פונקציה קווית, משוואת ישר

את נושא הפונקציה הקווית ניתן לחלק ל 3.

  1. פונקציה קווית ונקודה.
  2. מציאת משוואת הישר.
  3. גרף פונקציה קווית.

לכל אחד מהנושאים הללו יש באתר סיכום בכתב ובוידאו.

את הסיכום הכתוב + הוידאו + קישורים לדפים קטנים ומפורטים יותר תוכלו למצוא בשלושת הקישורים שלמעלה.

בדף זה תוכלו למצוא:

  1. סיכום וידאו של כל אחד משלושת הנושאים.
  2. 13 תרגילים מסכמים.

1.פונקציה קווית ונקודה

2.מציאת משוואת ישר

חיתוך בין ישרים וחיתוך עם הצירים

 

3.גרף פונקציה קווית

4.תרגילים 

התרגילים המופיעים כאן הם תרגילים מסכמים וקשים יחסית. הם מיועדים למי שיודע כיצד מוצאים משוואת ישר. למי שרוצה חזרה הנושא יש תרגילים נספים בדף מציאת משוואת ישר.

תרגיל 1: מציאת נקודות על ישר, האם נקודה נמצאת על ישר

נתונה פונקציה קווית y = 3x – 3.

  1. מה קצב השינוי של הפונקציה (קצב השינוי = שיפוע).
  2. שרטטו טבלה עם 3 נקודות שעל הישר.
  3. מה ערך הפונקציה כאשר x = 0?
  4. מה הערך של x כאשר y =0 ?
  5. האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
  6. שרטטו גרף של הפונקציה (אם לא למדתם תלמדו בהמשך).

פתרון

סעיף א: קצב השינוי ושיפוע הישר
הנוסחה של משוואת הישר היא y = mx + n
המקדם של x שהוא m מייצג את קצב השינוי (שיפוע).
קצב השינוי הוא 3, m = 3.

סעיף ב: מציאת 3 נקודות על הישר
נבחר  את הנקודות x=0, x =1, x=2
כי הן קלות (ניתן לבחור כל ערך x אחר).
נציב כל אחת מהנקודות הללו במשוואת הישר.
y =3x – 3

כאשר x = 0 ערך ה y הוא:
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

כאשר x = 1
y =3x – 3
y = 3 * 1 – 3 = 3 – 3 = 0
הנקודה: 1,0

כאשר x = 2
y =3x – 3
y = 3 * 2 -3 = 6 – 6 = 3
הנקודה 3, 2

שלושת הנקודות הללו בטבלה נראות כך:

210x
303-y

סעיף ג: ערך הפונקציה ב x =0
נציב x= 0 במשוואת הישר
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

סעיף ד: ערך הפונקציה ב y =0
על מנת למצוא את ערך הפונקציה הקווית כאשר y=0 נציב y=0 במשוואת הפונקציה y = 3x – 3.
3x -3 = 0  / +3
3x = 3  /:3
x = 1
תשובה: כאשר y= 0 אז x = 1.

סעיף ה: האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
כלומר דרך הנקודה 0,0.
נציב 0,0 במשוואת הפונקציה ונראה.
0 = 3 – 3*0
0 = 3-
זה לא נכון ולכן הפונקציה אינה עוברת דרך ראשית הצירים.

סעיף ו: שרטוט גרף הפונקציה.

  1. נשים 3 נקודות מהטבלה על גרף.
  2. ואז נחבר בניהן באמצעות קו (ונמשיך את הקו גם מעבר להן). זה גרף הפונקציה.
210x
303-y

נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר
נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר

תרגילים בנושא מציאת משוואת הישר

תרגיל 2: משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, שיפוע ישרים מקבילים

  1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (2,4-) ושיפועו 1-.
  2. מה משוואת הישר המקביל לישר שמצאתם בסעיף 1 ועובר דרך הנקודה 0,0.

פתרון
סעיף א: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
כאשר יש לנו שיפוע ונקודה נציב אותם בנוסחה ונמצא את משוואת הישר.
זו הנוסחה
(y – y1 = m(x-x1
ואלו הנתונים:
m = -1,  והנקודה (2,4-)

((y – 4 = -1(x-(-2
(y-4 = -1(x+2
y -4 = -x -2  / +4
y = -x +2
(זו משוואת הישר)

סעיף ב: מציאת משוואת ישר מקביל
שיפוע ישרים מקבילים שווה.
שיפוע הישר  שמצאנו y = -x +2 הוא 1-.
לכן שיפוע הישר המקביל 1-.
והוא עובר דרך הנקודה 0,0.

זה למעשה עוד תרגיל של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-0
y = -x

הגרף של שני הישרים נראה כך:

הגרפים של הישרים

תרגיל 3: משוואת ישר על פי שתי נקודות

  1. מצאו את משוואת הישר העובר
    דרך הנקודות (1,0) (3, 2-).
  2. מה השיפוע של ישר זה?
  3. מהסתכלות במשוואת הישר בלבד.
    מה היא נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה Y?

פתרון

שיפוע ישר על פי שתי נקודות נתון על ידי הנוסחה

נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:

השיפוע הוא 1-

עכשיו נמצא משוואת ישר על פי נקודה (0, 1) ושיפוע 1-.
(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-1
y = -x +  1

חלק שני
y = -x +  1
במשוואת ישר סטנדרטית קצב ההשתנות או השיפוע הם המקדם של x.
במקרה הזה 1-.

