ביטוי אלגברי

בדף זה נעבור על כל מה שצריך לדעת בנושא בנייה של ביטוי אלגברי.
מכוון שהדף הוא ארוך הרבה מהמידע הוא "חבוי" כך שאתם צריכים ללחוץ על מנת לראות אותו.

הנושא החשוב ביותר שהוא: בניית ביטוי אלגברי גלוי ואתם יכולים ללמוד אותו.

לחצו לצפייה בהסבר מה הוא ביטוי אלגברי

ביטוי אלגברי הוא צירוף של מספרים ו / או משתנים הקשורים בניהם בפעולות של: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

  1. x + 2
  2. 3a -6+b
  3. 6y
  4. 4+2+3x+2x
  5. 5(1+2x)
  6. 2*3x

כל אלו הם ביטויים אלגבריים.

הסבר: כיצד מציבים בביטוי אלגברי

כאשר מציבים מספר במקום משתנה בביטוי אלגברי רושמים את המספר במקום שבו היה המשתנה ומבצעים על המספר את הפעולה שהיינו צריכים לבצע על המשתנה.

דוגמה 1
בביטוי האלגברי 4x  הציבו x=2.
פתרון
נציב במקום x את המספר 2 ונקבל:
8 = 2 * 4

דוגמה 2
בביטוי האלגברי a+8+3x הציבו a=6.
פתרון
נרשום 6 במקום a ונקבל:
6+8+3x
14+3x

דוגמה 3
בביטוי האלגברי (2x(4+y הציבו x=10, y=0

פתרון
(2x(4+y
(0 + 4) 10*2
4 * 10 * 2
4 * 20
80

תרגילים: הצבה בביטוי אלגברי

תרגילים 1-3 הם הצבה בביטוי אלגברי.
תרגילים 4-5 הם הצבה בביטוי המייצג סדרה.

תרגיל 1
בביטוי האלגברי y =2x – 1 הציבו x = -3.

פתרון
y = 2 * -3 – 1
y = -6 – 1 = -7

תרגיל 2
בביטוי האלגברי 2ab + b² הציבו a = 4,  b = -1

פתרון
²(1-) + (1-) * 4 * 2
7- = 1 + 8 –

תרגיל 3
עבור הביטוי האלגברי b² -4ac הציבו את המספרים הבאים:
a=1, b= 2, c= 3

פתרון
נציב את המספרים במקום המשתנים ונקבל:
3 * 1* 4 – 2²
8- = 12 – 4

תרגיל 4
רשמו את 2 האיברים הראשונים בסדרה   2n.

פתרון
כאשר נציב n =1 נקבל את האיבר הראשון בסדרה.
כאשר נציב n = 2 נקבל את האיבר השני בסדרה.

עבור n=1.
2n = 2*1 = 2

עבור n=2.
2n = 2*2 = 4

תשובה: האיבר הראשון בסדרה הוא 2, האיבר השני הוא 4.

תרגיל 5
רשמו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה שבמקום ה n שלה נמצא 5n-2.
רשמו את האיבר הנמצא במקום ה 20.

פתרון
עבור n=1 (האיבר הראשון)
5n-2 = 5*1 -2
3 = 2 – 5

עבור n=2
5n-2 = 5 *2 – 2
8= 2 – 10

עבור n=3
5n-2 = 5*3 -2
13 = 2 – 15

עבור n=20
5n-2 = 5 *20 -2
98 = 2 – 100

תשובה: שלושת האיברים הראשונים של הסדרה הם 3,8,13.
האיבר במקום ה 20 הוא 98.

מתי ביטויים אלגבריים שווים

שני ביטויים אלגבריים נקראים שווים אם עבור כל הצבה הם מקבלים ערך מספרי שווה.
למשל הביטוי a+a והביטוי 3a – a הם ביטויים שווים כי עבור כל מספר שנציב עבור a נקבל ערך מספרי שווה.

בניית ביטוי אלגברי

החלק הזה הוא החשוב בדף.
נושא בניית הביטוי האלגברי חולק ל 3 רמות.
כאשר בכול רמה תמצאו הסבר ותרגילים.

