בשאלות בגיאומטריה יש הרבה תיכונים שלא מופיעה לידם בשאלה המילה "תיכון".

שתי הדוגמאות הבולטות לכך הם האלכסונים במשפחת המקביליות שחוצים זה את זה.
וגם חלק מהישרים היוצאים ממרכז המעגל (מרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר).

במקרים הללו אתם תצטרכו לעשות שימוש בתכונות התיכון, לזהות קטע אמצעים במשולש, לזהות נקודת מפגש של תיכונים וזאת מבלי לקרוא בשאלה את המילה "תיכון".

בדף זה ניתן כמה דוגמאות לכך.

הדף מתאים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתות י-יב.

דוגמאות

דוגמה 1
המרובע ABCD הוא מקבילית.
האם BO הוא תיכון?

פתרון
BO הוא תיכון במשולש ABC כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
כמו כן
AO, CO, DO
הם תיכונים במשולשים המתאימים.

דוגמה 2
במקבילית ABCD ידוע כי
BE = CE.
הוכיחו כי
AF = 2FE.

פתרון
BO וגם AE הם תיכונים במשולש ABC.
לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
AF = 2FE כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 (כאשר החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד).

דוגמה 3
במקבילית ABCD
AE = DE.
הוכיחו כי
2OE = AB

פתרון
במשולש ABD:

1. O היא אמצע הצלע BD.
2. E היא אמצע הצלע AD.
3. OE הוא קטע אמצעים במשולש כי ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
4. קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל לכן 2OE = AB.

דוגמה 4
במקבילית ABCD
AE = BE
הוכיחו:
3FO = OC

פתרון
במשולש ADB:

1. AO וגם DE הם תיכונים. לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
2. 3FO = AO כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1.
3. CO = AO = 3FO

דוגמה 5
מהנקודה C יוצאים המשיק למעגל CB והחותך CA.
AB הוא קוטר המעגל ו O מרכז המעגל.
D היא אמצע הצלע CA.

1. הוכיחו כי AOD ∼ ABC.
2. שטח משולש ABC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטחו של משולש AOD?

פתרון
סעיף א

1. ABC = 90 זוויות בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה היא 90 מעלות.
2. OD קטע אמצעים במשולש ABC כי ישר היוצר מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
3. AOC = ABC = 90 זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

סעיף ב

1. A זוויות משותפת.
2. AOC = ABC = 90.
3. המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג

1. AO = R,  AR = 2R. אלו צלעות מתאימות בין המשולשים הדומים ולכן יחס הדמיון הוא 2.
2. יחס השטחים הוא 4 (ריבוע יחס הדמיון) לכן שטח משולש ABC הוא 40 = 4 * 10.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה י.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

בדף זה נסכם את החומר בנושא דמיון משולשים עבור תלמידי כיתה ח.

בדף זה אנו נתמקד בחלקים הקשים יותר הנלמדים בשנה זו, שהם: יחס הדמיון ויחס השטחים.
על החלקים של משפטי הדמיון וכיצד מוכיחים דמיון משולשים נעבור בקצרה. מי שרוצה לעבור כליהם בהרחבה יכול לעשות זאת בדף כיצד מוכיחים דמיון משולשים.

החלקים של הדף הם:

1. שלושת משפטי הדמיון.
2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו בעזרת צלעות?
5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
6. הקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים.

הסימן שאיתו מסמנים דמיון משולשים הוא זה ∼.
כאשר כותבים:
ABC ∼ DEF
המשמעות הוא שמשולש ABC דומה למשולש DEF.

1.שלושת משפטי הדמיון

1.משפט דמיון ז.ז
אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

2.משפט דמיון צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

3.משפט דמיון צ.צ.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

הדף מיועד למי שיודע את משפטי הדמיון לכן לא נתעכב עליהם.
ניתן להרחיב וללמוד על משפטי הדמיון בקישור או בוידאו.

• דמיון משולשים משפטים.

