שטח משולש

בדף זה 3 חלקים:

  1. נוסחת שטח משולש.
  2. תרגילים לבית הספר היסודי (תרגילים 1-10).
  3. תרגילים לחטיבת הביניים (תרגילים 11-19).

1.נוסחת שטח משולש

שטח משולש שווה למכפלת הצלע (a) כפול הגובה אל הצלע (h) לחלק ב- 2.

נוסחת שטח משולש
נוסחת שטח משולש

תרגילים

בדף זה 20 תרגילים. לבית הספר היסודי וחטיבת הביניים.
התרגילים מחולקים לנושאים ולהרבה מהתרגילים יש פתרונות וידאו.

לבית הספר היסודי
תרגילים 1-4 הם תרגילים בסיסיים המחשבים שטח משולש במשולש חד זווית, משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית.
תרגילים 5-7 הם תרגילי חישוב שטח קשים יותר.
תרגילים 8-10 הם תרגילי חישוב שטח משולש יחד עם צורות אחרות (שטחים מורכבים).

לחטיבת הביניים
תרגילים 11-12 הוא חישוב שטח משולש בשתי צורות
תרגילים 13-16 הם תרגילים בהם ידוע שטח המשולש וצריך למצוא את אורך הגובה או הצלע.
תרגילים 17-18 משלבים אחוזים.
תרגילים 19-20 הם בנושא יחס שטח משולש לשטח מלבן

חישוב בסיסי של שטח משולש

בתרגילים 1-4 מחשב שטח משולש חד זווית, ישר זווית, וכהה זווית.

תרגיל 1: שימוש בנוסחה לשטח משולש
במשולש אורך צלע הוא 4 ס"מ ואורך הגובה המגיע אליה הוא 7 ס"מ.
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטח משולש שווה לצלע כפול הגובה חלקי 2.


תשובה: שטח המשולש הוא 14 סמ"ר.

תרגיל 2: שטח משולש ישר זווית
במשולש ישר זווית אורכי הניצבים הם 3 ו 5 ס"מ. חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון
שטח כל סוגי המשולשים הוא צלע כפול הגובה חלקי 2.
במשולש ישר זווית הגובה והצלע אל הגובה הם שני הניצבים.
כלומר, שטח משולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים.

תשובה: שטח המשולש הוא 7.5 סמ"ר.

תרגיל 3: שטח משולש קהה זווית
במשולש קהה זווית ABC נתון כי אורך הגובה AD=3 ס"מ.
אורך הישר CD הוא 10 ס"מ. ו- BD=6 ס"מ.
חשבו את שטח משולש ABC

שרטוט התרגיל

פתרון
התרגיל הזה נועד לוודא שאתם יודעים שבחישוב שטח משולש קהה זווית מתייחסים לאורך הצלע ולא מתייחסים לאורך המשכה של הצלע.
אורך הצלע BC הוא:
4 = 6 – 10 ס"מ.
שטח המשולש:



תשובה שטח המשולש הוא 6 סמ"ר.

תרגיל 4: האם במשולשים הללו ניתן לחשב שטח
על פי הנתונים שבשרטוט האם ניתן לחשב את שטח המשולשים.

שרטוט התרגיל
  1. לא. הגובה שאורכו 6 מגיע אל צלע שאנו לא יודעים את אורכה. על מנת לחשב שטח משולש אנו זקוקים לגובה המגיע לצלע שאנו יודעים את אורכה ולא גובה סתמי במשולש.
  2. לא. במשולש ישר זווית אנו זקוקים לדעת את גודלי שני הניצבים על מנת לחשב את השטח. (אלו ממכם שכבר למדו את משפט פיתגרוס כן יכולים לחשב את שטח המשולש).
  3. לא. הקו האדום אינו גובה ולכן לא ניתן לחשב שטח משולש בעזרתו.

תרגילים קשים יותר

תרגילים 5-7 הם תרגילים קשים יותר אבל עדיין לבית הספר היסודי.