6 סוגים בסיסיים של ביטוי אלגברי

1ביטוי אלגברי של חיבור.
מחיר מחברת הוא x שקלים.
ספר עולה 20 שקלים יותר ממחברת.
כתבו ביטוי  אלגברי למחיר של  ספר?

פתרון
x + 20  זה המחיר של ספר.

2.ביטוי אלגברי של חיסור
מחיר מחברת הוא x שקלים.
מחיר עיפרון הוא 4 שקלים פחות ממחברת.
מה המחיר של של עיפרון?

פתרון
x – 4 זה המחיר של עיפרון.

3.ביטוי אלגברי של כפל.
מחיר מחברת הוא x. כמה עולות 4 מחברות?

פתרון
4x  הוא המחיר של 4 מחברות.

4.ביטוי אלגברי של חילוק.
לכנס הגיעו 120 אנשים.
הם ישבו סביב x שולחנות.
כמה אנשים ישבו סביב כל שולחן?

פתרון
אם היו 10 שולחנות אז סביב כל שולחן היו
12 = 10 : 120

מכוון שיש x שולחנות אז סביב כל שולחן יש:

5.ביטוי אלגברי של כפל וחיבור
בביטויים אלגבריים כאלו יש "נקודת מוצא".
למשל:
בקופת מכולת יש 20 שקלים. נמכרו 5 ארטיקים שכל אחד מיהם עולה x שקלים. כמה כסף יש בקופה עכשיו?

לצפייה בסרטון וידאו המסביר את הפתרון

פתרון
20 זה הסכום ההתחלתי בקופה.
5x זה הסכום שהוסיפה מכירת הארטיקים.
5x + 20  זה הסכום הכולל בקופה.

6.ביטוי אלגברי של כפל וחיסור.
בחנות יש 100 ארטיקים.
לחנות נכנסו 6 אנשים שכל אחד מיהם קנה x ארטיקים.
כמה ארטיקים נשארו בחנות?

לצפייה בפתרון וידאו

פתרון
100 זו כמות הארטיקים ההתחלתית בחנות.
6x  זו כמות הארטיקים שנקנתה.
לכן:

זו כמות הארטיקים שנשארה בחנות.

7.ביטויים אלגבריים נוספים
קיימים ביטויים נוספים המשלבים בין פעולת החילוק לבין פעולות החיבור והחיסור אך הם נדירים יותר.

בדקו את עצמכם

 

תרגילים בנושא בניית ביטויים אלגבריים ברמת מתחילים

תרגיל 1
סנדוויץ עולה 12 שקלים.
כמה יעלו 2 סנדוויצ'ים?
כמה יעלו 10 סנדווצ'ים?
כמה יעלו n סנדוויצ'ים?

פתרון

לצפייה בפתרון וידאו

 שני סנדוויצ'ים:
24 = 12 * 2

10 סנדוויצ'ים:
120 = 12 * 10

n סנדוויצ'ים:
n * 12 = 12n

תרגיל 2
בקופה יש 30 שקלים.
כל יום מוסיפים לקופה 4 שקלים.
כמה שקלים יהיו בקופה בעוד x ימים.

פתרון

לצפייה בפתרון וידאו

 30 הסכום ההתחלתי.
4x  הסכום שנוסף תוך x ימים.
סך הכל נקבל:
4x + 30   זה הסכום שיש כעבור x ימים.

תרגיל 3
x חברים קנו כרטיס למופע במחיר של 10 שקלים לכרטיס. בנוסף הם קנו במשותף אוכל במחיר של 50 שקלים.

  1. כתבו ביטוי אלגברי להוצאה הכוללת.
  2. אם 6 חברים קנו כרטיס, מה היא ההוצאה?
לצפייה בפתרון וידאו

פתרון
10x  זו  העלות של הכרטיסים.
50 זו העלות של האוכל.

העלות של: כרטיסים + אוכל היא:
10x + 50.

נציב 6 בביטוי האלגברי ונקבל
110 = 50 + 10*6

תרגיל 4
בחנות 30 כוסות. כל יום קונים מהחנות 5 כוסות.
כמה כוסות יישארו לאחר 1 יום? כמה יישארו לאחר x ימים?