2.הדרכים הבסיסיות להוכיח דמיון משולשים

את הדרכים הבסיסיות להוכחת דמיון משולשים לא הצלחתי לסכם בכתב.
לכן בחלק זה יש וידאו וגם קישור אל הדף הכולל את התרגילים עליהם מבוסס הסרטון.

• דמיון משולשים דרכים בסיסיות להוכחה.

3.לאחר הוכחת דמיון משולשים, איך מזהים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות?

אם אנו יודעים כי ABC ∼ KHR כיצד נמצא את הצלעות המתאימות והזוויות המתאימות?

עושים זאת על על פי מיקום האותיות
עבור צלעות:
AB ⇒ KH  (אלו שתי הצלעות שהאותיות שלהן נמצאות במקומות 1,2).
AC ⇒ KR (מקומות 1,3)
BC ⇒ HR (מקומות 2,3)

עבור זוויות:
A = K  (מקום 1).
B = H (מקום 2).
C = R (מקום 3)

4.כיצד מוצאים את יחס הדמיון

דרך ראשונה על פי צלעות

עושים זאת בשני שלבים:

1. מוצאים שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
2. מחלקים צלע אחת בצלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ FTR על פי הנתונים שבשרטוט

1. מצאו את יחס הדמיון.
2. השלימו את הגדלים של הצלעות האחרות.

פתרון
ABC ∼ FTR
שלב א: מציאת צלעות מתאימות שיודעים את הגודל של שתיהן
עבור TF הצלע המתאימה היא AB ואנו לא יודעים את גודלה של AB.
עבור TR הצלע המתאימה היא BC ואנו יודעים את גודל שתיהן לכן ניתן לחשב באמצעותן את יחס הדמיון.

שלב ב: חישוב יחס הדמיון
נחלק את הצלעות המתאימות.

תשובה: יחס הדמיון בין המשולשים FTR ∼ ABC הוא 1:4.
וזה אומר שכל צלע במשולש FTR גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

שימו לב שניתן היה לכתוב את יחס הדמיון גם כך ABC ∼ FTR הוא 4:1.

סעיף ב: השלמת הצלעות החסרות
ABC ∼ FTR
נחזור אל הצלעות AC, TF שאנו לא קיבלנו את גודל הזוויות המתאימות שלהן.
עכשיו בעזרת יחס הדמיון נוכל למצוא את גודל הזוויות החסרות.

AC = 3 נמצאת במשולש הקטן יותר ולכן הצלע המתאימה לה גדולה פי 4.
FR = 4*3 =12  (זו הצלע המתאימה).

TF = 8 והיא נמצאת במשולש הגדול, לכן הצלע המתאימה לה קטנה פי 4.
AB = 8:2 = 4 (זו הצלע המתאימה).

דרך שנייה למציאת יחס הדמיון: על פי שטחי המשולשים

יש משפט האומר:
יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

והמשמעות היא שאם יחס הדמיון הוא 5 אז יחס השטחים הוא 25.
כלומר אם שטח המשולש הקטן הוא 10 אז שטח המשולש הגדול הוא פי 25 ושווה ל 250.

וזה עובד גם הפוך
אם בין משולשים דומים יחס השטחים הוא x אז יחס הדמיון הוא x√.
אם יחס השטחים הוא 16 אז יחס הדמיון הוא 4 = 16√.

למשל במשולשים הללו יחס הדמיון הוא 3, כי ניתן לראות שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש הקטן.
לכן יחס השטחים בין המשולשים הללו הוא 3² = 9.
ואם השטח של המשולש הקטן היה 5 סמ"ר אז השטח של המשולש הגדול היה:
45 = 9 * 5

5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון ניתן בעזרת פעולות כפל וחילוק למצוא גדלים של צלעות מתאימות.
את חלק זה נלמד בעזרת 3 תרגילים.
לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

• יחס דמיון – הוא דף מומלץ הכולל תרגילים נוספים.

תרגיל 1 
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

6.יחס השטחים של משולשים דומים

תכונת יחס השטחים של משולשים דומים היא תכונה שמרבים להשתמש בה.
יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון.

אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔABC∼ΔEDF הוא 1:3.
אז יחס השטחים הוא 3²=9.

כלומר, אם שטח משולש ΔABC הוא 10 אז שטח משולש ΔDEF הוא 90.

בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון.
כיצד עושים זאת?

מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע).

למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 9 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 3 = 9√ כלומר כל צלע במשולש הגדול.

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס השטחים ויחס הדמיון.

שאלות ותשובות קצרות בנושא יחס השטחים

1.במשולש אחד הצלעות גדולות פי 6 מבמשולש הדומה לו. מה הוא היחס בין השטחים?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
36 = 6²

2.נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. שטח המשולש הגדול הוא 30 סמ"ר. מה היחס בין השטחים? מה שטחו של המשולש הקטן?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
0.25 = 0.5²
שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול
7.5 = 4 : 30
תשובה: יחס השטחים הוא 0.25 ושטח המשולש הקטן 8.5 סמ"ר.

3.נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?
פתרון
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים.
לכן יחס הדמיון הוא 2√

4. אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון של הצלעות בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
16 = 4²
יחס שטחי המשולשים הוא 16. שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא:
1.25 = 20:16
תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 1.25 סמ"ר.

5. נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?
פתרון
יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא
5 = 10:2
יחס השטחים הוא:
25 = 5²
שטח המשולש הגדול גדול פי 25 מהקטן
150 = 6*25
תשובה: 150 סמ"ר.

7.קישורים

נושאי הדף:

1. היכרות עם 3 משפטי הדמיון
2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
6. יחס השטחים של משולשים דומים.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה ח.
• דמיון משולשים נושאים נוספים.

במשולש שווה שוקיים יש:

• שתי צלעות שוות
• שתי זוויות שוות.

ובנוסף: התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס הם ישר אחד.

בגלל כל השוויונות הללו יש הרבה שאלות המשלבות בין חפיפת משולשים למשולש שווה שוקיים.

בדף זה נדבר על שתי סוגי שאלות:

1. הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים.
2. שאלות שבהם מעבירים שני גבהים / חוצה זווית / תיכונים אל השוקיים של המשולש וכך נוצרים משולשים חופפים.

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

1. AB=AC נתון.
2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
3. AD צלע משותפת.
4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

תרגיל 2 (תרגיל הפוך)
במשולש ABC מעבירים את הישר AD ונתון שהוא חוצה זווית וגם גובה.
BAD = CAD
BDA = CDA = 90

הוכיחו כי:

1. AB = AC (השוקיים שוות)
2. B = C (זוויות הבסיס שוות)
3. BD = CD (חוצה הזווית הוא גם תיכון).

פתרון

1. BAD = CAD  (זווית שווה)
2. BDA = CDA = 90  (זווית שווה).
3. AD צלע משותפת.
4. ADB ≅ ADC  על פי ז.צ.ז

AB = AC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

B = C זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

BD  =CD  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

חוצה זווית / גבהים / תיכונים המגיעים אל השוקיים

במשולש שווה שוקיים כאשר מעבירים שני חוצה זווית / גבהים / תיכון אל השוקיים נוצרים שני משולשים חופפים למטה ודלתון למעלה.

תרגיל 1
משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.

א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

פתרון

1. נגדיר: B=∠C=x∠
2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
4. BC – צלע משותפת.
5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
4. ADB=180-X∠
5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 2
בצורה דומה אם BD, CE הם גבהים במשולש שווה שוקיים ABC אז ניתן להוכיח כי BEC ≅ CDB

פתרון
B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
ECB = 180 – 90 – B  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).
DBC = 180 – 90 – C  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).

לכן:

1. ECB = DBC
2. B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
3. BC צלע משותפת.
4. BEC ≅ CDB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 3 (הוכחת דלתון)
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.
   (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

עוד באתר:

1. חפיפת משולשים.
2. משולש שווה שוקיים.
3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.