שינוי נושא נוסחה

שינוי נושא נוסחה הוא נושא טכני שבו אנחנו מקבלים משוואה וצריכים לבודד את אחד המשתנים שלה.
נושא זה מתבסס על הידע שלכם לפתור משוואה עם נעלם אחד. אם אתם יודעים לפתור משוואה עם נעלם אחד רוב הסיכויים שתצליחו גם כאן.

לדף זה 3 חלקים:

  1. 4 מצבים בהם עליכם לדעת לשנות את נושא הנוסחה.
  2. ניסוחים שונים שאתם צריכים להכיר למונח "שינוי נושא הנוסחה".
  3. פתרון 3 שאלות מהמאגר.

מה זה נושא הנוסחה?

נושא הנוסחה הוא האות שמופיעה לבדה בצד שלה בנוסחה.

למשל במשוואה y = 2x + 1
y מופיע לבד ולכן הוא נושא הנוסחה.

בנוסחת היקף מעגל  2₶r = P.
האות P מופיעה לבד ולכן היא נושא הנוסחה.

1.כיצד מבצעים שינוי של נושא הנוסחה ב 4 מצבים שונים

בחלק זה הסברים בכתב ובוידאו.
ההסבר בוידאו מופיע מיד לאחר ההסבר הכתוב.

1.שינוי פשוט של נושא נוסחה

דוגמה 1
בנוסחה y = 2x + 1 הפכו את x לנושא הנוסחה.

פתרון.
עלינו לבודד את x.
y = 2x + 1
y = 2x + 1   / -1
y – 1  = 2x   / :2

עכשיו x הוא נושא הנוסחה.

דוגמה 2
בנוסחה  2₶r = P הפכו את  r  לנושא הנוסחה.

פתרון
2₶r = P
נחלק ב 2₶ את שני צדדי המשוואה ונקבל:

 

2.שינוי נושא נוסחה עם הוצאת שורש

דוגמה
בנוסחה של שטח עיגול S=₶r² הפכו את r לנושא הנוסחה.

פתרון
מכוון ש r נמצא בחזקת 2 נצטרך להוציא שורש על מנת מנת לבודד את r.
את פעולת הוצאת השורש נעשה אחרונה.

הוצאת שורש בשינוי נושא נוסחה

 

3. שינוי נושא נוסחה עם שברים

דוגמה 1
נתונה הנוסחה לשטח טרפז

נוסחה לשטח טרפז

הפכו את h לנושא הנוסחה (השאלה לקוחה מתוך המאגר)

פתרון

  1. קודם כל נכפיל פי 2 על מנת להיפטר מהמכנה.
  2. לאחר מיכן נחלק במקדם של h על מנת לבודד את h.

פתרון התרגיל

דוגמה 2
במשוואה שלמטה הפכו את b לנושא הנוסחה.

תרגיל בשינוי נושא הנוסחה

פתרון

  1. עלינו להיפטר מהמכנה.
  2. לאחר מיכן להשאיר את b לבדו בצד ימין.

פתרון התרגיל

 

4. שינוי נושא הנוסחה כאשר צריך להוציא גורם משותף

דוגמה
נתונה הנוסחה y = ab + ac + bc
נתון כי a = 10.
הביעו את c כנושא הנוסחה.

פתרון
דבר ראשון נבצע את ההצבה a= 10
ab + ac + bc = y
10b + 10c + bc = y

נשאיר רק את האיברים הכוללים את c (נושא הנוסחה) בצד שמאל של המשוואה:
10b + 10c + bc = y  / -10b
10c + bc = y – 10b
נוציא גורם משותף:
c (10 + b) = y – 10b

עכשיו עלינו לחלק במקדם של c שהוא b + 10
c (10 + b) = y -10b  / : 10 + b

פתרון התרגיל

לסיכום: כיצד מבצעים שינוי נושא הנוסחה כאשר יש גורם משותף:

  1. נבודד את הרכיבים הכוללים את נושא הנוסחה בצד אחד של המשוואה. כלומר נגיע למצב הזה
    c (10 + b) = y – 10b
  2. נחלק במקדם של נושא הנוסחה  b + 10 ונקבל את התשובה.

 

חלק 2: דרכי ניסוח שונות לביטוי "נושא הנוסחה"

לפעמים יגידו לכם באופן ישיר "הפכו את x לנושא הנוסחה".
ואז עליכם לשים את x בצד אחד ואת כל השאר בצד השני.

פעמים אחרות יגידו "בטאו את x באמצעות y". ואז מי צריך להיות נושא הנוסחה?
x
הסבר: אם אומרים "בטאו / הביעו את x…" זה אומר ש x צריך להיות נושא הנוסחה.

אם אומרים "הביעו / בטאו באמצעות x את y". מי כאן צריך להיות נושא הנוסחה?
y.
הסבר: אנחנו צריכים לבטא / להביע את y. ולכן y הוא נושא הנוסחה.

 

חלק 3: פתרון שאלות מתוך המאגר

פתרון שאלה 8 מהמאגר
שטח מרובע שאלכסוניו e ו f מאונכים זה לזה הוא מחצית מכפלת האלכסונים.
s = 0.5e*f.

  1. נתון מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה. שטח המרובע הוא 100 סמ"ר s = 100. אורך אחד האלכסונים f הוא 10 ס"מ. חשבו את אורך האלכסון e.
  2. במרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה רשמו נוסחה לחישוב האלכסון f כאשר שטח המרובע הוא s ואורך האלכסון השני הוא e.
  3. מצאו נוסחה חישוב שטח ריבוע שאורך האלכסון שלו הוא d.