תרגיל 5: חישוב שטח של מספר משולשים בשאלה אחת
במשולש ABC העבירו את הגובה AD ונוצרו שלושה משולשים.
על פי הנתונים שבשרטוט חשבו את השטח של שלושת המשולשים

  1.    ABC
  2.    ABD
  3.    ACD
שרטוט התרגיל

פתרון
הפתרון מתבסס על כך שהגובה AD הוא גובה בכל שלושת המשולשים הללו.

חישוב שטח משולש

חישוב שטח משולש ABC

חישוב שטח משולש

חישוב שטח משולש ABD

חישוב שטח משולש ADC.
עלינו למצוא את גודל הצלע DC.
DC = 7 – 1 = 6

חישוב שטח משולש

הערה: על מנת לחשב את שטח משולש ADC היינו יכולים להשתמש בדרך נוספת.
שטח משולש ADC הוא ההפרש של שטח המשולש הגדול (ABC) פחות המשולש הנמצא מצד ימין (ABD)
12 = 2 – 14

תרגיל 6: מהיקף משולש לשטח משולש
היקף משולש ABC הוא 34 סנטימטר.
אורכי צלעות המשולש הן AB = 14,   AC = 12.
אורך הגובה AD אל הצלע BC הוא 9 סנטימטר.
חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון
על מנת לחשב את שטח המשולש אנחנו צריכים למצוא את הצלע BC.
ניתן למצוא אותה כי היא הצלע החסרה בהיקף.
BC = 34 – 12 – 14
BC = 34 – 26 = 8

עכשיו אנו יודעים את אורך הצלע (8) והגובה אליה (9) וניתן לחשב את שטח המשולש.
S = (8 * 9) : 2
S = 72 : 2 = 36
תשובה: שטח המשולש 36 סמ"ר.

תרגיל 7: חיסור שטחי משולשים (חזרה על תרגיל 5)
שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
מקודקוד A מורדים גובה AD לצלע BC.
AD=5 ס"מ.
CD=2 ס"מ.

  1. חשבו את שטח משולש ADC.
  2. חשבו את שטח משולש ADB
  3. *חשבו את אורך הצלעות BD ו- BC.
שרטוט התרגיל

>

פתרון
שטח משולש ADC:
=2 : (5*2)
5=10:2
שטח משולש ADC הוא 5 סמ"ר.

שטח המשולש ADB שווה לשטח המשולש הגדול (ABC) פחות שטח המשולש ADC.
15=20-5
תשובה: שטח משולש ADB הוא 15 סמ"ר.

הצבה בנוסחה

חישוב אורכי הצלע BD ו- BC.
שטח משולש ADB הוא 15 סמ"ר.
אורך הגובה הוא 5 סנטימטר.
נציב את הנתונים הללו בנוסחת שטח משולש.

2.5BD = 15  / : 2.5
BD = 6

נעבור לצלע BC.
BC = BD + DC = 6 + 2= 8
תשובה: BD = 6,   BC = 8  סנטימטר.

חישוב שטחים מורכבים

תרגילים 8-10 הם תרגילי חישוב שטח משולש יחד עם צורות אחרות.
לבית הספר היסודי.

המפתח לפתרון שאלות מסוג זה הוא:

  1. לזהות את הקשר בין צלע המשולש לבין אורך הצלע או הרדיוס של הצורה האחרת.
  2. להכיר את הנוסחאות של שטחים והיקפים של צורות שונות:

פירוט של כל הנוסחאות כולל שרטוטים תוכלו למצוא בדף שטחים נוסחאות.
הנוסחאות הבולטות הן:

למקבילית ומלבן אותה נוסחה לשטח והיקף
S = a * h
P = 2a + 2b

ריבוע
S = a*a
P = 4a

מעגל:
S = ₶ * r * r
P=2₶r

משולש:

שטח משולש

תרגיל 8: שטח של צורה מורכבת
על משולש ישר זווית שאורך צלעותיו 6,8,10 ס"מ בנו חצי עיגול.
חשבו את ההיקף והשטח של הצורה שהתקבלה.