לצפייה בפתרון

פתרון
25 = 5 – 30 (לאחר 1 יום).

לאחר x ימים יקנו מהחנות 5x כוסות.
לכן ישארו בחנות:
30-5x

תרגיל 5
נתון משולש שווה צלעות.
אם אורך צלע המשולש הוא 6 ס"מ מה הוא היקף המשולש?
אם אורך הצלע הוא x מה הוא היקף המשולש?

פתרון
18 = 3*6 (ההיקף כאשר אורך הצלע 6 ס"מ).
3x (ההיקף כאשר אורך הצלע x ס"מ).

תרגיל 6
במסיבת יום הולדת יש 50 מטבעות שוקולד.
אם מגיעים 10 אנשים כמה מטבעות יקבל כל אחד?
אם מגיעים x אנשים?

פתרון

5 = 50:10 (כאשר מגיעים 10 אנשים).

50 לחלק ב x

זה מה שיקבל כל אחד עם מגיעים x אנשים.

תרגיל 7 (כתיבת בעיה מילולית על פי ביטוי אלגברי)
כתבו בעיה מילולית היכולה להיות מתוארת על ידי הביטוי האלגברי 20 + 6x

פתרון
אנחנו צריכים לכתוב בעיה שיש בה גודל קבוע של 20 ובנוסף עליה של 6 כל פעמים שהמשתנה גדל ב 1.
דוגמאות לכך יכולות להיות:

    • בקופת חיסכון 20 שקלים וכל יום מוסיפים לה 6 שקלים. כמה כסף יהיה בקופה בעוד x ימים?
    • קבוצת אנשים אוכלת במסעדה. הקבוצה משאירה ביחד 20 שקלים טיפ ובנוסף כל אחד מזמין מנה אחידה ב 6 שקלים. מה המחיר הכולל של הארוחה? (במקרה זה x הוא מספר האנשים שסועדים).
    • דני יוצא למסע סביב העולם. בתחילת היום הראשון למסע אביו של דני מסיע את דני מביתו מרחק של 20 ק"מ ומאז דני הולך 6 ק"מ בכול יום (כולל ביום הראשון) איזה מרחק דני עבר מהבית כעבור x ימים?

בניית ביטויים אלגבריים ברמה שנייה

ברמה הבסיסית היה תמיד דבר אחד שהגדרנו באמצעות x.
בביטויים ברמה השנייה יהיו שני דברים שנבטא באמצעות x

1.כיצד לבטא גודל של שני דברים באמצעות x.

גודל צלע מלבן היא x.
כתבו את אורך הצלע השנייה במקרים הבאים:

הצלע השנייה גדולה ב 6 סנטימטר מהצלע הראשונה.

לצפייה בפתרון

x + 6 אורך הצלע השנייה

 

הצלע השנייה קטנה ב 7 סנטימטר מהצלע הראשונה.

לצפייה בפתרון

x – 7 אורך הצלע השנייה

 

הצלע השנייה גדולה פי 4 מהצלע הראשונה.

לצפייה בפתרון

4x אורך הצלע השנייה

 

הצלע השנייה היא 1/5 מהצלע הראשונה.

לצפייה בפתרון

אורך הצלע השנייה.

2.ליצור משני הביטויים הללו ביטוי אלגברי.

לאחר שביטאנו שני דברים באמצעות משתנה אחד יבקשו מאיתנו לבנות ביטוי אלגברי משני הדברים הללו.
לרוב הביטוי האלגברי הזה יהיה:

  1. סכום שני הדברים (פעולת חיבור).
  2. הפרש (נחסר את הצלעות).
  3. מכפלה (נכפול את הצלעות)
  4. מנה (נחלק את הצלעות, מקרה זה נדיר יותר).

לדוגמה:
במלבן צלע אחת היא x וצלע שנייה היא 0.2x.

1.מה הוא סכום אורכי צלעות המלבן?

לצפייה בפתרון

x + 0.2x = 1.2x

 

2.מה ההפרש בין צלעות המלבן?

