ארכיון הקטגוריה: גיאומטריה

הוכחת מקבילית יסודות

יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח מקבילית:
(הסרטון שלמעלה יעזור לכם לזכור אותם)

  1. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

בדף זה נפתור תרגילים בהם אתם תצטרכו לזהות האם ניתן או לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
בדף הוכחת מקבילית תמצאו תרגילים עם הוכחות מורכבות יותר.

תרגילים

בכול התרגילים יש נתונים ועליכם לבחור אחת משולשת האפשרויות הבאות.

  1. המרובע הוא מקבילית (נמקו על איזה משפט).
  2. לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית או לא.
  3. המרובע הוא לא מקבילית.

תרגיל 1
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של זוויות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

פתרון וידאו
(לאחר פתרון הוידאו פתרון כתוב)

שרטוט 1
אלו זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות.
לכן AD || BC.
אבל זה לא מספיק על מנת להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
 לא ניתן לקבוע עם המרובע מקבילית.

שרטוט 2
על מנת להוכיח שמרובע הוא מקבילית משתמשים במשפט:
"מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

בשרטוט יש זוג אחד של זוויות שוות (80,80).
לגבי הזוג השני אנו לא יודעים.
ניתן להשלים את הזוויות הרביעית במרובע על ידי: סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות.
90 = 110 – 80 – 80 – 360
לכן זוג הזוויות השני אינו שווה.
המרובע הוא לא מקבילית.

שרטוט 3
בדומה לשרטוט 2 נשלים את הזווית הרביעית על מנת לקבוע.
110 = 110 – 70 – 70 – 360
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

שרטוט 4
בעזרת זוויות צמודות ניתן לקבוע כי:
BAD = 110
נשלים את הזווית הרביעית במרובע ונקבל:
110 = 110 – 70 – 70 – 360
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

שרטוט 5
במקבילית "זוויות נגדיות שוות זו לזו".
במרובע זה יש זוויות נגדיות שאינן שוות.
לכן מרובע זה הוא לא מקבילית.

תרגיל 2
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של זוויות וצלעות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

פתרון וידאו
(לאחר פתרון הוידאו פתרון כתוב)

שרטוט 1
שתי הזוויות שגודלן 70 מעלות הן זוויות מתאימות.
על פי המשפט "אם בין שני ישרים הזוויות המתאימות שוות אז הישרים מקבילים" ניתן לקבוע כי:
AD || BC

בנוסף AD = BC
לכן המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "אם במרובע יש זוג צלעות מקביל ושווה אז המרובע הוא מקבילית".

שרטוט 2
בשרטוט זה יש זוויות נגדיות לא שוות.
לכן המרובע הוא לא מקבילית.
ולא משנה שיש צלעות נגדיות שוות.

שרטוט 3
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "אם במרובע שני זוגות של צלעות שוות אז המרובע הוא מקבילית".

שרטוט 4
AB = CD = 8 נתון.
זווית D,A הן זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות ולכן:
AB || CD
לכן על פי המשפט "אם במרובע יש זוג צלעות מקביל ושווה אז המרובע הוא מקבילית".
המרובע הוא מקבילית.

תרגיל 3
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של חצאי אלכסונים, צלעות וזוויות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

שרטוט 1
בשרטוט זה יש לנו
צלעות נגדיות שוות (AB = CD).
אלכסון המחולק לשני חלקים שווים (BO = DO).
אלו נתונים שלא מספיקים להוכיח מקבילית.
אבל גם לא שוללים את האפשרות שהמרובע הוא מקבילית.
לכן לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית או לא.

שרטוט 2
ידוע כי
BO = DO = 8 (כלומר שני חלקי האלכסון שווים).
כמו כן שתי הזוויות שגודלן 40 מעלות אלו הן זוויות מתחלפות.

לכן על פי המשפט "אם בין שני ישרים יש זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים" ניתן לקבוע כי :
AB || CD

אבל שתי התכונות הללו (אלכסון המתחלק לשני חלקים שווים + צלעות מקבילות) לא מספיקות על מנת להוכיח שהישרים מקבילים.
לכן לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית.

