שתי משוואות עם שני נעלמים הוא נושא טכני הדורש סדר ותרגול.

דף זה מחולק ל 5 חלקים:

1. משמעות ופתרון גרפי.
2. שיטת השוואת המקדמים. (השיטה המועדפת עלי)
3. שיטת ההצבה,
4. משוואות לא מסודרות עם שני נעלמים.
5. משוואות ללא פתרון או עם אינסוף פתרונות.

הנושאים שחשובים הרבה יותר מכל אחרים הם נושאים 2-3.
תוכלו ללמוד על כל אחד מהנושאים שלמעלה כאן למטה בדף או מהקישורים שלמעלה.
ובנוסף באתר:

1. בעיות מילוליות עם שני נעלמים.
2. שיטת ההצבה או השוואת מקדמים, איזו שיטה עדיפה?

1.היכרות ומשמעות גרפית של שתי משוואות עם שני נעלמים

ניקח לדוגמה את שתי המשוואות:

y = x – 1
y = 5 – x

את כל אחת מהמשוואות הללו ניתן לייצג באמצעות גרף של קו ישר.

הגרפים של שתי המשוואות

כל נקודה הנמצאת על הגרף של אחת המשוואות מקיימת את המשוואה.

כלומר, ניתן לראות למשל שהנקודה (0, 5) נמצאת על הגרף השחור ( y = 5 – x).
וזה אומר שאם נציב (0, 5) במשוואת הישר  y = 5 – x נקבל תוצאה נכונה.
y = 5 – x
5 – 5 = 0
0 = 0

לכן:
אם יש נקודה הנמצאת של שתי המשוואות ביחד היא פותרת את שתי המשוואות.
במקרה שלנו (2, 3) צריכה לפתור את שתי המשוואות.

משוואה ראשונה.
y = x – 1
1 – 3 = 2
2 = 2
זה נכון.

משוואה שנייה
y = 5 – x
3 – 5 = 2
2 = 2
זה נכון.

סוגים נוספים של משוואות
זו הייתה דוגמה לשתי משוואות שיש להן פתרון אחד, המיוצג על ידי נקודות חיתוך אחת.

אפשרות שנייה אלו הן שתי משוואות שאין להם אף פתרון.
בגרף הם יראו כשתי קווים מקבילים.
למשל:

y = 3x – 2
y = 3x +1

הגרף של הישרים

כפי שאמרנו כל נקודת חיתוך המשמעות שלה היא פתרון של שתי המשוואות.
לישרים מקבילים אין נקודות חיתוך ולכן הם מיצגים משוואות שאין להם פתרון.

אפשרות שלישית אלו הן משוואות שיש להן אינסוף פתרונות

למשל:
y = -2x +1
3y = -6x + 3

שרטוט הגרפים

כפי שאמרנו כל נקודת חיתוך מייצגת פתרון כאשר ישרים מונחים אחד על השני יש להם אינסוף נקודות חיתוך, אינסוף פתרונות.

האם יש אפשרות רביעית?

לא.
נסו לשרטט שני ישרים שיש להם שתי נקודות חיתוך, שלוש נקודות חיתוך או כל מספר אחר.
תראו שזה בלתי אפשרי.
לכן לשתי משוואות עם שני נעלמים יש רק 3 אפשרויות לפתרון:
פתרון יחיד, ללא פתרון, אינסוף פתרונות.

• דוגמה לפתרון גרפי של שתי משואות עם שני נעלמים.

2.פתרון בשיטת השוואת המקדמים

המטרה של השיטה היא להשוות את המקדמים של x או y ואז "להעלים" את אחד המשתנים על ידי חיבור או חיסור של המשוואות.
לאחר מיכן מה שנותר הוא משוואה אחת עם נעלם אחד.

שלבי השיטה:
אדגים את השלבים על מערכת המשוואות:
3y – 2x=3   (משוואה 1)
4y+3x=5   (משוואה 2)
1. מכפילים את אחת המשוואות או את שתיהן על מנת שמקדמי אחד המשתנים יהיו שווים בערכם המוחלט.

במקרים מסוימים נוכל להסתפק בהכפלה של אחת המשוואות.
דוגמה לכך בתרגיל מספר 1 שבהמשך.