פתרון

סעיף 1.
עלינו להציב s = 100,   f = 10 בנוסחה
s = 0.5e*f.
נקבל:
0.5e * 10 = 100
5e  = 100   / :5
e = 20
תשובה: אורך האלכסון e הוא 20 ס"מ.

סעיף 2
עלינו להפוך את f לנושא הנוסחה, לבודד את f.
s = 0.5e*f  / *2
2s = ef  / :e
2s / e = f

סעיף 3
בריבוע האלכסונים שווים זה לזה באורכם ומאונכים זה לזה.
לכן e = f והנוסחה נראית s = 0.5e².

בנוסף ביקשו שהאות d תייצג את אורך האלכסון לכן הנוסחה לחישוב שטח ריבוע היא:
S = 0.5d²

שאלה 9 מהמאגר

מפעל מייצר ספלי עץ במידות שונות על פי הדגם המופיע בשרטוט.
ממדי הספסל הם:
a ס"מ, אורך משטח הישיבה.
b ס"מ, עומק משטח הישיבה.
c ס"מ, גובה הספסל וגובה המשענת.

שטח לוחות העץ שספסל כזה מורכב מיהם הוא נתון בנוסחה:
s = ab + 2bc + ac

  1. נתון כי שטח לוחות העץ בספסל הוא 6000 סמ"ר . וגובה הספסל, c הוא 40 ס"מ.
    רשמו ביטוי לערך של a (הביעו את a באמצעות b).
  2. האם אדם מבוגר יכול לשבת בנוחות בספסל שבו שטח לוחות העץ בספסל הוא 6000 סמ"ר, גובה הספסל, c הוא 40 ס"מ ועומק משטח הישיבה שלו הוא 60 ס"מ? חשבו את a.
  3. במפעל בנו ספסלים אחרים שבהם שטח לוחות העץ היה 8000 סמ"ר ואורך משטח הישיבה a הוא 80 ס"מ. רשמו ביטוי לערך של b (הביעו את b באמצעות c).

שרטוט הספסל

פתרון

פתרון סעיף 1.
נציב s = 6000 ו c = 40 בנוסחה.
ab + 2bc + ac = s
ab + 2bc + ac  = 6000
ab + 2*40b + 40a = 6000
ab + 40a + 80b = 6000   / -80b
ab  + 40a  = 6000 – 80b

נוציא את a כגורם משותף:
(a (b + 40) = 6000 – 80b  / : (b + 40

(a = 6000 - 80b / (b + 40

פתרון סעיף 2.
נציב b = 60 ונחשב את a.
(a = (6000 – 80 * 60)  / (60 + 40
a = (6000 – 4800)  / 100 = 1200 / 100
a = 12.
a הוא אורך משטח הישיבה ונראה שלא נוח לשבת על משטח שאורכו 12 ס"מ בלבד.

פתרון סעיף 3.
נציב s = 8000 ו a = 80 בנוסחה:
ab + 2bc + ac = s
80b + 2bc + 80c = s   / -80c
80b + 2bc = s – 80c
(b (80 + 2c)  = s  – 80c  / (80 + 2c
פתרון התרגיל

תרגיל 11 מהמאגר

רופא אמר למר יעקובסון כי עליו להביא את ביתו לבדיקה את החום שלה עולה על 37.5C (שזה 37.5 מעלות צלזיוס).
בתו חשה ברע ולכן הוא מדד את החום שלה בעזרת מדחום אמריקאי שמידות החום שלו הן פרנהייט. המדחום הראה טמפרטורה של 98F (שזה 98 מעלות פרנהייט).
הקשר בין מדידת הטמפרטורה במעלות פרנהייט למדידת הטמפרטורה במעלות צלזיוס נתון בנוסחה:
המרת פרנהייט לצלזיוס
(f מעלות פרנהייט, c מעלות צלזיוס).

  1. האם מר יעקובסון צריך לקחת את ביתו לרופא? נמקו.
  2. למחרת מדד מר יעקובסון את החום לביתו והמדחום הורה 104F (מעלות פרנהייט). האם מר יעקובסון צריך לקחת את ביתו לרופא? נמקו.
  3. הביעו את c באמצעות f.
  4. מצאו מתי c = f. (סעיף זה לא מופיע בשאלה המקורית אבל תרגילים דומים לו מופיעים בשאר שאלות המאגר).

פתרון
סעיף 1
נציב f = 98 בנוסחה ונמצא את c.

c = 36.6667

מכוון שהחום נמוך יותר מ 37.5 אין צורך לקחת את הבת לרופא.

סעיף 2.
נציב f = 104 בנוסחה ונמצא את c.
c = 40

החום הוא 40, גדול יותר מ 37.5 ולכן צריך ללכת לרופא.

פתרון סעיף 3.
עלינו לבודד את c.
פתרון התרגיל

פתרון סעיף 4.
נציב c = f במשוואה המקורית ונפתור אותה.
התרגיל

5c = 9c + 160   / -9c
4c  = 160  / : -4-
c = -40
תשובה: כאשר c = -40 מספר c = f.

עוד באתר:

נספח: וידאו אחד ארוך הכולל את כל הסרטונים שהופיעו למעלה

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.