הערה: משוואת ישר סטנדרטית היא מהצורה
y = mx + n
והשיפוע / קצב ההשתנות הוא m.
משוואת ישר לא סטנדרטית היא כאשר המבנה הוא אחר, למשל:
y + 2x = 4
2y = 5x + 1
y – 1 = 2x
ואת המשוואות הללו יש להעביר למצב סטנדרטי על מנת למצוא את השיפוע.

חלק שלישי
במשוואת ישר y = mx + n
ערך ה y בנקודת החיתוך עם ציר ה  y הוא n.
לכן עבור הישר y = -x +  1
נקודת החיתוך היא (1, 0).

תרגיל 4: מציאת נקודת החיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם הצירים.
  2. מצאו את התחום שבו הישר חיובי והתחום שבו הישר שלילי.
  3. דרך נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם ציר ה x מעבירים ישר המקביל לציר ה y מצאו את משוואת הישר.

פתרון

סעיף א: מציאת נקודות חיתוך
חיתוך של ישר עם ציר ה y מציבים x = 0
חיתוך של ישר עם ציר ה x מציבים  y =0

חיתוך עם ציר ה y
מציבים x = 0
y = 0.5x -2
y = 0.5*0 – 2 = -2
(2- , 0) נקודת החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
מציבים y=0
y = 0.5x -2
0.5x – 2 = 0  / +2
0.5x = 2  / *2
x = 4
(0,  4) נקודת חיתוך עם ציר ה x.

סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות
y = 0.5x -2
דרך אחת למצוא את תחומי החיוביות והשליליות היא לפתור את האי שוויון:
0.5x – 2 > 0
0.5x > 2
x > 4
מצאנו שהישר חיובי כאשר x > 4 ולכן הישר שלילי כאשר x < 4.

דרך שנייה למצוא חיוביות שליליות היא באמצעות גרף
הישר חותך את ציר ה x בנקודה (0,  4).
מכוון שהמקדם של x במשוואת הישר הוא חיובי אז הפונקציה היא פונקציה עולה.
לכן הפונקציה חיובית כאשר x>4 ושלילית כאשר x<4.

ניתן לזהות את תחומי החיוביות והשליליות בגרף.

שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים
שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים

סעיף ג: משוואת ישר המקביל לציר ה y
דרך הנקודה (0, 4) מעבירים ישר המקביל לציר ה y.
התכונה של ישרים המקבילים לציר ה y היא שיש להם ערך x קבוע לכל אורכם.
ומכוון שבנקודת החיתוך היא x =4 אז משוואת הישר היא x = 4.

תרגיל 5

ידועה משוואת הישר y = -3x +4  ומשוואת הישר y = (a+5)x + 1 (כאשר a הוא פרמטר).
עבור איזה ארך של a שני הישרים מקבילים?
עבור אלו ערכים של a הישרים אינם מקבילים?

פתרון
על מנת שהישרים יהיו מקבילים המקדמים של x צריכים להיות שווים בשתי המשוואות.
לכן צריך להתקיים:
a + 5 = -3
a = -8
תשובה: עבור a = -8 הישרים מקבילים.

סעיף ב: עבור אלו ערכים של a הישרים לא מקבילים?
בכול המקרים שבהם a ≠ -8 הישרים לא מקבילים.

תרגיל 6: ישר מקביל לצירים, שטח משולש

נתונה הפונקציה הקווית y = -2x + 3.

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y (מסומנת בשרטוט כנקודה A).
  2. על ציר ה y  נמצאת הנקודה (B (0, -4. חשבו את המרחק בין הנקודות A ו B.
  3. דרך הנקודה B מעבירים את הישר BC המקביל לציר ה x .
    מצאו מה ערכי הנקודה שבה הישר המקביל חותך את הפונקציה הקווית y = -2x + 3 (הנקודה C שבגרף).
  4. חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א: מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.
y = -2x + 3.
y = -2*0 +3 = 3
(A (0, 3

סעיף ב: חישוב מרחק
(A (0, 3
(B (0, -4
לכן אורכו של AB הוא
7 = (4-) – 3

סעיף ג: מציאת הנקודה C.
ישר המקביל לציר ה x הוא ישר עם ערך  y קבוע לכול אורכו.
בנקודה B מתקיים y = -4 ולכן גם בנקודה C מתקיים y = -4.

נציב y= -4 במשוואת הישר ונקבל את ערך ה x בנקודה C.
y = -2x + 3
2x + 3 = -4  / -3-
2x = -7  /:2-
x = 3.5
תשובה: הנקודה (C (3.5, -4

סעיף ד: חישוב שטח משולש
משולש ABC הוא משולש ישר זווית.
כאשר הניצבים הם AB,BC.

מצאנו בסעיף ב שאורך הניצב AB הוא 7.

נחשב את אורך הניצב BC.
המרחק בין הנקודות (B (0, -4  ו (C (3.5, -4 הוא:
3.5 = 0 – 3.5

שטח המשולש הוא:
S = (3.5 *7) / 2
S = 24.5 / 2 = 12.25
12.25 = 2 : 24.5
תשובה: שטח משולש ABC הוא 12.25 יחידות ריבועיות.

