גיאומטריה אנליטית 3 יחידות שאלון 182

דף זה הוא סיכום החומר עבור גיאומטריה אנליטית בשאלון 182.

מה הם הדברים המרכזיים שצריך לדעת בנושא גיאומטריה אנליטית עבור שאלון 182?

  1. לחשב מרחק בין שתי נקודות –  מופיע בכל / כמעט כל בגרות.
  2. מציאת אמצע קטע.
  3. לדעת למצוא נקודות חיתוך של ישר עם ציר ה y וציר ה x.
  4. מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים.
  5. מציאת משוואת ישר או שיפוע הישר על פי שתי נקודות.
  6. התאמה בין גרף של ישר למשוואת ישר.
  7. שימוש במשפט פיתגורס.
  8. לדעת לחשב שטח של משולש וגם של מרובעים בעזרת ערכי נקודות הקודקוד – מופיע בכמעט כל בגרות.

לדף זה 3 חלקים:

  1. סיכום של החומר.
  2. תרגילים לחזרה.
  3. תרגילים מבגרות.

1.סיכום של הנושאים

1. מרחק בין שתי נקודות

אם נתונות שתי נקודות (x1,y1) ו- (x2,y2) אז המרחק (d) בניהם נתון על ידי הנוסחה:

d²= (x2-x1)²+(y2-y1

  1. הנוסחה למרחק בין שתי נקודות נמצאת בדף הנוסחאות של הבגרות במתמטיקה.
  2. שימו לב לאחר שמציבים את הנתונים בנוסחה צריך להוציא שורש.
  3. שימו לב גם שמרחק בין שתי נקודות הוא תמיד מספר חיובי.

תרגיל לדוגמה
מצאו את המרחק בין הנקודות (4,0) ו- (1,1).

פתרון
d²=(4-1)²+(0-1)²
d²=3²+1²=9+1=10
d=√10
תשובה: המרחק בין הנקודות שווה ל 10√.

2. אמצע קטע

אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x1, yו  (B(x2, y2 אז אמצע הקטע בניהן (C(xc, yc מתקבל על ידי הנוסחאות:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

תרגיל לדוגמה
קצוות הישר AB הם (A(1,10   ו  (B(5,0.
מצאו את אמצע הקטע AB.

פתרון
ערכי ה x הם 1 ו 5.
ערכי ה y הם 10 ו 0.
נציב בנוסחה ונקבל.
פתרון התרגיל

תשובה: אמצע הקטע AB הוא (3,5).

3.מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- X מציבים Y=0 במשוואת הישר.
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y מציבים X=0 במשוואת הישר.

תרגיל
מצאו את נקודות החיתוך של y=3x+12 עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב X=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- Y.
y=3*0+12=12
נקודת החיתוך היא (0,12).

חיתוך עם ציר ה x
נציב Y=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- X.
0=3x+12
3x=-12
x=-4
נקודת החיתוך היא (0, -4).

4.מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

כאשר נתונים לנו משוואות של שני ישרים אנו משווים אותם על מנת למצוא את נקודת החיתוך שלהם.
למשל, מצאו את נקודות החיתוך של הישרים:
y = 2x – 4
y = x + 2

פתרון
2x – 4 = x + 2
2x – 4 = x + 2  /-x + 4
x = 6
זה ערך ה x של נקודת החיתוך.
נציב את ערך ה x באחת המשוואות ונמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = x + 2
y = 6 +2 = 8

תשובה: נקודת החיתוך של הישרים היא (8, 6).

5.משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע

כאשר נותנים לנו נקודה ושיפוע אנו יכולים למצוא מיד את משוואת הישר.
אם הנקודה היא (x1,y1) והשיפוע הוא m אז משוואת הישר ניתנת על ידי הנוסחה:
(y – y1= m(x – x1   (הנוסחה היא חלק מדף הנוסחאות בבגרות).

תרגיל לדוגמה:
מצאו את משוואת הישר העובר דרך (5,3) ושיפועו 2.

פתרון
נציב את הנתונים בנוסחה (y – y1=m(x – x1
(y – 3= 2(x – 5
y – 3 = 2x – 10 /+3
y = 2x – 7   תשובה.

6.משוואת ישר על פי 2 נקודות

אם הנקודה A היא (x1,y1) והנקודה B היא  (x2,y2) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

 שיפוע ישר על פי 2 נקודות

תרגיל לדוגמה.
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (5,8) (1,10).

פתרון
נציב את ערכי הנקודות במשוואה שרשומה למעלה.

השיפוע 0.5

שיפוע הישר הוא 0.5-.