שטח משולש וצורה מורכבת

פתרון
חישוב ההיקף
המשולש תורם להיקף שתי צלעות.
14 = 8 + 6

המעגל תורם חצי מהיקף המעגל.
קוטר המעגל נמצא על צלע שאורכה 10 סנטימטר.
לכן רדיוס המעגל הוא 5 סנטימטר.
R = 5.
הנוסחה להיקף מעגל היא:
P=2₶R
p = 2 *5 * 3.14 = 31.4
ההיקף של חצי המעגל:
15.7 = 2 : 31.4

ההיקף הכללי של הצורה הוא:
29.7 = 14 + 15.7
תשובה: היקף הצורה הוא 29.7 סנטימטר.

חישוב השטח
השטח הוא שטח המשולש + שטח חצי עיגול
שטח המשולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים לחלק ב- 2:
24 = 2 : (6 * 8)

הנוסחה לשטח עיגול היא:
S=₶r²
s = 3.14 * 5²
S = 3.14 * 25 = 78.5
חצי משטח העיגול הוא:
39.25 = 2 : 78.5

השטח של הצורה הכוללת הוא סכום השטחים:
63.75 = 24 + 39.25
תשובה: שטח הצורה הוא 63.75 סמ"ר.

תרגיל 9: שטח משולש ושטח מלבן
על מלבן ABCD בנו משולש EBC. מקודקוד E מורידים גובה EF.
שטח מלבן ABCD הוא 32 סמ"ר.
AD=4,  EF=3.
חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון
שטח המלבן הוא מכפלת הצלעות שלו:
S= AD * AB =4AB = 32
נחשב את AB.
AB = 32 : 4 = 8

נחשב את שטח המשולש:
12 = 2 / (8*3) = S
תשובה: שטח המשולש הוא 12 סמ"ר.

תרגיל 10: כמה פעמים המשולש נכנס במלבן
אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו – 3 סנטימטר.
אורך צלעות מלבן הוא 5 ו- 12 סנטימטר.
כמה פעמים ניתן להכניס את המשולש בתוך המלבן?

שרטוט התרגיל

פתרון
ניתן להרכיב משני משולשים ישרי זווית מלבן שאורך צלעותיו 3 ו- 5 ס"מ.
מלבן זה נכנס בדיוק ברוחב המלבן (5 סנטימטר) ואורך המלבן (3 סנטימטר) נכנס 4 פעמים באורך המלבן הגדול (12 סנטימטר).
מכוון שכל ריבוע הוא שני משולשים ישרי זווית, אז מספר הפעמים שהמשולש ישר זווית נכנס במלבן הוא:
8 = 2 * 4

שרטוט הפתרון

 

עוד באתר בנושא משולש ושטחים:

  1. שטח משולש ישר זווית, שטח משולש שווה שוקיים.
  2. משולש – הדף המרכזי על הצורה.
  3. היקף משולש, היקף מעגל.
  4. שטחים של צורות שונות: שטח טרפז, שטח מקבילית, שטח מלבן, שטח מעוין.

ידוע שטח משולש, חשבו את הגובה או הצלע

בתרגילים 13-14 ידוע שטח המשולש וצריך לחשב את הצלע או הגובה אל הצלע.

תרגיל 11: נתון שטח משולש מצאו אפשרויות לגובה וצלע
הציעו 2 אפשרויות לצלע וגובה שיצרו משולש ששטחו 6 סמ"ר.

פתרון
על מנת ששטח משולש יהיה 6 מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות 12.
עלינו למצוא 2 מספרים שמכפלתם 12.