שרטוט 3
במקבילית נקודת מפגש האלכסונית מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים.
לעומת זאת במרובע זה:
AO = 7,  CO = 8
לכן מרובע זה הוא לא מקבילית.

שרטוט 4
AO = CO = 6.
BO = DO = 10
כלומר נקודת מפגש האלכסונים מחלקת שני האלכסונים לשני חצאים שווים.
לכן על פי המשפט "אם במרובע נקודת מפגש האלכסונים מחלקת את האלכסונים לשני חלקים שווים אז המרובע הוא מקבילית".
ניתן לקבוע כי:
המרובע הוא מקבילית.

עוד באתר:

כלל המעבר

כלל המעבר אומר שאם שני דברים שווים לדבר שלישי אז הם גם שווים בניהם.

למשל:
אם
AB = CD
וגם
EF = CD
אז
AB = EF

תרגיל
ידוע כי
EF = GH
KB = GH
מה המסקנה שנוכל להגיע אליה בעזרת כלל המעבר?

פתרון
המסקנה היא:
EF = KB.

עוד באתר:

תיכון במשולש טיפים

בשאלות בגיאומטריה יש הרבה תיכונים שלא מופיעה לידם בשאלה המילה "תיכון".

שתי הדוגמאות הבולטות לכך הם האלכסונים במשפחת המקביליות שחוצים זה את זה.
וגם חלק מהישרים היוצאים ממרכז המעגל (מרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר).

במקרים הללו אתם תצטרכו לעשות שימוש בתכונות התיכון, לזהות קטע אמצעים במשולש, לזהות נקודת מפגש של תיכונים וזאת מבלי לקרוא בשאלה את המילה "תיכון".

בדף זה ניתן כמה דוגמאות לכך.

הדף מתאים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתות י-יב.

דוגמאות

דוגמה 1
המרובע ABCD הוא מקבילית.
האם BO הוא תיכון?

פתרון
BO הוא תיכון במשולש ABC כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
כמו כן
AO, CO, DO
הם תיכונים במשולשים המתאימים.

דוגמה 2
במקבילית ABCD ידוע כי
BE = CE.
הוכיחו כי
AF = 2FE.

פתרון
BO וגם AE הם תיכונים במשולש ABC.
לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
AF = 2FE כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 (כאשר החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד).

דוגמה 3
במקבילית ABCD
AE = DE.
הוכיחו כי
2OE = AB

פתרון
במשולש ABD:

  1. O היא אמצע הצלע BD.
  2. E היא אמצע הצלע AD.
  3. OE הוא קטע אמצעים במשולש כי ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
  4. קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל לכן 2OE = AB.

דוגמה 4
במקבילית ABCD
AE = BE
הוכיחו:
3FO = OC

פתרון
במשולש ADB:

  1. AO וגם DE הם תיכונים. לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
  2. 3FO = AO כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1.
  3. CO = AO = 3FO

דוגמה 5
מהנקודה C יוצאים המשיק למעגל CB והחותך CA.
AB הוא קוטר המעגל ו O מרכז המעגל.
D היא אמצע הצלע CA.

  1. הוכיחו כי AOD ∼ ABC.
  2. שטח משולש ABC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטחו של משולש AOD?

פתרון
סעיף א

  1. ABC = 90 זוויות בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה היא 90 מעלות.
  2. OD קטע אמצעים במשולש ABC כי ישר היוצר מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
  3. AOC = ABC = 90 זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

סעיף ב

  1. A זוויות משותפת.
  2. AOC = ABC = 90.
  3. המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג

  1. AO = R,  AR = 2R. אלו צלעות מתאימות בין המשולשים הדומים ולכן יחס הדמיון הוא 2.
  2. יחס השטחים הוא 4 (ריבוע יחס הדמיון) לכן שטח משולש ABC הוא 40 = 4 * 10.

עוד באתר:

פרופורציה במעגל

בדף זה נכיר את 4 משפטי הפרופורציה במעגל.
ככול הידוע לי משפטים 1,3,4 יצאו מתוכנית הלימודים לבגרות במתמטיקה. אבל אני ממליץ לבדוק זאת עם המורה בכיתה.
על כן דף זה מיועד בעיקר לתלמידי מכינה.