נציב את השיפוע והערכים של אחת הנקודות במשוואה:
(y – y1= m(x – x1
(y – 8 = -0.5(x – 5
y – 8 = -0.5x +2.5   / +8
y = -0.5x + 10.5

תשובה: משוואת הישר העובר דרך הנקודות (5,8) (1,10) היא y = -0.5x + 10.5.

7.האם נקודה נמצאת על ישר?

על מנת לדעת אם נקודה נמצאת על ישר מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הישר.
למשל:
האם הנקודה (2,3) נמצאת על הישר y = x + 2?
פתרון
נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר ונקבל:
2 + 2 = 3
4 = 3
זה לא נכון ולכן הנקודה לא נמצאת על הישר.
אם התוצאה שלנו הייתה משהו שנכון, כמו:
3=3
אז הנקודה הייתה על הישר.

8.התאמה בין משוואת ישר לבין גרף

לפעמים תצטרכו לבצע התאמה בין משוואת ישר לגרף של של ישר.

המשוואה הכללית של ישר מתוארת כך:
y=mx+n

ההתאמה נעשית על בסיס שני דברים:
1.האם גרף הישר עולה או יורד (ובאיזה קצב).
משוואת ישר שעולה יש לו m>0. משוואת ישר שיורד יש לו m<0.
כאשר ה m בערכו המוחלט גדול יותר כך גרף משוואת הישר עולה / יורד בקצב חד יותר.

תרגיל:
התאימו בין משוואות הישרים לגרפים.
y = x + 2
y = 3x
y = -2x – 1

התאימו בין משוואות הישרים לגרפים
התאימו בין משוואות הישרים לגרפים

פתרון
גרף מספר 1 הוא היחידי שיורד לכן הוא חייב להיות y = -2x – 1 כי זו משוואת הישר היחידה שבה m<0.

גרפים 2 ו 3 עולים. אבל גרף 3 תלול יותר ולכן מתאים לישר שערך ה m שלו בערך מוחלט גדול יותר וזה y= 3x.
גרף 2 הוא y = x + 2.

דרך שנייה לבצע התאמה בין גרף ומשוואת ישר היא על פי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.
אם משוואת הישר היא:
y = mx + n
אז נקודות החיתוך עם ציר ה y היא:
נקודת חיתוך של ישר עם ציר ה y

ולמה זה כך?
כבר למדנו שעל מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0.
נציב x = 0  במשוואת הישר y = mx + n.

y = m * 0 + n
y = n
מצאנו כי נקודת החיתוך של y = mx + n עם ציר ה y היא:
נקודת חיתוך של ישר עם ציר ה y

תרגיל
התאימו בין המשוואות הבאות לגרפים:
y = -2x + 3
y = -2x + 1

שרטוט הגרפים של הישרים

גרף מספר 1 חותך את ציר ה y בנקודה נמוכה יותר מגרף מספר 2.
כלומר ערך ה n של גרף מספר 1 קטן יותר מערך ה n של גרף מספר 2.
לכן גרף מספר 1 הוא y = -2x + 1 וגרף מספר 2 הוא y = -2x + 3.

  • תרגילים נוספים בנושא גרף משוואת ישר, רוב התרגילים קשים יותר מהנדרש עבור שאלון 182.

 

9.שימוש במשפט פיתגורס

בחלק מהשאלות נעשה שימוש במשפט פיתגורס על מנת לחשב אורך של צלע.
משפט פיתגורס אומר כי במשולש ישר זווית:

משפט פיתגורס

כלומר אם במשולש ישר זווית אנו יודעים את האורכים של 2 צלעות מתוך 3 אנו יכולים לחשב את את אורך הצלע השלישית.

תרגיל: חשבו את אורך הצלע המסומנת ב x בשני המשולשים הבאים:

תרגילים לפתרון בעזרת משפט פיתגורס
תרגילים לפתרון בעזרת משפט פיתגורס

פתרון
במשולש מספר 1 המספר x מייצג את היתר ולכן המשוואה על פי משפט פיתגורס היא:
x² = 4² + 3²
x² = 16 + 9 = 25
x = 5 או x = -5
מכוון שצלע היא גודל חיובי בלבד x = 5.

במשולש מספר 2 המספר x מייצג את אחד הניצבים ולכן המשוואה היא:
x² + 8² = 10²
x² + 64 = 100  / -64
x² = 36
x = 6 או x = -6.
מכוון שצלע היא גודל חיובי בלבד x = 6.

10.חישוב שטחים

ברוב השאלות הבגרות בשנים האחרונות מופיע חישוב של שטחים, לרוב שטח משולש.

