שטח טרפז

שטח טרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה לחלק ב- 2.

סכום הבסיסים הוא 10 = 8 + 2.
הגובה הוא 4.
לכן השטח הוא:

תשובה: שטח הטרפז 20 סמ”ר.

סכום הבסיסים הוא 14 + 8

הגובה הוא 7.

נציב בנוסחת שטח טרפז ונקבל:

S = ((8+14) * 7) /2 = (22*7)/2= 154/2=77

תשובה: שטח הטרפז 77 סמ”ר.

בטרפז ישר זווית השוק המאונכת לבסיסים היא הגובה אל הבסיסים.

לכן נציב h =8 בנוסחת שטח הטרפז.

תשובה: שטח הטרפז 64 סמ”ר.

היקף טרפז שווה לסכום אורכי השוקיים  + סכום אורכי הבסיסים.
אורך שני השוקיים הוא: 8 = 4 + 4
לכן סכום אורכי הבסיסים הוא:
9 = 8 – 17

שימו לב שבנוסחת שטח הטרפז אנו לא צריכים לדעת מה אורך של כל בסיס אלא מספיק לדעת את האורך של שני הבסיסים.

נציב בנוסחת שטח טרפז את סכום הבסיסים 9 ואורך הגובה 3 סנטימטר ונקבל:

תשובה: שטח הטרפז הוא 13.5 סנטימטר.

על מנת למצוא את השטח המקווקו עלינו למצוא את שטח הטרפז, את שטח העיגול ואז לחסר את שטח העיגול משטח הטרפז.

1.חישוב שטח הטרפז.
סכום הבסיסים הוא 25 = 10 + 15
גובה הטרפז הוא 6
לכן שטח הטרפז הוא:

שטח הטרפז הוא 75 סמ”ר.

2. חישוב שטח העיגול
הנוסחה לחישוב שטח העיגול היא:
S=₶r²

ידוע לנו כי אורך קוטר המעגל שווה ל- 6 סנטימטר.
רדיוס המעגל שווה לחצי מהקוטר, 3 סנטימטר.

נציב r = 3 בנוסחה S=₶r².
S=₶3²
S = 9 * 3.14 = 28.26
שטח העיגול הוא 28.26  סמ”ר.

3. חישוב השטח המקווקו.
שטח הטרפז 75 סמ”ר.
שטח העיגול 28.26  סמ”ר.

השטח המקווקו שווה להפרש השטחים.
46.74 = 28.26 – 75
תשובה: גודל השטח המקווקו הוא 46.74 סמ”ר.

אם נדע את שטח משולש ישר זווית ABC וגם את שטח הטרפז נוכל לחשב את שטח שטח משולש ACD על ידי חיסור שטחים.

1.חישוב שטח משולש ABC
שטח משולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ל- 2.

שטח משולש ABC הוא 4 סמ”ר.

2. חישוב שטח טרפז ABCD
סכום הבסיסים הוא   9 = 2 + 7.
גובה הטרפז הוא 4 סנטימטר.

שטח הטרפז הוא 18 סמ”ר.

3. חישוב שטח משולש ACD.
שטח הטרפז 18 סמ”ר.
שטח משולש ABC הוא 4 סמ”ר.

לכן שטח המשולש ACD הוא:
14 = 4 – 18
תשובה: שטח משולש ADC הוא 14 סמ”ר.

1.חישוב ההיקף
כתוב שגובה הטרפז שווה לאורך הצלע הקצרה, כלומר ל- 2 סנטימטר.
אורך הבסיס הקטן גדול ב – 1 מגובה הטרפז ולכן שווה ל- 3 סנטימטר.
אורך צלעות נגדיות במלבן שווה ולכן נקבל את השרטוט הבא:

בחישוב ההיקף נתחיל מהצלע התחתונה ונפנה שמאלה:
21 = 2 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7
תשובה: היקף הצורה המשולבת הוא 21 סנטימטר.

2. חישוב שטח הצורה המשולבת
נחשב בנפרד את שטח המלבן ושטח הטרפז ואז נחבר.
שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות:
14 = 7 * 2

שטח הטרפז הוא:

24 = 14 + 10
תשובה: שטח הצורה המשולבת הוא 24 סנטימטר.

30= 2 / ((8+4) * h ) =
=12h/2
6h=30
h=5.

על פי נוסחת שטח טרפז:

נכפיל את שני צדדי המשוואה פי 2 ונקבל:
AD + 8)*4 = 40)
4AD + 32 = 40  / -32
4AD = 8  / : 4
AD = 2

תשובה: אורך הבסיס הקטן הוא 2 סנטימטר.