משפט 1
אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
AO * OB = DO*OC

שימו לב גם כי מתקיים:
AOC ∼ DOB
כלומר כל שני מיתרים נחתכים במעגל יוצרים משולשים דומים.

ניתן להוכיח זאת אם נשלים את צלעות המשולשים ונראה כי
CAB = BDC  זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות זו לזו.
AOC = DOB קודקודיות.
ולכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

כמו כן גם המשוואה שכתבנו למעלה
AO * OB = DO*OC
נובעת מדמיון המשולשים.

 

משפט 2
שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת שווים זה לזה.
AB = AC

משפט 3
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
AB*AC = AD * AE

גם את משפט זה ניתן להוכיח בעזרת דמיון משולשים.
נעביר את הישרים BD,CE.
וגם נשתמש במשפט "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות".
ונגיע לתוצאה הבאה:
AEC = ABD
A זווית משותפת.
לכן AEC ∼ ABD על פי זווית זוויות.
והשוויון הרשום למעלה
AB*AC = AD * AE
נובע מדמיון משולשים זה.

משפט 4
אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.
AD² = AB * AC

עוד באתר:

דלתון קעור

דלתון קעור כמו דלתון רגיל מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
AD = AB
BC = CD

ההבדלים בין דלתון קעור לדלתון קמור

יש כמה דרכים לזהות דלתון קעור ולראות את ההבדלים בינו ובין דלתון "רגיל" שהוא הדלתון הקמור.

1.בדלתון קעור האלכסון המשני הוא חיצוני לדלתון.
לעומת זאת בדלתון קמור האלכסונים נחתכים בתוך הדלתון.

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

2.בדלתון קעור אחת הזווית דרכם עובר האלכסון הראשי צריכה להיות גדולה מ 90 מעלות.
זו הזווית C שבשרטוט.
לעומת זאת בדלתון קמור זו זווית הקטנה מ 90 מעלות.

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

3.בדלתון קעור הזוויות המסומנת הן זוויות חדות.
לעומת זאת בדלתון קמור אלו זוויות הגדולות מ 90 מעלות.

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

תכונות דלתון קעור

התכונות של דלתון קעור אלו תכונות זהות לתכונות של דלתון רגיל.

משפט הדלתון
האלכסון הראשי בדלתון או המשכו חוצה חוצה את האלכסון המשני, מאונך לו. האלכסון הראשי הוא חוצה זווית של הזוויות מיהן הוא יוצא ומגיע.

על פי משפט הדלתון:

  1. AE⊥ BD
  2. DE = EB
  3. DAC = BAC,   DCA = BCA

משפט הדלתון חלק מהמשפטים בגיאומטריה שניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.
זה המשפט היחיד בנושא דלתון שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

שימו לב
האלכסון הראשי הוא AC.
הקטע CE הוא המשכו של אלכסון הדלתון.
כאשר שואלים אותכם לאורך האלכסון הראשי מתכוונים לקטע AC בלבד.
כך גם כשאר נחשב את שטח הדלתון, נשתמש בקטע AC בלבד.

תכונה נוספת של הדלתון הקעור
לדלתון קעור תכונה נוספת שאותה צריך להוכיח על מנת להשתמש בה והיא ש:
זוויות B = D.

כיצד מוכיחים תכונה זו?
על ידי חפיפת משולשים.

  1. AD = AB   צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  2. BC = DC  צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  3. AC  צלע משותפת.
  4. ACD ≅ACB על פי צ.צ.צ.
  5. B = D זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

שטח דלתון קעור

שטח דלתון קעור מחושב כמו שטח דלתון קמור על ידי מכפלת האלכסונים חלקי 2.

SABCD = 0.5AC * BD

שימו לב שאנו משתמשים בנוסחה באלכסון הראשי בלבד (בקטע AC) ולא באלכסון כולל המשכו שהוא AE.

עוד באתר:

דמיון משולשים סיכום

בדף זה נסכם את החומר בנושא דמיון משולשים עבור תלמידי כיתה ח.

בדף זה אנו נתמקד בחלקים הקשים יותר הנלמדים בשנה זו, שהם: יחס הדמיון ויחס השטחים.
על החלקים של משפטי הדמיון וכיצד מוכיחים דמיון משולשים נעבור בקצרה. מי שרוצה לעבור כליהם בהרחבה יכול לעשות זאת בדף כיצד מוכיחים דמיון משולשים.

