סדרות וחוקיות כיתה ז

במהלך כיתה ז עליכם ללמוד כיצד מבצעים הכללה של תופעות מספריות. בשנים הבאות תקראו לתחום זה סדרות.
יש מספר סוגים של תרגילים בהם תוכלו להיתקל.

החלקים של דף זה הם:

  1. כתיבת סדרה על פי ביטוי אלגברי.
  2. כיצד מתארים חוקיות של סדרת מספרים?
  3. תרגילים.

1.כתיבת סדרה על פי ביטוי אלגברי

לחלק מהתלמידים הסרטון שלמעלה אינו מספיק ברור.
ניתן ללמוד את הנושא גם מהסרטון הצבה בביטוי אלגברי.

לחצו לסרטון במושא הצבה בביטוי אלגברי

שאלות אלו הם בעצם הצבה בביטוי אלגברי (חזרה בקישור).

תרגיל 1
עבור הסדרה 2n + 1

  1. מצאו את שלושת האיברים הראשונים.
  2. מצאו את האיבר הנמצא במקום ה 15.

פתרון
n = 1 מייצג את המקום הראשון בסדרה.
n = 2  מייצג את המקום השני בסדרה.
n = 3  מייצג את המקום השלישי בסדרה.
n = 15 מייצג את המקום ה 15 בסדרה.

המקום הראשון בסדרה
נציב n=1  בביטוי האלגברי 2n +1 ונקבל:
1 + 1*2
3 = 1 + 2

המקום השני בסדרה
נציב n=2  בביטוי האלגברי 2n +1 ונקבל:
1 + 2*2
5 = 1 + 4

המקום השלישי בסדרה
נציב n=3  בביטוי האלגברי 2n +1 ונקבל:
1 + 3*2
7 = 1 + 6

המקום ה 15 בסדרה
נציב n=15  בביטוי האלגברי 2n +1 ונקבל:
1 + 15*2
31= 1 + 30
תשובה: המקום ה 15 הוא 31.

תרגיל 2
עבור הסדרה
2(n + 5)

  1. מצאו את שני האיברים הראשונים.
  2. מצאו את האיבר במקום ה 12.

פתרון
עלינו להציב
n=1,  n=2,  n = 12
בנוסחה של הסדרה
2(n + 5)

המקום הראשון בסדרה
n = 1
2(n + 5) =
2(1 + 5) =
2 * 6 = 12
תשובה: המקום הראשון הוא 12

המקום השני בסדרה
n = 2
2(n + 5) =
2(2 + 5) =
2 * 7 = 14
תשובה: המקום השני הוא 14

המקום השתיים עשרה בסדרה
n = 12
2(n + 5) =
2(12 + 5) =
2 * 17 = 34
תשובה: המקום ה 12 הוא 34

תרגיל 3
מה הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה שבמקום ה n שלה נמצא האיבר 0.75n – 1.

פתרון
המקום הראשון בסדרה
נציב n = 1 בנוסחה 0.75n – 1
1 – 1*0.75
0.25 – = 1 – 0.75

המקום השני בסדרה
נציב n = 2 בנוסחה 0.75n – 1
1 – 2*0.75
0.5  = 1 – 1.5

המקום השלישי בסדרה
נציב n = 3 בנוסחה 0.75n – 1
1 – 3*0.75
1.25  = 1 – 2.25

2.כיצד מתארים חוקיות של סדרת מספרים?

בחלק זה נלמד כיצד מתארים חוקיות של סדרות הגדלות במספר קבוע או קטנות במספר קבוע.

למשל
2,6,10,14
3,10,17,24

אנו לא נלמד לתאר חוקיות של הגדלות פי מספר קבוע, כמו:
2,6,18
1,5,25

דוגמה 1
2,6,10,14

  1. מצאו את החוקיות של הסדרה.
  2. תארו את החוקיות באמצעות המשתנה n.
  3. מצאו את האיבר הנמצא במקום ה 15.

פתרון
החוקיות של הסדרה
אנו רואים שהסדרה גדלה כל פעם ב 4.