תרגיל 7: בניית פונקציה קווית על פי טבלה

נתונות שתי טבלאות של ערכי x וערכי y.
ידוע כי הטבלאות הללו מייצגות פונקציה קווית.
התאימו לכל אחת מהטבלאות משוואה של פונקציה קווית.

טבלה ראשונה

x2410
y101114

טבלה שנייה

x2-25
y010-25-

פתרון

נבנה משוואת ישר עבור הטבלה הראשונה.

x2410
y101114

בניית משוואת ישר היא בעצם מציאת m,n במשוואה:
y = mx + n
m מבטא את השיפוע או קצב השינוי.
n הוא הערך של y כאשר x = 0.

מציאת m
אנו רואים שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x גדל ב 1 ערך ה y גדל ב 0.5.
קצב השינוי הוא 0.5
m= 0.5.

מציאת n
ערך ה n הוא ערך ה y כאשר x= 0.
כאשר x =2 אז y = 10.
קודם מצאנו שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x קטן ב 2 ערך ה y קטן ב 1.
לכן כאשר x = 0 אז y = 9.
n = 9.

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = 0.5x + 9

בדיקה:
נציב את ערכי x המופיעים בטבלה ונראה אם אנו מקבלים את ערכי ה y המתאימים להם:
x =2
y = 0.5 *2 + 9
y = 1 + 9 = 10
(מתאים לטבלה)

x = 4
y = 0.5 * 4 + 9
y = 2 + 9 = 11
(מתאים לטבלה)

שתי נקודות מספיקות לבדיקה.

הטבלה השנייה.

x2-25
y010-25-

מציאת m
אנו רואים שכאשר ה x גדל ב 4 ערך ה y קטן ב 10.
לכן כאשר ערך ה x גדל ב 1 ערך ה y קטן ב 2.5.
2.5 – = 4 : 10-
לכן m = -2.5

מציאת n
עלינו למצוא את הערך של y כאשר x = 0.
כאשר x = -2 ערך ה y הוא 0.
לכן כאשר x = 0 ערך ה y הוא 5-.
n = -5

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = -2.5x – 5

תרגיל 8: אי שוויונית קווים, משמעות גרפית

נתונים הגרפים של הפונקציות
g (x)= -5x  ו   f(x) = -2x +2.

  1. מצאו את הנקודה A.
  2. עבור אלו ערכים (g(x) >f (x.
    הסבירו באמצעות גרף ולא באמצעות חישוב.

שרטוט גרפים

פתרון

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הגרפים נקודה זו  ערכי ה X וה Y שווים.
(f(x) = g (x
2x + 2 = -5x  / +2x –
3x = 2  / : -3-
x = – 0.666

מצאנו את ערך ה x בנקודה A. עכשיו עלינו למצוא את ערך ה y בנקודה:
y = -5 * -0.666 = 3.333

(A (-0.666, 3.333

חלק שני
בהתבוננות בגרף ניתן לראות שהגרף (g(x  נמצא מעל גרף (f(x משמאל לנקודת החיתוך A.
כלומר כאשר x< -0.666.

תרגילים בנושא בעיות מציאותיות, הקשר בין גרף למשוואה

תרגיל 9: בניית פונקציה קווית על פי נתונים

בפארק שעשועים מחיר הכניסה לאתר הוא 20 שקלים
ולאחר מיכן צריך לשלם 15 שקלים עבור כל מתקן עליו עולים.
כתבו פונקציה קווית המתארת את הקשר שבין מספר
המתקנים שעליהם עולים לבין הסכום לתשלום

פתרון
אם x הוא מספר המתקנים עליו עולים.
אז 15x הוא הסכום שמשלמים עבור העליה למתקנים.
למי שזה לא ברור ניתן להסתכל הטבלה הבאה:

מספר המתקנים123
הסכום לתשלום153045

15x הסכום לתשלום עבור המתקנים.
20 שקלים לתשלום בכניסה.
סך הכל לתשלום 15x+20.
y=15x+20 – זו הפונקציה הקווית.

אם היה לכם קושי במציאת הפונקציה ניתן לבנות טבלה  ובעזרתה לבנות את הפונקציה.

מספר המתקנים עליהם עולים123
הסכום לתשלום355065

דרך אחרת להבין את הפתרון
משוואת ישר נראית כך:
y = mx + n
הרכיב n הוא מספר קבוע שאינו משתנה ולכן מתאים להוצאה הקבועה של כניסה לפארק.
n = 20.
לעומת זאת mx הוא רכיב המשתנה כאשר x משתנה ולכן זה מתאים להוצאה המשתנה כאשר עולים על מספר שונה של מתקנים.
mx = 15x.
y = 15x + 20

הסבר מפורט לדרך זו בסרטון הוידאו.

תרגיל 10: הקשר שבין בעיה מציאותית לפונקציה קווית

שני פועלים מעמיסים שתי משאיות שונות.
שתי המשאיות לא היו ריקות בזמן תחילת המילוי.
שתי פונקציות קוויות מתארות את כמות הארגזים בכול משאית כפונקציה של הזמן.

