מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית ומשוואת ישר

בדף זה נלמד שתי שיטות לקביעה מתי ישר חיובי ומתי שלילי:

1. על ידי פתרון אי שוויון.
2. על ידי גרף הישר.

כל אחד מהנושאים מוסבר בכתב ובוידאו.

הסבר

מה זו חיוביות?

כאשר אומרים על ישר שהוא “חיובי” או “שלילי” תמיד מתכוונים לערך ה y של הישר.

ישר חיובי כאשר ערך ה y של הישר חיובי.

ישר שלילי כאשר ערך ה y של הישר שלילי.

תחום חיוביות ושליליות בגרף

ראשית נסתכל על מערכת צירים וננסה לזהות באלו אזורים (רביעים) ערך ה y הוא חיובי.

אנו רואים שמעל ציר ה x (רביעים 1-2) ערכי ה y הם חיובים.

לכן כאשר הגרף של הישר נמצא באזורים הללו (החלק הכחול) הישר חיובי.

כאשר הישר נמצא מתחת לאזורים הללו (החלק האדום) הישר שלילי.

למשל הישר שבשרטוט חיובי כאשר:

x > -1

שלילי כאשר:

x < -1

ולא חיובי ולא שלילי כאשר

x = -1

תחום חיוביות ושליליות בעזרת אי שוויון

כאשר נתונה לנו משוואה של ישר ולא גרף, למשל:

y = 2x + 2

תחום החיוביות הוא:

y > 0

שזה בדיוק כמו:

2x + 2 > 0

נפתור

2x + 2 > 0  / -2

2x > -2  / :2

x > -1

זה תחום החיוביות של הישר.

הערה

תחום החיוביות הוא כאשר y חיובי.

אבל תחום זה מתואר באמצעות טווח ערכים של x.

כפי שאנו כתבנו:

x > -1

דוגמאות לאי שוויון

דוגמה 1
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הישר y = 2x – 3

פתרון
הישר חיובי כאשר ערך ה y של הישר חיובי
y > 0
2x – 3 > 0
2x – 3 > 0  / +3
2x > 3  / : 2
x > 1.5
תחום החיוביות של הישר הוא x > 1.5.

הישר שלילי כאשר ערך ה y של הישר שלילי
y < 0
2x – 3 < 0
2x – 3 < 0  / +3
2x < 3  / : 2
x  < 1.5
תחום השליליות של הישר הוא x < 1.5.

דוגמה 2
מצאו את התחום בו הישר y = -x + 4 שלילי.

פתרון
נפתור את האי שוויון:
y < 0
x + 4 < 0-
x < -4  / * -1-
x > 4
תשובה: הישר y = -x + 4 שלילי כאשר x > 4.

מקרים מיוחדים: ישרים מקבילים לצירים

1.ישר המקביל לציר ה x
ישר המקביל לציר ה x הוא מהצורה y שווה מספר.
למשל y = 4.
כיצד נקבע מתי הישר הזה חיובי ומתי שלילי?
יש שתי דרכים; דרך פתרון אי שוויון ודרך ההיגיון.

פתרון בעזרת אי שוויון
אם היו שואלים “מתי הישר y = 2x חיובי” היינו בונים את האי שוויון
y > 0
2x > 0
לכן כאשר שואלים “מתי y = 4 חיובי” עלינו לבנות את האי שוויון
y > 0
0 < 4
זה אי שוויון שנכון לכל x (נכון תמיד).
לכן הפתרון הוא: כל x, הישר חיובי לכל x (תמיד).

מתי הישר y = 4 שלילי?
האי שוויון המתאים לשאלה הוא:
0 > 4
זה אי שוויון שלא מתקיים אף פעם.
לכן הישר y = 4 אינו שלילי אף פעם.

פתרון בעזרת ההיגיון
הישר y = 4 שווה ל 4 תמיד.
ומכוון ש 4 הוא מספר חיובי הישר חיובי תמיד ואף פעם לא שלילי.

ניתן לראות זאת גם בגרף, הישר תמיד מעל ציר ה x (חיובי) ואף פעם לא שלילי (מתחת לציר ה x).

2.ישר המקביל לציר ה y
ישר מהצורה x = מספר לא ניתן לקבוע לו תחומים מתי הוא חיובי ומתי שלילי.
משום שעבור אותו ערך x הישר הוא פעם חיובי ופעם שלילי.