החלקים של הדף הם:

  1. שלושת משפטי הדמיון.
  2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
  3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
  4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו בעזרת צלעות?
  5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
  6. הקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים.

הסימן שאיתו מסמנים דמיון משולשים הוא זה ∼.
כאשר כותבים:
ABC ∼ DEF
המשמעות הוא שמשולש ABC דומה למשולש DEF.

1.שלושת משפטי הדמיון

1.משפט דמיון ז.ז
אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

2.משפט דמיון צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

3.משפט דמיון צ.צ.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

הדף מיועד למי שיודע את משפטי הדמיון לכן לא נתעכב עליהם.
ניתן להרחיב וללמוד על משפטי הדמיון בקישור או בוידאו.

2.הדרכים הבסיסיות להוכיח דמיון משולשים

את הדרכים הבסיסיות להוכחת דמיון משולשים לא הצלחתי לסכם בכתב.
לכן בחלק זה יש וידאו וגם קישור אל הדף הכולל את התרגילים עליהם מבוסס הסרטון.

3.לאחר הוכחת דמיון משולשים, איך מזהים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות?

אם אנו יודעים כי ABC ∼ KHR כיצד נמצא את הצלעות המתאימות והזוויות המתאימות?

עושים זאת על על פי מיקום האותיות
עבור צלעות:
AB ⇒ KH  (אלו שתי הצלעות שהאותיות שלהן נמצאות במקומות 1,2).
AC ⇒ KR (מקומות 1,3)
BC ⇒ HR (מקומות 2,3)

עבור זוויות:
A = K  (מקום 1).
B = H (מקום 2).
C = R (מקום 3)

4.כיצד מוצאים את יחס הדמיון

דרך ראשונה על פי צלעות

עושים זאת בשני שלבים:

  1. מוצאים שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
  2. מחלקים צלע אחת בצלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ FTR על פי הנתונים שבשרטוט

  1. מצאו את יחס הדמיון.
  2. השלימו את הגדלים של הצלעות האחרות.

פתרון
ABC ∼ FTR
שלב א: מציאת צלעות מתאימות שיודעים את הגודל של שתיהן
עבור TF הצלע המתאימה היא AB ואנו לא יודעים את גודלה של AB.
עבור TR הצלע המתאימה היא BC ואנו יודעים את גודל שתיהן לכן ניתן לחשב באמצעותן את יחס הדמיון.

שלב ב: חישוב יחס הדמיון
נחלק את הצלעות המתאימות.

תשובה: יחס הדמיון בין המשולשים FTR ∼ ABC הוא 1:4.
וזה אומר שכל צלע במשולש FTR גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

שימו לב שניתן היה לכתוב את יחס הדמיון גם כך ABC ∼ FTR הוא 4:1.

סעיף ב: השלמת הצלעות החסרות
ABC ∼ FTR
נחזור אל הצלעות AC, TF שאנו לא קיבלנו את גודל הזוויות המתאימות שלהן.
עכשיו בעזרת יחס הדמיון נוכל למצוא את גודל הזוויות החסרות.

AC = 3 נמצאת במשולש הקטן יותר ולכן הצלע המתאימה לה גדולה פי 4.
FR = 4*3 =12  (זו הצלע המתאימה).

TF = 8 והיא נמצאת במשולש הגדול, לכן הצלע המתאימה לה קטנה פי 4.
AB = 8:2 = 4 (זו הצלע המתאימה).

דרך שנייה למציאת יחס הדמיון: על פי שטחי המשולשים

יש משפט האומר:
יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

והמשמעות היא שאם יחס הדמיון הוא 5 אז יחס השטחים הוא 25.
כלומר אם שטח המשולש הקטן הוא 10 אז שטח המשולש הגדול הוא פי 25 ושווה ל 250.

וזה עובד גם הפוך
אם בין משולשים דומים יחס השטחים הוא x אז יחס הדמיון הוא x√.
אם יחס השטחים הוא 16 אז יחס הדמיון הוא 4 = 16√.

