בדף זה 3 חלקים:

1. נוסחת שטח מעגל.
2. תרגילים לבית הספר היסודי (תרגילים 1-8).
3. תרגילים לחטיבת הביניים (תרגילים 9-12).

נוסחת שטח מעגל

הנוסחה לחישוב שטח מעגל: S=₶r².
ואם יותר נוח לכם לפתור תרגילים ללא חזקות אז אתם יכולים לפתור אותה כך:
S = ₶ * r * r

הנוסחה לחישוב היקף מעגל: P=2₶r.

r – רדיוס המעגל.
₶ – הוא מספר שגודלו 3.14.

למשל, אם רדיוס מעגל הוא 10 סנטימטר אז שטחו יהיה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 10 * 10 = 314

והיקפו יהיה:
P=2₶r 
P = 2 * 3.14 * 10 = 62.8

שטחים של צורות נוספות שתוכלו ללמוד באתר:

1. שטח מקבילית.
2. שטח טרפז.
3. שטח מעוין.
4. שטח דלתון.
5. שטח משולש.

• תכונות המעגל – הסבר מה זה רדיוס, קוטר ודברים נוספים.

תרגילים

בדף זה 13 תרגילים המחולקים ל 5 חלקים.

עבור תלמידי יסודי ותלמידי חטיבת הביניים.

1. תרגילים 1-4 חישוב היקף ושטח על פי הרדיוס או הקוטר.
2. תרגילים 5-7 חישוב היקפים של צורות המשלבות מעגל וצורות אחרות (היקפים מורכבים).
3. תרגיל 8 כיצד משתנה היקף המעגל כאשר מגדילים רדיוס פי…

עבור תלמידי חטיבת הביניים:

1. תרגילים 9-12 ידוע שטח או היקף המעגל וצריך לחשב את מה שחסר.
2. 12 חישוב אורך קשת ושטח גזרה.

כל נושא מתחיל בסרטון וידאו המסביר כיצד פותרים שאלות בנושא זה.
בנוסף לחלק גדול מהשאלות יש גם פתרון וידאו, פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגילים לבית הספר היסודי

בחלק זה נפתור תרגילים חישוב שטח והיקף מעגל על פי רדיוס או קוטר.

תרגיל 1: שימוש בסיסי בנוסחה
נתון מעגל שרדיוסו 4 ס"מ. מצאו את שטח העיגול והיקף המעגל.

פתרון
חישוב שטח עיגול:
נציב r=4 בנוסחה S=₶r²
S = 3.14 * 4*4
50.24 = 16 * 3.14
תשובה: שטח המעגל 50.24 סמ"ר.

חישוב היקף מעגל:
נציב r=4 בנוסחה p=2₶r.
p= 2 * 3.14 * 4
p =  8 * 3.14
p=25.12
תשובה: היקף המעגל 25.12 ס"מ.

תרגיל 2: שימוש בסיסי בנוסחה (תרגיל נוסף)
אורך רדיוס של מעגל הוא 1 מטר. חשבו את שטחו והיקפו.

פתרון

חישוב שטח העיגול:
נציב r=1 בנוסחה S=₶r²
S= 3.14 * 1²
3.14 = 1*3.14
תשובה: שטח המעגל 3.14 מ"ר.

חישוב היקף מעגל:
נציב r=1 בנוסחה p= 2₶r.
p= 2 * 3.14 * 1 = 2 * 3.14
p=6.28
תשובה: היקף המעגל 6.28 מטר.

תרגיל 3: חישוב שטח והיקף על פי הקוטר
נתון מעגל שהקוטר שלו הוא 10 ס"מ. חשבו את היקפו ואת שטחו.

פתרון
חישוב השטח
בנוסחת שטח העיגול לא מופיע קוטר המעגל אלא רדיוס המעגל. לכן חשוב לזכור לחלק את גודל הקוטר ב 2 על מנת למצוא את הרדיוס ולהציבו בנוסחה.
r= 10 : 2= 5
s=₶*5² = 3.14 * 25 =78.5
תשובה: שטח העיגול הוא 78.5 סמ"ר.

חישוב ההיקף
הקוטר שווה ל 10 ס"מ, כלומר 2r=10.
נציב בנוסחה  p=2₶r.
p=10₶
31.4= p= 10* 3.14
תשובה: היקף המעגל הוא 31.4 ס"מ.

תרגיל 4: חישוב שטח מעגל בעזרת הקוטר (חזרה)
קוטר מעגל הוא 12 סנטימטר.
חשבו את שטח המעגל.

פתרון
רדיוס המעגל הוא מחצית מהקוטר.
r = 12 : 2 = 6.
נציב r = 6 בנוסחת שטח מעגל
S = ₶ * 6²
S = 3.14 * 36 = 113.04

חישוב שטחים והיקפים מורכבים

בחלק זה נחשב שטח והיקף של מעגל יחד עם צורות אחרות.