המשתנה x הוא הזמן בדקות.
כלומר כאשר x =1 זה מתאר את כמות הארגזים במשאיות כעבור דקה אחת.

f (x ) = 20 + 3x  (פועל א).
g (x ) = 50 + 2x   (פועל ב).

  1. קצב המילוי של איזה פועל מהיר יותר?
  2. כמה ארגזים היו בכל אחת מהמשאיות כאשר הפועלים התחילו למלא?
  3. כעבר כמה זמן כמות הארגזים במשאיות תהיה שווה?

פתרון
קצב המילוי של פועל א מהיר יותר.
קצב המילוי נקבע על ידי המקדם של x. ואצל פועל א המקדם הוא 3 לעומת 2 אצל פועל ב.
למשל:
ב x = 5.
כמות הארגזים אצל פועל א היא:
35 = 5 * 3 + 20
ואצל פועל ב היא:
60 = 5 * 2 + 50

ב x = 6
אצל פועל א
38 = 6*3 + 20
ואצל פועל ב:
62 = 6 *2 + 50

כלומר לפועל א נוספו 3 ארגזים ולפועל ב נוספו 2 ארגזים.
קצב המילוי של פועל א גבוה יותר.

סעיף ב: מספר הארגזים לפני המילוי
x = 0 מתאר את הזמן ההתחלתי לפני שהתחילו במילוי.
נציב x = 0 בכול אחת מהמשוואות.
f (x) = 20 + 3x
f (0) = 20 + 3*0 = 20
כלומר בזמן 0 היו במשאית 20 ארגזים.

g (x) = 50 + 2x
g (0) = 50 + 2*0 = 50
כלומר בזמן 0 היו במשאית 50 ארגזים.

תשובה: מספר הארגזים לפני המילוי במשאית של פועל א היה 20.
ואצל פועל ב 50.

סעיף ג: כמות שווה
f (x ) = 20 + 3x
g (x ) = 50 + 2x

כמות שווה של הארגזים תהיה כאשר
(f (x) = g (x
נבנה משוואה:
3x + 20 = 2x + 50
3x + 20 = 2x + 50  / -2x – 20
x = 30
בזמן x=30, לאחר 30 דקות של מילוי, כמות הארגזים בשתי המשאיות תהיה שווה.

תרגיל 10: בעיה מילולית, בעיית גרף ופונקציה קווית

ברז א ממלא את בריכה א  וברז ב מרוקן את בריכה ב (בריכה אחרת).
הגרף הבא מתאר את כמות המים בליטרים שיש בכול אחת מהבריכות כפונקציה של הזמן.

  1. מה מתארות הנקודות A,B,C,D?
  2. מה הקצב שבו ברז א ממלא את הבריכה ומה הקצב שבו ברז ב מרוקן את הבריכה?
  3. *בנו משוואת ישר המתארת את כמות המים בכול אחת מהבריכות.

פתרון

סעיף א

הנקודה A.
בנקודה A הזמן הוא 0.
לכן A היא הנקודה שבה ברז א התחיל למלא את הבריכה.

הנקודה B
בנקודה B שני הגרפים נפגשים.
לכן B היא הנקודה שבה כמות המים שבשתי הבריכות הייתה שווה.

הנקודה C
הנקודה C היא הנקודה האחרונה בגרף של ברז א.
לכן C היא הנקודה שבה ברז א סיים למלא 500 ליטרים בבריכה.

הנקודה D
בנקודה D כמו המים בבריכה ב הוא 0.
לכן D היא הנקודה שבה ברז ב סיים לרוקן את בריכה ב.

סעיף ב

ברז א ממלא 500 ליטרים תוך 3 שעות
לכן הקצב שבו הוא ממלא הוא
166.66 = 3 : 500
166.66 ליטרים בשעה.

ברז ב מרוקן 500 ליטרים תוך 5 שעות
לכן הקצב שבו הוא מרוקן הוא
100 = 5 : 500
100 ליטרים בשעה.

*סעיף ג: בניית משוואת ישר
כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהגרפים היא: y = mx + n.

כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).

מציאת n
כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
y = m * 0 + n
y =n
נקודת החיתוך עם ציר ה y מיוצגת על ידי x =0, ובה y = n.
זו נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.

בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=0 ולכן n =0.
בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=500 ולכן n =500.

מציאת m
כמו כן השיפוע של הישר הוא קצב המילוי / ריקון של הבריכה.

בריכה א מתחילה מ 0 לכן n=0. השיפוע הוא קצב המילוי m=166.66.
לכן המשוואה המתארת את ברז א היא:
y = 116.66x.

בריכה ב מתחילה מ 500 לכן n=500.
השיפוע הוא קצב המילוי לכן m= -100. (סימן המינוס מבטא את זה שהברז מרוקן).
לכן המשוואה המתארת את ברז ב:
y = -100x+500.

תרגילים המשלבים את תכונות המשולש והמלבן

תרגיל 1

במשולש ישר זווית ABC הניצבים הם AB⊥BC.
הנקודה (D(5,4 נמצאת על AB.
(A (6,6)  , C(8,0

  1. מצאו את משוואת הישר AB.
  2. האם הנקודה (E (0,0 נמצאת על הישר AB?
  3. מצאו את משוואת BC.
  4. מצאו את הנקודה B.