  1. 3 ו 4.
  2. 6 ו 2.
  3. 12 ו 1.
שרטוט 3 משולשים ששטחם 6 סמר

 

תרגיל 12
שטח המשולש ABC הוא 20 סמ"ר.
גודל הצלע אליה מגיע הגובה הוא 8 סנטימטר.
חשבו את אורך הגובה.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטח המשולש הוא 20.
לכן הצלע כפול הגובה אליה  40 = 2 * 20.
התרגיל שלנו הוא:
40 = ___ * 8
כאשר הסימון "___" הוא גודל הגובה המגיע אל הצלע.
המספר החסר הוא 5.
40 = 5 * 8
תשובה: אורך הגובה אל הצלע הוא 5 סנטימטר.

תרגיל 13: ידוע שטח המשולש חשבו צלע
נתון כי שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר. נתון כי אורך הגובה AD=10 ס"מ. AD הוא הגובה לצלע BC. מצאו את אורך הצלע BC.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון
נגדיר x אורך הצלע החסרה:
נציב x (אורך צלע) ו- 10 (אורך הגובה) בנוסחה לשטח משולש.

נוסחת שטח משולש
הצבה בנוסחה

5x = 40  / :5
x = 8
תשובה: אורך הצלע הוא 8 סנטימטר.

דרך פתרון שנייה, ללא שימוש במשתנה
שטח המשולש הוא 40. לכן מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות:
80= 2*40
מכפלת הגובה בצלע היא:
80 = ___ * 10
כאשר "___" מייצג את גודל הצלע.
המספר החסר הוא 8.
תשובה: אורך גובה המשולש הוא 8 סנטימטר.

חישוב שטח משולש בשתי דרכים

תרגילים 14-16 מתבססים על כך  שניתן לחשב שטח משולש ב 3 דרכים.
כל פעם על ידי הכפלת גובה וצלע אחרים.
מיועד בעיקר לתלמידי כיתה ז ומעלה.

תרגיל 14: חישוב שטח משולש בשתי דרכים
במשולש ידועים הגדלים הגבהים:
CE = 6,  BD = 3 סנטימטר.
אורך הצלע AC = 10 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע AB (מסומנת באדום בשרטוט).

פתרון התרגיל

>

פתרון
ניתן לחשב את שטח המשולש בשתי דרכים:
s = (10 * 3) : 2
s = (6 * __) :2
כאשר "__" הוא הגודל של הצלע AB החסרה.

נובע מכך ש:
3 * 10 = ___ * 6
30 = ___ * 6
המספר החסר הוא 5.
תשובה: אורך הצלע AB הוא 5 סנטימטר.

תרגיל 15
במשולש ABC ידועים גדלי הצלעות:
AB = 8, AC = 4 סנטימטר.
ואת אורך הגובה:
BD=6  סנטימטר
חשבו את אורך הגובה CE.

פתרון
נחשב את שטח המשולש

נגדיר:
x אורך הצלע BE.
נחשב את שטח המשולש פעם נוספת:

נציב
S = 12, AB = 8,  CE = x

נכפיל את המשוואה פי 2 ונקבל:
8x = 24  / :8
x = 3
תשובה: CE = 3 סנטימטר.

תרגיל 16
במשולש ABC ידוע כי:
AC = 4,  AB = 8 סנטימטר.
הגובה BE גדול ב 3 סנטימטר מהגובה CD.
חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון
נגדיר:
CD= x
BE = x + 3

הרעיון של הפתרון הוא שניתן לחשב את שטח המשולש בשתי דרכים:

שני השטחים הללו שווים לכן ניתן לבנות את המשוואה:

נכפיל את שני צדדי המשוואה פי 2 ונקבל:
(8x = 4(x + 3
8x = 4x + 12  / -4x
4x = 12  / : 4
x = 3


CD= x = 3
BE = x + 3 = 3+3 = 6

שטח המשולש שווה ל:
S = 0.5 * 8 * 3
S = 4 * 3 = 12
תשובה: שטח המשולש הוא 12 סמ"ר.

שטח משולש ויחס או אחוזים

פרק זה מיועד בעיקר לתלמידי כיתה ח ומעלה.