למשל במשולשים הללו יחס הדמיון הוא 3, כי ניתן לראות שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש הקטן.
לכן יחס השטחים בין המשולשים הללו הוא 3² = 9.
ואם השטח של המשולש הקטן היה 5 סמ"ר אז השטח של המשולש הגדול היה:
45 = 9 * 5

5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון ניתן בעזרת פעולות כפל וחילוק למצוא גדלים של צלעות מתאימות.
את חלק זה נלמד בעזרת 3 תרגילים.
לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1 
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

6.יחס השטחים של משולשים דומים

תכונת יחס השטחים של משולשים דומים היא תכונה שמרבים להשתמש בה.
יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון.

אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔABC∼ΔEDF הוא 1:3.
אז יחס השטחים הוא 3²=9.

כלומר, אם שטח משולש ΔABC הוא 10 אז שטח משולש ΔDEF הוא 90.

יחס השטחים במשולשים דומים

בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון.
כיצד עושים זאת?

מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע).

למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 9 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 3 = 9√ כלומר כל צלע במשולש הגדול.

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס השטחים ויחס הדמיון.

שאלות ותשובות קצרות בנושא יחס השטחים

1.במשולש אחד הצלעות גדולות פי 6 מבמשולש הדומה לו. מה הוא היחס בין השטחים?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
36 = 6²

2.נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. שטח המשולש הגדול הוא 30 סמ"ר. מה היחס בין השטחים? מה שטחו של המשולש הקטן?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
0.25 = 0.5²
שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול
7.5 = 4 : 30
תשובה: יחס השטחים הוא 0.25 ושטח המשולש הקטן 8.5 סמ"ר.

3.נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?
פתרון
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים.
לכן יחס הדמיון הוא 2√

4. אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון של הצלעות בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
16 = 4²
יחס שטחי המשולשים הוא 16. שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא:
1.25 = 20:16
תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 1.25 סמ"ר.

5. נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?
פתרון
יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא
5 = 10:2
יחס השטחים הוא:
25 = 5²
שטח המשולש הגדול גדול פי 25 מהקטן
150 = 6*25
תשובה: 150 סמ"ר.

7.קישורים

נושאי הדף:

  1. היכרות עם 3 משפטי הדמיון
  2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
  3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
  4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
  5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
  6. יחס השטחים של משולשים דומים.

עוד באתר:

זוויות במעגל: טיפים לזכירת המשפטים

 

משפט זוויות במעגל הם:

  1. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
  2. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.
  3. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  4. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  5. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
  6. במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
  7. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
  8. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.
  9. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  10. במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
  11. במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

הטיפ

הטיפ הוא לזכור ראשי פרקים של הנושאים עליהם מדברים המשפטים:

  1. זוויות מרכזיות.
  2. זוויות היקפיות.
  3. מיתרים.
  4. קשתות.
  5. וגם קוטר במעגל וזווית בין משיק למיתר.

המשפטים מדברים על:
הקשר של זוויות מרכזיות עם: זוויות היקפיות, מיתרים קשתות.
הקשר של זוויות היקפיות עם: זוויות מרכזיות, מתרים, קשתות, קוטר, ומשיק.

אלו קשרים הגיוניים שניתן לזכור אותן.

המשפט שלי עוזר לזכור את המשפטים הללו הוא:
זוויות מרכזיות, זוויות היקפיות, מיתרים, קשתות
והקשר בניהן.
וגם קוטר וזווית בין משיק למיתר.

ההסבר מפרט יותר בוידאו.

הטיפ לא מסביר את משפטים 10-11 ומידע עליהם ניתן למצוא בקישור.

עוד באתר:

שטח מעגל סיכום

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא שטח עיגול.
הנושאים של השאלות הם:

  1. נוסחת שטח עיגול.
  2. חישוב שטח עיגול על פי רדיוס
  3. חישוב שטח עיגול על פי קוטר.
  4. חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח.
  5. שטחים של צורות מורכבות.
  6. שטח גזרה.

1.נוסחת שטח מעגל

הנוסחה לחישוב שטח מעגל: S=₶r².
ואם יותר נוח לכם לפתור תרגילים ללא חזקות אז אתם יכולים לפתור אותה כך:
S = ₶ * r * r

הנוסחה לחישוב היקף מעגל: P=2₶r.

r – רדיוס המעגל.
₶ – הוא מספר שגודלו 3.14.