שרטוט התרגיל

פתרון

חלק 1.
משוואת הישר AB היא משוואת הישר AD (כי D נמצאת על AB).
(A (6,6)  , D(5,4
m = (6-4) / (6-5) = 2 /1=2
נציב במשוואת הישר:
y – 6 = 2(x-6) = 2x-12
y = 2x-6 זו משוואת AB.

חלק 2.
נציב (E (0,0 במשוואת AB.
0 = 6- 2*0
0= 6-
זה לא נכון לכן (E (0,0 לא נמצאת על AB.

חלק 3.
(C(8,0.
BC מאונך ל AB לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * 2 = -1
m = -0.5
נציב במשוואת הישר:
y – 0 = -0.5(x-8) = -0.5x +4
y = -0.5x +4 זו משוואת הישר BC.

חלק 4.
הנקודה B היא נקודת המפגש של AB ו BC.
y = -0.5x +4 הישר BC.
y = 2x-6 הישר AB.
2x-6 = -0.5x + 4  / +0.5x + 6
2.5x = 10 / :2.5
x=4

נציב את x=4 במשוואת אחד הישרים (לא משנה איזה).
y=2*4-6=2
(B(4,2

תרגיל 2

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
(C(1,1

  1. מצאו את משוואת הצלע AD.
  2. מצאו את משוואת הצלע CD.
  3. מצאו את הנקודה D.

שרטוט גרף התרגיל

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y1=m(x-x1
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * -0.5= -1
m=2
נמצא את משוואת CD על פי השיפוע 2 והנקודה (C(1,1.
(y-1=2(x-1
y-1=2x-2  /+1
y=2x-1 – זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של
y=2x-1 – הישר CD.
y= – 0.5x +9 – הישר AD.
2x-1= – 0.5x+9 / +0.5x +1
2.5x=10 /:2.5
x=4
נמצא את ערך ה Y של הנקודה D על ידי הצבה במשוואת CD.
y=2*4-1=7
(D(4,7  – זו נקודה D.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

99 מחשבות על “פונקציה קווית, משוואת ישר”

    1. לומדים מתמטיקה

      לא הבנתי.
      במשוואה
      y = mx + b
      ה b משנה את ערך ה Y והוא בעל משמעות.

        1. לומדים מתמטיקה

          זאת לא נקודה אלה תוספת לערך ה y.
          למשל אם נסתכל על שתי הפונקציות הבאות
          y = x + 1
          y = x + 4
          כאשר x = 2
          בפונקציה הראשונה y= 3
          בפונקציה השנייה y = 6

          1. אבל למה הנקודה הזאת כל כך משפיעה זה רק החיתוך עם ציר הy למה צריך להוסיף אותה לכל x

            1. לומדים מתמטיקה

              הראתי לך שהיא משפיעה על ערך ה y.
              צריך להוסיף אותה כי היא חלק ממשוואת הישר.

  1. יעל אסרף

    הי
    רציתי לשאול איך אני מוצאת משואה של פונקציה על ידי תחומי עליה וירידה, תחום וסרטוט?
    תודה רבה💕
    אגב האתר מאוד עוזר לי בלימודים תודה😘

        1. לומדים מתמטיקה

          אם יש לך גרף – את יכולה לזהות תכונות של הפונקציה.
          זיהוי מדויק של משוואת הפונקציה זה לא משהו שאני מכיר בחומר הלימוד של בית הספר.

            1. לומדים מתמטיקה

              אין כאן תמונות.
              אני חושב שאת הגרף הבנתי.
              אם את רוצה כתבי את השאלה במלואה.
              וגם מה הנושא ורמת הלימוד.

  2. היי יש לי שאלה איך ידעתם את הגרף כאילו כן ידעתם את הנקודות אבל איך ידעתם לאיזה כיוון הם זזים ??? ( בתרגיל 2 גרף של שתי הנקודות )
    תודה מראש 🤍
    – יש סיכוי אתם עונים מהר כי מחר יש לי מבחן-

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר יש שתי נקודות ניתן לשרטט רק קו ישר אחד העובר דרכן.
      הישר ממשיך ימינה ושמאלה לאחר שהוא פוגש את הנקודות.
      מקווה שהבנתי את השאלה.
      בהצלחה במבחן

  3. היי
    אני צריכה לדעת איך מוצאים את נקודת האפס בדרך אלגברית יש הסבר אני ישמח
    תודה!!!
    ואדב בסירטונים אם אפשר להסביר איך הוא עשה את זה זה נורא יעזור

  4. איך אני מוצא את הנקודה על הגרף אם יש לי פונקציה והגרף לא מסומן עם מספרים-לא כתוב לי מספרים לאורך ה X והY

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את ראשית הצירים ניתן לזהות על פי מפגש הצירים.

      נקודה הנמצאת על הצירים ניתן לדעת ערך אחד שלה.
      על ציר ה x יש לה y = 0.
      על ציר ה Y יש לה x = 0.

      על מנת לדעת צריך שיהיה איזשהו נתון נוסף – אם אין נתונים נוספים לא ניתן לדעת.

  5. שלום

    הפונקציה היא y=mx+b
    ואז כתוב לי בשאלה חשבו את השיפוע בכל אחד מהגרפים הנתונים
    איך אני מחשבת שיפוע בגרף?
    כאילו איך אני מוצאת את הb את הm את הx ואת הy ???