למשל הישר x = -2.
סימנתי שתי נקודות עליו.
בשתי הנקודות הללו ערך ה x הוא x = -2.
בנקודה A ערך ה y חיובי ובנקודה B ערך ה y שלילי.
לכן לא ניתן להגיד על ערך x כלשהו שערך ה y עבורו חיובי או שלילי.

לישרים מסוג זה אין תחומי חיוביות ושליליות.

חיוביות ושליליות של ישר על פי גרף

ערך ה y של ישר הוא חיובי כאשר הגרף של הישר נמצא מעל ציר ה x.
ערך ה y של ישר הוא שלילי כאשר הגרף של הישר נמצא מתחת לציר ה x.

דוגמה 1
y = 3x + 3 הוא הישר האדום החותך את ציר ה x בנקודה x = -1.
y = -x + 2 הוא הישר השחור החותך את ציר ה x בנקודה x = 2.
מבלי לבצע חישוב, קבעו מתי הישרים הללו חיוביים ומתי שליליים.

פתרון
נזכיר: לשאול מתי ישר חיובי זה לשאול מתי ערך ה y של ישר חיובי.
וערך  ה y של ישר חיובי כאשר הישר נמצא מעל ציר ה x.

הישר y = 3x + 3
חיתוך עם ציר ה x ב x = -1
רואים שגרף שהוא נמצא מעל ציר ה x כאשר x > -1.
לכן הישר חיובי כאשר x > -1.
הישר נמצא מתחת לציר ה x כאשר
x < -1
לכן ישר זה שלילי כאשר x < -1.

הישר y = -x + 2
חיתוך עם ציר ה x ב x = 2.
ישר זה נמצא מעל ציר ה x משמאל לנקודת החיתוך, כאשר x < 2.
x < 2 זה התחום שבו הישר חיובי.
הישר מתחת לציר ה x כאשר x > 2.
x > 2 זה התחום שבו הישר שלילי

דוגמה 2
נקודות החיתוך של הישרים הבאים עם ציר ה x הן:
ישר 1 בנקודה x = -1
ישר 2 בנקודה x = 0
ישר 3 בנקודה x = 3
מתי משוואות הישר המשורטטות בגרפים הבאים הן חיוביות ומתי שליליות?

פתרון

גרף 1
חותך את ציר ה X כאשר x=-1 וזו פונקציה קווית יורדת.
ניתן לראות שהישר חיובי משמאל לנקודות החיתוך כאשר x<-1
ושלילי כאשר מימין לנקודת החיתוך כאשר x > -1.

גרף 2
חותך את ציר ה X כאשר X=0 וזו פונקציה קווית עולה.
ניתן לראות שהישר חיובי מימין לנקודות החיתוך כאשר x>0
ושלילי כאשר משמאל לנקודת החיתוך כאשר  x<0.

גרף 3
חותך את ציר ה X כאשר X=3 וזו פונקציה קווית עולה.
ניתן לראות שהישר חיובי מימין לנקודות החיתוך כאשר x>3
ושלילי כאשר משמאל לנקודת החיתוך כאשר  x<3.

תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית ומשוואת ישר תרגילים

תרגיל 1

קבעו מי מהמשפטים הבאים נכון

1. פונקציה חיובית כאשר ערך ה x שלה חיובי.
2. פונקציה חיובית כאשר ערך ה y שלה חיובי.
3. אף אחד מהמשפטים לא נכון.

תרגיל 2

קבעו מי מהמשפטים הבאים נכון

1. פונקציה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא ברביע הראשון.
2. פונקציה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא מעל ציר ה x.
3. אך אחד מהמשפטים לא נכון תמיד.

תרגיל 3
התבוננו בגרף וקבעו מתי גרף הישר חיובי ומתי שלילי.

תרגיל 4
מצאו בעזרת פתרון אי שוויון מתי הישר הבא חיובי.

y = -4x + 10

עוד באתר:

• מבחן בנושא תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה בעזרת אי שיוויונות.
• כיצד לשרטט גרף של פונקציה קווית – אם נותנים לכם משוואת ישר. כיצד תשרטטו את הגרף שלה?
• משוואת ישר – הדף המרכזי בנושא. כולל נושאים רבים.
• מציאת משוואת ישר – מהם הדרכים לעשות זאת + תרגילים.
• מציאת שיפוע – 3 דרכים למציאת שיפוע ישר / פונקציה קווית.