שטח עיגול

2.חישוב פשוט: שטח עיגול על פי הרדיוס

דוגמה 1
חשבו את שטח העיגול שרדיוסו 5 סנטימטר.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב:
r = 5
3.14 = ₶

S = 3.14 * 5 *5
S = 3.14 * 25 = 78.5
תשובה: שטח המעגל הוא 78.5 סמ"ר.

שימו לב
הדבר היחידי שצריך לדעת על מנת את שטח העיגול הוא הרדיוס.

3.שטח עיגול על פי הקוטר

קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל.

קוטר תמיד שווה לשני רדיוסים.
אם הקוטר הוא 6 אז הרדיוס הוא 3.
אם הקוטר הוא 20 אז הרדיוס הוא 10.
אם הקוטר הוא 10 הרדיוס הוא 5.

לכן אם נותנים לנו נתון שהוא קוטר אנו נחלק אותו בשתיים, נמצא את הרדיוס ואז נחשב את השטח כפי שחישבנו קודם.

דוגמה 1
קוטר מעגל שווה ל 8 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 8 : 2 = 4

גודל הרדיוס הוא 4 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 4 * 4
S = 3.14 * 16 = 50.24
תשובה: שטח המעגל הוא 50.24 סמ"ר.

דוגמה 2
קוטר מעגל שווה ל 20 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 20 : 2 = 10

גודל הרדיוס הוא 10 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 10 * 10
S = 3.14 * 100 = 314
תשובה: שטח המעגל הוא 314 סמ"ר.

4.חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח

כאשר נדע את השטח והרדיוס לא יהיה ידוע עדיין נציב את הנותנים בנוסחה:
S = ₶ * r * r
במקרה זה הדבר היחיד שלא נדע במשוואה הוא הרדיוס וכך נוכל למצוא אותו.

דוגמה 1
שטחו של עיגול הוא 28.26.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 28.26
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 9?
3
לכן:
r = 3
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 סנטימטרים.

דוגמה 2
שטחו של עיגול הוא 113.04.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 113.04
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 36?
6
לכן:
r = 6
תשובה: רדיוס המעגל הוא 6 סנטימטרים.

5.שטחים של צורות מורכבות

המפתח לפתרון שאלות של שטחים או היקפים מורכבים הוא למצוא את הקשר בין הצורות.
בחלק זה ניתן מספר דוגמאות למציאת הקשר.

תרגיל 1
על מלבן שאורך צלעותיו 4,10 סנטימטר בנו חצי עיגול.
חשבו את שטח הצורה שנוצרה ואת היקף הצורה שנוצר.

פתרון
המפתח:
להבין שקוטר המעגל הוא אורך הצלע הגדולה של המלבן.
לכן רדיוס העיגול הוא:
r = 10 : 2 = 5

שטח הצורה שנוצרה היא סכום השטחים:
S =  ₶ * r * r + 4*10
S = 3.14*5*5 + 4*10 = 118.5
תשובה: שטח הצורה הוא 118.5 סמ"ר.

היקף הצורה
היקף הצורה הוא 3 צלעות מלבן + חצי היקף עיגול.

היקף הצורה הוא 33.7 סנטימטר.

תרגיל 2
בתוך מעגל שרדיוסו 10 סנטימטר נמצא מעגל שרדיוסו 6 סנטימטר.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
השטח האפור שווה לשטח המעגל הגדול פחות שטח המעגל הקטן.
S = 3.14 * 10² – 3.14 * 6²
S = 314 – 113.04 = 200.96
תשובה: גודל השטח הצבוע באפור הוא 200.96 סמ"ר.

תרגיל 3
בתוך ריבוע שצלעו 8 סנטימטר חסומים 4 עיגולים.
חשבו את השטח הצבוע באפור.

פתרון
המפתח
המפתח הוא לראות שאורך צלע הריבוע שווה ל 4r.
לכן:
4r = 8
r = 2

השטח המבוקש
השטח המבוקש הוא שטח הריבוע פחות השטח של 4 הריבועים.
שטח ריבוע הוא מכפלת צלע הריבוע בעצמה.
S = 8² – 4*3.14*2²
S = 64 – 4 * 3.14 * 4 = 13.76
תשובה: השטח האפור הוא 13.76 סנטימטר.