  6. יש לי שאלה במשוואת ישר אפשר לקחת גם מספרים חיוביים או רק שליליים או שגם אפשר חיוביים ושליליים ביחד.?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במשוואת ישר יש מספרים מכל הסוגים והם משולבים.
      אפשר שליליים וחיוביים ביחד.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          אם המשוואה היא למשל
          y = 2x + 3
          אז תחום החיוביות הוא:
          2x + 3 > 0
          ותחום השליליות
          2x + 3 < 0 זה נלמד ביסודיות כאן https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-positive-or-negative/
          על מנת להצליח צריך לדעת לפתור אי שוויונות וזה נלמד כאן
          https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/inequality-simple/

    1. לומדים מתמטיקה

      תציבי x = 2
      במשוואה
      x + y = 15
      ותקבלי את הערך המתאים בטבלה ל x = 2 שהוא y = 15.

      אם יש שאלה על הסבר זה ניתן לשאול.
      אנו לא עוברים שלב שלב.

  7. שלום יש לי כמה תרגילים שעשיתי ואני לא בטוחה שעשיתי נכון אתם יכולים לבדוק אותי ? ועם עשיתי לא נכון תוכלו להסביר לי שאני יבין ?? בבקשה ??
    y=5-x = זו לא פונקציה קווית .
    y=-4 = זו כן פונקציה וה- M שלה הוא : 0 וה – B שלה הוא – 4- .
    y=x = זו לא פונקציה .
    y=-x/5-6 = זו לא פונקציה .
    y=4/x+5 = זו לא פונקציה .
    3y=6(x-2)-5x = זו כן פונקציה וה – M שלה הוא : 1 וה- B שלה הוא – 12- .
    איפה שרשמתי שזה לא פונקציה אז לא היה צורך לכתוב את ה – M וה – B .
    תודה מראש ! בבקשה תבדקו אותי עם זה נכון כי אני לא בטוחה …

      1. לומדים מתמטיקה

        הצורה שבה שלחת הודעות אתמול היא הצורה המקובלת באתר.
        משאירים שאלה, מחכים ומקבלים תשובה

  8. איך מזהים פונקציה קווית ?
    הנוסחה היא : y=mx+b אבל עם יש במקום M מספר ללא X או רק X כאילו : y=x זה עדיין פונקציה קווית ?

    1. לומדים מתמטיקה

      כאשר יש x ללא מספר זו פונקציה קווית
      y = x – 2
      כי במקרה זה המספר m הוא 1.
      y = 1x – 2

      גם כאשר יש מספר לבד זו פונקציה קווית
      y = 10
      כי במקרה זה זה כאילו המקדם של x הוא 0.
      y = 0x + 10

      x = 5 זו לא פונקציה קווית כי הוא לא כולל את y.

      1. אבל בכיתה שלי אמרו שכל משוואה שמוכרבת מ : y=mx+b היא פונקציה קווית ולמשל : y=3x+2 זו כן פונקציה קוויות כי היא בנוייה לפי הנוסחה שפה אבל אמרתם שכאשר יש x ללא מספר זו פונקציה קווית אז זה כן או לא פונקציה קווית : y=3x+2 כי יש לX מספר אבל זה בנוי לפני הנוסחה : y=mx+b … ?

  9. שלום יש לי שאלה שאני לא הבנתי תוכלו בבקשה להסביר לי אשמח עם תעזרו …
    היקף מלבן הוא 30 ס"מ.
    x מייצג את אורך צלע המלבן
    y מייצג את אורך הצלע השנייה של המלבן
    התאימו לאורך צלע המלבן (x) את אורך הצלע השנייה (y).
    טבלה: (יש להגדיר משתנים) ( אני הגדרתי את המשתנים )
    x- 1 0 1- 2 2- 3
    ? ? ? ? ? ? y-

    ביטוי אלגברי:
    ???? =y
    הקיפו:
    הפונקציה עולה / יורדת
    הישר עובר בראשית הצירים / חותך את ציר ה –y בנקודה ( 0 , 0 ).
    בבקשה אל תמחקו לי את ההודעה לקח לי זמן לכתוב אותה …

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הנוסחה של היקף המלבן שלך היא:
      2x + 2y = 30
      בכל פעם תציבי את ערך ה x או y שנתון לך בטבלה ומצאי את הערך החסר.

      אם מסבירים ניתן גם להשתמש בנוסחה
      x + y = 15

      1. כאילו להציב למשל : 30 = 5*1+2*2 וככה על כל שאר המספרים מהטבלה ?
        ולא הבנתי איך אני ישרטט את זה בגרף ? תוכלו להסביר לי בבקשה בפירוט ? וסליחה מראש על השיגעון …

        1. לומדים מתמטיקה

          למשל עבור x = 1 תקבלי בהצבה
          2y + 1*2 = 30
          2y = 24
          y = 14

          על פי הטבלה את יכולה להציב x או y, את לא יודעת את שניהם.

          ועל מנת למצוא את צריכה לבודד את ה y במשוואה
          2y + 2x = 30
          כלומר להגיע למצב של y שווה משהו

          1. ויש לי עוד שאלה ( אני ועוד וחברה שלי מהכיתה לא הבנו אותה ) :

            בריכה שיש בה 100 מ"ק מתמלאת בקצב קבוע של 50 מ"ק בשעה. כמות המים בבריכה קשורה לזמן שחלף. התאימו לזמן שחלף את כמות המים בבריכה. (הברז פתוח 6 שעות).