תיאור החוקיות
תיאור סדרה הגדלה ב 4 צריך לכלול את הביטוי
4n
כי זה ביטוי הגדל ב 4 כאשר
גדל ב 1 n
לדוגמה נציב
n = 1
4 * 1 = 4

n = 2
4 *2 = 8

n = 3
4 * 3 = 12

מהצבה ב 4n קיבלנו מספרים הגדלים ב 4.
אבל לא קיבלנו את המספרים של הסדרה
2,6,10,14

על מנת להגיע לסדרה הזו נצטרך לבצע "התאמה".
כאשר הצבנו n = 1 קיבלנו 4.
בפועל האיבר שאנו רוצים שיהיה במקום הראשון הוא
2.
לכן נחסר 2.

וכך עבור כל איבר בהמשך, צריך לחסר 2 מהסדרה 4n.

לכן הסדרה המבוקשת היא:
4n – 2

האיבר הנמצא במקום ה 15
נציב n = 15
בנוסחה שמצאנו

4n – 2
4 * 15 – 2
60 – 2 = 58
התשובה: האיבר במקום ה 15 הוא 58

הערה
בפתרון השתמשנו בביטוי האלגברי 4n כדי לתאר ביטוי הגדל ב 4 כאשר n גדל ב 1.
אבל יש עוד ביטויים נוספים כמו:

4(n -1)
4(n + 2)

הסיבה שהשמשתי דווקא ב 4n היא שהוא הפשוט ביותר.

דוגמה 2
3,10,17,24

  1. מצאו את החוקיות של הסדרה.
  2. תארו את החוקיות באמצעות המשתנה n.
  3. מצאו את האיבר הנמצא במקום ה 20.

החוקיות של הסדרה
המספרים גדלים ב 7.

תיאור החוקיות באמצעות n
על מנת לתאר את החוקיות שגדלה ב 7 אנו צריכים לכלול את הביטוי
7n

7n לבדו יתן לנו:
7,14,21

על מנת להגיע אל הסדרה שביקשו מאיתנו עלינו לחסר 4.
7n – 4
זה התיאור של הסדרה.

האיבר הנמצא במקום ה 20
נציב n = 20 בביטוי.
7n – 4

7 * 20 – 4
140 – 4 = 136

האיבר במקום ה 20 הוא 136.

3.תרגילים

פתרון וידאו של תרגילים

תרגילים כתובים

תרגיל 1
נתונה סדרת המספרים:
2
5
8

  1. מה הקשר בין המספרים?
  2. כתבו את שלושת המספרים הבאים בסדרה.
  3. מה הוא האיבר הכללי של הסדרה?
  4. מה האיבר שנמצא במקום ה 40?

בחלק מהמקרים תינתן בדיוק אותה שאלה רק שסדרת המספרים תימסר בשרטוט.

תיאור ויזואלי של של הסדרה 2,5,8

פתרון
סעיף א: הקשר שבין המספרים
ניתן לראות שכל מספר גדול מקודמו ב 3.

סעיף ב: שלושת האיברים הבאים
11 = 3 + 8
14 = 3 + 11
17 = 3 + 14
תשובה: שלושת האיברים הבאים הם 17, 14,  11.

סעיף ד: האיבר במקום ה n / האיבר הכללי של הסדרה
על מנת שהסדרה תגדל כל פעם ב 3 עלינו לכלול את הביטוי
3n

הביטוי 3n  לבדו יתן לנו את המספרים
3,6,9
על מנת להתאים את הביטוי לסדרה המבוקשת נחסר 1 ונקבל:
3n – 1

סעיף ד: האיבר במקום ה 40
נציב 40 בנוסחת הסדרה
3 * 40 – 1
120 – 1 = 119
האיבר במקום ה 40  הוא 119

 

תרגיל 2
נתונה סדרה של ריבועים.

  1. כמה ריבועים יהיו באיבר במקום ה 6.
  2. האם יש איבר בסדרה עם 110 ריבועים?

איברים בסדרה עם 1,4,9 ריבועים

פתרון

במקום 1 יש 1 = 1² ריבועים.
במקום 2 יש 4 = 2² ריבועים.
במקום 3 יש 9 = 3² ריבועים.

אנו רואים שבכול מיקום מספר הריבועים הוא n² (עבור המקום ה n).

לכן במקום ה 6 יהיו 6² = 36 ריבועים.

סעיף ב.
האם יכול להיות n²=110 כאשר n הוא מספר שלם ? לא.
אנו יודעים ש 10² =100 ו 11² =121 ולכן אין מספר שלם שהריבוע שלו ייתן 110.