1. BE=¼BC=¼*12=3
2. במשולש ABE על פי משפט פיתגורס:
   AB²-BE²=AE²
   25-9=5²-3²=AE²
   AE²=16
   AE=4
3. AD=AE=4
4. שטח הטרפז הוא
   = 2 : (4+12)*4
   2:  16*4
   32=64:2
   תשובה: שטח הטרפז הוא 32 סמ”ר.

נפתור את התרגיל כמו שפותרים בעיה מילולית.
1.נגדיר:
x   שטח המשולש.
שטח המקבילית גדול פי 2 ולכן שווה ל 2x.

2. נבנה משוואה
סכום השטחים הוא 24, לכן המשוואה היא:
x + 2x = 24
3x = 24  / :3
x =  8.

3. נכתוב תשובה
מצאנו ששטח המשולש הוא 8 סמ”ר.
שטח המקבילית כפול ושווה ל- 16 סמ”ר.

סעיף ב
כאשר נוריד גובה AF במקבילית AECB נגלה שהוא גובה משותף גם למשולש AED.

שטח מקבילית:
S_AECB = AF * EC = 16

שטח המשולש:

נכפיל את המשוואה פי 2 ונקבל:
AF * DE = 16
ואנו גם יודעים:
AF * EC = 16
לכן:
DE = EC

דוגמה נוספת לתרגיל הדומה לסעיף ב בשאלה זו תמצאו בוידאו או בדף שטח משולש כיתה ז, הכולל מספר גדול של דוגמאות מהסוג הזה.

1 – האם המשולשים דומים?
ADE=∠ABC=90∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
A∠ – זווית משותפת ושווה לשני המשולשים.
ΔABC∼ΔADE – על פי משפט דמיון ז.ז.

2 – מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
על מנת למצוא את יחס הדמיון בין משולשים עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות ולחלק אותו זו בזו.
הצלעות BC ו DE הן צלעות מתאימות. (שתיהן נמצאות במקומות 2 ו 3 ברישום הדמיון).
BC:DE=15:10=1.5
יחס הדמיון הוא 1.5. כלומר כל צלע במשולש ΔABC גדולה פי 1.5 מהצלע המתאימה לה במשולש ΔADE.

3 – חישוב אורך הצלעות AD ו DB.
הצלע המתאימה ל AD היא AB.
לכן על פי יחס הדמיון צריך להתקיים:

1.5AD = AB
1.5AD = 30  / : 1.5
AD = 20
AD=30:1.5=20

נמצא את DB:
AB – AD = DB
10 = 20 – 30

תשובה: AD = 20, DB = 10.

4 – חישוב שטח הטרפז.
נוסחת שטח הטרפז היא סכום הבסיסים (10+15=DE+BC) כפול הגובה (DB=10) לחלק ב 2.
2: (25*10)
125=250:2
תשובה: שטח הטרפז הוא 125 סמ”ר.

5 – דרך אחרת לחישוב שטח הטרפז.
ניתן לחשב את שטח הטרפז על ידי חישוב שטח משולש ΔABC ולאחר מיכן חיסור של שטח משולש ΔADE.
ניתן להשתמש בתכונת משולשים דומים שהיא שהשטחים שלהם מתייחסים זה לזה כמו ריבוע יחס הדמיון.
כלומר היחס בין השטחים הוא 1.5²=2.25.
נחשב את שטח משולש ΔABC.
AB * BC :2=450:2=225.
נשתמש ביחס הדמיון ונמצא את שטח משולש ΔADE
225:2.25=100.
שטח משולש ΔADE הוא 100 סמ”ר.
שטח הטרפז DECB.
225-100=125.

1. נמצא את גובה הטרפז:
   B  = 180 – ∠A = 45∠    – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
2. C = ∠B = 45∠  – בטרפז שווה שוקיים הזווית הנמצאות ליד אותו בסיס שוות.
3. EDC  = 180-90-45=45 ∠  – זוויות משלימה ל 180 מעלות במשולש EDC.
4. EDC = ∠C∠  – נובע מ- 2 ו- 3.
5. ΔDEF  שווה שוקיים DE=CE=4   – נובע מ- 4.נמצא את FB:
6. נוריד גובה AF לצלע BC.
7. ΔAFB ≅ ΔDEC  – על פי ז.צ.ז. (בבחינה נדרש פירוט נוסף).
8. FB=EC=4  – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

נמצא את EF:

1. AF מקביל DE  – אם חותך יוצר זוויות מתאימות שוות (זווית F וזוויות E השוות ל- 90 מעלות) אז הישרים מקבילים.
2. מרובע ADEF הוא מקבילית  – מרובע שיש בו שתי זוגות של ישרים מקבילים הוא מקבילית.
3. FE=AD=3 ס”מ.  – במקבילית ADEF צלעות נגדיות שוות.
4. BC = BF+FE+EC = 4+3+4=11.