הנוסחה לשטח משולש היא:

נוסחת שטח משולש
נוסחת שטח משולש

בשאלות בדרך כלל אורך צלע אחת כבר מצאנו בסעיף קודם על ידי חישוב מרחק בין שתי נקודות.
ועכשיו אנחנו צריכים לחשב את אורך הגובה אל הצלע.
המצב לרוב הוא כזה.

שרטוט התרגיל

אנו יודעים ש AB = 7 מסעיף קודם ועכשיו צריך לחשב את שטח משולש ABC. כיצד עושים את זה?

פתרון
עלינו לחשב את אורך הגובה מהנקודה C אל הישר AB.
נקרא לגובה הזה CD.
ערך ה Y של הנקודה D הוא 0, כי הנקודה D נמצאת על ציר ה x.
מכוון ש AB נמצא על ציר ה x הגובה אל AB מאונך לציר ה x.
ישרים המאונכים לציר ה x שומרים על ערך ה x שלהם לכל אורכם.
לכן ערך ה x בנקודה C ובנקודה D שווה והוא 2.

מצאנו שהנקודה D היא (D (2,0
עכשיו נחשב את המרחק CD על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות.

d² = (6-0)² + (2-2)² = 6²
d = 6

מצאנו כי אורך CD הוא 6 ואורך AB הוא 7. לכן שטח המשולש הוא:
21 = 2 / (7 * 6)

תשובה: שטח המשולש הוא 21 יחידות ריבועיות.

קיימים תרגילים קצת שונים בהם 2 נקודות נמצאות על ציר ה y ולא על ציר ה x כמו בדוגמה שלמעלה. כיצד פותרים אותם?

שרטוט התרגיל

במקרה הזה ערך ה x של הנקודה D הוא 0 כי היא נמצאת על ציר ה y.
ומכוון ש AB נמצא על ציר ה y והגובה CD מאונך לציר ה Y אז ערך ה y של הישר CD נשמר לכל אורכו וערך ה Y של הנקודה D הוא 5.

כלומר הנקודה D היא (D(0,5.

שאר התרגיל הוא כמו התרגיל הקודם.

2.תרגילי הכנה לבגרות

בתרגילים אלו נעבור על הנושאים השונים. כל נושא בנפרד.

תרגיל 1
מצאו את אמצע של הנקודות (2-,6)   (1, 0).

פתרון:
הנוסחאות לאמצע קטע:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

נמצא את ערך ה- X של נקודת האמצע:

X=3

נמצא את ערך ה- Y של נקודת האמצע:

Y=0.5

תשובה: נקודת האמצע היא (0.5-, 3).

תרגיל 2 (מרחק בין שתי נקודות)
מצאו את המרחק בין הנקודות (5,2)  ו (10,0)

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

d²=(10-5)² + (0-2)²
d²=25+4=29
d=√29
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 29√

תרגיל 3 (חיתוך עם הצירים)
מצאו את נקודות החיתוך של הישר y= -4x+2 עם הצירים.

פתרון
נציב x=0 ונמצא את נקודת היתוך עם ציר ה y.
y = -4*0+2=2
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא (0,2).

נציב y=0 ונמצא את נקודת החתוך עם ציר ה x.

4x+2 = 0  / -2-
4x = -2  /:-4-
x=0.5
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא (0,  0.5)

תרגיל 4 (חיתוך של שני ישרים)
מצאו את נקודת החיתוך של הישרים
y = x + 5
y = -3x +13

פתרון
x + 5 = -3x + 13  / +3x  – 5
4x = 8  / : 4
x = 2

נציב x= 2 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y.
y = 2 + 5 = 7
תשובה: נקודת החיתוך של הישרים היא (2,7)

תרגיל 5 (משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה)
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה  (5-,  2) ושיפועו 1.

פתרון
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y+5=1(x-2
y+5=x-2 /-5
y=x-7 – זו משוואת הישר.

תרגיל 6 (משוואת ישר על פי 2 נקודות)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5)  ו   (4,10).

פתרון
שלב 1: מציאת השיפוע
m= 2.5
שיפוע הישר הוא m=2.5

שלב 2: מציאת משוואת הישר
מציבים בנוסחה (y-y1=m(x-x1
m = 2.5 ואת הנקודה (2,5) ונקבל:
(y-5=2.5(x-2
y-5=2.5x-5  /+5
y=2.5x    – זו משוואת הישר.

תרגיל 7 (האם נקודה נמצאת על ישר)
האם הנקודה (3, 2) נמצאת על הישר y =2x – 1?