במקרה שלנו צריך להכפיל את שתי המשוואות.
את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.

• 9y – 6x=9
• 8y + 6x=10

הגענו למצב שבמשוואה אחת יש 6x ובשנייה 6x-.
כאשר נחבר את המשוואות ה x "יעלם" ונשאר עם משוואה הכולל y.

שלב 2: מחסרים או מחברים את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.

נחבר את המשוואות

• 9y-6x=9
• 8y+6x=10

17y=19

שלב 3: נפתור משוואה עם נעלם אחד 

עכשיו נשארנו עם משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה.
17y =19  / : 17
y = 1.117

שלב 4: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.

מצאנו y = 1.117.
עכשיו עלינו למצוא את x.

אלו המשוואות המקוריות שקיבלנו:
3y – 2x=3
4y + 3x=5
נציב את y = 1.117 במשוואה הראשונה ונמצא את x.

2x + 3 * 1.117 = 3-
2x + 3.351 = 3  / -3.351-
2x = -0.351   / : -2-
x = 0.1755

תשובה: y= 1.117,   x =  0.1755.

הערות
1. בשלב הראשון יש לשים לב שאתם מכפילים את כל חלקי המשוואה בצורה נכונה (השגיאה הנפוצה היא להכפיל רק את האיבר שאתם רוצים שיתאפס).
2. מדוע מותר לחסר / לחבר משוואה למשוואה והפתרון יישאר נכון?
בגלל שכל אחד מאגפי המשוואה שווה מספר ושני אגפי המשוואה שווים. לכן כאשר אנו מחברים / מחסרים משוואות אנו למעשה מחברים / מחסרים מספרים שווים וזה מותר.

• השוואה בין שיטת השוואת מקדמים לשיטת ההצבה ובאיזו שיטה כדאי לבחור מתי תוכלו למצוא בקישור.

תרגילים עם פתרונות מלאים השוואת מקדמים

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת

1. 6x-2y=24
2. x+5y=4

על מנת להשוות את מקדמי ה- X נכפיל את משוואה מספר 2 ב- 6 ונקבל:
x+5y=4  /*6
6x+30y=24

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
6x – 2y=24
6x + 30y=24

נחסר את משוואה (1) ממשוואה (2).
32y=0 /:32
y=0

נציב את הערך שקיבלנו עבור Y במשוואה (1) על מנת למצוא את ערך ה- X.

6x-2*0=24
6x=24 /:6
X=4
תשובה: X=4 , Y=0

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות

1.   4x + 3y=-11
2.   3x – 2y=-4

על מנת שמקדמי ה- Y יהיו בעלי אותו ערך מוחלט נכפיל את משוואה 1 ב- 2 ואת משוואה 2 ב- 3.

8x + 6y=-22
9x – 6y=-12

נחבר את שתי המשוואות:
17x = -34 / :17
x= -2

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה 1.
6y + 8 * (-2) = -22
6y – 16 = -22  / + 16
6y = -6  / : 6
y= -1

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות

(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)

1.   3x = 5y + 5
2.   2y = 4x – 16

במשוואה הראשונה נעביר את y לצד ה x.
3x=5y+5 / -5y
3x – 5y = 5

במשוואה השנייה נעביר את x לצד ה y.
2y = 4x-16 / -4x
2y – 4x= -16

אלו שתי המשוואות שקיבלנו:
3x – 5y = 5 / *2
2y – 4x = -16 / *5

נכפיל את הראשונה פי 2 ואת השנייה פי 5.
6x-10y=10
10y-20x=-80

נחבר את המשוואות.
14x = -70 / : -14-
x = 5

נציב את  x = 5 במשוואה מספר 2.
2y = 4x – 16
2y = 4*5 -16
2y = 4 / :2
y=2
תשובה: x=5, y=2.

3.שתי משוואות בשני נעלמים בשיטת ההצבה

סדר פעולות:

1. אם יש מכנים מכפילים אותם המכנה המשותף.
2. אנו מבודדים את אחד המשתנים ומציבים אותו במשוואה השנייה, כך שנוצרת משוואה עם נעלם אחד.
   חשוב: לא ניתן להציב במשוואה שבה בודדנו את המשתנה.
   איזה משתנה מבודדים? את המשתנה שהכי קל לבודד.
3. לאחר שמצאנו ערך של משתנה אחד מציבים אותו במשוואה שבודדנו (לאחר שביצענו את הבידוד).
   אם לא ברור איפה מציבים תוכלו לראות זאת בתרגילים הפתורים או להציב באחת משתי המשוואות שקיבלתם לפתור.