שטח הטרפז הוא:

1. נעביר את AF כך ש- AF יקביל ל- DC.
2. AD מקביל ל- CF   –   נתון, המרובע ABCD טרפז.
3. נובע מ- 1 ו- 2 שמרובע AFCD הוא מקבילית   – מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
4. CF=AD=10 ס”מ.     –  צלעות מקבילות במקבילית שוות זו לזו.
5. AF=DC=AB.
6. משולש ABF שווה שוקיים   – נובע מ- 5.
7. במשולש ABF נוריד גובה ותיכון AE    –  במשולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון.
8. במשולש AEF על פי פיתגורס AF²=EF²+AE².
   14²=EF²+12²
   EF²=14²-12²=52
   EF=שורש 52 = 7.2
9. BF=BE+EF=2EF = 2* 7.2=14.4  –  נובע מ- 7.
10. BC=BF+FC=14.4+10 = 24.4  – נובע מ – 9 ו- 4.
11. שטח הטרפז   2 / (24.4 + 10) * 12 =2 / 12*34.4 = 206.4  סמ”ר.

הפתרון של שאלה זו הוא פתרון מקוצר.
הוכחה שהמרובע טרפז
עלינו לחשב את השיפועים של 4 הצלעות.
להראות ששתי צלעות מקבילות ושתי צלעות אינן מקבילות.

חישוב השיפוע נעשה על פי 2 נקודות.

החישוב של השיפועים כאן בקיצור:
AB שיפוע 0.
CD שיפוע 0.
BC שיפוע 1-.
AD שיפוע 2.

לכן AB, CD הן צלעות עם שיפועים שווים ולכן מקבילות.
BC, AD הן צלעות עם שיפועים שונים ולכן אינן מקבילות.
המרובע ABCD הוא טרפז.

סעיף ב: שטח טרפז
שטח טרפז הוא סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2.

הבסיסים הם הישרים המקבילים AB, CD.
AB = 4
CD = 7

אורך הגובה הוא 2.
לכן שטח הטרפז הוא:
S = (4 + 7) * 2 * 0.5 = 11
תשובה: שטח הטרפז הוא 11 יחידות ריבועיות.

(פתרון התרגיל יכתב בקצרה).
מציאת C,D
הנקודות  C,D הם בעלות ערך y=0 כי הן נמצאות על ציר ה x.
ערך ה x של C שווה לערך ה x של A.
ערך ה x של D שווה לערך ה x של B.
(בגלל ש AC, CD הם ישרים המקבילים לציר ה y).
(C (-4, 0)  D (-1, 0

סעיף ב: הוכחת טרפז
על מנת להוכיח שהמרובע טרפז עלינו לחשב את השיפוע של 4 הצלעות.
נעשה זאת בעזרת הנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.

AC שיפוע לא מוגדר.
BD שיפוע לא מוגדר.
CD שיפוע 0.
AB שיפוע 1-

הישרים AC, BD מקבילים.
הצלעות CD, AB אינן מקבילות.
לכן המרובע ABCD טרפז.

סעיף ג: חישוב שטח הטרפז
בסיסי הטרפז הם הצלעות המקבילות AC, BD.
הגובה הוא אורך הצלע CD.
AC = 7
BD = 4
CD = 3

לכן שטח הטרפז הוא:
S = (7 + 4) * 3 * 0.5
S = 11 * 1.5 = 16.5
תשובה: שטח הטרפז הוא 16.5 יחידות ריבועיות.

סעיף א: הוכחת טרפז
לישרים:
y = 2x – 6
y = 2x – 2
יש שיפוע שווה ולכן הם מקבילים.
הישר AC נמצא על ציר ה y.
הישר BD נמצא על ציר ה x.
לכן אלו לא ישרים מקבילים אלא נחתכים.
לכן מרובע ABCD הוא טרפז.

סעיף ב: שטח הטרפז
בסיסי הטרפז הם AC, BD.
הבסיסים הללו אינם מקבילים לבסיסים לכן קשה לחשב את הגובה העובר בניהם, הגובה של הטרפז.

לכן נחשב את שטח הטרפז על ידי חיסור שטחי משולשים.
כאשר O היא נקודת ראשית הצירים.
S_ABCD = S_AOB – S_ACD

שני המשולשים הללו הם משולשים ישרי זווית (הצירים הם ניצבי המשולשים).
S_AOB = 6 * 3 * 0.5 = 9
S_ACD = 2 * 1 * 0.5 = 1

לכן שטח הטרפז הוא:
S_ABCD = 9 – 1 = 8
תשובה: שטח הטרפז הוא 8 יחידות ריבועיות.