תרגיל 17
במשולש אורך הגובה הוא ¾ מאורך הצלע אליה הוא מגיע.
שטח המשולש הוא 24 סמ"ר.
חשבו את אורך הצלע ואורך גובה המשולש.

פתרון
נגדיר:
x  אורך צלע המשולש.
לכן:
0.75x  אורך גובה המשולש.

נציב את אורך הגובה ואורך הצלע בנוסחה לשטח משולש ונקבל:

נכפיל את המשוואה פי 2:
0.75x*x = 48  / :0.75
x * x = 64
x=8  או x = -8

גודל צלע הוא דבר חיובי ולכן אורך בצלע הוא 8 סנטימטר.

נחשב את אורך הגובה:
h = 0.75x
h = 0.75 * 8 = 6
תשובה: אורך הצלע 8 סנטימטר, אורך הגובה 6 סנטימטר.

תרגיל 18
|במשולש אורך הגובה הוא 120% מאורך הצלע.
שטח המשולש הוא 15 סמ"ר.
חשבו את אורך הצלע ואורך הגובה.

פתרון
נגדיר
x  אורך הצלע.
לכן אורך הגובה הוא:

נציב את אורך הגובה ואורך הצלע בנוסחת שטח משולש:

נכפיל פי 2
1.2x * x = 30  / :1.2
x * x = 25
x = 5 או x = -5
מכוון שאורך של צלע הוא גודל חיובי x = 5.

נמצא את אורך הגובה:
h = 1.2x
h = 1.2 * 5 = 6
תשובה: אורך צלע המשולש הוא 5 סנטימטר, אורך גובה המשולש הוא 6 סנטימטר.

יחס בין שטחים

את הנושא הזה ניתן ללמוד בהרחבה בדף חישוב שטחים שיש להם בסיס או גובה משותף.
כאן ניתן שתי דוגמאות.

תרגיל 19
נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון
הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
(כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו, הסבר מפורט יותר בוידאו).
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.

תרגיל 20
למשולשים ABD ו- CBD יש צלע משותפת (BD)
משולש CDB הוא משולש ישר זווית שאורך הצלע שלו CD = 6.
אורך הגובה AE הוא 3.

  1. פי כמה גדול שטח משולש CDB משטח משולש ABD.
  2. **פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטחי המשולשים הוא:
SABD = 3BD : 2 = 1.5BD
SCDB = 6BD : 2 = 3BD

תשובה: שטח משולש CDB גדול פי 2 משטח משולש ABD.

פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.
נגדיר:
SABD = X
על פי מה שמצאנו בסעיף הקודם.
SCDB = 2X
שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי המשולשים:
SABD + SCDB = 2X + X = 3X

שטח המרובע 3X, שטח המשולש SABD = X.
תשובה: שטח המרובע ABCD גדול פי 3 משטח המשולש ABD.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “שטח משולש”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליאן
      אלו יחידות מידה של שטח והן תלויות ביחידות שאיתם כתבו את השאלה.
      אם השאלה כתובה במילמטר אז יחידות השטח הן מילימטר רבוע.
      אם השאלה כתובה בסנטימטר אז יחידות השטח הן סנטימטר רבוע.
      אם השאלה כתובה במטרים אז יחידות השטח הן מטר רבוע.
      אם השאלה כתובה בקילומטרים אז יחידות השטח הן קילומטר רבוע.

      וזה נכון לכל הצורות שאת מחשב שטח שלהם.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אפרת.
      אם למדת את משפט הקוסיניסים את יכולה למצוא בעזרתו זווית ואז לחשב את שטח המשולש על פי שתי צלעות והזווית בניהן.
      http://www.m-math.co.il/trigonometry/triangle-area-with-sin/
      אם עדיין לא למדת ניתן לפתור עם המשולש שלך הוא שווה שוקיים או שווה צלעות.
      במקרה זה מורידים גובה מאחד הקודקודים וניתן לחשב את את אורך הגובה בעזרת משפט פיתגורס.
      בהצלחה

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.