            זה הביטוי אלגברי :
            y =100 + 50 *X

            השאלה שלנו היא עם הישר עובר בראשית הצירים או חותך את ה Y בנקודה ? עם כן איפה ?
            בבקשה תעזרו לנו … ואנחנו חייבות להגיש את זה עוד היום !!!!! נשמח עם תענו לנו כמה שיותר מהר …

  10. שלום
    הייתה לי שאלה ולא הבנתי אותה זו השאלה :
    בריכה שיש בה 100 מ"ק מתמלאת בקצב קבוע של 50 מ"ק בשעה. כמות המים בבריכה קשורה לזמן שחלף. התאימו לזמן שחלף את כמות המים בבריכה. (הברז פתוח 6 שעות).
    (המשך השאלה הוסר מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      על מנת להשלים את הטבלה עלייך לחשב את כמו המים בבריכה לאחר 1,2,3 וכן הלאה דקות.
      למשל לאחר דקה יש 100 ועוד 50 ליטרים.
      לאחר שתי דקות 100 ועוד 2 * 50 ליטרים.

      בנוגע לשאר השאלות אני מציע ללמוד את הדפים:
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/different-show-of-linear-function/
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-graph-plot/

      כמו כן בעיות מילוליות דומות יש כאן
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-word-problems/

      1. אה אוקי
        ולא הבנתי את זה :
        הישר עובר בראשית הצירים / חותך את ציר ה –y בנקודה עם הוא כן עובר אז איפה ?

        1. לומדים מתמטיקה

          נקודת חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x =0 במשוואת הישר.

          אם כאשר תציבי תקבלי y=0 אז הישר עובר דרך ראשית הצירים שהיא הנקודה 0,0.

          אם y יוצא משהו שונה מ 0 אז הוא לא עובר דרך ראשית הצירים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תציב שלושה ערכי x במשוואה.
      למשל x = 1
      x = 2
      x = 3
      כך תקבל 3 נקודות.
      שרטט אותם על מערכת צירים והעבר קו בניהן. זה הגרף

  11. ממש עזר לי , אבל יש לי שאלה.
    אם אני צריכה לכתוב את ה-n, מה אני כותבת? את הy של הנקודה שלו? את ה-x?
    תודה רבה!

  12. פשוט סרטונים מעולים אתה עוזר כל כך להרבה ילדים על תפסיק!!!!!
    ויש לי שאלה אני לא יודע אם תוכל לעזור כי זה לא כל כך קשור לחומר אבל כן למתמטיקה אבל עדין אני ישאל….
    שמתי לב שאני יודע את החומר ושיעורים אני תמיד הראשון שעונה והכול אבל במבחן לא הולך לי….. יש לך אולי עצה?

    גם אם לא תענה זה בסדר 🤣🤣

    ושוב תמשיך ככה הסרטונים פשוט מעולים

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      תודה על המחמאות.
      אני יכול לחשוב על שלוש סיבות למצב הזה. כמובן שתתכן סיבה רביעית או שסביר שלכל אחת מהסיבות יש חלק קטן בדבר.
      סיבה ראשונה: לא עברת על כל החומר, כך שיש דברים שאתה יודע ודברים שאתה לא. הפתרון לכך הוא לעבור על כל שיעורי הבית. או כאן באתר לעבור על כל התרגילים הנמצאים בדף. לקרוא ולדעת שאתה יודע את דרך הפתרון.
      סיבה שנייה: על מנת לענות בכיתה בדרך כלל נדרשת הבנה של משהו מסוים. לעומת זאת תרגיל במבחן דורש רצף של פעולות נכונות ויתכן שיש לך קושי לעשות זאת, אולי בגלל אובדן תשומת לב לאורך זמן.
      אם זה כך הדבר הראשון שצריך לעשות הוא לא להקל ראש. להבין שטעות אחת מתוך 10 פעולות זה לא 9 מתוך 10 נכונים אלא טעות ההורסת תרגיל שלם.
      במקרה זה עליך לרשום את סוג הטעויות שאתה עושה על מנת לראות אם הן חוזרות על עצמן.
      כמו כן כאשר אתה עושה טעות כזאת בשיעורי הבית תתעכב עליה, תשנן לעצמך מה עשית לא טוב ותפתור תרגיל נוסף שיצא טוב.
      סיבה שלישית: יכולה להיות התרגשות במהלך מבחן, והיא נכונה אם תרגילים שאתה פותר טוב בבית לא נפתרים טוב במבחן. במקרה זה רצוי שתבחן את עצמך בבית מידי פעם. תבחר מספר תרגילים מספר פתור אותם כמבחן ותן לעצמך ציון. או תן לעצמך ציון לאחר כל שיעורי בית שאתה מקבל. כמה תרגילים פתרת נכון וכמה לא. רשום את זה ובדוק האם יש שיפור.
      אלו העצות שלי, כמובן שיכולות להיות גם אחרות טובות.
      שיהיה בהצלחה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      משוואה מסודרת היא משוואה שבה יש y בצד אחד וכל שאר האיברים בצד השני.
      מבודדים את ה y בדיוק באותה צורה שמבודדים את ה x כאשר פותרים משוואה עם נעלם.
      למשל במקרה שלך:
      y−2x+9=0 / +2x – 9
      y = 2x – 9
      באתר יש דף מיוחד לנושא "כיצד מסדרים משוואת ישר", אני ממליץ לבקר בו.
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/standard-equation-of-linear-function/
      מקווה שעזרתי.

