.
• מתמטיקה כיתה ח – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.
• מתמטיקה כיתה ט – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.

5.שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

בקצרה אומר שאין שיטה אחת שיותר טובה בכול המקרים.
והדבר החשוב הוא שתבחרו בשיטה שאיתה אתם לא עושים טעויות.

לפעמים שיטת ההצבה מובילה אל הפתרון במהירות רבה יותר ולפעמים שיטת השוואת המקדמים.
אבל עבור מערכת משוואות רגילה שיטת השוואת המקדמים לרוב מהירה יותר.

• שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

5.לסיום: תרגילים עם מכנה בשתי השיטות

תרגיל 1
פתרו את מערכת המשוואות הזו בעזרת השוואת מקדמים.

פתרון
נתחיל בהפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

נהפוך גם את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

קיבלנו את שתי המשוואות:
26y – 8x = 50
9y + 5x = -6

אלו שתי משוואות "רגילות" שאנו יודעים לפתור.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת השנייה פי 8.
130y – 40x = 250
72y + 40x = -48

נחבר את המשוואות
202y = 202 /:202
y = 1

נציב את ערך ה- y במשוואה הראשונה, לאחר שביטלנו את המכנים ועשינו כינוס איברים.
9y + 5x = -6
9+5x = -6 /-9
5x = -15 /:5
x = -3
תשובה: y = 1, x = -3

תרגיל 2
פתרו את המשוואות הבאות בשיטת ההצבה.

פתרון
נהפוך את המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

נהפוך את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

קיבלנו את שתי המשוואות:
2y – 5x=-30-
6y – 7x=2

נבודד את Y במשוואה הראשונה.
(הערה: אם לא היו הנחיות לפתור זאת בשיטת ההצבה היה נוח יותר לפתור את המשוואות הללו בשיטת השוואת המקדמים).

2y – 5x= -30 / +5x-
2y = 5x – 30 / : -2-
y = -2.5x + 15

נציב את הערך שקיבלנו במשוואה השנייה.
6y – 7x =2
2.5x+15) * 6 – 7x = 2-)
15x + 90 – 7x = 2 / -90-
22x = -88 / : -22-
x = 4

נציב את ערך ה- x שקיבלנו במשוואה שבודדנו בה את y.
y = -2.5 * 4 + 15
y = -10+15
y = 5
תשובה: x=4, y=5 .

עוד באתר:

• מבחן בנושא משמעות גרפית של 2 משוואות ב-2 נעלמים.
• שתי משוואות עם שני נעלמים משוואות לא מסודרות תרגילים נוספים.