לצפייה בפתרון

x – 0.2x = 0.8x

 

3.מה שטח המלבן?

לצפייה בפתרון

שטח המלבן הוא מכפלת צלעות המלבן:
x * 0.2x

 

4.במקרים קשים יותר יבקשו לשלב בין הפעולות.
למשל:
במלבן צלע אחת היא x וצלע שנייה היא 0.2x.

1.חשבו את היקף המלבן.

לצפייה בפתרון

היקף הוא פעמיים צלע אחת ועוד פעמיים צלע שנייה.
(2x + 2 * (x + 3

לצפייה בפתרון וידאו

2.משתי הצלעות הללו בנו צורה הבנויה מ 5 פעמים הצלע הגדולה ו 4 פעמים הצלע הקטנה.
חשבו את היקף הצורה שנוצרה.

לצפייה בפתרון

5x זה 5 פעמים הצלע הקטנה.
x + 3) * 4) זה 4 פעמים הצלע הגדולה.

היקף הצורה הוא:
(5x + 4(x + 3

לצפייה בפתרון וידאו

בדקו את עצמכם

בניית ביטויים אלגבריים ברמה שלישית

ברמה השלישית יהיו לנו 3 דברים המוגדרים באמצעות משתנה אחד.

ברמה זו לא נלמדת דרך הגדרה חדשה, אלא צריך להגדיר יותר דברים.

בסרטון הוידאו הבא יש את הפתרון של שתי הדוגמאות הבאות.
אם אתם רוצים את הדוגמה השנייה בלבד היא מתחילה ב 2:57.

דוגמה 1
קרטיב הוא הממתק הזול ביותר בחנות.
ארטיק שוקולד עולה 4 שקלים יותר מקרטיב.
טילון עולה פי 3 מקרטיב.
לילך קנתה קרטיב, ארטיק שוקולד וטילון.
x הוא מחיר של קרטיב.
בנו ביטוי אלגברי לסכום אותו צריכה לשלם לילך.

פתרון
x  מחיר של קרטיב.
x + 4  ארטיק שוקולד  עולה 4 שקלים יותר.
3x  טילון עולה פי 3.

שלושת הדברים ביחד עולים:
x + x + 4 + 3x = 5x + 4

*דוגמה 2
1/10 מהכסף בקופה משפחתית נלקחו על ידי דנה.
מיכל לקחה מהקופה 3 שקלים יותר מדנה.
אם הכמות ההתחלתית בקופה היא x.
מה הוא הביטוי האלגברי המייצג את הסכום שנשאר בקופה?

פתרון
x  הוא הסכום ההתחלתי בקופה.
0.1x  זה הסכום שדנה לקחה.
0.1x + 3  זה הסכום שמיכל לקחה.

הסכום שנשאר בקופה הוא הסכום ההתחלתי פחות הסכום שדנה ומיכל לקחו.
(x – 0.1x – (0.1x + 3

בניית ביטוי אלגברי: תרגילים ברמה השנייה והשלישית

בתרגילים הללו תצטרכו ליצור קשר בין שני ביטויים אלגברים.

הקשר יכול להיות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

  1. קשר של חיבור ביטויים אלגבריים – מילת המפתח סכום.
  2. קשר של חיסור ביטויים אלגבריים – מילת המפתח הפרש.
  3. קשר של כפל ביטויים אלגבריים – מילת המפתח מכפלה.
  4. קשר של חילוק ביטויים אלגבריים – מילת המפתח מנה.

תרגילים 1-2 הם ההתחלה.
תרגילים 3-4 קשים יותר.
תרגילים 5-6 קשים.

לתרגילים 1,2,3,7 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר ראשון הוא x ומספר שני גדול ממנו ב 8.
כתבו ביטוי אלגברי לסכום המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למכפלת המספרים.

פתרון
x  מספר ראשון
x+8 הוא המספר השני.

x+x+8  – ביטוי אלגברי של סכום המספרים.
(x(x+8  – ביטוי אלגברי של מכפלת הספרים.