תרגיל 4
בתוך מעגל שרדיוסו 20 סנטימטר חוסמים 4 עיגולים.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
המפתח
כל מעגל קטן הוא 2 רדיוסים. לכן 4 העיגולים כוללים 8 רדיוסים.
8 הרדיוסים שווים לקוטר העיגול הגדול שהוא 40 סנטימטר. (שימו לב שהם שווים לקוטר העיגול הגדול ולא לרדיוס העיגול הגדול).
לכן:
8r = 40
r = 5

חישוב השטח
השטח הוא השטח של העיגול הגדול פחות השטח של ארבעת העיגולים הקטנים.
S = 3.14 * 20² – 4 * 3.14 * 5²
S = 1256 – 314 = 942
תשובה: שטח החלק האפור הוא 942 סמ"ר.

6.שטח גזרה

שטח גזרה במעגל שרדיוסו r שווה לשטח המעגל כפול הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה לחלק ל 360

שטח גזרה במעגל שרדיוסו r שווה לשטח המעגל כפול הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה לחלק ל 360

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 10 סנטימטר יש זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את השטח עליו נשענת הזווית. (השטח האפור בשרטוט).

פתרון
השטח המבוקש הוא:

נפשט את הביטוי ונקבל:

תשובה: השטח האפור הוא 10.466 סמ"ר.

7.קישורים

  1. שטח מעגל הדף המלא עם תרגילים נוספים.
  2. היקף מעגל.
  3. מתמטיקה לכיתה ז.

משפטי מרובעים: טיפים כיצד לזכור אותם בקלות

בדף זה יש טיפים לזכירת משפטי המרובעים.
סדר המרובעים הוא:

  1. מקבילית.
  2. מעוין.
  3. מלבן.
  4. טרפז שווה שוקיים.
  5. דלתון.

1.מקבילית

מקבילית משפטי הוכחה:

  1. (הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית
  2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

מקבילית משפטי תכונות (משפטים הפוכים):

  1. במקבילית כל זוג צלעות נגדיות מקביל.
  2. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  3. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

הטיפ בקצרה

אם נזכור את משפטי ההוכחה נזכור גם את משפטי התכונות.
עלינו לזכור שיש 5 משפטי הוכחה.
נזכור גם שיש 3 משפטים על על צלעות,1 על אלכסונים, 1 על זוויות.

  1. מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית
  2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

לגבי שלושת משפטי הצלעות:
נשים לב שההבדל היחידי בין משפטים 1,2 הוא שבמשפט 1 כתוב מקבילות ובשני שוות.
בשלישי כתוב מקבילות ושוות אבח חגבי זוג צלעות אחד.

לגבי משפטי האלכסונים והזוויות.
אני חושב שלאחר שינון קצר אם נזכור שהמשפטים הם בנושא אלכסונים וזוויות, נזכור גם את המשפטים עצמם.

2.מעוין

משפטי המעוין הם:

  1. מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
  2. במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
  3. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  4. במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
  5. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

הטיפ בקצרה

נסתכל על משפטי הוכחת מעוין לעומת משפטי הוכחת משולש שווה שוקיים:

  1. מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
    אם במשולש השוקיים שוות אז המשולש שווה שוקיים.
  2. מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
    אם במשולש התיכון הוא חוצה זווית אז המשולש שווה שוקיים.
  3. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
    אם במשולש התיכון הוא גובה אז המשולש שווה שוקיים.

ראינו שמשפטי משולש שווה שוקיים דומים מאוד למשפטי מעוין.
לכן אם אנו זוכרים את משפטי משולש שווה שוקיים יהיה לנו קל לזכור את משפטי המעוין.

למה השתמשנו במשפטים שמספרם 2,3 ב "תיכון"?
כי אנו יודעים שאלכסוני המקבילית תיכונים זה לזה. כלומר חוצים זה את זה.
ואם נוספת להם עוד תכונה של גובה / חוצה זווית אז המקבילית הופכת למעוין.