  13. היי יש לי שאלה,
    איך אני מסדר פונקציה קווית למשל: y−2x+9=0
    אני פשוט לא הבנתי…
    תודה מראש!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      משוואה מסודרת היא משוואה שבה יש y בצד אחד וכל שאר האיברים בצד השני.
      מבודדים את ה y בדיוק באותה צורה שמבודדים את ה x כאשר פותרים משוואה עם נעלם.
      למשל במקרה שלך:
      y−2x+9=0 / +2x – 9
      y = 2x – 9
      באתר יש דף מיוחד לנושא "כיצד מסדרים משוואת ישר", אני ממליץ לבקר בו.
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/standard-equation-of-linear-function/
      מקווה שעזרתי.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רועי
      תקן אותי אם אני טועה אבל השאלה שלך היא לא על שאלה מתוך הדף. נכון?
      בכול אופן אם נתונה טבלה ומבקשים ממך לבנות ביטוי אלגברי עליך לזהות את נקודת ההתחלה.
      נקודה זו תהיה n בתוך המשוואה y = mx +n.
      לאחר מיכן עליך לזהות את קצב הגדילה של הפונקציה (קצב גדילה = שיפוע).
      קצב הגדילה זה אומר: כאשר x גדל ב 1 מה השינוי של ה y?
      ערך זה הוא m במשוואת הישר.
      אם זה לא מובן ויש לך שאלה ספציפית כתוב אותה כאן.
      שני דפים רלוונטים יש באתר:
      כתיבת ביטוי אלגברי:
      http://www.m-math.co.il/math-7th-grade/algebraic-expression/
      פונקציה קווית כיתה ח:
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-8th-grade/
      חזור אלי אם יש עדיין בעיה.

  14. היי, אם יש ביטוי אלגברי ואין בו את נקודת b/n זה אומר שנקודת החיתוך עם ציר y היה 0, או שגרף קבוע?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      זה אומר שנקודת החיתוך היא y=0, ראשית הצירים.
      בגרף קבוע המקביל לציר ה x נראה כך:
      y= k כאשר k הוא מספר כלשהו, ולכן יש במשוואה זו b/n.

      ישר המקביל לציר ה y אינו עונה להגדרות של משוואת ישר או לפונקציה. כי פונקציה דורשת שלכל x יהיה ערך y יחיד.
      אבל בכול אופן גם כאן יש מספר חופשי, והמשוואה היא מהצורה
      x = k
      מקווה שעזר

  15. לא הבנתי בכלל את הנושא מציאת משוואת ישר על פי קווים מקבילים ומאונכים..
    תוכלו להסביר יותר בפירוט?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום תאיר.
      קודם כל מדובר בנושא חשוב מאוד שאת לא יכולה לעזוב אותו מבלי לדעת אותו. כך שכמה שאלות שיהיו לך בנושא אענה עליהם.
      באופן כללי "משוואת ישר על פי ישרים מקבילים" וגם "משוואת ישר על פי קווים מאונכים" נועדו על מנת לתת לך את השיפוע של הישר (m).
      לאחר שמצאת את m את מוצאת את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.
      ברור עד כאן?

      משוואת ישר על פי קווים מקבילים.
      כיצד קווים מקבילים עוזרים לך למצוא את m?
      לקווים מקבילים שיפוע שווה.
      לישר המקביל לישר y = 2x + 5
      יש שיפוע 2.
      לאחר שמצאת שהשיפוע 2, את מוצאת את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.

      משוואת ישר על פי קווים מאונכים.
      מכפלת השיפועים של קווים מאונכים היא 1-.
      כלומר השיפוע של הישר המאונך לישר y = 2x + 5
      הוא 0.5-.
      לאחר שמצאת שהשיפוע 0.5-, את מוצאת את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.

      בדף הבא בסעיפים 3-4 יש דוגמאות נוספות
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/equation-of-linear-function/

      מדובר בנושא חשוב מאוד שאת לא יכולה להרשות לעצמך לא לדעת אותו.
      אם יש לך עוד שאלות תשאלי.
      בהצלחה

  16. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    עד עכשיו לא הבנתי כלום מהחומר הזה והיתקשתי.
    ראיתי את הסרטון ופתאום הבנתי. תודה רבה לך.
    קיבלתי בזכותך 98

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה על המחמאות על האתר.
      הצלחת והתקדמת בזכותך ואם תמשיך להתאמץ ולהקפיד לא ליצור אפילו פער קטן מהכיתה אני מאמין שתמשיך בציונים הגבוהים.
      זכור לא להזניח את החומר, אפילו לא מעט ואם יש לך שאלה על החומר, בכול תחום של המתמטיקה, יש לך כאן כתובת לשאלות.
      להתראות.

  17. מדהים ומומלץ לכל מי שרוצה לדעת את הפונקציה הקווית כמו שצריך
    מורה….

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.