תרגיל 2
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר אחד הוא a.
מספר שני גדול ממספר זה פי 3.
כתבו ביטוי אלגברי של הפרש המספר השני מהראשון.
כתבו ביטוי אלגברי של מנת המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למספר שהוא עשירית מסכום המספר הראשון והשני.

פתרון

a המספר הראשון
3a הוא המספר השני
a – 3a   המספר הראשון פחות השני.

a לחלק ל 3a
(מנת המספרים).

4a לחלק ל 10
(עשירית מסכום שני המספרים).

הערה לתרגיל זה
תלמיד פנה אלי ושאל האם התשובה לסעיף א "כתבו ביטוי אלגברי של הפרש המספר השני מהראשון" לא צריכה להיות:
3a – a
והתשובה הייתה שהתשובה היא כמו שרשום בפתרון התרגיל עצמו.
ניסוח השאלה באמת מבלבל וגם אני (מי שכתב את השאלה) קורא את השאלה פעמיים לפני שאני עונה עליה.
הניסוח מבלבל – כי חלק מהשאלות שתפגשו בעתיד יהיה עם ניסוח מבלבל והרצון הוא להכין אותכם.

תרגיל 3
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
אורך צלע במלבן הוא x ואורך הצלע השנייה הוא ארבע עשיריות (4/10) מהצלע הראשונה.

  1. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את שטח המלבן.
  2. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את את היקף המלבן.
  3. אם אורך הצלע הראשונה הוא 5 ס"מ חשבו את שטח המלבן (מצאו מספר).

פתרון

סעיף א
x הצלע הראשונה.
0.4x  הצלע השנייה.
שטח מלבן הוא מכפלת צלעות:
s = 0.4x * x = 0.4x²

סעיף ב
היקף מלבן הוא פעמיים צלע אחת ועוד פעמיים צלע שנייה:
p = 2*x + 2*0.4x = 2x + 0.8x = 2.8x

סעיף ג
אורך הצלע הראשונה הוא 5.
בסעיף א מצאנו כי שטח המלבן הוא:
s =  0.4x²
נציב 5 בנוסחת השטח ונקבל
10 = 25 * 0.4 = 5² * 0.4
תשובה: שטח המלבן הוא 10
(הצלעות הן 5 ו 2)

תרגיל 4
מחיר מחברת הוא x ומחיר עיפרון הוא y.
כמה עולות 10 מחברות ו 3 עפרונות?

פתרון
10x  זה המחיר של 10 מחברות.
3y  המחיר של 3 עפרונות.

הסכום של שניהם ביחד הוא:
10x + 3y

תרגיל 5
מחיר מחברת הוא 7 שקלים.
1.כמה עולות 4 מחברות?
2.מחיר המחברת עלה ב x שקלים. מה המחיר החדש של מחברת?
3.מה המחיר החדש של 4 מחברות?

פתרון
7 המחיר ההתחלתי של מחברת.
לכן:
28 = 4* 7  מחיר 4 מחברות.

סעיף ב
מחיר המחברת עלה ב x שקלים.
לכן המחיר החדש הוא:
7 + x    מחיר חדש של מחברת.

סעיף ג
עלינו להכפיל את המחיר החדש של המחברת פי 4.
x + 7) *4)   מחיר של 4 מחברות.

תרגיל 6
אני בן 20 ולפני x שנים גילו של אבי היה פי 3 מגילי.
1.מה היה הגיל שלי לפני x שנים?
2.מה היה גילו של אבי לפני x שנים?
3.מה גילו של אבי היום?

פתרון
סעיף א
היום גילי 20, לכן לפני x שנים הגיל שלי היה

סעיף ב
הגיל של אבי הוא פי 3 ממני.
לכן לפני x שנים גילו של אבי היה:

סעיף ג
הגיל של אבי היום גדול ב x מגילו לפני x שנים.
לכן הגיל היום:

אם נפתח סוגריים נקבל:

תרגיל 7
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
בהזמנה שנעשתה בבית קפה הוזמנו קפה, עוגה, וסנדוויץ.
הקפה עולה מחצית ממחיר הסנדוויץ ואלו מחיר העוגה הוא 10 שקלים גדול יותר ממחיר הקפה והסנדוויץ ביחד.
בסוף הארוחה שולם טיפ של 15 שקלים.
מה המחיר הכולל של הארוחה?