תרגיל 3

סדרת מבנים

  1. כמה ריבועים יהיו במבנה הרביעי?
  2. כמה ריבועים יהיו במבנה במקום ה- n?

פתרון

במבנה הראשון – 4 ריבועים.
במבנה השני – 8 ריבועים.
במבנה השלישי – 12 ריבועים.

הסדרה היא:
4,8,12
גדלה ב 4 כל פעם.

לכן במבנה הרביעי יהיו 16 ריבועים.

מספר הריבועים במקום ה n
הסדרה גדלה ב 4 כל פעם.
לכן הביטוי 4n צריך להיות בסדרה.

4n ייתן לנו את המספרים
4,8,12
ואלו בדיוק מספרי הסדרה, אין צורך לבצע התאמות.

 

תרגיל 4
א)מה החוקיות של סדרת המספרים הבאה

2/3, 2/4, 2/5

ב)נסו לכתוב ביטוי אלגברי המתאר את הסדרה.

פתרון
נשים לב שהמונה של השברים בסדרה לא משתנה, המונה נשאר קבוע.
לכן אנו מחפשים חוקיות רק עבור המכנים.

המכנים של הסדרה גדלים כל פעם ב 1.

לכן הביטוי שבמכנה הסדרה צריך לכלול את n (כמו שהוא וללא כפל).

n לבדו נותן את המספרים
1,2,3
על מנת לקבל את המכנים של הסדרה עלינו להוסיף 2 ל n.
לכן במכנה יהיה:
n + 2

והביטוי המתאר את הסדרה הוא:

2 לחלק ב n+2

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

21 מחשבות על “סדרות וחוקיות כיתה ז”

  1. שלום!
    אני רוצה ללמוד את הנושא מההתחלה ולא כל כך הבנתי אותו.
    את הסרטון הראשון לא הצלחתי להבין..
    יש דף שמסביר מההתחלה? (חוקיות סדרות וזה).
    אם כן, תוכל לצרף את הקישור כתגובה?
    אם לא, בכל מקרה תודה רבה מאוד עוזר לי ללמוד דברים שפספסתי וזה..
    תודה שוב, מוריה 🍀

  2. האם יש מקום באתר שיש בו הסבר על מציאת חוקיות של סדרות כמו: 4,8,16,32? (כלומר קפיצה בכפולות קבועות?)
    האם יש נוסחה שצריך ללמוד בע"פ או שיש דרך להגיע לתשובה באופן עצמאי?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין מקום נפרד באתר לסדרות מסוג זה.
      מה שצריך הוא לדעת שזו אפשרות שקיימת ולבדוק האם קשר מהסוג הזה קיים עבור הסדרה שאת החוקיות שלה צריך למצוא.

  3. היי אשמח לדעת אם תוכלו לעזור לי בשאלה שלי
    יש לי מחר מבחן ואני צריכה שיתנו לי כמה תרגילים על חוקיות
    אם זה אפשרי תודה זה מאוד יעזור תודה ואחר צהריים טובים

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      רמז: רשמי את ההפרשים בין כל שני איברים סמוכים.
      אם עדיין יש בעיה חזרי.

  4. יש לי תרגיל עם הסדרה הבאה –
    1,1,2,6,24
    אני לא מצליח להבין את החוקיות.
    אשמח אם מישהו יכול לסייע.
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כל איבר הוא כפולה של האיבר הקודם לו במספר שמשתנה בין כל שני איברים.
      נסה להבין כיצד משתנה האיבר שמכפילים בו את האיבר הקודם.
      אם לא תצליח חזור אליי ואפרט.

  5. המקום השלישי בסדרה
    נציב n=2 בביטוי האלגברי 2n +1 ונקבל:
    1 + 2*2
    5 = 1 + 4 לא שמים 3 כי מספר איבר הסדרה הוא 3, כמו בכל איבר? למה שמים 2 ולא 3?

  6. יש לי שאלה
    1. תמיד שאין פעולת חשבון צריך את זה *
    בביטוי אלגברי למלא
    תודה וצהרים טובים❤❤❤💖💖💖💋❤💕💕💕😋😋

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זו הייתה שאלה אז התשובה היא נכון.
      כשאין סימן בין איברים זה בעצם כפול
      3x
      זה 3 כפול איקס.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.