פתרון
נציב את הנקודה במשוואת הישר ונקבל:
1 – 2*2 = 3
1 – 4 = 3
3 = 3
קיבלנו משוואה שהיא נכונה, לכן הנקודה נמצאת על הישר.

עבור הנושאים:

  1. התאמה בין משוואת ישר לגרף.
  2. משפט פיתגורס
  3. חישוב שטח משולש.

פתרנו תרגילים במעלי הדף.

3.תרגילים מבגרויות עם פתרונות מלאים שאלון 182

קיץ 2018 מועד א שאלה 4

סעיף א: מציאת נקודת חיתוך
y = 2x + 2
y = 3x – 3
נקודת החיתוך מקבלת על ידי פתרון המשוואה:
3x – 3 = 2x + 2  / -2x + 3
x = 5

על מנת למצוא את ערך ה y של נקודת החיתוך נציב x= 5 באחת המשוואות
y = 2*5 + 2 = 12
נקודת החיתוך היא (12, 5).

סעיף ב
y = -3x +15
על מנת לדעת אם ישר זה עובר בנקודת החיתוך נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר
15 + 5*3- = 12
0 = 12
הנקודה לא מקיימת את משוואת הישר ולכן הישר לא עובר בנקודה

סעיף ג
שתי הנקודות שלנו הן:
0,0
5,12
הנוסחה למציאת מרחק בין שתי נקודות היא:
d²= (x2-x1)²+(y2-y1

d² = (5-0)² + (12-0)²
d² = 25 + 144 = 169
d = 13
תשובה: מרחק הנקודה מראשית הצירים הוא 13 יחידות.

קיץ 2017 מועד א שאלה 4

א) AB הוא הישר y=2x+4 וזה בגלל ש AB הוא ישר עולה ושיפוע משוואה זו הוא חיובי (2).
BC הוא הישר y= -x+10 וזה בגלל ש BC הוא ישר יורד ושיפוע משוואה זו הוא שלילי (11-).

ב) נמצא את נקודות החיתוך של הישרים עם ציר ה X על ידי הצבה y=0 במשוואה שלהם.
y=2x+4
2x+4=0  /-4
2x=-4 /:2
x= -2
(A (-2,0
y= -x+10
x+10=0 / -10-
x= -10-
x=10
(C(10,0
המרחק בין הנקודות נמצא על ציר ה X בלבד והוא:
12 = 10+2
תשובה: המרחק בין A ל C הוא 12 יחידות.

ג) נמצא את נקודת החיתוך של הישרים (B).
2x+4 = -x +10 / +x-4
3x = 6 /:3
x=2
נמצא את ערך ה Y על ידי הצבה ב: y=2x+4
8 = 2*2+ 4
(B(2,8
המרחק של B מציר ה X הוא ערך ה Y והוא 8. זה גם גודלו של הגובה לצלע AC.
שטח המשולש הוא:
48 = 2 : (8*12)
תשובה: שטח משולש ABC הוא 488 יחידות ריבועיות.

ד) ערך ה X של D הוא:
6  = 2 : (10+2)
ערך ה Y הוא 0.
תשובה: (D (6,0

נמצא את שיפוע ישר על פי 2 נקודות:
(D (6,0)   B(2,8
m = (8-0) / (2-6) = 8/-4= -2
תשובה: שיפוע הישר הוא 2-.

קיץ 2016 מועד א שאלה 4

סעיף א
אנו יודעים שני דברים על הנקודה B:
– הקודקוד B מונח על ציר ה- Y לכן ערך ה- X בנקודה B הוא 0.
– כמו כן הנקודה B נמצאת על הישר y=-2x+9.

לכן נציב את הערך X=0 במשוואת הישר:
Y=-2*0+9=9
תשובה: הנקודה B היא (0,9).

בנקודה D מתקיים X=6.
גם היא נמצאת על הישר y = -2x+9.
Y=-2*6+9=-12+9=-3
תשובה: הנקודה D היא (6,-3).

סעיף ב
עלינו למצוא משוואת ישר על פי 2 נקודות שעליו.
(A(0,0) C (11,11.

נמצא את שיפוע הישר על פי הנוסחה:

נציב את הנקודה A וערך השיפוע שמצאנו במשוואת הישר:
(y-y1=m(x-x1
(y-0=1(x-0
y=x – זו משוואת AC

סעיף ג
עלינו למצוא נקודת חיתוך של שני הישרים.
Y=x ו- y = -2x+9
X = -2x+9 / +2x
3x=9 /:3
x=3

מצאנו את ערך ה- X של הנקודה M עכשיו עלינו למצוא את ערך ה- Y.
נציב את ערך ה- X שמצאנו במשוואה Y=X שהנקודה M נמצאת עליה.
Y=3
תשובה: הנקודה (M(3,3.