פתרון
x מחיר הקפה.
2x מחיר הסנדוויץ.
x+2x+10  מחיר העוגה.
15 טיפ

הסכום הכולל של 4 הדברים הללו הוא מחיר הארוחה:
x+ 2x+ x+2x+ 10+ 15
6x + 25
זה המחיר הכולל של הארוחה.

6.מציאת חוקיות בסדרה של מספרים או בשרטוט

השלב הראשון בבניית ביטוי אלגברי הוא מציאת חוקיות.
ברוב השאלות יתנו לכם סדרה של מספרים או שרטוט ואתם תצטרכו למצוא את החוקיות.

תרגיל 1
מה החוקיות של המספרים  …2,5,8,11

פתרון
כל מספר גדול מהקודם לו ב 3.

תרגיל 2
מה החוקיות של המספרים …10,40,160

פתרון
כל מספר גדול מהקודם לו פי 4.

תרגיל 3
א)מה החוקיות של סדרת המספרים הבאה

2/3, 2/4, 2/5

ב)נסו לכתוב ביטוי אלגברי המתאר את הסדרה.

פתרון
א)המכנה של סדרת המספרים גדל כל פעם ב 1, זו החוקיות.

ב)הביטוי המתאר את האיבר במקום ה n הוא:

2 לחלק ב n+2

תרגיל 4

סדרת מבנים

  1. כמה ריבועים יהיו במבנה הרביעי?
  2. כמה ריבועים יהיו במבנה במקום ה- n?

פתרון

במבנה הרביעי יהיו 4 שורות ובכול אחת 4 ריבועים. לכן במבנה הרביעי יהיו 4*4=16 ריבועים.

כל פעם שמתקדמים מקום נוספת שורה עם 4 ריבועים. כמו כן במקום הראשון יש 4 ריבועים. לכן הביטוי האלגברי שמייצג את המקום ה- n הוא:
4n.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “ביטוי אלגברי”

  1. היי
    האתר שלך מדהים, אתה מסביר כל כך בסבלנות וברור.. תודה על זה
    אני בת 40 וניגשת למבחנים פסיכוטכניים בקרוב לצורך מיון לתפקיד מסוים והאתר שלך עזר לי להיזכר בדברים ישנים וללמוד דברים חדשים , הגעתי לנקודה שבה אני צריכה מעט הכוונה והייתי רוצה לשאול אותך כמה שאלות באופן פרטי האם זה ניתן? אם כן אשמח לקבל מייל או מספר טלפון שלך.
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום כרמית
      אשמח לתת לך מידע מדויק יותר. תוכלי לדבר איתי בצ'אט.
      בהצלחה במבחן

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה רבה אליעזר. כיף גדול לדעת שזה עוזר. מקווה שאצליח לסייע גם בהמשך.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      הערך של המכנה באיבר הראשון בסדרה (n=1) הוא 3.
      ואם נציב n=1 בביטוי n + 2 נקבל באמת 3.
      וכך גם עבור האיבר השני n=2.
      נציב n=2 בביטוי n+2 ונקבל 4, שהוא הערך של המכנה.
      וכך גם עבור n=3.
      אם היינו מציבים בביטוי n+1 היינו מקבלים שגיאה.
      לכן תמיד חשוב להציב בפועל ערכי n ולראות שמגיעים לתשובה הנכונה.
      אני חושב שמה שבלבל אותך זה שהערכים במכנה גדלים כל הזמן ב- 1. אבל גדילה זו לא נובעת מכך שבכנה כתוב n+1, אלא מכך שכאשר מתקדמים באיבר ערך ה n גדל ב- 1.
      מקווה שעזר.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום יעקב.
          החלק השלישי של הדף הוא "הצבה בביטוי אלגברי".
          בחלק זה יש תרגילים.
          הוספתי תרגיל (תרגיל מספר 1) הפותר בדיוק את מה ששאלת.
          אם דרושות דוגמאות נוספות תגיד.
          בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.