תרגיל 5: מעגל בתוך מעגל
בגן משחקים בנו מבוך המורכב משני עיגולים. רדיוס העיגול הקטן הוא 5 מטר ורדיוס העיגול הגדול הוא 20 מטר.
חשבו:

1. פי כמה גדול היקף המעגל הגדול מהיקף המעגל הקטן
2. פי כמה גדול שטח העיגול הגדול משטח העיגול הקטן.
3. חשבו את השטח הנמצא בין שני העיגולים.

פתרון
על מנת להקל על החישובים בסעיף זה נשאיר את ₶ כמו שהוא ולא נכניס את המספר 3.14.

סעיף א: היקף
היקף המעגל הקטן הוא:
10₶=2₶*5
היקף המעגל הגדול הוא:
40₶=2₶*20
לכן היקף המעגל הגדול גדול פי 4 מהיקף המעגל הקטן.

סעיף ב: שטח
שטח העיגול הקטן הוא:
s=₶5²=25₶
שטח העיגול הגדול הוא:
s=₶20²=400₶
16= 400:25
לכן שטח העיגול הגדול גדול פי 16 משטח העיגול הקטן.

סעיף ג: חישוב השטח הנמצא בין שני העיגולים
השטח הנמצא בין שני העיגולים הוא:
375₶=400₶-25₶
1177.5 = 3.14 * 375
תשובה: השטח הנמצא בין שני העיגולים הוא 1177.5 מ"ר.

תרגיל 6: חישוב היקף ושטח מלבן ומעגל
נתון מלבן שאורך צלעותיו הוא 4 ו 10 ס"מ. על הצלע הקטנה במלבן בנו חצי עיגול.
חשבו את ההיקף והשטח של הצורה שנוצרה

פתרון
כאשר אתם מקבלים שאלה כזאת עליכם לחשב את ההיקפים / שטחים של כל צורה בנפרד ולאחר מיכן לחסר צלע משותפת / שטח משותף.

חישוב ההיקף
היקף שלושת צלעות המלבן שהם חלק מהיקף הצורה:
24= 10 + 4 +10
היקף המעגל: על פי השרטוט אנו רואים שקוטר המעגל
שווה לצלע הקטנה של המלבן (4 ס"מ). כלומר r=2.
לכן היקף המעגל הוא: 4₶ = 2₶*2.
12.56 = 4*3.14
בשרטוט יש רק חצי מעגל לכן היקף הצורה המשורטט הוא
6.28 = 2 : 12.56.

ההיקף הוא של הצורה המשולבת הוא:
30.28 = 24 + 6.28
תשובה: היקף הצורה המשותפת הוא 30.28 ס"מ.

חישוב שטח הצורה
שטח המלבן הוא:
40 = 4*10 סמ"ר.

בחישוב היקף המעגל מצאנו כי r=2.
לכן שטח המעגל השלם הוא:
S=₶r²
12.56 = 4₶ = ₶2²
מכוון שמשורטט רק חצי מעגל השטח הוא:
6.28 = 2 : 12:56
6.28 סמ"ר.

נחבר את שטח המלבן עם חצי משטח המעגל:
46.28 = 40 + 6.28
תשובה: שטח הצורה המשותפת הוא 46.28 סמ"ר.

תרגיל 7: שטחים מורכבים (עיגול וטרפז)
בתוך טרפז ABCD נמצא מעגל.
אורך בסיסי הטרפז הוא:
AB = 10, CD = 15   סנטימטר.
אורך קוטר העיגול הוא 6 סנטימטר.
קוטר העיגול שווה לגובה הטרפז.

חשבו את השטח הנמצא בין הטרפז לעיגול (השטח המסומן בקווים ירוקים)

פתרון
על מנת למצוא את השטח המקווקו עלינו למצוא את שטח הטרפז, את שטח העיגול ואז לחסר את שטח העיגול משטח הטרפז.

1.חישוב שטח הטרפז.
סכום הבסיסים הוא 25 = 10 + 15
גובה הטרפז הוא 6
לכן שטח הטרפז הוא:

שטח הטרפז הוא 75 סמ"ר.

2. חישוב שטח העיגול
הנוסחה לחישוב שטח העיגול היא:
S=₶r²

ידוע לנו כי אורך קוטר המעגל שווה ל- 6 סנטימטר.
רדיוס המעגל שווה לחצי מהקוטר, 3 סנטימטר.

נציב r = 3 בנוסחה S=₶r².
S=₶3²
S = 9 * 3.14 = 28.26
שטח העיגול הוא 28.26  סמ"ר.

3. חישוב השטח המקווקו.
שטח הטרפז 75 סמ"ר.
שטח העיגול 28.26  סמ"ר.

השטח המקווקו שווה להפרש השטחים.
46.74 = 28.26 – 75
תשובה: גודל השטח המקווקו הוא 46.74 סמ"ר.

כיצד משפיעה הכפלת הרדיוס על היקף ושטח העיגול

כאשר מגדילים / מקטינים את הרדיוס פי מספר מסוים, כיצד משתנים השטח וההיקף?