סעיף ד
צריך למצוא את המרחק בין הנקודות (M(3,3 ו- (0,9)B.

נעשה זאת בעזרת המשוואה:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
D²= (3-0)²+(3 -9)²
D²=32+(-6)2=9+36=45
D=√45=6.708
תשובה: אורך הקטע BM הוא 6.708 יחידות

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

סעיף א
משוואת הישר AB עולה ולכן היא מתאימה למשוואה y=2x+6.
משוואת הישר BC יורדת ולכן היא מתאימה למשוואה
y=-0.5x+11

הנקודה A
היא חיתוך של AB עם ציר ה- X. בנקודת החיתוך עם ציר ה- X מתקיים Y=0. נציב זאת:
y=2x+6
2x + 6 = 0   / -6
2x = -6  / :2
x = -3
הנקודה (A(-3,0

הנקודה C
הנקודה C נמצאת על הישר BC שמשוואתו y=-0.5x+11 ועל ציר ה- X כלומר Y=0.
נציב את ערך ה- Y במשוואה.
0.5x + 11 = 0  / -11-
0.5x = -11  / * -2-
x = 22
הנקודה היא (C (22,0

הנקודה B היא נקודת המפגש של שני הישרים.
y = -0.5x+11
y = 2x+6
נשווה את המשוואות על מנת למצוא את נקודת החיתוך.
2x+6 = -0.5x+11 /+0.5x-6
2.5x = 5  /:2.5
X=2
נמצא את ערך ה Y על ידי הצבה X=2 באחת ממשוואות הישרים (לא משנה איזו).
y=2x+6
Y=2*2+6=10
הנקודה (B(2,10.

תשובה: (A(-3,0) B(2,10) C(22,0.

סעיף ב
עבור שתי הנקודות A ו- C ערך ה- Y הוא 0. על כן המרחק בניהם הוא רק על ציר ה- X.
25 = 3 + 22
תשובה: המרחק הוא 25 יחידות.

סעיף ג

המרחק של הנקודה B מהישר AC שווה לערך ה- Y של B שהוא 10. וזה גם שווה לאורך הגובה מנקודה B לישר AC.
בסעיף הקודם מצאנו שאורך AC הוא 25.

תשובה: שטח המשולש 125 יחידות.

חורף 2016 שאלה 4

משוואת הישר AB היא y=-0.5x+2.
הנקודה A נמצאת על ציר ה- X לכן מקיימת Y=0.
נציב זאת במשוואת הישר AB.
0.5x  + 2 = 0  / -2-
0.5x = -2  / * -2-
x = 4
הנקודה (A(4,0.

הנקודה B נמצאת על ציר ה- Y ולכן מקיימת X=0.
נציב זאת במשוואת הישר.
Y=-0.5*0+2=2
הנקודה (B(0,2

סעיף ב
צלעות נגדיות במלבן מקבילות זו לזו. לכן CD מקבילה ל- AB.
השיפוע של AB הוא 0.5-.
לקווים מקבילים שיפוע זהה. לכן השיפוע של CD הוא 0.5-.

משוואת הישר CD עוברת דרך (D(3,-2 והשיפוע הוא 0.5-.
נציב זאת במשוואת הישר
(y-y1=m(x-x1
(y + 2=-0.5(x-3
y+2 = -0.5x+1.5 / -2
y = -0.5x – 0.5    זו משוואת CD.

סעיף ג
הנקודה C נמצאת על ציר ה- X ולכן מקיימת Y=0.
היא נמצאת גם על הישר CD שאת משוואתו מצאנו בסעיף הקודם.
נציב Y=0 במשוואת הישר
0.5x – 0.5 = 0  / +0.5-
0.5x = 0.5  / *-2-
x = -1
הנקודה (C(-1,0.

סעיף ד
(C(-1,0
(A(4,0
אורך האלכסון AC שווה למרחק בין הנקודות A ו- C.
מכוון שערכי ה- Y של הנקודות זהים ניתן לחשב את המרחק על ידי הפער על ציר ה- X בלבד.

5 = (1-) – 4
תשובה אורך האלכסון AC הוא 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “גיאומטריה אנליטית 3 יחידות שאלון 182”

  1. אחד האתרים הטובים ביותר שראיתי הכול מוסבר בפשטות בלי סיבוכים מיותרים הרבה יותר טוב מכול האתרים שראיתי עד עכשיו(וחפשתי הרבה)תודה רבה לכם פשוט תענוג וכייף אמיתי להכנס כול פעם מחדש😘♥️😍

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.