תרגילים עם פתרונות מלאים שיטת ההצבה

תרגיל 1: הצבה מוכנה

1.   x = y – 6
2.   3x + y = -2

נציב את משוואה 1 במשוואה 2.
y-6)*3 + y = -2)
3y – 18 + y = -2 / +18
4y = 16 / :4
y = 4

נציב את ערך ה y שקיבלנו במשוואה 1.
x = 4 – 6
x = -2

תשובה: y= 4, x= -2

תרגיל 2

1.   4y + 2x = 20
2.   5x – 2y = -10

נבודד את משתנה x במשוואה 1.

4y + 2x = 20 / -4y
2x = 20 – 4y / :2
x = 10 – 2y

נציב את ערך X במשוואה 2.

10-2y) * 5 – 2y= -10)
50-10y-2y = -10 /-50
12y = -60 / : -12-
y = 5

נציב את ערך ה- y שקיבלנו במשוואה שבה בודדנו את x.
x = 10 – 2y
x = 10 – 2*5
x = 10 – 10
x = 0

תשובה: x=0, y=5

תרגיל 3

1.   5y + 3x = 15
2.   2y – 4x = -34-

נבודד את משתנה y במשוואה 2.

2y – 4x = -34 / +4x-
2y = 4x – 34 /  : -2-
y = -2x + 17

נציב את ערך ה- y במשוואה 1.
2x+17) * 5 + 3x = 15-)
10x + 85 + 3x = 15 /-85-
7x = -70 /  : -7-
x = 10

נציב את ערך ה- x במקום שבו בודדנו את ה- y.
y = -2x + 17

y = -2*10+17
y = -20+17
y = -3
תשובה: x = 10, y = -3.

עוד באתר:

• בעיות מילוליות עם שני נעלמים.
• משוואה עם נעלם אחד – מדריך הכולל את כל השלבים.
• מתמטיקה כיתה ח – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.
• מתמטיקה כיתה ט – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.

4.שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

• שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

5.לסיום: תרגילים עם מכנה בשתי השיטות

תרגיל 1

פתרו את מערכת המשוואות הזו בעזרת השוואת מקדמים.

פתרון

נתחיל בהפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

הפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר

נהפוך גם את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

קיבלנו את שתי המשוואות:
26y – 8x = 50
9y + 5x = -6

אלו שתי משוואות "רגילות" שאנו יודעים לפתור.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת השנייה פי 8.
130y – 40x = 250
72y + 40x = -48

נחבר את המשוואות
202y = 202 /:202
y = 1

נציב את ערך ה- y במשוואה הראשונה, לאחר שביטלנו את המכנים ועשינו כינוס איברים.
9y + 5x = -6
9+5x = -6 /-9
5x = -15 /:5
x = -3
תשובה: y = 1, x = -3

תרגיל 2

פתרו את המשוואות הבאות בשיטת ההצבה.

פתרון

נהפוך את המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

נהפוך את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

קיבלנו את שתי המשוואות:
2y – 5x=-30-
6y – 7x=2

נבודד את Y במשוואה הראשונה.
(הערה: אם לא היו הנחיות לפתור זאת בשיטת ההצבה היה נוח יותר לפתור את המשוואות הללו בשיטת השוואת המקדמים).

2y – 5x= -30 / +5x-
2y = 5x – 30 / : -2-
y = -2.5x + 15

נציב את הערך שקיבלנו במשוואה השנייה.
6y – 7x =2
2.5x+15) * 6 – 7x = 2-)
15x + 90 – 7x = 2 / -90-
22x = -88 / : -22-
x = 4

נציב את ערך ה- x שקיבלנו במשוואה שבודדנו בה את y.
y = -2.5 * 4 + 15
y = -10+15
y = 5
תשובה: x=4, y=5 .

• שתי משוואות עם שני נעלמים משוואות לא מסודרות תרגילים נוספים.