• היקף המעגל גדל בדיוק פי אותה מידה שהגדילו את הרדיוס.
• שטח המעגל גדל בריבוע ביחס למה שהגדילו את הרדיוס.

דוגמה 1
אם רדיוס המעגל גדל פי 3.
היקף המעגל יגדל פי 3.
שטח המעגל יגדל פי 9 (3²).

אם במקור ההיקף היה 10 והשטח היה 8 אז:
ההיקף החדש:
30= 3 * 10
השטח החדש:
72 = 9 * 8

אם רדיוס המעגל יקטן פי 2.
היקף המעגל יקטן פי 2.
שטח המעגל יקטן פי 4.

אם במקור ההיקף היה 20 והשטח 24 אז:
ההיקף החדש:
5 = 4 : 20
השטח החדש:
6 = 4 : 24

הערה:
שימו לב שדיברנו על רדיוס שגדל / קטן פי … ולא ב…
אם הרדיוס גדל ב … משהו לא ניתן לדעת בכמה ישתנו ההיקף או השטח של המעגל החדש.
למשל עם רדיוס מעגל גדל ב 3 סנטימטר לא ניתן לדעת כיצד ישתנה היקף המעגל החדש או שטחו.

ידוע היקף או שטח, מצאו את השני

בחלק זה נפתור תרגילים בהם ידוע ההיקף ומבקשים שנמצא את שטח העיגול.
או שידוע השטח ומבקשים שנמצא את ההיקף.

התרגילים שבהמשך מתאימים לתלמידי חטיבת הביניים.
אבל גם תלמידי בית ספר יסודי יכולים לפתור אותם.

תרגיל 9: היקף המעגל ידוע. חשבו את שטח המעגל
היקף מעגל הוא 62.8 סנטימטר.
חשבו את שטח המעגל.

פתרון
הנוסחה להיקף מעגל היא:
p=2₶r

כלומר, אם נחלק את היקף המעגל ב 3.14 נקבל 2r – קוטר.
20 = 3.14 : 62.8
קוטר המעגל הוא 20.
לכן רדיוס המעגל הוא:
10 = 2 : 20
r = 10

שטח מעגל שרדיוסו 10 הוא:
s = ₶ * 10²
S = 3.14 * 100 = 314
תשובה: שטח המעגל 314 סמ"ר.

דרך נוספת למצוא את הרדיוס מההיקף היא:
p=2₶r
p = 2*3.14*r
p = 6.28r

כלומר:
6.28r = 62.8   / :6.28
r=10
ומשם ממשיכים לחישוב שטח העיגול.

תרגיל 10: נתון היקף המעגל חשבו קוטר ורדיוס
היקף כדור הארץ הוא 40,000 ק"מ. בהנחה שהצורה של היקף כדור הארץ היא מעגל, מה הוא קוטרו של כדור הארץ ומה הוא רדיוסו?

פתרון

נתון לנו כי היקף המעגל 2₶r שווה ל 40,000.
2₶r=40,000
r₶=20,000
r=20,000:3.14
6369.4=r ק"מ.
D=12,738 ק"מ (קוטר המעגל)

תרגיל 11: יודעים את שטח המעגל, חשבו את הרדיוס
שטח מעגל הוא 9₶ סמ"ר. חשבו את רדיוסו של המעגל.

פתרון
על פי הנוסחה לשטח מעגל:
S = ₶r²
S = 9₶
ולכן:
9₶ = r²₶
נחלק את שני צדדי המשוואה ב ₶ ונקבל:
r²=9
r=3
תשובה: אורך רדיוס המעגל הוא 3 ס"מ.

תרגיל 12: יודעים את שטח המעגל חשבו את הרדיוס
שטח מעגל הוא 100 סמ"ר.
חשבו את רדיוס המעגל והיקף המעגל.

פתרון
S = ₶r² = 100  / : 3.14
r² = 31.84

r = √ 31.84 = 5.64

נחשב את היקף המעגל:
p = 2 * 3.14 * 5.64 = 35.44
תשובה: רדיוס המעגל הוא 5.64 סנטימטר היקף המעגל הוא 35.44 סנטימטר.

חישוב שטח גזרה

תרגיל 13: חישוב שטח גזרה

במעגל שרדיוסו 6 ס"מ יוצרים גזרה על ידי זווית של 80 מעלות.
חשבו את שטח הגזרה.

פתרון

S = 36₶*0.22 = 8₶
תשובה: שטח הגזרה הוא 8₶ סמ"ר.

• שטח גזרה הסבר ותרגילים נוספים.

עוד באתר:

1. מעגל – דף מסכם על הצורה, כולל גם מידע המיועד לתלמידי תיכון.
2. היקף מעגל – הסבר ותרגילים
3. שטח מקבילית, שטח משולש, שטח מעוין, שטח טרפז – כיצד לחשב שטחים של צורות נוספות.