למה משפטי מעוין דומים למשפטי משולש שווה שוקיים?
כי מעין מורכב משני משולשים שווה שוקיים. הסבר גרפי יש בוידאו.

3.מלבן

משפטי המלבן הם:

  1. הגדרת המלבן היא: מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.
  2. אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
  3. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.

הטיפ בקצרה

בנושא זה זה לא ממש טיפ אלא הוכחה / דרך לזכור מדוע האלכסונים שווים דווקא במלבן ובמקבילית ומעוין לא.
מוצגות שתי הוכחות: אחת בעזרת משפט פיתגורס והשנייה בעזרת משולשים חופפים.

4.טרפז שווה שוקיים

משפטי טרפז שווה שוקיים הם:

  1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
  2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. (המשפט ההפוך) טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  5. (המשפט ההפוך) טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
  6. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
  7. (המשפט ההפוך) בטרפז  ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.

הטיפ בקצרה

נסתכל על משפטי תכונות הטרפז:

  1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
  2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.

מילת המפתח במשפטים הללו היא שוויון;
אם בטרפז השוקיים / האלכסונים / הזוויות שוות אז הטרפז שווה שוקיים.
כמו כן משפטי הוכחת טרפז שווה שוקיים הם המשפטים ההפוכים למשפטים הללו.

הערה
לטרפז שהוא לא שווה שוקיים אין משפטים מלבד משפטי קטע אמצעים בטרפז הרשומים למעלה.

5.דלתון

  1. האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.

הטיפ בקצרה

גם דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
לכן אם ישר הוא תיכון אז הוא חייב להיות גם גובה ותיכון.

כמו כן האלכסון המשני בדלתון לא יוצא מקודקוד משולש שווה שוקיים, לכן הוא רק גובה לאלכסון הראשי ולא תיכון או חוצה זווית.

עוד באתר:

משולשים חופפים ומשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים יש:

  • שתי צלעות שוות
  • שתי זוויות שוות.

ובנוסף: התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס הם ישר אחד.

בגלל כל השוויונות הללו יש הרבה שאלות המשלבות בין חפיפת משולשים למשולש שווה שוקיים.

בדף זה נדבר על שתי סוגי שאלות:

  1. הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים.
  2. שאלות שבהם מעבירים שני גבהים / חוצה זווית / תיכונים אל השוקיים של המשולש וכך נוצרים משולשים חופפים.

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

  1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
  2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
  3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

  1. AB=AC נתון.
  2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
  3. AD צלע משותפת.
  4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

  1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
  3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

תרגיל 2 (תרגיל הפוך)
במשולש ABC מעבירים את הישר AD ונתון שהוא חוצה זווית וגם גובה.
BAD = CAD
BDA = CDA = 90

הוכיחו כי:

  1. AB = AC (השוקיים שוות)
  2. B = C (זוויות הבסיס שוות)
  3. BD = CD (חוצה הזווית הוא גם תיכון).

פתרון

  1. BAD = CAD  (זווית שווה)
  2. BDA = CDA = 90  (זווית שווה).
  3. AD צלע משותפת.
  4. ADB ≅ ADC  על פי ז.צ.ז

AB = AC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

B = C זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

BD  =CD  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

חוצה זווית / גבהים / תיכונים המגיעים אל השוקיים

במשולש שווה שוקיים כאשר מעבירים שני חוצה זווית / גבהים / תיכון אל השוקיים נוצרים שני משולשים חופפים למטה ודלתון למעלה.

תרגיל 1
משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.

א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

משולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר: B=∠C=x∠
  2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
  3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
  4. BC – צלע משותפת.
  5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
  6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

  1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
  2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

  1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
  3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
  4. ADB=180-X∠
  5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 2
בצורה דומה אם BD, CE הם גבהים במשולש שווה שוקיים ABC אז ניתן להוכיח כי BEC ≅ CDB

פתרון
B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
ECB = 180 – 90 – B  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).
DBC = 180 – 90 – C  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).

לכן:

  1. ECB = DBC
  2. B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC צלע משותפת.
  4. BEC ≅ CDB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 3 (הוכחת דלתון)
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

  1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
  4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
  5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.
    (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

  1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
  3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

עוד באתר:

  1. חפיפת משולשים.
  2. משולש שווה שוקיים.
  3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.